Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Постановка динамических и квазистатических задач термоупругости о термофрикционном контакте однослойного упругого покрытия на недеформируемой подложке со скользящей по его поверхности жесткой полуплоскостью и их решение 30
1.1 Математическая постановка динамических задач термоупругости о скользящем термофрикционном контакте однослойного упругого покрытия со скользящей по его поверхности жесткой полуплоскостью 30
1.2 Аналитические методы решения динамических и квазистатических задач о скользящем термофрикционном контакте 34
1.3 Параметрический анализ полученных решений задачи I. Частные задачи исследования
1.3.1 Постановка и решение частных задач исследования 41
1.3.2 Анализ полюсов подынтегральных функций контурных квадратур решения 43
1.4 Эффективные решения динамических задач термоупругости о скользящем термофрикционном контакте 58
1.4.1 Формулы вычисления контурных квадратур 58
1.4.2 Анализ решений динамических задач Iа, Iб. Области устойчивых и неустойчивых решений 63
1.5 Постановка и решение квазистатических задач термоупругости скользящего термофрикционного контакта 66
1.6 Численный анализ полученных решений динамических и квазистатических задач о скользящем термофрикционном контакте 70
1.7 Термомеханические свойства решений задач динамики и квазистатики скользящего термофрикционного контакта 77
1.8 Интегральные уравнения динамических и квазистатических контактных задач скользящего термофрикционного контакта 81
1.8.1 Постановка динамических и квазистатических контактных задач
о скользящем ТФК и их интегральные уравнения 81
1.8.2 Решение динамических и квазистатических задач в виде свертки Лапласа 84
ГЛАВА 2. Постановка динамических задач термоупругости о скользящем термофрикционном контакте жесткой полуплоскости с однослойным упругим покрытием на упругой подложке и их решение 86
2.1 Математическая постановка динамических задач термоупругости о скользящем термофрикционном контакте жесткой полуплоскости с упругим покрытием на упругой теплопроводной полуплоскости 86
2.2 Решение динамической задачи II термоупругости о скользящем термофрикционном контакте
2.2.1 Построение решения динамической задачи II термоупругости о скользящем термоупругом контакте в виде контурных квадратур обратного преобразования Лапласа 90
2.2.2 Определение полюсов подынтегральных функций контурных квадратур обратного преобразования Лапласа 97
2.2.3 Решение динамической задачи II и его анализ. Области устойчивых и неустойчивых решений 105
2.2.4 Численный анализ температуры и напряжений, возникающих на контакте, при изменении жесткости и теплопроводности подложки 121
2.3 Влияние теплопроводности упругой подложки на изменение границы области неустойчивых решений 123
ГЛАВА 3. Постановка и решение динамической задачи термоупругости о скользящем термофрикционном контакте жесткой полуплоскости с двухслойным покрытием из разных материалов, сцепленным с недеформируемой подложкой 127
3.1 Математическая постановка динамической задачи термоупругости о скользящем термофрикционном контакте жесткой полуплоскости с двухслойным покрытием из разных материалов, сцепленным с недеформируемой полуплоскостью 127
3.2 Решение поставленной динамической задачи III термоупругости о скользящем термофрикционном контакте жесткой полуплоскости с упругим двухслойным неоднородным покрытием на недеформируемой подложке 131
3.2.1 Решение динамической задачи III термоупругости о скользящем термофрикционном контакте в виде контурных квадратур обратного преобразования Лапласа 131
3.2.2 Полюсы подынтегральных функций контурных квадратур 137
3.2.3 Решение динамической задачи III и его анализ. Области устойчивых и неустойчивых решений 142
Заключение 146
Список сокращений и условных обозначений 147
Список литературы 148
- Постановка и решение частных задач исследования
- Построение решения динамической задачи II термоупругости о скользящем термоупругом контакте в виде контурных квадратур обратного преобразования Лапласа
- Решение динамической задачи II и его анализ. Области устойчивых и неустойчивых решений
- Полюсы подынтегральных функций контурных квадратур
Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Для соответствия узлов трения растущим потребностям современного машиностроения применяются защитные покрытия антифрикционного, термоизоляционного, антикоррозийного, антивибрационного и другого назначения. Такие покрытия позволяют улучшить состояние рабочих поверхностей узлов трения, снизить температуру и напряжения в узлах трения, расширить области эксплуатационных характеристик, в которых обеспечивается устойчивое функционирование.
На основе теорий теплопроводности и термоупругости получили развитие методы математического моделирования триботехнических устройств со скользящим контактом рабочих поверхностей для расчета возникающих на контакте напряжений и температур, областей устойчивого функционирования. Существенную роль среди методов исследования скользящего фрикционного контакта на начальном этапе сыграл метод малых возмущений. Метод позволяет определить собственные числа начально-краевой задачи термоупругости и установить области устойчивых (ограниченных на рассматриваемом полубесконечном временном интервале) и неустойчивых (неограниченных) решений задачи. Для получения решений задач о скользящем фрикционном контакте чаще всего использовались и используются численные методы.
Актуальность темы диссертации связана с необходимостью повышения уровня математического моделирования скользящего фрикционного контакта за счет разработки моделей, учитывающих тепловыделение на контакте, наличие покрытия или пакета покрытий, влияние сил инерции на контактные характеристики. Это позволит увеличить точность прогнозирования неустойчивого функционирования триботехни-ческих устройств и возникновения нештатных ситуаций.
Целью работы является разработка методов решения динамических контактных начально-краевых задач термоупругости о скользящем термофрикционном контакте, позволяющих определить области устойчивых и неустойчивых решений на множестве параметров задач, а также изучение свойств устойчивых и неустойчивых решений.
Научную новизну работы составляют следующие результаты:
– решение динамических контактных задач термоупругости о скользящем термофрикционном контакте с помощью интегрального преобразования Лапласа;
– численно-аналитическое определение области неустойчивых решений динамических и квазистатических задач о скользящем термофрикционном контакте на множестве параметров задач;
– детальное изучение свойств неустойчивых решений динамических и квазистатических контактных задач о скользящем термофрикционном контакте.
Достоверность результатов работы обеспечивается:
– строгостью использованного математического аппарата, – соответствием выявленных эффектов явлениям, наблюдаемым на практике,
– совпадением полученных результатов, в частных случаях, с результатами, ранее полученными другими авторами.
Практическая ценность работы
Результаты работы могут быть использованы:
– при разработке геометрии и выборе материалов конструкции новых триботехнических устройств со скользящим термофрикционным контактом, которые исключают возможность возникновения эксплуатационной неустойчивости, обеспечивают безаварийную эксплуатацию триботехнических устройств,
– для диагностики неустойчивости скользящего термофрикционного контакта в триботехнических устройствах в процессе эксплуатации.
Методы исследования:
– метод интегрального преобразования Лапласа;
– методы интегрирования теории функций комплексного переменного; – методы численного решения нелинейных уравнений в комплексной плоскости;
– методы асимптотического анализа.
Положения, выносимые на защиту:
– разработка методов решения нестационарных динамических начально-краевых контактных задач термоупругости о скользящем термофрикционном контакте (ТФК), включая:
o представление решений начально-краевых контактных задач
в виде рядов по собственным функциям; o численно-аналитические методы определения собственных чисел начально-краевых динамических и квазистатических контактных задач термоупругости о скользящем ТФК; o методы асимптотического анализа решений нестационарных динамических начально-краевых контактных задач; – определение областей ограниченных и неограниченных решений нестационарных динамических начально-краевых контактных задач термоупругости о скользящем ТФК на множестве параметров задач;
– свойства решений нестационарных динамических начально-краевых контактных задач термоупругости о скользящем ТФК, в том числе:
o влияние термосопротивления интерфейса покрытия и подложки на температуру и напряжения на контакте, o влияние коэффициента трения, скорости скольжения, толщины покрытия, наличия упругой подложки, соотношения упругих и термомеханических характеристик покрытия и подложки на область неограниченных решений.
Апробация работы
Результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на: IX, X Всероссийских школах-семинарах «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», (пос. Дивноморское, 2014, 2015); научной конференции «Проблемы прочности, динамики и ресурса», посвященной 90-летию академика Ф.М. Митенкова (г. Нижний Новгород, 2014); международном симпозиуме «Physics and Mechanics of New Materials and Underwater Applications» (г. Кхонкэн, Таиланд, 2014); юбилейной конференции студентов и молодых ученых, посвященной 85-летию ДГТУ (г. Ростов-на-Дону, 2015); международной конференции «Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications», посвященной 100-летию ЮФУ (г. Ростов-на-Дону, 2015); научной конференции «Проблемы прочности, динамики и ресурса», посвященная 95-летию со дня рождения А. Г. Угодчикова (г. Нижний Новгород, 2015); научной сессии, посвященной 20-летию сотрудничества РФФИ и ГФЕН (г. Владивосток, 2015); научном семинаре, посвященном обсуждению хода выполнения проекта 14-08-91166-ГФЕН-а (г. Пекин, Китай, 2014); научных семинарах НОЦ «Материалы» ДГТУ и кафедры теории упругости ЮФУ.
Публикации
По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе 3 статьи [1–3] в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий», утвержденного ВАК РФ, 1 программа для ЭВМ [4], 7 тезисов докладов [5–11].
Объем и структура работы
Диссертация состоит из введения, включающего в себя обзор литературы, трёх глав, заключения, списка сокращений, списка литературы и пяти приложений. Список использованной литературы включает 153 наименования. Общий объем диссертации составляет 177 страниц.
Работа была поддержана грантами Российского фонда
фундаментальных исследований (РФФИ) 11-08-91168-ГФЕН_а, 14-08-91166-ГФЕН_а (совместно с Государственным фондом естественных наук Китая) и 15-38-50405-мол_нр.
Постановка и решение частных задач исследования
На сегодняшний день наиболее распространенным методом для теоретического исследования задач термоупругой неустойчивости является метод малых возмущений, предложенный Dow и Burton в работе [40]. В общем виде метод заключается в следующем: предполагается, что решение рассматриваемой начально-краевой задачи (температура, напряжения и/или смещения) содержит экспоненциальную «возмущенную» составляющую еы. Термоупругонеустойчивым решением задачи называется такое, когда Re(b) 0. Так как Ъ зависит от физических параметров задачи, это позволяет определить условия возникновения ТУН. Оптимизация параметров рассматриваемой трибосистемы позволяет избежать ТУН в рабочем диапазоне эксплуатационных параметров.
Сначала Dow и Burton [40] рассмотрели с помощью данного метода задачу о поперечном скольжении с трением полубесконечного жесткого лезвия по поверхности терпоупругого полупространства с постоянной скоростью без учета износа. В этой работе показано, что условия возникновения или отсутствия ТУН (в последнем случае имеет место термоупругая устойчивость контакта) могут быть получены и без учета износа. В этом случае фактором, сдерживающим развитие
ТУН, является естественный отвод тепла из области контакта вглубь полупространства. Было получено выражение для критической скорости скольжения, при превышении которой происходит развитие ТУН. Та же задача с учетом износа рассматривается в работе [41]. Обзор теоретических и экспериментальных исследований по этой проблеме приведен в работе [42]. Затем Burton с соавторами [43] изучили ТУН в задаче о скольжении тонкого лезвия по поверхности другого тонкого лезвия вдоль их края с учетом трения и износа, моделируя тем самым трение двух тонких трубок одинакового диаметра, контактирующих торцами. В работах [44, 45] исследуется разогрев щетки электродвигателя за счет трения и электрического тока ввиду изучения ТУН. Термоупругая неустойчивость фрикционного скольжения шероховатого тела, моделируемого контактом системы штампов с полупространством, изучена Моровым и Черским [46]. Анализ устойчивости термоупругого контакта в трибосистеме типа радиальных уплотнений цилиндра был выполнен Пырьевым и Мандзиком [47].
Экспериментальное исследование возникновения ТУН при трении лезвия по поверхности вращающегося барабана, проведенное Dow и Stockwell [48], показало, что, хотя условия возникновения ТУН на практике согласуются с результатами теоретических расчетов [40], дальнейшее же поведение системы после возникновения ТУН требует разработки других моделей. Температура поверхности при скользящем контакте, а также вызванные температурой и трением изменения в поверхностных слоях материала исследуются в работе [49]. Подробное экспериментальное и теоретическое исследование изменения фактической области контакта при фрикционном разогреве и сопутствующих изменений в приповерхностном слое материала приводится в [50, 51]. В [51] также дается обзор литературы по данной проблеме. Обзор экспериментально обнаруженных эффектов, связанных с фрикционным тепловыделением при сухом трении, и их теоретических оснований дан в работе [52].
На рост и распределение температуры на контакте влияет теплопроводность интерфейса, которая отличается от теплопроводности в объёме контактирующих материалов. Обычно при этом говорят о неидеальном тепловом контакте и тепловом контактном сопротивлении (или термоконтактном сопротивлении). На него влияют свойства контактирующих поверхностей, такие как твердость, теплопроводность, шероховатость, а также параметры нагружения. При этом теплопроводность может отличаться в направлении приложения нагрузки и в ортогональном ему направлении, что было впервые замечено Starr [53]. В работе [54] предлагается теория изменения теплового сопротивления на контакте в зависимости от приложенной нагрузки и описаны подтверждающие её экспериментальные исследования, проведенные при температурах 100–300 К. Отмечается, что данное тепловое сопротивление имеет ту же природу, что и электрическое сопротивление контактов. Общий вывод этого и других исследований заключается в том, что тепловое сопротивление монотонно убывает при росте давления.
В качестве модели происходящих на контакте процессов, приводящих к изменению теплопроводности интерфейса, в работе [55] рассматривается стержень, один конец которого жестко закреплен, а другой находится на некотором расстоянии от жесткого теплопроводного полупространства. При этом на закрепленном конце стержня поддерживается нулевая температура, а на свободном T0. Получены выражения для критериев возникновения ТУН. Условия ТУН системы из двух контактирующих/неконтактирующих стержней из разных материалов с различной температурой, поддерживаемой на концах стержней, получены в работе [56]. Численное исследование решений задачи, условий единственности, устойчивости, неустойчивости решений проведено в работе [57].
Развитием данной модели является модель механического и теплового контакта двух упругих полуплоскостей. Условия ТУН системы из двух полуплоскостей, прижимаемых друг к другу заданным давлением и с заданным тепловым потоком между ними, получены методом малых возмущений в работе [58], а в [59] они были исследованы для сочетаний 20 различных материалов; там же дана классификация пар материалов в зависимости от вида условий возникновения ТУН. Та же задача была позднее рассмотрена [60] при условии непрерывности напряжений и смещений на контакте полуплоскостей. В [61] рассмотрена ТУН нестационарного двумерного термомеханического контакта торцов двух тонкостенных цилиндров из различных материалов с заданной (одинаковой для обоих цилиндров) толщиной стенки.
ТУН упругой полосы, один торец которой прижимается к недеформируемой полуплоскости с заданным давлением, а другой бесконечно удален, при условии заданного теплового потока с учетом неидеального теплового контакта на первом торце рассмотрена в работе [62], при этом начальное возмущение описывается экспонентой, а не предполагается синусоидальным, как в предыдущих работах. Условия ТУН для слоя и полуплоскости из разных материалов получены в работе [63] при отсутствии трения на границе слоя и полуплоскости (касательные напряжения равны нулю, нормальные напряжения и смещения непрерывны). Та же задача при непрерывности касательных напряжений на границе слоя и полуплоскости была рассмотрена в работе [64].
Критерии устойчивости термоупругого контакта в трибосистеме, состоящей из двух вложенных упругих цилиндров, перемещающихся относительно друг друга с постоянной скоростью с трением, получены Пырьевым и Мандзикзом [47] при неидеальном тепловом контакте между цилиндрами.
Евтушенко и Пырьев в работе [65] рассмотрели квазистационарную задачу термоупругости о скользящем фрикционном контакте движущейся жесткой полуплоскости и упругого слоя конечной толщины, сцепленного с неподвижной жесткой полуплоскостью. Трение приводит к нагреванию слоя и абразивному изнашиванию его поверхности. Получены выражения для температуры, горизонтальных и вертикальных перемещений, величины износа слоя. Условия возникновения ТУН определяются свойствами материала слоя, скоростью скольжения, коэффициентами трения и износа.
Построение решения динамической задачи II термоупругости о скользящем термоупругом контакте в виде контурных квадратур обратного преобразования Лапласа
Максимальная скорость внедрения достигается при t = tG и составляет A(/s) = 2sA0, при этом начальная скорость внедрения A(o) = v0=sA0, откуда s = v0/A0 (при заданных v0 и А0). Изображение Лапласа A(t) (1.4.1) дается формулой где величина d s определяется из условий существования несобственного интеграла (1.4.3). Обратное преобразование Лапласа изображения AL(i) (1.4.3) определяется по схеме, указанной в приложении Б, и используется позднее при вычислении контурных квадратур. С,к к = 0,1,2,..., Квадратуры, в которых получено решение задач I, lа, 1б в (1.2.28)-(1.2.30), имеют следующий общий вид \D(z)N(x,z)R 1(z)eiq (z7)dz, 0 x h t =t/tK (1-4.4) где Г = {z: -/оо + dtK,ioo + dtK} — контур интегрирования, функция N(x,z) и R{z) в зависимости от формулы заменяется на NT (х, z), Nu (х, z), Na (х, z), R{z), Ra (z) из (1.2.32)-(1.2.36) в случае задачи I, из (1.3.2)-(1.3.5) в случае задачи lа и из (1.3.7)-(1.3.10) в случае задачи 1б, D(z) определяется формулой из (1.2.26) через AL{p) и имеет вид D(z) = Ar\ + Rez s/K к=— (1-4.5) _ z z ztK J tK Для получения формулы вычисления контурного интеграла (1.4.3) схематично изобразим изолированные особые точки подынтегральной функции - полюсы z п = 1,2,3,.., изученные в п. 1.2, а также полюсы функции D(z) — z = 0 и z = ze = tKe, в комплексной плоскости г = , + щ при фиксированных у и V на рис. 1.4.1.
Контур интегрирования 7" представляет прямую линию, параллельную мнимой оси и отстоящую правее полюса с наибольшей реальной частью: d max {Re zf, 0}. Полюсы zf,z2,...,z располагаются слева от контура интегрирования Г. Слева от контура Г располагаются полюсы z = ze и z = 0, а также вся вторая бесконечная последовательность полюсов С,к к = 1,2,3,..., расположенная на отрицательной части действительной оси. Расположение полюса Со на действительной оси зависит от величин у и V, но всегда левее контура Г. В случае вычисления квадратуры из (1.2.30) для o(x,t) следует учитывать дополнительные полюсы за счет нулей shyz из Ra(z), которые обозначаются zj„ и = 1,2,... и вычисляются по формуле (1.3.16), а располагаются эти полюсы по мнимой оси от -/оо до +/00 (рис. 1.4.1).
Учитывая, что подынтегральные функции квадратур в (1.4.4) имеют в качестве особых точек только полюсы, для их вычисления можно получить формулу, не содержащую квадратур. Для вычисления квадратуры в (1.4.4) в случае, когда подынтегральные функции D(z), N(x,z), R \z) удовлетворяют условиям (1.2.37)-(1.2.39), используется опыт вычисления оригинала A(t) по изображению AL(p), подробно представленный в приложении Б. Подставив D(z) из (1.4.5) в квадратуру (1.4.4) и разбив ее на четыре квадратуры, получим \D(Z)N(X,Z)R (z)exp(z/Wz =
Контурные интегралы в правой части (1.4.6) вычисляются с помощью теории функций комплексного переменного [147, 148]. Так, при вычислении интеграла от fx{z,x,i) и f4(z,x,t), содержащих экспоненту от H(t), при
О замыкание контура интегрирования Г проводится в правую полуплоскость комплексной плоскости z = t, + ix\ с помощью окружности CR, изображённой штриховой линией (рис. 1.4.1), с последующим применением теоремы Коши [147, 148] и предельным переходом при Л—»оо. При 7 0 замыкание контура интегрирования Г производится в левую полуплоскость последующим применением теоремы Коши и предельным переходом при Л —» оо. Вычисление контурных интегралов, содержащих f2(z,x,i) и f3(z,x,t) в (1.4.6) с экспонентой от 7, производится замыканием в левую полуплоскость комплексной плоскости, так как 7 О. Вычисление контурных квадратур в (1.4.6) приводит к следующим формулам где R {z) есть производная по z, Я(ґ) — функция Хэвисайда. Под z± и в (1.4.11) понимаются нули Rпо окружности Сд, изображённой сплошной линией (рис. 1.4.1), также с (z) из (1.3.3) в случае задачи I а и нули R(z)из (1.3.8) в случае задачи I б. Сходимость бесконечных рядов в (1.4.11) для конечных 7 обеспечивается поведением подынтегральных функций (1.2.37)-(1.2.39) [149], а также функцией 0(z). Формула вычисления квадратур вида (1.4.3) из (1.2.30) имеет вид несколько отличный от (1.4.11), а именно
Полученные формулы (1.4.11), (1.4.14) для вычисления контурных квадратур в решении (1.2.28)–(1.2.30) рассматриваемых динамических задач I а, I б о скользящем термофрикционном контакте упругого покрытия, сцепленного с не-деформируемой полуплоскостью II, c движущейся с постоянной скоростью другой недеформируемой полуплоскостью I, поставленных в п. 1.1, позволяют вы 64 числение контурных квадратур заменить вычислением бесконечных рядов по полюсам подынтегральных функций где ряд в скобках является сходящимся со скоростью геометрической прогрессии, так как Re(z1+-z ) 0 к = 2,3,... Из (1.4.23) вытекает, что при неограниченном возрастании 7 (J о) неограниченно возрастает S+ (1.4.22), а решение, его содержащее, является неустойчивым, начиная со сколь угодно малых значений V, как для задачи lа, так и в случае задачи 1б. В формуле для G(x,t) из Sk(x,t) (=1,2) (1.4.12), (1.4.13) кроме вышеупомянутого ряда (1.4.22), содержится и другой бесконечный ряд по полюсам = 0,1,2,3,…. Учитывая свойства 0(к), изученные в п. 1.2 для задачи lа (Bi = oo), а именно, что при 0 V 2 полюс С0(к) 0, при V = 2 значение полюса Со(2) = 0, а при V 2 полюс C,o(v) 0, можно утверждать, что ряд по полюсам C,k
Решение динамической задачи II и его анализ. Области устойчивых и неустойчивых решений
Рассмотренная в главе 1 задача I является частным случаем задачи П. Формулы решения задачи I (1.4.19)–(1.4.21) могут быть получены предельным переходом в формулах решения задачи II (2.2.63)-(2.2.65) при ц - да и К - да, что соответствует жесткой теплопроводной полуплоскости. Чтобы проиллюстрировать этот факт, на рис. 2.2.\6а,б приведены графики температуры (а) и напряжений (б) на контакте, рассчитанных по формулам (2.2.63) и (2.2.65) соответственно. Графики получены при значениях параметров задачи, соответствующих покрытию из алюминия, свойства которого приведены в таблице 1.6.1, толщиной h = 2 мм. Скольжение осуществляется со скоростью V = 0,15 м/с при коэффициенте трения /=0,15. Параметры закона внедрения Л(/) (1.4.1): Л0=0,01/г, v0 =0,05 мм/с , s = 10 1/с, te =6,93-10-2c. Безразмерные величины у, V принимают следующие значения: у = 7 10 6, V = 1,052. Указанные значения параметров использовались ранее в п. 1.6 при численном анализе решения задачи I. При этом значения параметров подложки — модуля сдвига щ, коэффициентов теплопроводности К1 и температуропроводности к1, скорости продольной упругой волны в подложке а1 — отличаются для разных графиков, что приводит к различным значениям безразмерных параметров задачи ц , а , ІГ , к , приведенным в таблице 2.2.1. Коэффициент температуропроводности подложки определялся по формуле K1 =K1/C1p1, где Q — удельная теплоемкость материала подложки, а скорость продольной упругой волны — по формуле а1=аД/ц /р , вытекающей из (2.1.3) и (2.2.18). Значения остальных безразмерных параметров задачи прини 122 маются следующими: р = 0,346, v = 1,192, а = 1,924 (соответствуют, например, покрытию из алюминия на подложке из углеродистой стали).
Изменение температуры Щ,і) (а) и нормальных напряжений (h,t) (б) на контакте при различных значениях модуля сдвига и теплопроводности подложки и фиксированных значениях остальных параметров
Графики 1 решений динамической задачи II, изображенные на рис. 2.2.16а, б, совпадают с соответствующими графиками 1 на рис. 1.6.1а решений динамической задачи I. Однако, с уменьшением жесткости подложки (увеличением ц ) величина напряжений и температуры на контакте стремительно уменьшается, несмотря на ослабление теплопроводных качеств подложки (увеличение К ), что демонстрируют графики 2-6. Заметим, что на графиках 2-6 рост температуры и напряжений сменяется их убыванием сразу (5,6) или спустя некоторое время (2,3,4) после момента окончания активной фазы внедрения t.
Графики 1-4 демонстрируют термоупругодинамически неустойчивое решение задачи, в то время как на графиках 5-6 изображено устойчивое решение. Так же, как и в задаче I, рост амплитуды колебаний напряжений (h,t) становится заметным раньше, чем у температуры на контакте T(h,t).
Влияние теплопроводности упругой подложки на изменение границы области неустойчивых решений
Для исследования степени влияния теплопроводности или теплоизолиро-ванности упругой подложки на изменение границы области неустойчивых решений рассматриваются еще две подзадачи задачи II: задача IIа и задача IIб.
В задаче IIа поддерживается в подложке постоянная температура, совпадающая с начальной, а в задаче IIб тепловой поток из покрытия на границе подложки — упругой полуплоскости — обнуляется, то есть не попадает в подложку. Исследование решения этих задач позволит сделать выводы о степени влияния теплоизолированности подложки на устойчивость скользящего термофрикционного контакта между покрытием и жесткой полуплоскостью.
Решение поставленной задачи На (2.3.1) - (2.3.10) с помощью интегрального преобразования Лапласа сводится к вычислению контурных квадратур обратного преобразования Лапласа. Подынтегральные функции полученных квадратур являются мероморфными функциями и их вычисление приводит к формулам предыдущей главы (1.4.19) - (1.4.21) для вычисления температуры T(x,t), смещений u(x,t) и напряжений c{x,t) в виде рядов по собственным функциям, в которых нужно N(x, z) заменить в случае вычисления температуры Т(х, t) на
С помощью полученных формул прежде всего проводились исследования границы области неустойчивых решений и влияние на них параметров задачи II ц и V при фиксированных остальных параметрах. На рис. 2.3.1 в плоскости
V, ц. представлены графики границы между областями устойчивых и неустойчивых решений задачи II (сплошная линия), задачи На (штриховая), задачи Пб (штрихпунктирная). Значение у фиксировалось и полагалось равным 10-1, в то время как a определялось по формуле a = Jlu. Как видно из рис. 2.3.1, существует диапазон значений ц , при которых решения задач II, Нб устойчивы при любом значении V, в то время как для решения задачи На область неустойчивых решений существует для любого значения 1 . Заметим, что области устойчивости решений задач Па, Нб определяются нулями функций (2.3.12) и (2.3.17) и поэтому зависят только от у, V, ц , a . Это означает, что в условиях задач Па и Пб на устойчивость или неустойчивость решений влияют лишь упругие свойства подложки и не влияют температурные. Сравнивая области устойчивости решений задач II, Па, Пб, изображенные на рис. 2.3.1, можно обнаружить, что при определенных значениях ц область устойчивости решений совпадает и, таким образом, зависит только от упругих свойств подложки.
Полюсы подынтегральных функций контурных квадратур
Кроме этого, подынтегральные функции (3.2.19), (3.2.22), (3.2.26), (3.2.28), (3.2.30), (3.2.37) являются мероморфными в комплексной плоскости переменной интегрирования z, то есть в качестве изолированных особых точек имеют только полюсы. Поэтому для вычисления квадратур в (3.2.19), (3.2.22), (3.2.33) необходимо исследование и определение полюсов подынтегральных функций в комплексной плоскости переменной интегрирования z.
В заключение укажем формулу для w(x,t) (для w1(xj) она аналогична) -горизонтальных смещений, задача об определении которых сформулирована в конце п. 3.1.
Для вычисления квадратур в (3.2.19), (3.2.22), (3.2.33) и в других формулах применяются методы теории функций комплексного переменного, для реализации которых необходимо знать все особые точки подынтегральных функций, в данном случае — полюса подынтегральных функций, так как другие изолированные особые точки отсутствуют. Для определения полюсов прежде всего необходимо определить нули знаменателя R(z) подынтегральных функций из (3.2.21). Ранее, в главах 2 и 3, нули аналогичных функций определялись с использованием 138 параметров задачи, таких как V, у, ц , К и других. Как и ранее, при решении уравнения R(z) = 0 \z\ oo arg(z) 7r (3.2.38) где R(z) из (3.2.21), для получения нулевого приближения нулей R(z) положим в уравнении (3.2.38) V = 0. Получим упрощенное уравнение co(z)co1(z)Q (z)Q (z) = 0 (3.2.39) решение которого распадается на следующие четыре уравнения co(z) = l-y2z = 0 (3.2.40) co1(z) = l-yfK z = 0 (3.2.41) QS(z) = shyzch(yza h )+ 1 chyzsh(yza h ) = 0 (3.2.42) Q.\(z) = chVz4 7 th(Vzy Jz )shVz = 0 (3.2.43) Решения уравнений (3.2.40) и (3.2.41) z = y"2 и z = yf\c 1 являются нулями R(z) и всех подынтегральных функций стоящих в числителе формул (3.2.19), и поэтому не являются полюсами подынтегральных функций в (3.2.19), (3.2.22), (3.2.26), (3.2.28), (3.2.30), (3.2.37).
Уравнение (3.2.42) не решается в аналитической форме, и поэтому начальное приближение нулей z п = 0,1,2,... уравнения (3.2.38) определяется в численной форме. Для получения начального приближения нулей zj„(/b,0) и = 0,1,2,... z±(hf) « = 0,1,2,..., КЛє[0,оо) используется параметр /г , и прежде всего крайние его значения fa = 0 и fa = да. При fa =0 уравнение (3.2.42) упрощается до следующего совпадающего с (1.3.14) для задачи I об однослойном покрытии на жесткой подложке, решение которого zj„(0,0) = ±Ыщ-х « = 0,1,2,... (3.2.46) Взяв ZQ„(0,0) за начальное приближение и изменив « 0 =0 на /ц 0 (близкое к нулю) и подставив в исходное уравнение (3.2.42), определим начальное приближение для нулей z±(thuv) вида г (Лц,0) « = 0,1,2,.... Продвигаясь таким образом, определим численные значения начальных приближений zf)n{hk,Q ) к = 0,1,2,...,т, и = 0,1,2,... (для последовательности значений h k) для определения траекторий (множеств) z (h k,v), Гє[о,оо).
С другой стороны, при /г = оо уравнение (3.2.42) также упрощается, превращаясь в shyz + Li fl -1chyz = 0 (3.2.47) которое совпадает с (2.2.40), решение которого выписано в аналитической форме в (2.2.44) и в наших обозначениях будет иметь вид z±(oo,0) = —In \q \±i\ \ « = 0,1,2,... q = (3.2.48) )n 2y [тс(я + 1/2)/у # 0j 1 + ц /а Затем взяв в (3.2.42) h4 да, а ZQ„(OO,0) за начальное приближение, найдем нулевое приближение ZQ„(h ,0) « = 0,1,2,... для определения нулей z {h4,v) для произвольных F из основного уравнения (3.2.38). Таким образом будут найдены все траектории (множества) нулей уравнения (3.2.38) z (h.hv) / = 0,1,2,...,г, « = 0,1,2,...
Сравнивая ZQ„(h k,0) к = 0,1,2,...,т, « = 0,1,2,..., построенную на возрастающей последовательности {/%} к = 0,1,2,...,т при /г 0=0, и г п(кч,0) / = 0,1,2,...,г, « = 0,1,2,..., построенную на убывающей последовательности {h4} I = 0,1,2,...,г при « 0=оо, выберем из них в качестве начального приближения zj„( ,0) 140 / = 0,1,2,...,т для последующего определения нулей z [hhv) 1 = 0,1,2,...,т, п = 0,1,2,... функции R(z) из (3.2.38) для произвольных Гє[о,оо). Уравнение (3.2.43), так же как и уравнение (3.2.42), не имеет аналитического решения и начальное приближение С к к = 0,1,2,... для определения множества нулей C [h ,V) & = 0,1,2,..., V,h є[о,сю) приходится определять численно при фиксированных значениях А и других параметрах задачи. При /г = 0 уравнение (3.2.43) упрощается и принимает вид chV = 0 (3.2.49) которое уже встречалось при исследовании нулей R(z) во 2-ой главе (1.3.14), решение которого дано в (1.3.15) и в принятых здесь обозначениях имеет вид Й (0,0) = Й = -тг\к + \12)2 = 0,1,2,... (3.2.50) что в комплексной плоскости представляет набор точек на отрицательной части действительной оси. Теперь, используя (3.2.50) за начальное приближение, изменим /г 0 на /ц 0 в уравнении (3.2.43) определим начальное приближение при /ц Со,(/ц,о). Повторяя процесс определим необходимые Cj fc,0), / = 0,1,2,..,т, = 0,1,2,.... С другой стороны, положив /г 0 = да в (3.2.43), получим уравнение chV + VK?shV = 0 (3.2.51) решение которого изучалось в п. 2.2.2, где было показано, что решение этого уравнения в комплексной плоскости с разрезом лежит на другом листе римановой поверхности. Поэтому найденные ранее начальные приближения k{hn,o), I = 0,1,2,...,т, к = 0,1,2,... использовались для определения траекторий C yht V), I = 0,1,2,...,т, к = 0,1,2,..., Ve[0,oo).
Траектории нулей для для различных /г представлены на рис. 3.2.1, где стрелками указано направление размещения точек этих множеств, когда V изменяется от 0 до да. При h = 0 (сплошная линия) график совпадает с полученным 141 для задачи I. Увеличение А приводит к сгущению полюсов к началу координат. При этом все полюса z имеют положительную действительную часть при V 0, что говорит о термоупруго динамической неустойчивости решения задачи III.. Рисунок 3.2.1 — Расположение нулей Z+(F) функции R(Z) из (3.2.21) при V є [0, оо), у = 0,01, і = 0,534, а = 0,754, К, = 1,835, к = 0,780, а = 1,388, v = 0,978. Цифры рядом с графиками указывают порядковый номер п. Траектории даны для различных значений Я : А = 0 (——),А = 1 ( ), А = 2 ( ) Как и в п. 2.2.2, для z и п,к = 0,1,2,... выполняется свойство (2.2.46). Найденные таким образом нули характеристического уравнения (3.2.38) z и Ск п,к = 0,1,2,... являются собственными числами рассматриваемой начально-краевой задачи (3.1.1)-(3.1.8), (3.1.9)-(3.1.14), а с другой стороны — полюсами подынтегральных функций контурных квадратур решения задачи III в (3.2.19), (3.2.22), (3.2.26), (3.2.28), (3.2.30), (3.2.37).