Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор теоретических исследований нелинейного флаттера прямоугольных пластинок 9
1.1. Вводные замечания 9
1.2. Общая постановка задачи 10
1.3. Математическое моделирование течения потока 10
1.4. Математическое моделирование деформирования пластинки 13
1.5. Методы решения задачи 15
2. Математическая модель нелинейных колебаний прямоугольной пластинки в потоке газа 23
2.1. Постановка задачи 23
2.2. Метод прямых .27
2.3. Решение линейной краевой задачи для прогиба пластинки .31
2.4. Решение линейной краевой задачи для перемещений в нейтральной плоскости пластинки .38
2.5. Выводы 42
3. Флаттер пластинок, закрепленных по всему контуру .43
3.1. Предварительные замечания .43
3.2. Квазистатическое деформирование пластинки .43
3.3. Свободные колебания пластинки .50
3.4. Вынужденные колебания пластинки 52
3.5. Сопоставление с экспериментами Г.Н. Микишева .57
3.6. Флаттер пластинки, нагруженной постоянной поперечной нагрузкой 62
3.7. Выводы 65
4. Флаттер консольно защемленных пластинок 67
4.1. Предварительные замечания .67
4.2. Результаты линейного анализа 68
4.3. Расчет квадратной пластинки (область I) 71
4.4. Расчет пластинки малого удлинения (область II) .75
4.5. Выводы .84
Заключение 86
Приложение. Дифференциальные уравнения задачи и естественные граничные условия 87 Литература
- Математическое моделирование течения потока
- Решение линейной краевой задачи для прогиба пластинки
- Свободные колебания пластинки
- Расчет квадратной пластинки (область I)
Математическое моделирование течения потока
При построении математической модели обтекания в данном случае исследователь приходит к необходимости решать задачу обтекания поверхности сверхзвуковым потоком. При этом, вследствие малого удлинения пластинки (отношения характерного размера в направлении, перпендикулярном потоку, к характерному размеру вдоль потока) задача становится трехмерной. Обтекаемая поверхность, вследствие колебаний пластинки, не является плоской. Поэтому возможен и отрыв потока, и образование значительных турбулентных зон. Колебания пластинки в потоке газа далеко не всегда можно считать стационарными, что еще больше усложняет задачу. Поэтому при решении задач о флаттере принимаются те или иные допущения. При этом, конечно, более простые модели обтекания позволяют использовать более сложные модели деформирования пластинки, и наоборот, применение сложных моделей обтекания предполагает использование простых моделей деформирования пластинки.
Исторически первой математической моделью обтекания колеблющейся пластинки сверхзвуковым газовым потоком является поршневая теория (теория поршня) [8, 15]. Теория основана на ряде допущений, в результате применения которых оказывается, что поперечное течение газа, обусловленное колебаниями пластинки, подчиняется тем же закономерностям, что и течение газа в трубе при перемещении поршня (отсюда и название: поршневая теория).
Теория поршня относится к разряду полуэмпирических теорий, и поэтому развивался и развивается до настоящего времени альтернативный подход. Его суть заключается в следующем. Исходными являются основные уравнения гидродинамики. Далее принимаются упрощающие гипотезы, как правило, вынужденные, ибо, если их не принимать, теория окажется устрашающе сложной. Получающиеся математические модели можно считать более обоснованными, чем поршневая теория. Обычно используется модель идеальной сжимаемой жидкости. Это означает пренебрежение влиянием пограничного слоя, возможностью его отрыва, возникновением зон турбулентности. Но даже без учета этих эффектов получающиеся уравнения [40] очень сложны. Поэтому обычно задача обтекания рассматривается в двумерной постановке. Строго говоря, это допущение справедливо лишь для пластинки бесконечно большого удлинения – полосы с неизменной формой профиля. Поэтому получающиеся математические модели называются теориями полосы [46]. Различают стационарную теорию полосы и используемую в исследованиях флаттера нестационарную теорию полосы. Эта теория, даже для линейных задач, допускающих разделение переменных, все еще очень сложна. Возможности ее применения, допустимость тех или иных дальнейших упрощающих гипотез исследована в работах И.А. Кийко, С.Д. Алгазина, Б.Ю. Кудрявцева, В.В. Показеева [1, 2, 22-25]. С использованием нестационарной теории полосы В.В. Веденеев [13, 97 и др.] показал, что наряду с известным механизмом возникновения флаттера (слияние двух соседних собственных значений и образование комплексно сопряженной пары [46]), существует и другой, названный В.В. Веденеевым высокочастотным или одномодовым. Этот тип флаттера невозможно математически описать, используя поршневую теорию.
Сложность нестационарной теории полосы оправдывает попытки ее дальнейшего упрощения. Наряду с упомянутыми выше исследованиями И.А. Кийко и др., упрощенный вариант теории предложен в работе [5]. Большинство исследователей идет еще дальше. В результате получается формула для избыточного давления газа на пластинку [46], отличающаяся от соответствующей формулы поршневой теории [8] только значениями коэффициентов. При числе Маха на бесконечности, большем 1.5, различие в результатах расчетов по обеим теориям лежим в области точности экспериментов.
Отметим, что и поршневая теория, и упрощенная теория полосы проверялись экспериментально, в частности, в исследованиях Г.Н. Микишева [36]. Как оказалась, поршневая теория лучше согласуется с экспериментом. Не следует считать этот результат парадоксальным, так как и та, и другая теории опираются на гипотезы, безусловно, правдоподобные, но все-таки вносящие погрешность в расчет. Получается, что погрешности гипотез упрощенной теории полосы более значимы, чем погрешности поршневой теории.
Существенно то, что согласование обеих теорий с экспериментом вполне приемлемо. Поэтому обе они используется в теоретических исследованиях флаттера; причем, при решении сложных задач, например, при исследовании флаттера пластинок сложной формы в плане, используются исключительно они. Настоящая диссертация посвящена решению именно сложных нелинейных задач. Поэтому в качестве аэродинамической составляющей математической модели в диссертационном исследовании применена поршневая теория, сравнительно простая и дающая приемлемо адекватное описание механического взаимодействия колеблющейся пластинки с обтекаемым потоком.
Решение линейной краевой задачи для прогиба пластинки
В уравнении (11) фигурируют только безразмерные величины со звездочками, определенные формулами (10). Производные и интегралы берутся тоже только по безразмерным переменным. Но звездочки, чтобы не загромождать чрезмерно формулы, опущены. Ниже на протяжении всей диссертации везде, где не оговорено противное, все переменные величины – безразмерные, определенные формулами (10), но записанные без звездочек.
И перемещения, и их вариации должны удовлетворять главным (кинематическим) граничным условиям на тех сторонах пластинки, где эти условия заданы. В данной работе предусмотрены только нулевые условия. Возможно задание следующих главных граничных условий. На сторонах АВ и CD ( см. рис. 1): w = 0; d1w = 0; и10 = 0 - защемление (заделка);
Цель дальнейших преобразований - решить вариационное уравнение (13) при заданных граничных и начальных условиях2. Результатом решения являются зависимости w(t,xm); uk0(t,xm); к,т = 1,2 и их производные по времени и пространственным координатам.
Сущность метода прямых "состоит в том, что производные по одним независимым переменным заменяются их приближенными выражениями через конечные разности, тогда как производные по остальным переменным оставляются без изменения. Тем самым данное дифференциальное уравнение заменяется системой дифференциальных уравнений, но с меньшим числом независимых переменных" [38]. Очевидно, что метод прямых эффективен, когда упомянутая система уравнений представляет собой систему обыкновенных уравнений или когда система распадается на последовательно решаемые уравнения. Диссертационная задача относится к второму случаю. Через конечные разности заменяются производные по времени.
Для конечноразностной дискретизации выбрана широко применяемая, простая и надежная неявная схема Кранка-Николсон [41]. Представим уравнение (13) в виде
При решении задачи необходимо выбирать координатные функции так, чтобы удовлетворялись главные граничные условия. При этом в результате решения вариационного уравнения получается решение дифференциальных уравнений задачи, удовлетворяющее всем, в том числе и естественным, граничным условиям [19]. J[(M ,5,W + TI5,W)5W+0] 5 =0 где функция Ф не зависит от производных по времени. Пусть v=dtw скорость поперечных колебаний пластинки. Уравнение (16) эквивалентно при этом системе двух уравнений первого порядка по времени
Из второго уравнения (19) определяется wn , затем из первого находится vn . Решение нелинейного уравнения (19) (второго) получается методом последовательных приближений. На каждом шаге итерационного процесса нелинейные члены известны и рассматриваются как массовые силы. При этом уравнение (19) (второе) распадается на два, так как в линейном приближении плоское деформирование и изгиб пластинки независимы. Перенеся нелинейные слагаемые в правые части, получим уравнение для прогиба в виде
Оба уравнения при известных правых частях представляют собой уравнения линейных задач: первое - для изгиба пластинки, второе - для плоской задачи. Оба решаются методом конечных элементов. Использованный вариант метода для решения первого уравнения описан в работах [20, 21], второго - в работе [30].
Остановимся на вопросе о сходимости метода последовательных приближений, используемого для учета нелинейности задачи3. Итерационный алгоритм можно представить в данном случае как [4] где п - номер шага интегрирования по времени, к - номер итерации, у -совокупность искомых неизвестных (прогибы, перемещения в нейтральной поверхности), G - оператор задачи. Существенно, что начальное приближение у",0 - это значение у" 1, полученное на предыдущем шаге интегрирования по времени. С уменьшением шага At оно, очевидно, приближается к истинному значению у", которое должно получиться в
Этот метод широко используется при решении нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, в частности, теории пластичности. Там он называется "метод упругих решений". результате итерационного процесса. Так как нелинейность задачи слабая4, должно существовать такое значение A t, что при выполнении условия At A t, оператор задачи (22) будет сжимающим [4]. В этом случае итерационный процесс сходится, причем к единственному решению [4].
Найти аналитически величину A t для поставленной задачи не представляется возможным. Но ее существование и, следовательно, справедливость приведенных рассуждений подтверждаются расчетами: при достаточно малом значении шага по времени его дальнейшее уменьшение практически не влияет на результаты вычислений.
Краевая задача решается методом конечных элементов [19]. Роль координатных функций в методе конечных элементов отходит к функциям формы, позволяющим выразить значения искомых неизвестных (в данном случае - прогиба и его производных по координатам) в любой точке конечного элемента (безразлично, внутренней или граничной) через значения узловых неизвестных. Выбор функций формы подчинен требованию сходимости конечноэлементного решения краевой задачи к точному решению при увеличении количества конечных элементов при одновременном уменьшении их размеров [19].
Конечные элементы в данном случае - прямоугольники с четырьмя узлами (элементы Богнера-Фокса-Шмита [19]). Эти элементы удовлетворяют требованию полноты и обеспечивают межэлементную непрерывность прогиба и его первых частных производных по координатам, что обеспечивает выполнение упомянутого условия сходимости [19]. Примерное разбиение пластинки на конечные элементы представлено на рис. 2.
Свободные колебания пластинки
Прежде чем приступать к решению задач о флаттере, следует по возможности убедиться в адекватности моделирования изложенным методом нелинейного деформирования пластинок при квазистатическом и динамическом приложении нагрузки. Этим задачам посвящены первые пункты данного раздела. Следующий вопрос, на который необходимо ответить: согласуются ли предсказания критического числа Маха с данными линейного анализа и экспериментом? С этой целью анализируются результаты опытов Г.Н. Микишева [36]; показано удовлетворительное согласование результатов расчетов с экспериментом. С практической точки зрения нелинейный анализ здесь излишен, так как критическое значение числа Маха, даваемое линейной теорией, также согласуется с экспериментом. Но есть эффекты, которые способна описать только нелинейная теория. К ним относится, в частности, влияние поперечной нагрузки на критическую скорость флаттера. Это влияние изучалось теоретически в работе [98]. Оказалось, что если не делать никаких дополнительных предположений, теория и эксперимент дают противоположные результаты. Поэтому эта задача представляет безусловной интерес для решения разработанным методом. Как показывают расчеты, теория и эксперимент между собой вполне согласуются.
Рассмотрим квадратную пластинку со стороной 2a7 (рис. 1). К пластинке приложена равномерно распределенная поперечная нагрузка интенсивностью p . Пластинка защемлена по всему граничному контуру.
На протяжении этого пункта используются размерные переменные. Так как задача симметрична, достаточно рассмотреть четверть пластинки, вырезанную осями симметрии. На рис. 1 это квадрат AEFG со стороной, равной a . Прежде всего, выполним анализ этой зависимости методами теории размерностей. Вообще говоря, прогиб является функцией следующих величин
W = f(p,E,v,h,a) (5) где величины W, h, а имеют размерность длины, ари имеют размерность давления, коэффициент Пуассона v - безразмерная величина. Очевидно, что Е и h имеют независимые размерности. При этом, в соответствии с П теоремой, число аргументов задачи уменьшается на два.
То, что зависимость (8), то есть зависимость от только одного аргумента, сохранится при нелинейном деформировании, не очевидно. Предыдущие исследования зависимость (8) подтверждают [19, 44]. Поэтому и при проведении настоящего исследования этом вопрос рассматривался8. Были проведены две группы расчетов, отличавшихся значениями at (100 и 1000) при одинаковых значениях Q. Их результаты совпали с точностью 10"3 (относительная погрешность). Из этого можно сделать вывод, то зависимость (8) справедлива и для нелинейного деформирования. Это согласуется с результатами предыдущих исследований и подтверждает достоверность результатов расчетов разработанным методом.
Ниже описываются только расчеты при о, = 100. При этом коэффициент Пуассона – малоизменяемый параметр, принимался, как и в предыдущих исследованиях, равным 0.3. Нелинейная теория изгиба пластинок - теория Кармана отличается от большинства нелинейных теорий в механике деформируемого твердого тела. Как правило, нелинейность (физическая или геометрическая) уменьшает жесткость системы по сравнению с такой же, но линейной системой. В теории Кармана - наоборот [19]. Этот эффект обусловлен добавочным сопротивлением деформированию со стороны нейтральной плоскости.
Поэтому метод последовательных приближений, примененный без каких-либо изменений, дает, как показывают наши расчеты, расходящееся решение. Однако выход есть - этот метод применим как составная часть так называемого метода установления [4]. Суть его в том, что квазистатическое решение получается как предел при ґ—»оо динамической задачи с вязким трением при условии, что внешняя нагрузка неизменна. С уменьшением шага по времени оператор задачи изменяется (см. уравнение (2.20)). Практика вычислений показывает, что всегда находится такая достаточно малая величина шага Лґ , что при выполнении неравенства
Возникает вопрос, как подбирать инерционные и вязкостные характеристики. Авторы работы [4] рекомендуют выбирать их таким образом, чтобы возникал колебательный процесс с достаточно быстрым затуханием. Упомянутые характеристики подбираются эмпирически путем проведения сравнительных расчетов. Такой подбор, как и анализ точности вычислений, был проведен и в данном случае.
Расчет квадратной пластинки (область I)
В качестве альтернативы рассмотрим расчет пластинки при (3 = 3.6 (см. рис. 1). Согласно рис. 1, в данном случае реализуется аномальный механизм возникновения флаттера. И это так даже при ненулевой аэродинамической вязкости. Исходные данные для расчета - те же, что и выше (формулы (3)) со следующими отличиями Р = 3.6 6 = 240; п2=36 (4) В результате линейного анализа методом, изложенным в работах [20, 21], получено критическое число Маха Мс=2.99. Потеря устойчивости происходит вследствие слияния второго и третьего собственных значений и дальнейшего выхода образовавшейся комплексно сопряженной пары на параболу устойчивости.
Возникает вопрос, чему будет равно М , если считать, что флаттер возникает, когда в образовании комплексно сопряженной пары участвует первое собственное значение? Такая задача была решена. Получилось значение Мс = 5.60, почти в два раза большее, чем предыдущее.
Можно пойти еще дальше и проанализировать процесс образования и распада комплексно сопряженных пар собственных значений на протяжении изменения М от 2.99 до 5.60. Это было сделано, и результаты этого исследования представлены в табл. 2. Таблица 2 Интервалы изменения числа Маха
Номер интервала 1 2 3 4 5 м 2.99 (2.99,3.78) (3.78,4.31) (4.31,5.60) 5.60 Характер колебаний Затухающие флаттер затухающие флаттер флаттер Результаты выглядят странно: при росте числа Маха возникает неустойчивость, что естественно, но потом она сменяется устойчивым решением, затем опять неустойчивость. Проверка этих выводов методами нелинейного анализа необходима.
Рассмотрим вначале первый интервал табл. 2. Расчет проводился при М = 2.1 и амплитуде начальной нагрузки (точка ее приложения, как и точка наблюдения - по-прежнему середина стороны CD) QM =1(Г3. Результаты расчета представлены на рис. 6. Колебания затухают: пластинка устойчива. Перейдем к рассмотрению второго интервала табл. 2. Как следует из линейного анализа, за счет слияния второго и третьего собственных чисел образуется пара комплексных собственных чисел и возникает флаттер -пластинка теряет устойчивость.
На рис. 8, 9 представлены результаты расчетов разработанным методом двух вариантов, отличающихся величинами начальных возмущений. Как видно из их сопоставления, потеря устойчивости (флаттер) в данном случае -это возникновение автоколебаний, характеризующихся своим предельным циклом.
Зависимость прогиба середины стороны CD от времени; Р = 3.6; М = 4.3; бм=Ю"3 Рассмотрим третий интервал табл. 2. Как следует из линейного анализа, все собственные значения действительны и положительны, и, следовательно, колебания должны затухать. Результаты расчета разработанным методом представлены на рис. 10. Колебания затухают, что согласуется с данными линейного анализа.
Рассмотрим четвертый интервал табл. 2. По результатам линейного анализа, здесь возникает флаттер за счет слияния третьего и четвертого собственных значений и образования комплексно сопряженной пары. Результаты расчета разработанным методом представлены на рис. 11-14. Рассчитывались два варианта, отличающихся величиной начального возмущения. Как видно из рис. 11-14, имеют место автоколебания, характеризующиеся своим предельным циклом. Колебания периодические, но в отличие от других рассмотренных случаев, ангармонические. w
Фазовый портрет, соответствующий рис. 14. Перейдем к рассмотрению пятого интервала табл. 2. Как следует из линейного анализа, к комплексно сопряженной паре, образованной из третьего и четвертого собственных значений, добавляется пара комплексных собственных значений, образованная за счет слияния первого и второго собственных чисел.
Зависимость прогиба середины стороны CD от времени; Р = 3.6; М = 5.6; бм=Ю"3 Результаты расчета разработанным методом представлены на рис. 15-18. Как видно из этих рисунков, колебания носят нерегулярный характер, хотя это, безусловно, автоколебания: их максимальные амплитуды со временем не увеличиваются и не уменьшаются. Можно предположить, что эти колебания хаотические. Однако это не так. При хаотическом движении имеет место так называемое «разбегание траекторий»: малое изменение начальных данных приводит, через некоторое время, к заметному расхождению траекторий в фазовом пространстве.
Наряду с вариантом при QM =10"3 были рассчитаны варианты с QM= 1.001 -КГ3 и 2М=1.0Ы0"3. Графики получившихся зависимостей визуально совпадают с изображенными на рис. 15, 16, что свидетельствует об отсутствии разбегания траекторий.
Колебания в данном случае существенно отличаются от классических автоколебаний, которые имели место в предыдущих случаях. Нет предельного цикла, параметры которого не зависят от начальных возмущений и определяются только характеристиками механической системы. В этом легко убедиться, сопоставив рис. 15, 16 с рис. 17, 18.