Содержание к диссертации
Введение
1 Состояние термоупругого тела в окрестности углового выреза 12
1.1 Асимптотическое решение в окрестности углового выреза 12
1.1.1 Окрестность ребра границы крепления накладки 12
1.1.2 Антиплоская деформация 15
1.1.3 Плоская деформация
1.2 Прочность с позиций механики разрушения 32
1.3 Проблема вычисления КИН
1.3.1 Методики вычисления КИН 39
1.3.2 Метод вычисления КИН на основе теоремы взаимности работ 46
1.3.3 Определение КИН как самостоятельных неизвестных 50
2 Расчет кин для модельных задач 54
2.1 Особенности программной реализации 54
2.2 Угловой вырез в однородном материале 55
2.3 Угол вблизи границы двух материалов 60
2.4 Трещина при плоской деформации 67
2.5 Прогнозирование прочности соединений внахлёстку 71
3 Оценка прочности крепления облицовки энергетической установки 81
3.1 Исследуемые макеты 81
3.2 Термонапряженное состояние макета 82
3.3 Применение модели входящего угла з
3.4 Влияние дополнительных разрезов 93
4 Накладки 99
4.1 Модель термоупругого слоя 99
4.2 Плоская деформация упругого слоя 103
4.3 Модельные задачи
4.3.1 Равномерно нагретая накладка на жестком основании 106
4.3.2 Соединение внахлёстку ПО
5 Пластины 115
5.1 Введение 115
5.2 Асимптотическое решение трехмерной задачи термоупругости
5.2.1 Внешнее разложение 116
5.2.2 Внутреннее разложение 121
5.2.3 Результаты 132
5.3 Термоупругая биметаллическая пластина 133
Заключение 139
Список литературы
- Антиплоская деформация
- Угловой вырез в однородном материале
- Применение модели входящего угла
- Равномерно нагретая накладка на жестком основании
Введение к работе
Актуальность темы.
Конструктивные элементы в виде накладок и облицовочных пластин широко распространены в современных технике и строительстве. При проектировании, монтаже и эксплуатации таких элементов основной интерес обычно вызывает состояние границы между накладкой и основанием и, в особенности, края этой границы. Именно зона интерфейса, как правило, определяет прочность крепления облицовки и работоспособность всей конструкции.
Напряженно-деформированное состояние (НДС) материала вблизи границы прилегания накладки к основанию сильно отличается от состояния в глубине накладки и зависит от способа ее крепления (клеевое соединение, сварка, пайка и т.д.). Концентрация напряжений вблизи интерфейса и, в особенности, на границе зоны контакта накладка/основание делает актуальным применение специальных моделей, позволяющих работать с сингулярными полями напряжений и деформаций. Такую роль, например, играет модель входящего угла — секториального выреза в упругом пространстве с нагрузками на бесконечности — естественного обобщения на случай окрестности угловой точки модели разреза-трещины в классической механике разрушения. Эта постановка востребована во многих задачах механики и область ее применения определяет специфику структуры входящего угла.
Цель работы
Анализ НДС и оценка прочности конструкционных элементов в виде облицовки, накладок и пластин в условиях силовых и тепловых воздействий методом расщепления пространственной задачи с выделением сингулярностей.
Задачи исследования
1. Определение параметров асимптотического НДС окрестности края интерфейса накладка/основание как линейно-упругого входящего угла. НДС в этом случае задается асимптотическим решением фиксированной
структуры и обобщенными коэффициентами интенсивности (КИН), зависящими от состояния исследуемой конструкции в целом.
2. Разработка методики вычисления обобщенных коэффициентов интенсив-
ности асимптотического НДС входящего угла при силовых и температурных воздействиях и ее программная реализация.
3. Вычисление параметров асимптотического НДС на границах интерфейса
облицовка/основание первой стенки токамака для последующей оценки прочности ее крепления.
4. Построение и анализ модели термоупругой накладки как альтернативного
подхода к исследованию прочности крепления тонкой облицовки.
5. Вывод и решение уравнений пластин со структурой для обработки экспери-
ментальных данных.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Вариант метода вычисления обобщенных КИН для области с входящим
углом на основе теоремы взаимности работ. КИН находится по результатам конечно-элементного моделирования с учетом как механических, так и тепловых воздействий.
2. Методика и результаты исследования прочности крепления облицовки
макета фрагмента первой стенки токамака на основе анализа обобщенных КИН на краю интерфейса облицовка/основание.
3. Модель термоупругой накладки с учетом поперечного обжатия, построенная
вариационным методом.
4. Асимптотический алгоритм расчета НДС слоистых пластин для обработки
экспериментов.
Методы исследования
Результаты работы получены на основе применения математических методов теории упругости, основных положений линейной механики разрушения с использованием пакетов компьютерного моделирования Matlab, Mathematica и САЕ-системы ANSYS.
Научная новизна
1. Предложен метод расщепления с выделением сингулярностей для расчета
НДС конструкций с концетраторами в виде входящего угла.
2. Разработан алгоритм определения КИН для области с входящим углом на
основе теоремы взаимности работ с учетом температурных воздействий.
3. Построена методика оценки прочности крепления бериллиевой облицовки
первой стенки токамака на основании асимптотических формул линейной механики разрушения.
4. Создана модель термоупругой накладки, позволяющая оценить прочность
прилегания накладки к основанию в терминах сосредоточенных сил.
Достоверность научных результатов
Достоверность результатов обеспечена строгостью применяемого математического аппарата, сравнительным анализом решений, полученных автором, с результатами описанных в литературе экспериментов, использованием средств компьютерной математики и САЕ-системы ANSYS.
Практическая ценность
Изложенный подход позволяет прогнозировать предельные нагрузки на конструкционный элемент на основании результатов калибровочных экспериментов, что дает возможность сократить объем натурных экспериментов.
Апробация работы.
Результаты работы докладывались на
-
объединенном семинаре СПбГУ и ПГУПС «Компьютерные методы в механике сплошной среды» в Санкт-Петербургском государственном университете путей сообщения (СПбГУПС), (2011),
-
международной конференции 13-th International Workshop on Plasma-Facing Materials and Components for Fusion Applications and 1-st International Conference on Fusion Energy Materials Science (PFMC-13/FEMaS-l, Rosenheim, 2011),
-
70-й (2012) и 71-й (2013) конференциях «Научно-методическая и научно-исследовательская конференция, Московский Автомобильно-дорожный Государственный Технический Университет (МАДИ)»,
-
семинаре по прикладным задачам механики в Институте Проблем Машиноведения РАН (ИПМаш РАН), (2014),
-
семинаре академика Н. Ф. Морозова в Институте Проблем Машиноведения РАН (ИПМаш РАН), (2015).
Публикации
Основные результаты исследований опубликованы в 8 работах, в том числе в 3-х, изданных в журналах из списка ВАК РФ, 1 — в иностранном реферируемом журнале.
Структура и объем диссертации
Работа изложена на 140 машинописных листах, состоит из введения, 5 глав и заключения, содержит 59 рисунков и 2 таблицы. Список цитируемой литературы состоит из 103 наименований.
Антиплоская деформация
При рассмотрении сингулярного в рамках линейной теории упругости НДС окрестности края интерфейса облицовка/основание можно выделить, как минимум, две предельные конфигурации: модель изолированного ребра (см. рисунок 1.1 (а)) и щель между соседними элементами облицовки (рис. 1.1(6)). В случае изотропных материалов асимптотическое решение такой постановки есть суперпозиция состояний плоской и антиплоской деформации, что позволяет использовать модель двумерного входящего угла — упругого сектора с нагрузками на бесконечном удалении от угловой точки. При построении сингулярных членов асимптотики объемные нагрузки не рассматриваются — их влияние может быть учтено в ограниченных поправочных членах. Радиальные поверхности сектора также свободны от нагрузок (но возможны постановки с неоднородными силовыми или кинематическими условиями, см., например, [1, 2, 89, 90, 93]). Задача сводится к нахождению решения однородной системы уравнений теории упругости с заданными условиями на радиальных поверхностях. Допустимая степень сингулярности определяется требованием ограниченности энергии упругой деформации в окрестности угловой точки:
Одними из первых работ, посвященных систематическому изучению такой постановки были, по-видимому, статьи Вильямса, например, [98]. В этих и последующих работах задача сводится к поиску решений вида u = Krx+1U(9), т = КгхФ{9), (И) где и — вектор перемещений, т — тензор напряжений, г я 9 — полярные координаты в плоскости, перпендикулярной ребру, начало координат находится в угловой точке, Ф и U — ограниченные функции в. А, Ф и U определяются из условия нетривиальной разрешимости системы алгебраических уравнений, вытекающих из граничных условий на радиальных границах выреза и требований непрерывности на линиях раздела различных материалов. При этом Л есть корень некоторого характеристического уравнения, а Ф и U определяются соответствующим собственным вектором. В общем случае А = + irj — комплексное число и вещественные выражения для пит вместо гЛ содержат r cos(rj6) и r sm(r)9). Условие ограниченности энергии деформации и требование сингулярности решения устанавливают диапазон допустимых показателей степени
Изучению характера асимптотического решения для конкретных конфигураций входящих углов, как в плоской, так и в антиплоской постановках, было уделено много внимания в литературе. При этом усилия, по большей части, были направлены на рассмотрение более сложной, но и более практически значимой плоской задачи. В качестве основных подходов к ее решению можно выделить разделение переменных в постановке с функцией Эри [40, 56, 57, 62], применение потенциалов Колосова-Мусхелишвили [15, 53, 93] и преобразования Меллина [23, 37,64].
Среди всевозможных конфигураций особый практический интерес представляет случай «биматериального» или «двухсекторного» угла — входящего угла, состоящего из двух секторов с различными упругими модулями. Поведение корней характеристического уравнения для этого случая в условиях плоской задачи подробно описано в статьях [64, 93]. Показано, что для многих конфигураций возможны как комплексные, так и вещественные Л в зависимости от соотношения упругих модулей секторов.
В работе [62] аналогичные вычисления выполнены для области, моделирующей трещину, упирающуюся в интерфейс (рис. В. 1(B)) В условиях как плоской, так и антиплоской деформации. Было показано, что в рамках плоской задачи при малых (3 сингулярность обеспечена парой комплексно сопряженных Л, при увеличении угла переходящих в пару вещественных корней. В случае же антиплоской деформации наиболее сингулярный Л — всегда вещественный.
Характеристическое уравнение для модели биматериального угла общего вида приведено в [57, 93]. Использование параметров Дандерса [59] позволяет записать его максимально кратко.
В работе [56] указаны необходимые условия возникновения сингулярности вида гЛ In г. Такие решения оказываются возможными в случае кратных Л и, как правило, при неоднородных условиях на границах угла. Примеры решений с логарифмическими особенностями в явном виде для двухсекторного угла представлены в статьях [53, 80].
Более полный список публикаций по этой теме можно найти в обзорах [89, 90], посвященных сингулярным задачам линейной теории упругости. Последовательное и максимально формализованное изложение многих постановок в рамках плоской и антиплоской деформации с использованием преобразования Меллина представлено в монографии [23].
Угловой вырез в однородном материале
Недостаток этого метода тот же, что и в методе экстраполяции: необходимость максимально точно вычислять НДС вблизи угла. Поэтому особую ценность приобретают инвариантные интегралы, позволяющие определять КИН на некотором удалении от угловой точки и на относительно грубой сетке. В механике разрушения известен J-интеграл Раиса:
Контур С охватывает вершину трещины, начинаясь на одном ее берегу и заканчиваясь на другом. Трещина проходит вдоль луча в = ±7г, объемные силы и поверхностные нагрузки на берегах разреза отсутствуют: При этих условиях J = G для любого контура, охватывающего вершину трещины. Однако это свойство независимости J от выбора контура С теряется в случае углового выреза. В работе [69] (другим способом в — [27]) был получен М-интеграл, лишенный этого недостатка:
Независимость М-интеграла от выбора контура может быть доказана преобразованиями, аналогичными изложенным в [7] для случая J-интеграла. Если С — замкнутый контур, не содержащий угловой точки, то (1.71) преобразуется в двойной интеграл с помощью теоремы о дивергенции:
После некоторых преобразований с учетом выполнения в S уравнения (1.70), находим, что подинтегральное выражение равно 0.
Рассмотрим два контура Сі и С2, начинающиеся на одном берегу выреза и заканчивающиеся на другом. Образуем замкнутый контур, соединив концы Сі и С2 отрезками границ угла. М-интеграл на замкнутом контуре равен 0. Так как границы угла свободны от нагрузок, интеграл на них также 0. С учетом направления нормалей на Сі и С2 получим: М(Сі) — М(С2).
В работах [65, 73] М-интеграл применен для определения КИН в окрестности угловой точки. Для этого рассматриваются два состояния А и В, удовлетворяющие уравнениям теории упругости без объемных сил и поверхностных нагрузок на сторонах выреза. Введем состояние С — суперпозицию А и В. В этом случае МС = МА + МВ + МАВ, где Мд, MB, МС — М-интегралы соответствующих состояний, МАВ — образован перекрестными членами: МАВ = J {тА-вп - п- (rA-Vu% + тв- Vuj)) -rdl. (1.72) с Этот интеграл также не зависит от способа выбора контура и может быть использован для вычисления КИН.
Рассмотрим в качестве состояний А и В однородные решения задачи об угловом вырезе, соответствующие собственным числам ХА И ХВ. Состояние А задается формулами: иА = гХА+1иА(Є), тА = гХлТА(0), состояние В — аналогично. В качестве контура С возьмем дугу окружности радиуса R. МАв приводится к виду МАВ = RXA+XB+2IAB, где ІАВ — интеграл, не зависящий от R. ІАВ — 0 В силу независимости МАВ ОТ R всегда, за исключением случая: АА + Ав + 2 = 0. (1.73)
При получении этого соотношения ХА И ХВ считались вещественными, но результат верен и для комплексных собственных чисел (см. [65]).
Это свойство интеграла (1.72) позволяет определять Кк для решения (1.62) -(1.63) если для Хк существует соответствующее А ., связанное с Хк условием (1.73). Достаточно к решению (1.62)-(1.63) и решнию, соответствующему А. применить (1.72), чтобы получить Кк, умноженный на некоторое постоянное число. Легко заметить, что А . есть корень характеристических уравнений (1.41) или (1.47), если Хк — корень, поэтому необходимое решение для рассматриваемых конфигураций всегда существует. Кроме этого, в работе [65] из энергетических соображений сделано заключение о существовании А для любых Afc в случае углового выреза общего вида. 1.3.2 Метод вычисления КИН на основе теоремы взаимности работ
Рассмотрим окрестность входящего угла, ограниченную контуром L и границами сектора (рисунок 1.5). В области реализуется плоская деформация с полями перемещений и и напряжений т, объемными силами / и поверхностными р. НДС таково, что при приближении к углу оно определяется асимптотическими формулами с неизвестным КИН: u KU: т КТ, (1.74) где U и Т — асимптотические решения, соответствующие наименьшему на интервале (—1;0) собственному числу Л. Они определяются, соответственно, формулами (1.33) и (1.32), в которых Аа\Ви заменены на компоненты нормированного вектора Y.
Формула (1.79) может использоваться для определения КИН. Для вычисления по ней необходимо знать поле перемещений и, создаваемое приложенными нагрузками. Это поле может быть найдено методом конечных элементов. Асимптотические решения U и Т полностью определяются геометрией и свойствами материала окрестности угла. Точное значение КИН может быть достигнуто при а —» 0: только в этом случае условие (1.77) выполняется точно. Этот подход использован в [91] для вычисления КИН трещины. В работах [45, 47] он был обобщен на случай углового выреза и получил название reciprocal work contour integral method (RWCIM), в последующих публикациях широко используемое. Аналогичные построения представлены в статьях [43, 81]. В отличие от изложенного выше решения в этих работах в качестве состояния 2 берется
Применение модели входящего угла
По результатам расчетов можно заключить, что предпочтение следует отдавать небольшим и тонким плиткам: они обеспечивают меньшую величину КИН при той же температуре на поверхности бронзы. Из рассмотренных вариантов наиболее удачная конфигурация — макет со способом укладки 2 и толщиной плиток 6 мм. Примечательно, что особенности конфигурации надрезов в способе укладки 2 заметного влияния на К не оказывают: характер распределения К между разными типами плиток одинаков.
Для дополнительной оценки влияния надрезов на прочность макета была также рассмотрена модификация способа укладки 1, изображеная на рис. 3.12. Вся поверхность плиток такого макета покрыта равноотстоящими разрезами (пунктирные линии) глубиной 6 мм и шириной 1 мм, толщина плиток — 8 мм.
Распределение температур во фрагменте, найденное с помощью МКЭ, представлено на рис. 3.13. Добавление разрезов несколько снижает максимальные температуры, как в образце целиком, так и в гипервапотроне. Качественных изменений поле температур не претерпевает: наиболее нагретой вполне ожидаемо остается верхняя плоскость облицовки. В бронзовой части температуры максимальны на границе с облицовкой на наиболее удаленном от срединной плоскости ребре. Распределение нормы Мизеса в макете фрагмента без разрезов (слева) и с разрезами (справа). Шкала приведена к интервалу от 0 до 175 МПа, что соответствует пределу текучести бронзы, применяемой в исследуемых макетах. Области серого цвета соответствуют значениям, превышающим 175 МПа. При анализе таких распределений следует обращать внимание на серые области в первую очередь в бронзе. Бериллий и сталь имеют более высокие пределы текучести и, по-видимому, в процессе эксплуатации испытывают лишь упругие деформации.
Добавление разрезов существенно уменьшает площадь областей, в которых предел текучести бронзы превышен и локализует их в окрестности ребер плиток. Это особенно хорошо видно на распределении нормы Мизеса в бронзе на рис. 3.14в-г. Глубину проникновения таких областей внутрь фрагмента можно оценить по рис. 3.14д-е. На нем изображены распределения нормы Мизеса в сечении плоскостью, параллельной yz. Видно, что при добавлении разрезов серые области локализованы вблизи внешней границы макета.
На рис. 3.15 приведены распределения вертикальных перемещений иу (деформации на рисунке увеличены в 13.4 раза). Фрагмент с разрезами оказывается существенно менее «изогнутым»: максимумы перемещений иу в серединах образцов с разрезами и без разрезов равны, соответственно, 0.58 и 0.85 мм. Это, по-видимому, обусловлено меньшей жесткостью плиток при наличии разрезов.
Таким образом, добавление разрезов незначительно снижает температуру (на 5-10 градусов) на границе бериллий/бронза, однако позволяет существенно уменьшить площадь областей высоких напряжений и локализовать их в окрестности углов облицовки.
Влияние разрезов на КИН в окрестности ребра облицовки было исследовано на примере ребра 2L. На рис. 3.16 приведены распределения температур вдоль ребра 2L в обоих образцах. Как и раньше, координата z = 0 соответствует плоскости симметрии образца, на краю макета z = 25 мм. Видно, что разрезы незначительно влияют на распределение температур на границе бериллий/бронза: температуры в соответствующих точках ребра отличаются не более чем на 10 С. При этом, как показывают расчеты, показатель степени асимптотических формул меняется в пределах 0.03% по отношению к величине в образце без разрезов. Это позволяет говорить о неизменности с приемлемой точностью параметров асимптотических формул при добавлении разрезов и корректности сравнения состояний по величине КИН.
Этот результат, как и результаты предыдущего параграфа, качественно согласуется с выводами, полученными в [77]. В этой работе на основании усталостного анализа и экспериментов по циклическому тепловому нагружению макетов делается заключение о предпочтительности использования плиток небольших поперечных размеров.
Равномерно нагретая накладка на жестком основании
В отличие от работ [28, 54, 55], где внимание уделено построению составных разложений произвольного наперед заданного порядка точности, материал настоящей главы ограничен получением в явном виде главного члена внешнего разложения. Это, однако, не исключает необходимости анализа соотношений для поправочных членов: из условий разрешимости для них следуют уравнения для нахождения главного члена. Внутреннее разложение определяется только в той степени, в какой это необходимо для постановки граничных условий для уравнений внешнего разложения. При этом в качестве исходной трехмерной постановки с малым параметром выбрана система уравнений термоупругости в напряжениях (в процитированных выше работах используются уравнения в перемещениях). Такая постановка представляется более удобной в случае, когда на боковой поверхности пластины заданы силовые граничные условия.
Формальный параметр Л, характеризующий малость толщины пластины, введем в выражение радиус-вектора следующим образом:
Это позволяет уже в главном члене разложения учесть влияние всех воздействий и обеспечить максимальную общность решения. Функции T,f,fz не зависят от Л, что соответствует медленному изменению этих величин в плане и быстрому — по толщине пластины.
Граничные условия на контуре пластины не выписаны. В общем случае с помощью основного разложения они не могут быть выполнены и при его построении непосредственно не используются. Их вид будет конкретизирован в 5.2.2.
При выбранном виде нагрузок (5.6) для получения непротиворечивых результатов асимптотическое решение следует строить в виде:
Подстановка (5.7) в уравнения (5.1) и группировка слагаемых при одинаковых степенях Л позволяет определить коэффициенты разложений. При этом главный член, как правило, окончательно находится только из условий разрешимости для поправочных членов.
Анализ уравнений баланса импульса определяет вид главного члена тензора напряжений: Граничные условия (5.4), которым должны удовлетворять t и az дают два дополнительных соотношения для т 0 : Для получения этих результатов потребовалось рассмотреть уравнения при трех старших степенях Л. Коэффициенты при последующих степенях не представляют интереса, так как не дают новой информации о главном члене.
Как многократно отмечалось в литературе, в главном члене разложения находит подтверждение гипотеза об «основных» и «второстепенных» напряжениях:
Асимптотический анализ уравнений совместности (5.3) уже на первом шаге дает все ограничения на главный член разложения (предварительно в (5.3), в соответствии с (5.5), необходимо заменить dz на A_1dz):
Найденные из (5.15) w и v полностью определяют главный член асимптотического решения трехмерной задачи и позволяют вычислить все компоненты тензоров напряжений и деформаций: ёг находится из (5.11) , т — из (5.14), из
(5.8) могут быть найдены «второстепенные» напряжения t и az . Главные члены "у и z могут быть найдены из закона Гука трехмерной задачи (5.13).
Уравнения (5.16) и (5.17) соответствуют кинематической гипотезе Кирхгофа: нормальный к срединной плоскости элемент остается нормальным и в деформированном состоянии. Вследствие этого напряжения в плоскости т 0 распределены линейно по толщине. В отсутствие объемных нагрузок компоненты t и а\ — полиномы z 2 и 3 степени соответственно. Эти классические результаты оказываются справедливыми в главном члене для случая произвольной неоднородности и анизотропии материала.
В общем случае (5.15) — связанная задача растяжения и изгиба, разделяющаяся, в частности, при {4Dz) — 0. Это условие будет выполнено, например, в случае, когда упругие модули материала — четные функции z.
Компоненты тензора 412 могут быть найдены из системы линейных алгебраических уравнений:
Здесь и далее индексы, обозначенные греческими буквами, принимают значения 1,2, латинскими - 1,2,3. Тензор податливостей 4S_ связан с тензором жесткостей трехмерной задачи 4С аналогичными соотношениями:
С помощью этих систем компоненты тензора 41? могут быть выражены через жесткости трехмерной постановки. Для достаточно широкого класса материалов эта зависимость может быть легко представлена в явном виде. Это материалы с моноклинной структурой, когда плоскость материальной симметрии параллельна ху. В этом случае С3с 7 = С3зза = 0 и можно выделить подсистему
При построении внешнего разложения граничные условия на боковой поверхности не использовались. В общем случае с помощью внешнего разложения они не могут быть выполнены. Вблизи боковой поверхности решение должно описываться другим разложением: внутренним или погранслоем.