Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Современный этап развития механики деформируемого твердого тела характеризуется как тесной взаимосвязью и взаимозависимостью в постановке и решении общетеоретических проблем и прикладных инженерных задач, возникающих в практике проектно-кояструкторской и научно-исследовательской деятельности, так и широким использованием самого разнообразного аппарата современной математики, включающего новейшие разделы теоретической и прикладной математики /функционального анализа, общей теории уравнений с частными и обыкновенными производными и т.д. / и проведение численного эксперимента на ЭВМ. Такой подход позволяет исследовать механические свойства материалов реальных тел, из которых состоят элементы конструкций, протекающие в них изменения и взаимодействия, выразить их в виде математических соотношений и, как результат,- рассчитать и спроектировать аппарат, промышленное изделие, строительную конструкцию так, чтобы возникающие в них механические явления наилучшим образом обеспечивали выполнение технико-эксплуатационного процесса.
Линейная теория упругости представляет а.бой раздел МДТТ, изучающий напряженно-деформированное состояние /НДС/ твердых тел, материал которых подчиняется закону Гука. Наиболее полное развитие в этой теории получила задача в перемещениях, которая в математической формулировке сводится к решению трех дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка /система Ламе/ относительно трех компонент вектора перемещений при заданных граничных условиях первого, второго и смешанного типов. В рамках такой формулировки удалось доказать как теоремы существования в единственности решения основных задач теории упругости, так и разработать эффективные алгоритмы определения НДС и решить ряд важных и трудных задач теории упругости. Среди вышеупомянутых методов решения задачи в перемещениях отметим метод граничных интегральных уравнений, который допускает достаточно простую реализацию на ЭВМ. В то же время задача теории упругости в напряжениях осталась вне поля зрения широкого круга ученых /как механиков, так и математиков/ в силу ее достаточно сложной математической форму-
лировки /переонределенностъ разрешающей системы уравнений, ее не-вариапионный характер и т.д./. Поэтому на повестку дня современной МДТТ ставится проблема дальнейшего развития методов решения задачи в напряжениях по аналогии с теми методами, ьоторые сейчас успешно реализуются в задаче с перемещениями, в частности, метода интегральных представлений как составной частя метода интегральных уравнений.
Диссертация является частью плановой госбюджетной НИР 1.10.2 "Механика деформируемого твердого тела" /N г.р.О19200О149О/, входящей в программу АН Беларуси "Материал 2" /п.2.21 Плава АНБ/.
Цель работы - проанализировать математическую формулировку задача теории упругости в напряжениях и разработать математические основы теории потенциала для ее решения.
Задачи игіууяцоиаття. Для двух известных разрешающих систем уравнений задачи теории упругости в напряжениях построить решения с полярной особенностью и с их помощью вывести интегральные представления гладких решений упомянутых систем.
Основные положения лиссертапии, выносимые на аалпггу.
-
Фундаментальная матрица системы уравнений Бельтрами-Мичелла;
-
Интегральные формулы Грина для системы уравнений Бельтрами-Мичелла;
-
Интегральные представления гладких решения системы уравнений Бельтрами-Мичелла в ограниченных областях евклидового пространства;
-
Фундаментальная матрица решений системы уравнений, состоящей из трех уравнений равновесия и трех уравнений Бельтрами-Мичелла относительно касательных компонент тензора напряжений;
-
Интегральные формулы Грина для вышепоименованной системы уравнений переменного порядка;
-
Интегральные представления напряжений для пространственных тел ограниченных размеров.
Научная новизна. Для задач теории упругости в напряжениях метод интегральных представлений применен впервые. Все вышесказанные результаты и формулы, выносимые на зашиту, являются новыми.
Практическая значимость полученных результатов. Диссертация имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть использованы в научно-исследовательских и проектно-конструкторских организациях при определении напряженно-деформированного состояния ответственных элементов конструкций, расчете надежности, долговечности и несущей способности деталей машин и сооружений.
Экономическая значимость полученных результатов состоит з гом, что они позволяют избежать проведения дорогостоящих лабораторных и натурных экспериментов и связанных с ними энергетических и материальных затрат при определении НДС реальных конструкций и знедрении новых конструкционных материалов, оценки технико-экс-элуатационных свойств промышленных изделий и сооружений.
Личный вклад соискателя. Все основные результаты выносимой на шииту диссертации получены лично соискателем. Соавторам в совместных публикациях принадлежат постановка задач, обсуждения Полуниных соискателем результатов, их достоверности и значимости.
Апробапкя результатов диссертации. Результаты диссертацион-шх исследований докладывались на международной математической сонференции, посвященной 25-летию ГГУ им.Ф.Скорины /Гомель, ап-зель 1994 г./, международной конференции "Функциональный анализ и фавнения с частными производными" /Минск, декабрь 1994 г./, Бе-юрусском конгрессе по теоретической и прикладной механике "Меха-шка-95" /Минск, февраль 1995 г./, международной математической гонфереиции "Алгебра и кибернетика" /Гомель, сентябрь 1995 г./, Зсеукраинской научной конференции "Разработка и применение математических методов в научно-технических исследованиях" /Львов, октябрь 1995 г./, Второй Иорданской математической конференции /Ка-эак, Иордания, сентябрь 1994 г./.
Опублнкованность результатов. Основные результаты дисс'рга-ши отражены в четырех статьях и шести тезисах докладов на научных сонференциях.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, об-цей характеристики работы, четырех глав, выводов и списка литерату-ры і количестве 55 наименований. Полный объем диссертации сосгавля-ег 91 їтраницу машинописного текста.