Введение к работе
Актуальность проблемы
В последнее Бремя повысился интерес к так называемым конструктивно нелинейным задачам теории стержней, пластин и оболочек. К таким задачам, прежде всего, относятся контактные задачи с неизвестной областью контакта, задачи устойчивости упругих систем с односторонними ограничениями на перемещения, задачи расчета тел, армированных нерастяжнмыми нитями. Инженерная востребованность к решению таких задач была всегда, однако используемый математический аппарат и технические средства вычислений не позволяли получать решение наиболее интересных задач. Интенсивное развитие вычислительной техники, методов оптимизации и новые фундаментальные результаты, полученные в области выпуклого и невыпуклого анализа открыли дополнительные возможности в исследовании обсуждаемой проблемы.
Трудности, возникающие при решении задач устойчивости и исследования закрптпческого поведения конструкций при наличии односторонних связей или ограничений на прогибы связаны с изучением точек бифуркации негладких уравнений н обусловлены тем, что уравнения в окрестности точки равновесия не могут быть линеаризованы, поэтому эти уравнения обладают нелинейностью как существенным свойством.
На практике наибольший интерес представляет критическое значение нагрузки, соответствующее потере устойчивости основного состояния. Поскольку рассматриваемые (в вариационной постановке) задачи являются многоэкстремальными, то для отыскания критических значений они требуют применения методов глобальной оптимизации, которые являются довольно "дорогими" в вычислительном отношении. Применение же эффективных локальных методов не дает гарантии попадания в точку глобального минимума и требует перебора большого количества начальных приближений. Применительно к конструктивно нелинейным задачам устойчивости конструкций с односторонними связями возможность использования локальных методов (для отыскания глобального экстремума), как представляется, заслуживает особого внимания. Например, из механических соображений ясно, что "слабые" односторонние связи не должны сильно изменять хорошо известные свойства соответствующей линейной системы. Именно в таком аспекте в данной работе изучается возмож-
ность применения локальных методов для отыскания критических нагрузок.
Цель работы
Целью настоящей работы является исследование устойчивости и закрнтнческого поведения упругих систем с односторонними связями, разработка численных методов решения таких задач.
Научная новизна
Предложен новый метод поиска обобщенных собственных чисел положительно однородного оператора, сходящийся к некоторому (не обязательно минимальному) собственному числу.
Для поиска .минимального собственного числа в конечномерном пространстве предлагается новый метод, основанный на идентификации условной положительности квадратичных форм на конусах.
С помощью данных методов численно решены новые задачи об устойчивости колец с растяжка.мн одностороннего действия н об устойчивости продольно сжатого стержня на границе двух упругих сред, решение которых в известной автору литературе не встречалось.
Получено аналитическое решение нелинейной задачи о плоском изгибе продольно сжатого стержня при жестких ограничениях на прогиб, обобщающее известное решение данной задачи в линейной постановке В.И. Феодосьева.
Численно решена задача определения пространственных форм сжатого и скрученного стержня в цилиндрической полости с упруго податливыми стенками. В отличие от решения, приведенного в монографии К.Ф. Черныха', в диссертации учитывается влияние крутящего момента н не используется предположение о малости углов поворота.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Локальный метод поиска (какого-либо) собственного числа
положительно однородного оператора [3] применительно к проблеме
устойчивости конструкций с односторонними ограничениями на пе
ремещения.
2. Метод поиска минимального собственного числа (соответ
ствующего в задачах устойчивости значенню критической нагрузки)
'Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости о машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, Ленинградское отделение, 1986. 336 с.
положительно однородного оператора, основанный на идентификации условной положительности квадратичных форм на конусах [5].
-
Численное решение комплекса задач на устойчивость круговых колец с растяжками одностороннего действия (упруго податливые центральные и диаметральные растяжки, абсолютно жесткие, произвольно расположенные растяжки) [1].
-
Решение задачи об устойчивости продольно сжатого стержня на границе двух упругих сред [5].
5. Аналитическое решение задачи о закрнтпческом поведении
продольно сжатого стержня прп абсолютно жестких ограничениях
на прогиб (плоский изгиб) [2].
G. Численное решение задачи о закрнтпческом поведении сжатого и скрученного стержня в цилиндрической полости с упруго податливыми стенками [4].
Общая методика исследования
В основе исследования лежат линейная и нелинейная теории упругих стержней, численные методы решения краевых и вариационных задач теории упругости, операторных уравнений, а также методы решения задач конечномерной оптимизации: квадратичного (выпуклого и невыпуклого) и нелинейного программирования.
Практическая ценность
Исследования по устойчивости упругих систем с односторонними связями выполнялись по проекту "Деформация, прочность н устойчивость макротел с односторонними связями в условиях влияния температурных полей" (грант 1991 г. от Конкурсного Центра фундаментального естествознания при Санкт-Петербургском государственном университете).
Апробация работы и публикации
Отдельные результаты диссертации докладывались на Всесоюз-нолі симпозиума по нелинейной теории упругости (1983, Ленинград), III Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (1989, Сыктывкар), II Международной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (1994, Москва).
В целом диссертация обсуждалась на научном семинаре кафедры математического моделирования и кибернетики математического факультета Сыктывкарского государственного университета и на семп-
наре кафедры теории упругости и пластичности механнко- математического факультета Нижегородского университета.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] -[5].
Структура работы
Диссертация состоит из введения, двух разделов, двух приложений п списка литературы. Разделы разбиты на подразделы, пункты и подпункты; рисунки, таблицы и графики включены в основной текст и приводятся сразу после соответствующих ссылок. Работа снабжена аннотированным оглавлением. Такая структура диссертации, по мнению автора, должна способствовать более ясному восприятию полученных результатов.
Основное содержание диссертации изложено на 139 страницах, включая 16 таблиц и 33 рисунка. Библиография содержит 70 наименований. Общий обьем работы, с учетом приложений и списка литературы составляет 160 страниц.