Введение к работе
Актуальность проблемы.
Широкое использование легких конструкций в виде пластин и оболочек в строительстве, машино-, авиа-, кораблестроении делает особенно важными их исследования на прочность. Наличие в конструкциях опор, прямо липейпых дефектов типа трещин и включений усложняет построение физических и. математических моделей и, в конечном итоге, их расчет. Решение указанных задач требует применения достаточно универсальных теоретических подходов при использовании строго обоснованного математическою аппарата.
В связи с требованием надежности, качества, экономичности строительных конструкций и машип и одновременным развитием вычислительной техники на первый план выходит задача по разработке эффективных численных методов для решения на ЭВМ задач механики твердого деформируемого тела (в частности, в теории пластин сложной геометрии). Метод граничных элементов (МГЭ) является одним из наиболее эффективных методов расчета напряженно-деформируемого состояния (НДС) пластин и оболочек. Непрямой МГЭ (метод компенсирующих нагрузок (МКН)) и метод разрывных решений (МРР), рассмотренные в работе, имеют корректную механическую интерпретацию, представляющую преимущества в практическом применении.
Существенный вклад в развитие метода граничных интегральных уравнений (МГИУ) как аналитического метода внесли Мих-лин С.Г., Купрадзе В. Д., Мусхелишвили Н.И. и Смирнов В.И. С прикладной точки зрения этот метод описан в работах Верюж-ского Ю.В., Крузо и Риццо, посвященных развитию и применению МГЭ в механике деформируемого твердого тела.
Построение и исследование фундаментальных решений теории пластин и оболочек, как теоретической базы МГЭ, проводится в работах Лукасевича С, Ольшанского В.П., Шевченко В.П.
Продвижение в развитии МГЭ для задач изгиба нластин осуществлено в работах Толкачева В.М. Особое внимание уделено теоретическому анализу.
Морарем Г. А. построены матрицы разрывных решений для сосредоточенных скачков механических величин в теории пластин. Эти решепия позволяют привести разнообразные задачи при на-
личин дефектов к интегральным уравнениям.
В механике твердого деформируемого тела задачи расчета пластин и оболочек нри наличии разрезов представляют особый интерес. Являясь во многих случаях причиной разрушения конструкции, дефекты сильно влияют на ее работоспособность, что предопределяет теоретическую и практическую значимость указанного класса задач.
Вопросы, связанные с оценкой НДС, обусловленного наличием в телах дефектов произвольной природы рассмотрены в работах: Осадчука В.А., Панасюка З.В., Попова Г.Я., Саврука М.П., Хижняка В.К., Шевченко В.П., посвященных проблеме концентрации напряжений у дефектов типа трещин или включений.
Развитие МГЭ в теории пластин представлено работами Артюхина Ю.П., Банцарева К.Н., Ваттерфилда Р., Бенерджи П., Вребия К., Венцеля Э.С., Верюжского Ю.В., Вроубела А., Грибова А.П., Кильчевского Н.А., Копейкина Ю.Д., Коренева К.Г., Крамина М.В., Крауча С, Кулакова В.М., Паймушина В.Н., Се-разутдинова М.Н., Синявского А.Л., Старфилда Ф., Толкачева В.М., Трофимова A.M., Угодчикова.А.Г., Хуторянского Н.М. и других.
Обзор, приведенный в работе, представлен широким спектром подходов использования метода граничных интегральных уравнений її непосредственно МГЭ для решения различных задач теории пластин. Однако большая часть работ содержит те или иные ограничения в постановке задачи (относительно геометрии, граничных условий, внешнего нагружения). Анализ предшествующих работ свидетельствует об актуальности выбранного направления исследований и позволяет сделать вывод о необходимости разработки универсальных теоретических подходов и эффективных численных алгоритмов в изучаемой области механики твердого деформируемого тела. Настоящая работа нреднолага-ст продвижение в решении данной проблемы.
Целью диссертационной работы является:
развитие метода граничных элементов (МГЭ) для исследования пространственных пластинчатых конструкций (при наличии в них дефектов различной природы и формы) на базе решений для изгиба и обобщенного плоского напряженного состояния пластин. Основой МГЭ является существование фундаментального
решения, которое в случае изгиба и растяжения пластин имеет простой полиномиально-логарифмический вил. В то же время для пространственных конструкций сложной формы фундаментальные решения либо отсутствуют, либо имеют громоздкие выражения в рядах и специальных функциях, которые трудны для численной реализации МГЭ. Предлагается способ использования простых фундаментальных решений для пластин при построении интегральных уравнений, описывающих НЛС пластинчатых систем.
Для подавляющего большинства случаев простая граничная дискретизация обязательно ведет к значительно меньшей системе уравнений, чем любая схема дискретизации всего тела. С другой стороны, матрицы порождаемых при помощи МГЭ систем являются заполненными для однородной области и блочно-леаточными, когда имеется более одной подобласти, тогда как значительно большие матрицы, которые получаются при применении метода конечных элементов (МКЭ), относительно редко заполнепы. По мере увеличения размерности задач, совокупные расходы для схем МГЭ, связанные с ЭВМ, увеличиваются значительно менее резко в зависимости от размера задачи, чем для схем МКЭ. МГЭ включает моделирование только граничной геометрии системы. Как только получета решения па границе, могут быть вычислены значения переменных, описывающих решение, й любых последовательно выбираемых внутренних точках. В силу непрерывности решения можно находить значения переменных в любой заданной внутренней точке (выбрав ее по- * еле основного анализа) с очень высокой точностью, например в областях концентрации напряжений. В заключение можно отметить, что граничное интегральное уравнение, является формулировкой поставленной задачи, ведущей к точному ее решению, погрешности вследствие дискретизации и численных аппроксимаций возникают только на границах. Погрешности могут быть очень малыми, если процедура численного интегрирования сделана достаточно сложной. Кроме того, численное интегрирование всегда есть более устойчивый и точный процесс, чем численное дифференцирование.
На защиту выносятся:
1. Построение и анализ граничных интегральных уравнений
теории тонких пластин, пространственных конструкций, состоящих из пластин с криволинейными разрезами для всех основных видов граничных условий.
-
Итерационный процесс, основанный на МГЭ для расчета пологих оболочек отрицательной гауссовой кривизны.
-
Развитие и применение метода компенсирующих нагрузок (непрямого МГЭ) и метода разрывных решений (МРР) к задачам о пространственных конструкциях, состоящих из пластин сложной формы, и пологих оболочках при наличии в них разрезов.
-
Разработка алгоритмов численной реализации МКН и МРР для задач теории пластин и задач о пластинчатых конструкциях и иологих оболочках двоякой кривизны сложной формы.
5. Создание на основе полученных алгоритмов пакета со
вместимых программ для исследования НДС тонкостенных кон
струкций сложной формы иод действием произвольной нагрузки
при нсех основных условиях закрепления.
6. Результаты решения новых задач и их анализ.
Научная новизна работы заключается в проведении следую
щих исследований:
-
В строгой математической постановке и при использовании ряда теорий (теория обобщенных функций, теория математического анализа, теория потенциала, теория аналитических функций) обобщены известные и получены новые результаты в области предельных значений потенциалов с порядком особенности в интегральных ядрах до четвертого (^,) включительно. Проведено сравнение результатов, полученных различными теориями и этим показана достоверность используемых методов. Таким образом впервые получены математически корректные граничные интегральные и интегро-дифференциальные уравнения с ги-нерсингулярными ядрами: 1) соответствующие граничному условию на свободном участке контура пластины сложного очертания при изгибе, 2) имеющие место в задачах теории изгиба и растяжения пластин с криволинейными трещинами;
-
Построены аффективные численные алгоритмы для совместной схемы МКН и МРР при решении широкого класса задач теории пластин и оболочек; рассмотрено НДС пластин, пластинчатых конструкций сложного контура с криволинейными разрезами; создано программное обеспечение, реализующее вышеука-
занныс алгоритмы.
-
Осуществлена постановка и полное численное решение но-вых задач теории пластин, пластинчатых конструкций и пологих оболочек.
-
Изучеп ряд новых механических эффектов, связанных с наличием в нластипе различных дефектов - отверстий и трещин, и при рассмотрении пластинчатой конструкции.
Достоверность результатов и выводов,, сформулированных в диссертационной работе, обеспечивается:
применением аналитических методов вычисления сингулярных и суперсингулярных интегралов и высоко точных квадратурных формул для интегрирования в численных алгоритмах,
согласованностью теоретических результатов, полученных различными методами и теориями для создания разрешающей системы интегральных уравнений,
устойчивой сходимостью решения для всех задач при более точной дискретизации на контуре,
совпадением результатов разработанного программного комплекса с результатами решения ряда тестовых задач, которые имеют аналитическое решение или решение, полученное другими численными методами.
осуществлением апостериорной оценки достоверности решений с помощью определения невязки выполнения граничных условий в промежуточных точках контура, а также оценки точности приближенного решения, полученного в ходе итерационного процесса, исходя из функциональной сходимости вектора фиктивных сил во всей области.
Практическая ценность. Разработанный комплекс программ может быть использован как в учебных целях, так и инженерами, научными сотрудниками для решения задач в области машино-и авиастроения, строительства. Полученные на основе разработанного метода и реализующих» его программного обеспечения результаты расчетов могут быть использованы проектными и конструкторскими организациями в комплексе прочностных исследований конструкций.
Апробация работы. По основным результатам работы автор награжден дипломом лауреата конкурса "Молодые дарования"
в области механики и машиноведения, организованного Меж-
7.
дувародным гуманитарным фондом "Знание".
Основные результаты диссертации доложены и обсуждены:
на научной конференции студентов и преподавателей вузов ТССР, Казань, 1991 г.
на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета за (1993-1994 гг.);
на семинаре кафедры теоретической механики Казанского технического университета (1994 г.);
на международной научно-технической конференции "Меха-пика машиностроения.", Набережные Челны, 1995г.;
на 47 Республиканской научной конференции по итогам научных исследований и внедрению их в производство., Казань, 1995г.;
на 4 международной конференции "Лаврентьевские чтения" но математике, механики и физике, Казань, 1995г.;
на 17 международной конференции по теории оболочек и пластин, Казань, 1995г.;
Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ.