Решение неосесимметричных задач теории упругости для пространства с тороидальной полостью Гейнц, Оксана Михайловна

Введение к работе

Актуальность темы. Полный и всесторонний анализ прочности и надежности элементов конструкций требует детального исследования их напряженного состояния методами механики деформируемого твердого тела. Вопросы о решении плоских и пространственных задач теории упругости являются предметом многочисленных научных исследований.

В случае плоских задач теории упругости общепризнанным является применение классических аналитических функций комплексного переменного на основе формул Колосова — Мусхелишвили. Работы этого направления связаны с именами Н. И. Мусхелишвили, Д. И. Шермана, С. Г. Михлина, В. 3. Партона, П. И. Перлина и многих других исследователей; широко известны своей эффективностью и изяществом.

В монографии А. Я. Александрова и Ю. И. Соловьева «Пространственные задачи теории упругости» описываются методы, позволяющие распространить аппарат аналитических и обобщенных аналитических функций комплексного переменного на пространственные задачи. Использование этих методов для задач, допускающих разложение в тригонометрический ряд по углу в цилиндрической системе координат, дает возможность найти аналитическое решение ряда задач. К числу этих задач относится исследование напряженного состояния упругого тела в виде сплошного и полого тора или пространства, имеющего тороидальную полость.

Реферируемая диссертационная работа посвящена развитию метода обобщенных аналитических функций И. Н. Векуа применительно к основным задачам о напряженном состоянии для пространства с тороидальной полостью. Целью работы является:

1. Разработка подходов и алгоритмов решения неосесимметричных задач для тора и пространства с тороидальной полостью на основе теории обобщенных аналитических функций и обобщения формул Колосова — Мусхелишвили на трехмерные задачи.

2. Реализация упомянутых выше алгоритмов в пакете прикладных программ для решения канонических задач для пространства с тороидальной полостью.

3. Визуализация полученных результатов посредством графических пакетов и их анализ.

Объект и предмет исследования. Напряженно - деформированное состояние упругого пространства с тороидальной полостью.

Методы исследований. Для решения поставленных в диссертационной работе задач используются: методы математического анализа, аппарат

ГОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I
5 БИБЛИОТЕКА [

I

обобщенных аналитических функций комплексного переменного, теории гармонических и специальных функций, элементы линейной алгебры. Научная новизна. Новым в диссертационной работе является:

1. Предложена методика решения основных неосесимметричных
задач для тора и пространства с тороидальной полостью. Рассмотрен также
частный случай осесимметричных задач.

2. Указан и реализован подход к решению задач о напряженном
состоянии методами обобщенных аналитических функций комплексного
переменного, позволивший получить решение ряда задач для пространства
с тороидальной полостью.

3. Решены в явном виде задачи для упругого пространства
с тороидальной полостью: а) при заданных на поверхности полости
перемещениях; б) при заданных на поверхности полости внешних силах.
Основные положения.- выносимые на защиту:

4. Представление общего решения теории упругости при помощи обобщенных аналитических функций комплексного переменного в тороидальных координатах.

5. Решение в рядах для пространства с тороидальной полостью, полученное на основе приведенного общего решения.

6. Числовые результаты решения задач для упругого пространства с тороидальной полостью при заданных на поверхности полости перемещениях и внешних силах.

Достоверность полученных в работе результатов обеспечена
использованием аналитических методов для построения алгоритмов,
подтверждением работоспособности алгоритмов результатами

вычислительных экспериментов, а также их совпадением с числовыми решениями, полученными ранее в монографии Ю. И. Соловьева и А. Я. Александрова «Пространственные задачи теории упругости» для осесимметричной задачи. При оценке достоверности решений рассматриваемых задач исследование сходимости рядов осуществлялось в вычислительном эксперименте.

Практическая ценность работы и реализация полученных результатов. Особое значение для расчета прочности массивных тел имеет изучение поля напряжений вокруг разного рода ослаблений: внутренних полостей, каверн и так далее. И если вопрос о концентрации напряжений около сферических или сфероидальных полостей более или менее изучен, то нигде не рассматривались полости кольцевой (тороидальной) формы, хотя на практике такие полости встречаются.

Предложенная в диссертации методика и полученные результаты, могут быть применены для оценки прочности крупногабаритных деталей с внутренними дефектами типа кольцевых пустот, а также для определения и анализа^Лнапряженно — деформированного состояния окрестностей горных вираЙ0ТОк»вокругделиков, находящихся на большой глубине.

Основные результаты работы нашли применение в госбюджетной теме «Совершенствование расчетных методов механики деформируемого твердого тела применительно к задачам железнодорожного транспорта», которая разрабатывалась Сибирским государственным университетом путей сообщения в 1999 - 2002 гг.

Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1.37-ая Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс»; Математика./ НГУ/ Новосибирск 1999 г.

2.7-ая Международная конференция «Математика. Эконо-мика. Экология. Образование». Международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения»/Ростов-на-Дону 1999 г.

3. Региональная научно—практическая конференция «Транссиб - 99»/ Новосибирск 1999 г.

4. 10-ая Международная конференция «Математика. Экономика. Образование». 2-ой Международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения»/ Ростов-на-Дону 2002 г.

5. Всероссийская школа - семинар по современным проблемам механики деформируемого твердого тела./ Новосибирск 2003 г.

По материалам диссертационной работы опубликовано 5 статей.

Автор приносит слова благодарности научному руководителю доктору физико - математических наук, профессору Соловьеву Ю. И. за постоянную поддержку и внимание к работе.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 121 странице и состоит из введения; четырех разделов; заключения; списка литературы из 52 наименований и иллюстраций, включающих 169 рисунков.