Содержание к диссертации
Введение
1 Несвязная термоупругость пологих оболочек под действием быст ропеременных температурных и силовых воздействий по пространственным и временной координатам на основные поверхности и гра ницы 11
1.1 Нагретая пологая оболочка двоякой кривизны, края которой нагружены быстропеременными усилиями и моментами 11
1.2 Пологая оболочка постоянного кручения в условиях конвективного теплообмена с окружающей средой через основные поверхности и кратковременного воздействия сосредоточенной силы 24
1.3 Колебания пологих оболочек (цилиндрической и постоянного кручения) при внезапном воздействии теплового потока 34
2 Термоупругость геометрически нерегулярных пластин под действи ем быстропеременных температурных и силовых нагрузок 42
2.1 Влияние кратковременного воздействия сосредоточенной силы и скачкообразного повышения температуры среды на термоупругое поведение геометрически нерегулярной пластинки в условиях конвективного теплообмена 42
2.2 Нагретая геометрически нерегулярная ортотропная пластинка в сверхзвуковом потоке газа 52
2.3 Геометрически нерегулярная пластинка под действием быст-ровозрастающих температурных и силовых воздействий на границе (случай конвективного теплообмена с окружающей средой) 61
3 Континуальная модель композиций из оболочек вращения, гладкосопряженных между собой 72
3.1 Геометрия срединной поверхности композиции из гладко сопряженных оболочек вращения 72
3.2 Основные уравнения осесимметричной термоупругости композиций из оболочек вращения в перемещениях 93
3.3 Замкнутые интегралы сингулярных уравнений осесимметрич-ного безмоментного состояния гладко сопряженных оболочек вращения 100
Заключение 111
Список литературы
- Пологая оболочка постоянного кручения в условиях конвективного теплообмена с окружающей средой через основные поверхности и кратковременного воздействия сосредоточенной силы
- Колебания пологих оболочек (цилиндрической и постоянного кручения) при внезапном воздействии теплового потока
- Нагретая геометрически нерегулярная ортотропная пластинка в сверхзвуковом потоке газа
- Основные уравнения осесимметричной термоупругости композиций из оболочек вращения в перемещениях
Введение к работе
Актуальность исследований, приведенных в работе, обусловлена необходимостью развития аналитического метода суперпозиции двойных и одинарных тригонометрических рядов с переменными коэфициентами, многочленов и других функций, позволяющего определять точные решения краевых задач пологих оболочек (ПО) и геометрически нерегулярных пластин (ГНП) под действием локальных быстровозрастающих силовых и температурных нагрузок на краях и основных поверхностях, построения строгой континуальной математической модели составной конструкции (композиции) из различных по геометрическим свойствам оболочек вращения, гладко сопряженных между собой, на основании которой возможны точные и приближенные решения сингулярных уравнений термоупругости композиций на базах различных по степени точности теорий оболочек в криволинейных координатах.
Цель диссертационной работы. Аналитические исследования статических и динамических задач несвязной термоупругости ПО, ГНП и композиций из оболочек вращения под действием локальных быстровозрастающих нагрузок, нагрева и нормального давления.
Научная новизна. В диссертационной работе впервые методом суперпозиции одинарных и двойных тригонометрических рядов с переменными коэффициентами, многочленов и других функций, учитывающих структуру локальных нагрузок, получены аналитические решения, содержащие замкнутые интегралы коэффициентов аппроксимирующих рядов, новых задач статической и динамической термоупругости для различных классов ПО и ГНП. В рамках безмоментной теории на основе континуальной модели определяются замкнутые решения сингулярных уравнений равновесия для различных вариантов композиций. На примере нагретой составной конструкции из двух элементов определяются интенсивность дополнительного локального давления, устраняющего разрыв первого рода в одном из тангенциальных усилий, что обеспечивает безмоментное состояние.
Практическая значимость работы определяется тем, что в ней содержится систематическое исследование различных по геометрии ПО и ГНП под действием быстропеременных по пространственным и временной координатам температурных и силовых нагрузок. Построена строгая континуальная математическая модель композиции из оболочек вращения позволяющая применять разные по степени точности уравнения теории оболочек в криволинейных координатах. Аналитические методы решения краевых задач позволяют получать замкнутые интегралы уравнений термоупругости оболочек и пластин, алгоритмизация которых с целью количественного анализа не представляет трудности, что немаловажно для инженерной практики. Программные коды и заключение о возможности ис-
пользования материалов диссертации при исследовании и проектировании элементов приборов специального назначения приводятся в приложениях.
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью физической и математической постановок задач, использованием апробированных положений и принципов термомеханики сплошных сред. Краевые задачи несвязной термоупругости оболочек и ГНП решаются математически обоснованными аналитическими методами и сопоставлением полученных в диссертации результатов с аналогичными результатами других авторов.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: XIX-XXII Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Ярополец 2013, 2014 гг., Вятичи 2015-2017 гг.), международной научной конференции «Теории оболочек и мембран в механике и биологии: от макро- до наноразмерных структур» (Беларусь, Минск, 2013 г.), III Международной научно-практической конференции «Проблемы и перспективы развития транспортных систем и строительного комплекса» (Гомель, 2013 г.), научных конференциях механико-математического факультета СГУ «Актуальные проблемы математики и механики» (Саратов, 2013, 2015, 2016 гг.), XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 2015 г.), 5th and 6th International conferences for Young Scientists Presenting Academic Achievements to the World (Saratov, 2014, 2015).
Положения выносимые на защиту:
-
Аналитические исследования статических и динамических задач несвязной термоупругости ПО и ГНП под действием локальных быстро-возрастающих силовых и температурных нагрузок на границах и основных поверхностях, методом суперпозиции тригонометрических рядов с переменными коэффициентами, многочленов и других функций.
-
Основные положения и уравнения континуальной математической модели композиций из оболочек вращения гладко сопряженных между собой.
-
Количественный анализ замкнутых интегралов сингулярных дифференциальных уравнений композиций под действием силовых и температурных факторов на основе безмоментной теории.
Личный вклад. Все результаты, содержащиеся в данной работе, получены автором. Соавтору принадлежат постановки задач и обсуждение полученных результатов.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 18 печатных изданиях, 6 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 8 — в материалах симпозиумов и конференций.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложений. Полный объем диссертации 198 стра-
Пологая оболочка постоянного кручения в условиях конвективного теплообмена с окружающей средой через основные поверхности и кратковременного воздействия сосредоточенной силы
В случае пологой оболочки постоянного кручения функция z(x, у) запишется ( 1ху z{x,y) = о—. ао Положим, что основные поверхности оболочки находятся в условиях конвективного теплообмена с окружающей средой, а на краях оболочки поддерживается нулевая температура. Начиная с некоторого момента времени t\ внешняя поверхность подвергается воздействию сосредоточенной силы (направленной по нормали к поверхности), которое продолжается в течении временного интервала 1 2 — t\\ « 1. Н этом же временном интервале происходит «скачкообразное» изменение температуры окружающей среды на величину Т со стороны действия сосредоточенной силы q = qoa,ibi6(x — xi,y — у\) (H(t — t\) — H(t — 2)) что приводит к кратковременному изменению перепада температуры по толщине термоупругой системы. Здесь H(t — ti) (г = 1,2) - функции Хевисайда временной координаты, д(х — Xi,y — у\) - дельта функция двух пространственных переменных определяемая как предел д(х — Xi,y — у\) = и( ( а1\\ и( ( , а1\\ Н у— Vi— "7Г — Н у— И/1+ТГ —— 11II1 а1_ -0 а1 "1 ь1 о Решение несвязанной термодинамической задачи сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений, описывающих движение нагретой пологой оболочки постоянного кручения [18], [96], [118]
При отсутствии перепада температуры на краях оболочки, на основании метода двойных тригонометрических рядов с переменными по временной координате коэффициентами, решение уравнения (1.17) запишется
Здесь T0+ , T - температуры сред с внешней и внутренней поверхностей оболочки вне временного интервала силового воздействия, /3 -коэффициент температуропроводности, к - коэффициент теплоотдачи, - параметр Био, АТьт = a 6 = km [TQ Т ] , Ikm = / / ЙІП f- Sin dxdy = A , Sfcm = ( )2 + [Ш ) + 0 f + 12(f)2 . An ti Решения неоднородной системы дифференциальных уравнений (1.16) тождественно удовлетворяющих однородным краевым условиям х = 0, ж = а и = 0, Ті2 = 0, w = 0, Мц = 0, у = 0,2/ = 6 -и = 0,Ті2 = 0, if = 0, М22 = 0, (1.19) будем разыскивать в виде сумм двойных тригонометрических рядов с переменными, по временной координате, коэффициентами и(х, уЛ) = У Ukm(t) Sin - COS р km v(x,y,t)= Vkm(t) cos - sin pL (1.20) km w(x, V,t) = Wkm (t) Sin Sin . km Коэффициенты Ukm , A;m , fcra аппроксмирующих рядов (1.20) являются ин тегралами системы неоднородных дифференциальных уравнений ; 2 -і о Ukmitt + (л7Г) Н ( д 2 о Ukm + + v ттта ттта -\ ктТ Vkm + (1 — v)k\2CL Wkm = 0; 2 6 о 1 v (ттта\2 + (Ьг) 2 + 1 + v ттта "у ha2 Vkm + 2 6 g +(1 — iy)ki2akiTWkm = 0; (1.21) U 4 Г Г 9 о 2 2 + 2-а (1 — v)kl2a Wkm+ D 7/ш 2 (ттта\1 — wkm,u + (Ьг) + — gJJ о В 2 2 Ш7га +—а (1 — v)k\2ak KVkm + та (1 — v)kyiaщт = D Do q лСцЬі 2 ктгх\ 2ттгу\ 4-а —— sin sin [Hit — t\) — Hit — 2) + Dab a b a +(1 + v) — h a9km{t)a. 7 2 ґттга\2 (ктт) + ( Ъ как и предыдущем случае с помощью подстановок Ukm(t) = (1 — у)ку2аш (—G dt2m + Ь тФ], Vkm(t) = —(1 — у)куіактт ( G dt2m + ЩтФкт ) , (1.22) Wkm(t) = G 4 r + -Lhm Лm + i (Lkm) , w" dt 2 7 интегрирование системы (1.21) сводится к интегрированию обыкновенных неоднородных дифференциальных уравнений шестого порядка относительно функций
Колебания пологих оболочек (цилиндрической и постоянного кручения) при внезапном воздействии теплового потока
Рассмотрим геометрически нерегулярную изотропную пластину в условиях конвективного теплообмена через основные поверхности с окружающей средой. В некоторый момент времени t\ в точке с координатами (х\,у\) прикладывается сосредоточенная сила q, действие которой продолжается до момента Ї2 . На этом же временном интервале \t i — t\\ происходит скачкообразное изменение температуры окружающей среды на постоянную величину Ту . Предполагается, что пластинка испытывает линейное демпфирование. Ввиду отсутствия внутренних источников тепла температурное поле принимается линейным по толщине h и высоте hi подкрепляющих ребер, расположенных симметрично относительно срединной плоскости пластинки 0(ж, у, z) = во(х, у) + f #і(ж, У,) . Решение несвязной термодинамической задачи сводится к интегрированию сингулярного дифференциального уравнения [18], [58]
Здесь обозначено: - - относительная высота ребер и - 5 [18], УС 1 - коэффициенты теплоотдачи с основных плоскостей пластинки и торцов ребер, Т± - температуры окружающей среды со стороны основных поверхностей, срі(х Хі аі) = Н (х — (XJ — Щ-)) — Н (х — (XJ + Щ-
Совокупность уравнений (2.1), (2.2), (2.3) образует систему несвязной термоупругости геометрически нерегулярной пластинки в рамках модели типа Лява и теории теплопроводности Фурье. Следует отметить, что: 1) если коэффициенты теплопроводности одинаковы, то система сингулярных дифференциальных уравнений (2.2), (2.3) распадается на два самостоятельных уравнения относительно температурных функций 6р(х,у) (р = 0,1); 2) во многих технических приложениях относительная ширина подкрепляющих элементов мала — 0,01. По этой причине в уравнениях системы (2.2), (2.3) на основании гипотезы «сжатых ребер» [117], отсутствия внутренних источников тепла и симметричного расположения ребер относительно срединной плоскости пластинки слагаемые содержащие 6-функции можно опустить [18], [19]. Тогда, при определении температурной функции $i(x,y,t), для пластинки со стороны внешней плоскости которой происходит скачкообразное изменение температуры окружающей среды на малом временном интервале 2 — ti\ 1, следует исходить из уравнения (1.17), решение которого имеет вид (1.18).
1. Решение несвязной термоупругости геометрически нерегулярной пластинки при однородных краевых условиях (шарнирное опирание) ж = 0, х = а : w = 0, Мц = О, в\ = 0; (2.4) у = 0, у = Ъ : w = 0, М22 = 0, в\ = 0; будем разыскивать в виде двойного тригонометрического ряда с переменными, по временной координате, коэффициентами w(x,y,t)= Wkm(t) sin - sin . (2.5) / j ab Коэффициенты Wkm{t), на основании процедуры Галеркина, являются интегралами дифференциальных уравнений d2Wkm № 1 dwkm 9D Hi ,,9 + —rEFт + rtFwkm = aV 7 л Н{ at har Hi = 4——sin -J xsin MI (H(t — t\) — H(t — 2)) + (2.6) 7/1 Hi ab a 1 + v gD 1 H — Lkmaxfkm\t) h hal Hi Здесь обозначено /ттта\2 hiCLi ктгхі 2 ГП7Та ЩЩ 9 Lfcm = (о ) + , НІ = 1 + 2— sin b ha о ґ7П7іа\ 4 Alj aj 2 А-7ГТ ii/j = LL + 2 I ) Ф:ц — — sin —-+ b h a a \2 f1Tl7ia\l I lli\ CL{ о birr +4 (ктг) I1 (1 — v) ФЗІ — —cos —-, (2.7) b h a a При выполнении неравенства 2 gD H i fig 4— (2.8) 7/ш4 ii/j hHi фундаментальная система функций для однородного дифференциального уравнения соответствующего (2.6) запишется Lpkm(t) = e f sin(Kkmt), Lpkm(t) = Є COs(Kkmt), (2.9) здесь / 9 / A i—л\ у 7/m4 у 1Щ 1 9D Н{ ( 29 fa\ 1 _ fig і gJJ .ii оч/і д & 1 /і = Ккт = -—4 7 12(1 — ІУА)— — —к. (2.10) 2 hHi 2 7 з.4 ii/j Е h Hf Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (2.6) запишется в виде Wkm\t) = Сктsiri(Kkmt) + Сктcos(Kkmt)j е м + Акт + Вкте 2 + + у {Dkmi sin(Kkmt) + -D/jTO2 cos(Kkmt) + t?/jTO) -H"(t — ti)+ (2.11) 1=1 + У i ml sin(ifcm) + Fkm2 C0S(Kkmt) + 1(/fcm H(t — ti). Постоянные Dlkml, Dlkm2, i TOi, Flkm2 - являются решениями алгебраических систем Sin(i kmU)Є ltlDkml + COs(Kkmtl)e tlDkm2 = ( — 1) m! (cos(Kkmti)e tl — == sin(Kkmti)e tl) Dkml+ (2.12) + ( — sin(Kkmti)e tl — j — cos(Kkmti)e tl) Dkm2 = 0; sin(Kkmti)e ltlFkml + cos(Kkmti)e ltlFkm2 = —w km ; t=tl (2.13) f1 4 1 / z _ t _ t , 1 / / -Sin(Kfcm )e M - COS(KA;m )e M i m2 = W km t=tl Где обозначено = (—1) + 4 T=T sin - p- sin їїШк w km = Akm + Bkme a 2 , (2.14) J 2 / /+1 \ r-i3 2 Ґ 1 У1+г/ ff-D Lkm грЗ лі \ 1) (1 + VjLkraOLbt (1 , \ L) h yha2 H- km Ahm = , Bhrn = о , (2.15) П, H о I ІЗSkm I M 7 l3Sl,m 7-D ІЇ, 2 ГІГ 2 + 2r г 2 1+г/ ffD Lkm jpl з 1 + іуа ЬктаЩт о fe 7/га2 я. a m Д = 3 az jhtii a ha Hi і і ї fem і km / \ 2 7 rr 2 T 4 a jhtii a ha Hi Постоянные интегрирования Clkm (I = 1,2) определяются из начальных условий, согласно которых при 0 t t\ пластина находилась в покое w = 0, w,t = 0. 2. Задача значительно усложняется в случае неоднородных краевых условий. Предположим, что на краях гладкой пластинки поддерживается постоянный по толщине перепад температуры в\, тогда краевые условия (2.4) перепишутся через функцию прогиба в виде при х = 0,х = а : w = 0,if,и =- аві,ві = в\, (2.16) при у = 0,у = а : w = 0,w,22=-Ц &@1,@1 = @і- (2.17) Температурная функция в\ в этом случае запишется nmy b km в\ (х, y,t) = У І)кт (t) Sin - Sin р + вл , где $km{t) определяется формулой (1.18) в которой, предварительно, подчеркнутое слагаемое следует заменить на К(1(1 l\±km CCLCL (а\ ектп 6——— 6—— + 12 ( — )—в\. A h bkm X h h bkm Определить функцию f(x,y) тождественно удовлетворяющую всем условиям (2.16), (2.17) и искать решение термодинамической задачи в виде nmy b km w(x,y,t)= Wkm(t) sin sin р + f (ж, у) (2.18) не представляется возможным. По этой причине решение будем разыскивать в виде, тождественно удовлетворяющем только условиям (2.16)
Структуру функции w(x,y,t), по пространственным переменным можно считать известной, что дает возможность при определении дифференциальных уравнений для коэффициентов Wkm{t) в аппроксимации (2.19) исходить, при отсутствии ребер, из метода двойных тригонометрических рядов либо, в случае дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами (2.1), обращаться к процедуре Галеркина.
Нагретая геометрически нерегулярная ортотропная пластинка в сверхзвуковом потоке газа
Рассмотрим геометрически нерегулярную пластинку в условиях конвективного теплообмена через основные плоскости с окружающей средой. На краях пластинки, расположенных вдоль координатных прямых х = 0, х = а, действуют температурная и силовая нагрузки [94] ло г (V 2/1 \ ТТ иА)7ЇУ Ш\ ulj ( —, — 1 Н(у — 2/1), М j ( —, — 1 Н(у — 2/1), где f, f непрерывные быстровозрастающие функции и такие что, P L-W1 =0, f \y=yi = 0, (/3 = 0,1; a = 0,1, 2, 3). Полагая, что ширина ребра Ъ\ достаточно малая (у 0,01) и внутренние источники тепла отсутствуют, будем при решении стационарной тепловой задачи, исходить из уравнения для температурной функции 01 (ж, у) в виде (2.3) V 01 — у— + т 01 = тт" (- (ж5У) Т (х,у)) hX hl hX (2.46)
Здесь к - коэффициент теплоотдачи с основных плоскостей; Т+, Т - температуры окружающих сред с внешней и внутренней сторон соответственно.
Сингулярное дифференциальное уравнение термоупругости ребристой пла стинки запишется д W 5 W \7 \7 w + рі —гд(у — г/2) + Р2 7)7Г дхА дгхду У=У2 ay h о о Здесь w(x,y) - функция прогиба; /Зі = &і (-г) Фчі ; /Зо = 2(1 — z/)&i (-гЛ Фчі . Пусть на краях ж = 0, ж = а поддерживается заданная температура @і = і/ Т IT ( / ) (2.48) Решение дифференциального уравнения (2.46), тождественно удовлетворяющее граничным температурным условиям (2.48), будем искать в виде /С7ГЖ v л 7ТХ по г У Ш 01 = у Oik sin h б і / -, — Н[у — у\). 2-— a о о (2.49) При Т = const, Т+ = TQ Н{у — уо), что соответствует одному температурному «скачку» над внешней поверхностью пластинки, коэффициенты тригонометрического ряда (2.49) являются решениями неоднородных дифференциальных уравнений d29ik S а\ І0 f ттґ 1 Т акГо \У Уі) о о ау1 а dy2 а2 Здесь — параметр Био. В = 6 a2 к л п ОлО г 2/ Ш 6 6 1 на a c/i/j = Вак01 j -,Y JJ (2/ — 2/1) n , 1 на a б такТс\B{y — 2/о) т + 6——акТ X h аг X h аг 2 9 каа a Ьк = (ктг) + 6—— + 12 — X h h 2 + каа\ 0 2(1 —cosA;7r) на Qij —— ктг X A h (2.50) Замкнутые интегралы уравнения (2.50) определяются по той же схеме [12], [15], и при г (У Ш\ (У Уі\2 /(—, — ) = ( — 1 о о Ь о температурная функция Gi преобразуется к виду / v / vi v 9 -v жа а Сії л-г, ві(ж,у) = ( Се + Се fc - 6 —-—Т + 2-— X hbj, Гі А (У У\\2 1 + —]ЛУі Уі)Ако + Ди (і г ) + о JJ (і/ — 2/1)+ 2 Ъ Ъ Г 1 Л , Д . кіІХ ПГ) (У Уі\2 ттґ +6/1 1 jk(y yo)H{y — yo)sm Ь 6л I — ) Н{у — уі), (2.51) 2 a b b где T V -Yl -Y Yl лг S k y ,,/ S&Y/ jk = eke k + e fce fc; V& = ; Jjt; = U = 0,1); a a нааа\ , т-,лОа ґа\2 аї no ґ В\ 1/г = 6— 77 9-М) ! 2 = B0l— ] Afro = 2 І — 1 7У? 1 1 — 7У7 X hbj: bf. b bf bf Постоянные интегрирования С1, С2 определяются из температурных граничных условий на двух оставшихся краях пластинки, которые в силу непрерывности функции 01 в угловых точках запишутся в следующем виде: при у = 0 і = 0; при у = Ь 01 = сЛч 1 — 4і . Система линейных неоднородных уравнений для С1 и С2 имеет вид: С + 6 = б———wT ; Л h Ьк 6еа+6е а= б— — —ттТ — А до); ( -і о\/-і \ І,. ч Л 2/А , \ / 1 о п \n n \ Jk\Pi yijAkO + Ak2 I 1 Г ) + 0 — Jk[pi Уо)"ік + С І/г 2 о 2 Решение неоднородного сингулярного дифференциального уравнения (2.47) при шарнирном опирании краев, расположенных по прямым х = 0, х = а: М (у ух \ 1 + v 0 /у yl \ if = 0, if ,22 = / 1 Т г ) "(У Ш) —a i J Tir ) ti{y — уі), (2.52) D b b h b b будем разыскивать в виде s kirx W(X,y) = У Iffc(у) Sill h A; a IM h /у у\\ ттґ л0 (у у\\\ (х х\ -\— / І —, — 1 Н (у — у і) + (1 + i/)aulj І —, — 1 х а,- (2.53) 2h D о о о о J а а1 Коэффициенты тригонометрического ряда (2.53), при j (, у J = ( — у J определяются как замкнутые интегралы сингулярных дифференциальных уравнений i Wk і ктт\ dwk f ктт\ (кіт \ — 2 + М/с + Pi wkHy — У2) ay4 а ay1 а а 2 a ктт dw — р і d5(y — У2) /З2 „ ()d5(y — У2) і = г ак і 7+ a dy dy h dy b У=У2 о -і -і -1 fa\ K(1 0 m- 1 1 1 a / 1 2 - \ 1 +6(1 + v) I — 1 -—aka± —г — 1 — — (1 — v)B—a I 6 e ь + 6 e ь 1 у— \h X k a h a6 /1 + v a . a , o\ (У Уі\2 — ( B—jk(y,yi)aAko — Bail + v)— (A + ct,j ) I -. у) + b h b b A h k u h a3 Здесь F = —p— fx- — тО + 2(1 + ї/)ав9 (Щ- — Щ-) . D b b / J- о 0 Фундаментальная система функций {V md/)} для однородного сингулярного дифференциального уравнения, соответствующего уравнению (2.54), запишется на fa\2 0 , a \ 1 +6(1 + z/)—— I — 1 aka±Q — (1 + v)B—aAko — H(y — y\). (2.54) A h h a6 К 4 \ І У Cn(pkn(y) {Ркт{У2) п=\ Фкт(у) = tpkm(y) + / CnLpkn{y) {Ркт{У2) Н{у — /2)+ К 4 \ І n=l +кті Cn(fikn(y) fcmd/2) H{y — y2)i (2.55) n=i J где і (fikm(y) Г sn —, en —, — sn —, — СП — , ГП = 1, 2, 3, 4.
Отметим, что коэффициенты при функциях Хевисайда, в (2.55) обращаются в нуль в точке вместе со своими производными соответственно до третьего и второго порядка включительно.
Окончательно структура функции Wk(y) примет вид 4 Г Г/ 4 \ 1 wk(y) = / Cm (Pkm(y) + / CnLpkn{y) {Ркт{У2) H{y — 1/2)+ m=l n=l J К \ll 1 У Cn(pkn(y) (Pkmiyz) H(y — У2) + n=l + 4 4 m=i _=i , т ч/ кУ1 Г/ кУі (Ркт\У2) + J-) \Є а + D 2Є а + D з + + +6(1 + v) Г 4 Е m=i / РҐ. SkV2 : SkV2 П (Ркт\У2) + -Ь іЄ а + /J 2Є а + JJ 3 + ал 2 на а, аТ 7У7 1 аН{у — 2/2)+ Д Л (о )4 о [У Cm(pkm(y) 7Г / (С m=l т=1 (!) кУі ( і + D \ ) + С т (р\Л1(у2) + 5/г -D l + -D l Є а — Ы , n 7-4/ 7 - 2 о.— /г/2 2/i\ —D& D 2 + D 2 e a + 2—D 3 I — 1 aniy — у2)+ b b b + aH(y — 2/2)+ J25 km m=\ (2.56) + где + Г 4 E6 m=i Г 4 E с m=l Wkm(y) + D \e + D 26 + D;3 aH(y — 2/o)+ u\ $кУ2 $кУ2 м 2/2 2/1 fkmiy) + -0 іе "а + D e "а + D;3 — т + D аН(у — у\)+ b b a\2 жа а? 1 +6(1 + v) к т— -л h л (ктгр Ьк 1 і SLV \ L-\-V па„, д „ lsdLL 1 і SLV \ L-\-V DOnJ „ B x rv 2 /1 iv 9 —— D/ 2 h LJ 1 —— (5 1 — (ктг)2) (S2 — (ктг)2) —7Г- -ОтСК/іЄ а B Я а\2 В/ гу 2 h h 2 h h — Вк = —(1 + v)B—oiAk2 — (1 + v)B(iQl—akl D (br)4 1+г/а па Л ifcW (Sl-(fc7T)2) + 4 — (far)4 Ы (kirf л Вт(іО\кЄ а (SI-(ктг)2) 2 D 1/г аб» (ктг] із/г = 6(1 + v)—— I — 1 aka±Q — (1 + v)B—aAkQ. л h h В (2.56) С т - постоянные интегрирования; Czm, С т, Сът, Ст, Ст - решения неоднородных алгебраических систем, полученных при формировании частного интеграла неоднородного сингулярного дифференциального уравнения (2.54):
Основные уравнения осесимметричной термоупругости композиций из оболочек вращения в перемещениях
В этом параграфе интегрирование сингулярных систем дифференциальных уравнений сводится к интегрированию уравнений связанных в систему через условия сопряжения, что позволило стандартным образом определять фундаментальные системы функций и записывать решения сингулярных дифференциальных уравнений в замкнутом виде, чрезвычайно удобном для количественного и качественного анализов.
При определении замкнутых интегралов уравнений использовались структуры аналогичные (3.1).
Уравнения статики осесимметричного безмоментного состояния оболочек вращения произвольного очертания имеет вид ( ( \fG22T ) ,i — ( v G22 ) ,i Т ) = —qi] VG11G22 1 В дальнейшем будем рассматривать случай, когда композиции из оболочек вращения деформируются нагрузками, вызывающими только тангенциальные усилия
Когда композиция сфера-конус находится под действием линейного температурного поля по переменной ( 9\
На рисунках 3.10, 3.11 приведены изображения тангенциальных усилий для композиции сфера - конус. Композиция находится под действием внутреннего давления q:i = 1 кг/см . Рисунок 3.10 соответствует «холодной» композиции, ри сунок 3.11 - композиции под действием температурного поля Оо(в) = вп (і ) .
Введем в рассмотрение дополнительную нормально распределенную нагрузку интенсивности q в области сферы q {9) = q{l — Н{6 — 91)). На рисунках 3.12, 3.13 приводятся кривые изменения усилий Т11 и Т22 путем изменения интенсивности дополнительного давления q = q% на сфере, что обеспечивает безмоментное состояние композиции в целом.
В случае композиции из трех элементов сфера - цилиндр - сфера под действием внутреннего давления q% уравнения преобразуются к виду dTn + 2 ctg с/ + (0 — 2ctgO)H(0 — 0\) + dQ 37Г 22 \\ + — 4tg 20 — 0 H{6 — O2) T = (3.62) лхттґп л л 37г = дз ctg с/ + (0 — ctgOjHiO — 0\) + —2ctg 2t/ — 0 H(0 — 62) ; T = — (1 + (0 — 1)H(9 — 6\) + (1 — 0)H(9 — 62)) T + q R. Решение первого уравнения системы (3.62) в этом случае примет вид: Т = С — —Ь 1 — 2 ( $i)+ sin # sin # / 1 \ , Д З-R / 2 л + 2 \ Н\в — V2) ) (Ctg U + sin 29 2 1 QsR + О — ctg 0 Н{в — в і) + 2 ctg 26 — О Н{6 — 62) После ряда преобразований решение системы перепишется ill QsR 22 3-R Т = (1 + (2 — 1)Н(в — в і) + (1 — 2)Н{9 — 62)). Отметим, что полученные решения на основе континуальной модели в случае композиции из трех элементов сфера - цилиндр - сфера полностью согласуются с результатами, приведенными в книге [104] академика В.В. Новожилова.
Анализ замкнутых интегралов сингулярных дифференциальных уравнений осесимметричного безмоментного состояния композиций обнаружил локальные нарушения безмоментного состояния на линиях искажения, которые проявляются в виде разрывов первого рода усилий Т22 при в = в\. Этот факт является причиной скачкообразного поведения одной из главных кривизн обобщенной срединной поверхности композиции. Графики тангенциальных усилий Тп (г = 1,2) приведены в приложении Ж.