Введение к работе
Актуальность проблемы. Изучение колебательных процессов имеет большое значение для современной техники. При всем разнообразии таких процессов явление распространения вибрации в конструкциях представляет одинаковый интерес как для машино- и судостроителей, так и для ученых-механиков, занимающихся теорией колебаний. Специалистам хорошо известно, что одной из основных характеристик динамической прочности конструкции, а так же ее виброакустических характеристик является спектр резонансных частот колебаний.
Возможность существования у механической системы резонансных колебаний тесно связана с наличием у нее дискретного спектра собственных частот колебаний. Именно, при вынужденных колебаниях на частотах дискретного вещественного спектра собственных частот колебаний в системе возникают резонансные моды колебаний.
Существование дискретного вещественного положительного спектра собственных частот колебаний у тел конечных размеров на сегодняшний день не вызывает сомнений. Сложнее обстоит дело с телами бесконечной протяженности. Известно, что они имеют непрерывный спектр собственных частот колебаний. При вынужденных колебаниях в системе происходит распространение волн. О существовании дискретного спектра у механических систем, имеющих хотя бы одну из границ удаленной на бесконечность, сказать ничего определенного нельзя.
Однако оказывается, что при определенном виде дифференциального оператора и при определенных видах включений у бесконечных механических систем может существовать вещественный дискретный спектр собственных частот колебаний.
При вынужденных колебаниях поведение механических конструкций бесконечной протяженности на частотах дискретного спектра аналогично поведению тел конечных размеров. Именно, в системе возникают резонансные колебания. При этом волновой процесс отсутствует, а форма колебаний локализуется в районе включения.
Явление локализации приводит к существенному перераспределению вибрации, что сильно изменяет виброакустические характеристики колеблющегося тела. Последнее необходимо учитывать на практике.
На сегодняшний день отсутствуют строгие математические теоремы о распределении собственных значений дифференциальных операторов, определенных на бесконечном промежутке. Последнее заставляет восполнить имеющийся пробел исследованиями указанного выше явления на ряде специально подобранных типовых задач, решение которых позволило бы выделить главные, присущие этому явлению особенности. С одной стороны это может помочь продвижению в разработке соответствующей математической теории, с другой - полученные результаты можно использовать при проектировании соответствующих механических конструкций.
В данной работе рассматриваются задачи о возможности существования подобного явления в конструкциях, состоящих из балок бесконечной протяженности с включениями.
На актуальность темы диссертации указывает то, что она связана с исследованиями Института проблем машиноведения РАН по темам: "Динамика волновых движений механических систем" (N г.р.01.9.0044514) и "Создание новых эффективных средств виброгашения", разделов "Механика" и "Машиностроение и технология" комплексной программы фундаментальных исследований РАН. Работа выполнялась при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований.
Состояние вопроса. Для упругих тел, имеющих границы бесконечной протяженности, традиционным является наличие непрерывного спектра. Однако оказывается, что у определенных конструкций может существовать смешанный спектр.
По видимому впервые на возможность существования смешанного спектра собственных частот колебаний указал Шредингер при рассмотрении физической теории квантов.
В механике Урсулл Ф. (1951 г.) нашел смешанный спектр при решении задачи об образовании стоячих волн на безграничной поверхности идеальной несжимаемой жидкости. Дальнейшие исследования задач о возможности существования нераспростра-
няющеися, локализованной волны с экспоненциально спадающей амплитудой в объемах жидкости проводились Эвансом Д., Ма-кайвером П., Кузнецовым Н. Г. и др.
В механике деформируемого твердого тела наличие дискретного спектра, наряду с непрерывным, а так же явление локализации волн, было обнаружено Воровичем И.И. и Бабешко В.А. Они обнаружили ряд резонансов (В — резонансы) при решении задач о вибрации штампа, контактирующего на конечном участке с упругой полосой. Это явление получило подтверждение и экспериментально.
Вещественный дискретный спектр собственных частот для балки Бернулли-Эйлера с двумя пружинами-опорами и пластины с упругим набором подкреплений найден Бобровницким Ю.И. (1991 г.).
В последние годы Индейцев Д.А. исследовал вопросы влияния вида дифференциального оператора, описывающего динамику волновода, а также включений, на возникновение вещественного спектра собственных частот колебаний в упругих телах с одной из границ бесконечной протяженности. Им были сформулированы некоторые условия, при выполнении которых в механических системах существует вещественный дискретный спектр собственных частот колебаний.
Однако достаточно детального изучения этого интересного явления на примере хотя бы одного класса механических систем проделано не было. Так, в частности, остались не исследованными вопросы формирования резонансных мод колебаний в волноводах с N динамическими включениями. Хорошо известно из практики, что распределение вибрации в таких системах носит крайне неравномерный характер и, как будет показано в настоящей работе, может быть объяснено наличием дискретного спектра собственных частот колебаний. Не изученными остались вопросы о формировании резонансных мод колебаний в механических системах, содержащих два контактирующих между собой волновода, а так же поведение динамических систем, имеющих смешанный спектр собственных частот колебаний, при воздействии на них вынуждающих нагрузок.
Эти и другие вопросы, связанные с возможностью существо-
вания у механической системы смешанного спектра, изучаются в данной работе на примере распространения колебаний в балках и балочных конструкциях с различного рода упруго-массовыми включениями. Включения рассматриваются как сосредоточенные, так и распределенные. В качестве моделей выбраны модели балок Бернулли-Эйлера и Тимошенко.
Полученные результаты следует рассматривать как предварительные итоги работы по комплексному изучению интересного явления - образования ловушечных мод колебаний в сплошных средах с включениями. Все они требуют уточнений, которые должны последовать в первую очередь из решения трехмерных задач.
Целью работы является:
— Определение возможности существования вещественного
дискретного спектра собственных частот колебаний у балочных
конструкций бесконечной протяженности с включениями.
Установление зависимости возможности существования вещественного дискретного спектра собственных частот колебаний от вида включений.
Установление зависимости возможности существования вещественного дискретного спектра собственных частот колебаний от вида дифференциального оператора, описывающего колебания балочной системы.
Научную новизну определяют следующие результаты работы, которые выносятся на защиту:
— Определение условий, при выполнении которых в системе
возникает дискретный спектр собственных частот колебаний для
различных балочных конструкций и при различных видах вклю
чений.
Практическое значение полученных результатов непосредственно вытекает из решения конкретных задач о колебаниях подобных механических конструкций. Балочные конструкции широко применяются в машино- и судостроении. Поэтому приведенные в работе условия существования дискретного спектра и значения собственных частот колебаний позволяют прогнозировать и улучшать акустические свойства конструкций, определять перераспределения вибрации и управлять им.
Достоверность результатов обеспечивается выбором расчетных схем и моделей, корректностью математических выкладок.
Апробация работы. Научные результаты и основные разделы диссертации докладывались на: Всесоюзной научно-технической конференции "Гидроупругость и долговечность конструкций энергетического оборудования" (Каунас, 1990 г.); Всесоюзной конференции "Методы расчета прочности судовых конструкций" (Ленинград, 1990 г.); YI Международной конференции по теоретической и технической механике (Либерец, 1992 г.); Международной конференции по борьбе с шумом и вибрацией "NOISE-93" (С.-Петербург, 1993 г.); на 3 конгрессе прикладной математике и механике "ICIAM", а также на семинаре по акустике под руководством проф.Д.П.Коузова (С.-Петербург)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работы.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из Введения, 4 глав и Заключения. Диссертация содержит (Zic_ машинописного текстаД^. рисунков. Список литературы включает _е.?_ наименования.