Введение к работе
-:»
зртлций
Актуальность проблеми. Решение трехмерных задач математической теории упругости по исследовании напряженно-деформированного состояния упругих анизотропных тел в зависимости от приложенной силовой нагрузки и температурного поля представляет актуальное направление современной механики деформируемого твердого тела. Актуальность решения указанного класса задач обусловлена широким применением конструкцноіших элементов и изделий нз анизотропного материала з инженерной практике.
1Сак указано в монографии [ IJ , исследование напрятанного состояния деформируемых упругих тел в трехмерной постановке является одной из самых сложных задач математической теории упругости и наряду с этим одной из актуальных проблем в практическом отношении.
Решения пространственных задач намного усложняются в случае необходимости учета при расчете напряженно-деформированного со- стояния анизотропии, нелинейности и других факторов, характеризующих как упругие свойства деформируемого материала, так и геометрию граничной поверхности, особенность внешней нагрузки.
Анализируя научную литературу, посвященную решение трехмерных задач для упругих тел, необходимо отметить определенные успехи, достигнутые при решении пространственных задач для изотропных линейно упругих сред. Небольшое число публикаций, посвященных построении решений основных уравнений равновесия упругого анизотропного тела при заданных на его поверхности компонентах перемещений, напряжений, температурного поля или смешанных граничных условиях - свидетельство большой сложности построения решений.
Постановки разнообразных пространственных задач, методы их решения для изотропных, трансверсальио-изотропных и ортотротгах линейно упругих сред нашій отражение в фундаментальных монографиях и трудах ученых механиков Александрова А.Я. и Соловьева Ю.И.; Андрейкнва А.Е.; Воровича И.Й., Александрова В.И., Бабзшко В.А.; Власова В.В.; Галилеева М.Д.; Галина Л.А.; Гуэя А.Н.; Ершова Г.Э.; Ибрагимова В.А.; Калоерова С.А.; Дука А.П.; Ионова В.Н. и Огиба-лопа П.И.; Космодаынанского А.С; Лехницкого С.Г.; Лурье А.И.;
Абрашина В.Н.; Лурье С.А.; Мартыновича Т.Л.; Мартыненко М.Д.; Морозова Н.Ф.; Немиша D.H.; Панасюка В.В.; Партона В.З. и Перлина П.И.; Положего Г.Н.; Панкратовой Н.Д.; Прусова И.А.; Работно» ва D.H.; Рвачева В.Л. и Проценко B.C.; Рекача В.Г.; Саврука МЛІ. Ставрова В.П.; Уздалева А.И.; Улитко А.Ф.; Уфлянда Я.С; Флейш-ыана Н.П.; Черных К.Ф.; Чигарева А.В.; Шалдырвана В.А. и др.
Эффективные методы решения плоских статических задач для| изотропных тел, разработанные в трудах Колосова Г.В., Мусхелиш-вили Н.И., и базирующиеся на формулах по которым составляющие напрялсенно-деформированного состояния выражаются через аналитические функции кої-шлексного переыешюго, к решению пространствен ных задач непосредственно не применимы. В то же время аппарат теории аналитических функций с успехом применяется при решении разнообразных трехмерных задач. Так, в трудах Александрова А.Я. и Соловьева Ю.И., апарат теории функций комплексного переменного применен к решению пространственных задач для изотропных и трансверсально-изотропных тел. Решения основных уравнений представлены в виде интегральных операторов от аналитических функций Путем интегральных наложений установлена зависимость между пространственным напряженно-деформированным состоянием и двумя двумерными напряженными состояниями, к которым отнесены плоская деформация и депланация.
ІІногие классы двумерных и пространственных задач статической теории упругости исследованы с помощью интегральных преобразований.^ Информацк">нным источником по практическому использованию интегральных преобразований Фурье, Меллина, Ханкеля, Келе-ра-$ока, Конторовича-Лебедева является монография Уфлянда Я.С.
Ряд решений трехмерных задач теории упругости для изотропных, трансверсально-изотропных тел получены методом интегральных уравнений. Построению интегральных уравнений их анализу и исследованию при решении практически важных пространственных задач посвящены монографий Партона П.З. и Перлина П.И.; Вайндине-ра А.И., Ыосквитина В.В.; Верюжского Ю.В.; Купрадзе В.Д.
- Ыетод возмущения формы границы успешно развили и использовали для решения трехмерных граничных задач механики твердых деформируемых тел неканонической формы Гузь А.Н., Немиш D.H.
Пространственные граничные задачи для неканонических поверхностей, близких к круговым цилиндрическим или сферическим, на основе упомянутого метода, сводятся к рекуррентной последовательности краевых задач для цилиндрических или сферических областей. Характерная особенность метода заключается в том, что отклоненке формы поверхности исследуемого тела от соответствующей канонической формы учитывается через граничные условия.
Эффективным приближенным методом решения плоских и пространственных задач является метод R - функций, разработанный В.Л.Рвачевым. Соединение метода R. - функций с классическими методами математической физики и вычислительной математики позволило разработать структурный метод, на основе которого удалось построить приближенные решения граничных задач для изотропных тел конечных размеров со сложной геометрией.
Построение решений трехмерных граничных задач математической теории упругости осуществляется также на основе использования разнообразных числених методов, к числу которых следует отнести методы конечных элементов, конечных разностей, вариационно-разностный и другие.
Касаясь проблемы решения пространственных задач для ортот-ропного тела отметим, что выполненные исследования условно полно разделить на три категории [ 2 ] .
-
Сведение задачи к решению сложных дифференциальных уравнений с целью определения функций, посредством которых находятся компоненты напряжений и перемещений. Однако решение указанных уравнений сопряжено с большими математическими трудностями при исследовании конкретных задач, что, естественно, ограничивает возможность практического использования разработанных методов.
-
Ко второй категории относятся решения в основу которых положены введенные Гипотезы, предположения, некоторые утверждения, которые позволяют получить упрощенные или приближенные решения.
-
Решение строится приближенным методом; за нулевое приближение берется решение соответствующей задачи для изотропного тела.
Так, в [ 3] исследованы основные граничные задачи для изотропного и ортотропного упругих полупространств. При решении уравнений равновесия в перемещениях для ортотропного тела авто-
рами введены ограничения на постоянные упругости с и . Предполагается, что с и удовлетворяют определенным зависимостям
а г m
которые с физической точки зрения выражают пропорциональность постоянных упругости во взаимно перпендикулярных плоскостях симметрии ортотропного тела. Введенное предположение позволило упростить уравнения равновесия и получить их точное общее решение.
Ким И.В., Сунчелеев Р.Я., воспользовавшись общим представ
лением формул для напряжений и перемещений, полученных с учетом
зависимостей (I), дали решение задачи для ортотропного полупро
странства, ослабленного эллиптическими разрезами; исследовали
контактную задачу. '
В 1968 г. оп} .іликована работа проф. Ганева И.Х. "О полном решении трехмерной проблемы ортотропных сплошных сред в прямоугольных координатах" [ 4 J , в которой система трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно перемещений И, ТГ . 1аГ (система уравнений равновесия), сведена к трем самостоятельным дифференциальным уравнениям шестого порядка для каждого перемещения. Общее решение, полученных дифференциальных уравнений ищется в виде а, у;гіГ = + ( ах + bu + С2 ) ! + обозначает произвольную функцию линейной формы аХ + &и*С% Однако, использование указанного метода решения граничных задач вызывает большие математические "оудности и приводит к существенным погрешностям при расчете напряженно-деформированного состояния ортотропных тел. Дело в том, что при правильном построении решения и при стремлении аргумента искомой функции к бесконечности, значение обратной величины от аргумента должно стремиться к нулю. В предложенном представлении решения можно указать три варианта геометрических мест точек, где аргумент обращается в нуль, а 1/(ах +6у + СХ ) стремится не к нулю, а к бесконечности. Так, при 2 = 0 имеем прямую азе + ЬЧг = 0, для точек которой І/(СІХ + &у- + С9) —w оо . Укажем еще две прямые 6u +CZ =0 при ОС = 0 и CLX+C2= 0 при у- = 0, где не выполняется условие поведения аргументов искомой функции на бесконечности.
Галилеев М.Д. и его последователи модифицировали метод начальных функций применительно к построению общего решения для
плоских, пространственных, статических и динамических задач ор-тотропного и трансверсально-изотропного тел.
Определение трех функций напряжений для упругих тел, обладающих трехосной ортотропией, сведено Моссаковской С.[ б] к решению трех дифференциальных уравнений в частных производных шестого порядка с четными смешанными производными. Решение полученных дифференциальных уравнений представляет определенные математические трудности.
Цель работы. Диссертация посвящена выводу новых общих формул для компонент напряжений, перемещений и разработке аналитических методов решения основных граничных задач линейной теории упругости и термоупругости по определению температурных полей и напряженного состояния в упругом анизотропном полупространстве, обладающем трехосной ортотропией.
Основные научные положения, выносимые на защиту:
новое представление общих формул для напряжений и перемещений анизотропного полупространства, обладающего трехосной ортотропией, выраженных через класс квазигармонических функций;
доказательство о существовании нового представления общих формул при выполнении определенной зависимости между постоянными упругости ортотропного тела;
метод приведения решений основных граничных задач к задаче Неймана, основывающийся на использовании полученных общих формул;
эффективный прием сведения дифференциальных неоднородных уравнений в частных производных шестого порядка к эквивалентным уравнениям Пуассона,, решения которых находятся на основе известного классического метода;
аналитические методы решения основных граничных задач линейной теории упругости и термоупругости для ортотропного полупространства;
простые зависимости между постоянными упругости ортотропного тела, служащие для нахождения модулей сдвига через модули Юнга и коэффициенты Пуассона при разработке и создании новых анизотропных материалов с заранее.заданными упругими свойствами;
аналитические решения ряда контактных задач для ортотропного полупространства, используемые при исследовании напряженно-деформированного состояния трехмерных анизотропных тел, а также как тесты для оценки погрешности приближешшх и численных методов.
Достоверность основных научных положений основывается на точном удовлетворении уравнений закона Тука., равновесия и совместности деформаций; осуществлении предельного перехода к изотропному телу с целью получения ранее известных формул. Достоверность результатов и выводов обеспечена строгим использованием основных соотношений и соответствующих обоснованных методов теории упругости и математической физики, совпадением в частных ; случаях с известными результатами, на которые сделаны ссылки. Полученные в диссертации утвервдения корректно сформулированы и математически обоснованы, согласуются с основными законами механики деформируемого твердого тела.
Научная новизна представленных в диссертации результатов заключается в следующем: ,
дано новое представление общих формул для напряжений и перемещений в виде суперпозиции двух групп основных формул для анизотропного полупространства, обладающего трехосной ортотро-пией;
исследованы вопросы существования нового представления общих формул, при этом проведено доказательство о необходимости выполнения определенной зависимости между постоянными упругости; -
разработаны методы получения точных решений основных граничных задач линейной теории упругости и термоупругости для ор-тотропного полупространства, основанные на приведении граничных задач к задаче Неймана;
разработан эффективный прием сведения дифференциальных неоднородных уравнений в частных производных шестого порядка к эквивалентным уравнениям Пуассона, решения которых находятся известным классическим методом;
найдены простые зависимости между коэффициентами упругости ортотропного тела, которые могут быть использованы при создании новых анизотропных материалов с заранее заданными упругими свойствами;
получены расчетные формулы для определения положения штампа, внедренного под действием вертикальной силы и изгибающих моментов в ортотропное полупространство;
установлена закономерность распределения нормального давления в области контакта плоского штампа эллиптической формы в плане;
установлен предел нагрузок, вызывающих осадку плоского штам-
па произвольной формы в плане на заданную величину с учетом влияния анизотропии тела;
- дано новое представление общих формул для расчета термонапряженного состояния ортотропного полупространства;
-. исследован вопрос о классе дифференцируемых функций, через которые выражаются компоненты напряжений и перемещений, при удовлетворении уравнений Навье и'закона Ityica в виде соотношений Мак-свелла.
Научное и практическое значение результатов
Изложенные в диссертационной работе методы решения задач теории упругости и термоупругости могут быть применены к исследованию напряженно-деформированного состояния разнообразных изделий и элементов конструкций, изготовленных из новых ортотроп-ных материалов, постоянные упругости которых удовлетворяют полученным в работе зависимостям между коэффициентами упругости.
Аналитические решение могут использоваться как тесты для оценки погрешности различных приближенных и численных методов, используемых для исследования упругого и термоупругого состояния тел из анизотропных материалов, обладающих тремя плоскостями упругой симметрии.
Полученные формулы для расчета напряженно-деформированного состояния и отражающие зависимости между постоянными упругости являются базовыми соотношениями для разработки и создания новых ортотропных материалов с заранее заданными упругими свойствами.
Аналитические методы решения основных граничных задач теории упругости и термоупругости для ортотропного полупространства могут быть использованы в учебном процессе в спецкурсах по теории упругости и термоупругости.
Апробация работы. Основные результаты работы по мере их получения докладывались на заседании семинара Института проблем механики АН СССР под руководством проф. В.М.Александрова (1986), на заседании семинара в Московском государственном техническом университете им. Баумана под руководством проф. В.В.Васильева . (1986), на-2 Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур (Львов, 1987), на УІІ Всесоюзной конференции "Динамика оснований, фундаментов и подземных сооружений" (Днепропетровск, 1989), на ІУ Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Одесса, 1989), на Всесоюзном научно-техни-
ческом семинаре "Радиопрозрачные обтекатели (РПО) и укрытия (РПУ)' (Нинск, 1990), на Всесоюзной конференции "Модификация древесины" (Минск, 1990), на заседании семинара Львовского политехнического института под руководством проф. Т.Л.Мартыновича (Львов, 1992), на заседании семинара Белорусской государственной политехнической академии под руководством проф. Л.В.Чигарева (Минск, 1992)
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Она содержит 261 страницу машинописного текста, 17 рисунков, 14 таблиц, библиографический список насчитывает 180 наименований.