Устойчивость и колебания тонкого скрученного стержня в вязкой среде Сергеев, Александр Диевич

Введение к работе

Актуальность темы. Тонкие прямолинейные стержни, воспринимающие и передающие крутящий момент, являются конструктивными элементами многих технических устройств,' например, бурильных установок. У некоторых типов бурильных устаповок один торец стержня переменной длины закреплен неподвижно, а на другом торце размещается активный породоразрушающий элемент. В этом случае стержень играет роль упругою основания, воспринимающего воздействие внешней среди. В других конструкциях на пассивный породоразрушающий элемент, закрепленный на одном из торцов стержпя, крутящий момент передается посредством самого стержня, второй торец которого вращается двигателем. Во втором случае скорости вращения настолько малы, что и в конструкциях первого типа и d конструкциях второго типа фактически имеет место квазистатическое нагружепие стержня крутящим моментом. Это однако не означает, что стержень находится в статическом состоянии. Напротив, при определенных условиях он испытывает достаточно интенсивные низкочастотные колебания. Хотя точных экспериментальных данных о колебаниях этого типа обнаружить в литературе не удалось, есть основания Полагать, что эти колебания не относятся к изученному типу колебаний, а их частоты значительно ниже частот поперечных колебаний стержня. Основными особенностями обсуждаемой задачи пвля-ются'два фактора: а) наличие значительных деформаций кручения и б) наличие вязкой среды, коэффициент вязкости которой меняется в широких пределах. Теоретический анализ почти сразу приводит к исследованию явления, хорошо известного в литературе под названием "парадокс Николаи." А именно, в 1928 году Е.Л.Николаи установил, что прямолинейная равновесная конфигурация скрученного консольного стержня неустойчива при с;»оль угодно малом крутящем моменте Исследования Е.Л.Николаи относятся к периоду с 1928 по 1936 г. Детальные исследования В.В.Болотина, Г.Циглера, А.Треша, М.Века, проводившиеся с 1950 г. по 1965 г., во многом дополнили и уточнили результаты Николаи, но факт неустойчивости прямолинейной конфигурации консольного стержня при скручивании его сколь угодно малым внешним моментом остается теоретически незыблемым и сейчас. Пародоксальность этого факта в том, что на практике, как отмечают многие исследователи, никто

и никогда теоретически предсказываемой неустойчивости не наблюдал. Возможные объяснения парадокса Николаи приведены в известной монографии В.В.Болотина "Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости." В последующем интерес к этой проблеме у теоретиков исчез. Во всяком случае, за последние 30 лет, видимо, не появлялось работ, посвященных парадоксу Николаи. Вероятно, это объясняется тем, что теоретически дополнить существующие исследования довольно трудно. Практиков этот вопрос не беспокоил, поскольку в реальности парадокс Николаи не проявлялся, а использовавшиеся методики расчета не приводили к каким-либо серьезным веприятностям. Так было до тех пор, пока не начали проектировать дорогостоящие бурильные установки нового типа, потребовавшие уточненных расчетов из-за отсутствия опыта эксплуатации подобного рода машин. Здесь уже недостаточно словесных объяснений, нужны расчетные формулы, получению которых по существующим методикам препятствует наличие парадокса Николаи.

Поэтому кажется необходимым дать такие, пусть даже и приближенные, постановки задач о колебаниях стержня, скрученного немалыми моментами, в которых парадокс Николаи отсутствует. Именно этому вопросу и посвящена данная диссертация, что определяет актуальность ее темы.

Цель работы. На основе современной нелинейной теории стержней, учитывающей деформацию растяжения'и поперечного сдвига, а также инерцию вращения, исследовать малые колебания скрученного внешним моментом консольного стержня, находящегося в вязкой среде, и описать возможные типы движений, остающиеся финитными при конечных и относительно больших значениях крутящего момента.'

Научная И практическая Ценность. Основные результаты диссертации получены впервые и могут быть использованы при расчетах динамического поведения некоторых типов бурильных установок.

Новые результаты, выносимые на защиту.

1. Новое моментное (консервативное) воздействие, допускающее построение потенциала. На основе полной нелинейной теории стержней найдена равновесная конфигурация первоначально прямолинейного консольного стержня, нагруженного указанным моментом, и доказана ее

единственность. При этом получено простое общее решение возника-

ющсй здесь задачи Дарбу.

1. Показано, что статическая краевая задача в вариациях для консервативного момента имеет спектр собственных значений и, следовательно, допускает нетривиальные решения. Поскольку равновесная конфигурация единственна, точки спектра нельзя трактовать как точки бифуркации равновесия.

2. При не малых крутящих моментах и не малом трении обнаружена возможность появлепия у гкручепггого стержпя незатухающих сверхниэко-частогпых колебаний, частоты которых пропорциональны (h²/l²), где h ж I — диаметр и длина стержня. Для сравнения, частоты обычных поперечных колебаний стержня имеют порядок 0(h/l). Вычислены частоты и найдены формы сверхнизкочастотных колебаний.

3. При не малых крутящих моментах и асимптотически малом трении также возникают чисто колебательные движения, но их частоты имеют порядок 0(hjl).

4. При асимптотически малом скручивании и не малом трении имеют место затухающие поперечные колебания, переходящие в нарастающие при достижении крутящим моментом вполне определенных и весьма больших значений. Однако при этих величинах момента допущение о его асимптотической малости уже сомнительно.

5. При асимптотически малом моменте (обращается в нуль главный член асимптотического разложения) и асимптотически сверхмалом трении ("кули" первые два члена асимптотического разложения коэффициента вязкости), возникает классическое уравнение поперечных движений скрученного стержня. Здесь устойчивость теряется уже при весьма малых значениях крутящего момента, если мало внешнее трение.

К сказанному можно добавить, что был проведен специальный эксперимент, имеющий целью установить возможные проявления парадокса Николаи. В эксперименте не подтвердилось поведение скрученного консольного стержня вблизи прямолинейной равновесной конфигурации, предсказываемое классическими моделями. Бели неустойчивость, от-«рытая Николаи, действительно имеет место, то, очевидно, любые воз-лущения, вносимые в систему при наличии скручивания, затухают го-

раздо медленнее, чем те колебания, которые возбуждаются в свободном ненагружешюм стержне. Результаты эксперимента указали на стабилизирующую роль следящего момента: время затухания возмущений при наличии следящего момента оказалось примерно, в 1.5 раза меньше, чем время затухания свободных колебаний. Сравнивая визуально наблюдаемую картину с теоретическими результатами, можно отметить, что ближе всего к эксперименту оказался случай асимптотически малых следящего момента и вязкого трения. К сожалению, мы не располагали необходимым оснащением для точных количественных измерений и поэтому проверяли только качественную сторону явления.

Публикации И апробация работы. По теме диссертации опубликовано пять научных работ. Результаты работы докладывались в СпбГТУ на кафедре "Теоретическая механика", в СПбГУ (руководитель семинара проф. Товстик П.Б.), на Неделе науки ПГУПСа, на международной конференции по асимптотическим методам в механике, проходившей в Санкт-Петербургском государственном морском университете.

Объем И структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературных источников. Работа изложена на 135 страницах основного текста. Библиография включает 33 источника.