Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Некоторые уточненные модели, описывающие распространение продольных и изгибных волн в стержнях и пластинах 9
1.1. Стержень Миндлина-Германа 10
1.2. Балка Тимошенко 14
1.3. Пластина Тимошенко 22
Глава 2. Продольные волны в составном стержне
2.1. Линейно-упругий закон контактного взаимодействия 26
2.2. Линейный вязкоупругий закон контактного взаимодействия . 33
2.3. Составной нелинейно-упругий стержень .41
Глава 3. Поперечные волны в составной струне и составной мембране 47
3.1. Поперечные волны в составной струне при линейно-упругом законе контактного взаимодействия .48
3.2. Поперечные волны в составной нелинейно-упругой струне 50
3.3. Поперечные волны в составной мембране 55
3.4. Поперечные волны в составной мембране с учетом геометрической нелинейности .59
Заключение 81
Список литературы
- Балка Тимошенко
- Пластина Тимошенко
- Линейный вязкоупругий закон контактного взаимодействия .
- Поперечные волны в составной мембране
Введение к работе
Актуальность темы. В современном мире жесткие условия эксплуатации объектов из новых композиционных материалов, диктуют высокие требования к точности исследования (расчета) напряженно-деформированного состояния, поэтому использование классической теории пластин и оболочек (классических инженерных теорий) становится затруднительно. В связи с этим в инженерной практике наиболее приемлемо использовать уточненные (неклассические) теории (Рэлея-Лява, Бишопа, Миндлина-Германа, Тимошенко), которые учитывают дисперсионные, а иногда и нелинейные эффекты.
Кроме того, анализ причин технических аварий объектов показывает, что огромного их числа можно было избежать при наличии необходимых средств неразрушающего контроля и диагностики состояния составных элементов конструкций.
Задачи о распространении продольных и изгибных волн находят свое применение в следующих областях:
-
Расчеты напряженно-деформированного состояния, решение задач устойчивости элементов современных конструкций, рассматривающиеся в виде составных систем, в машиностроении.
-
Расчеты мощных ультразвуковых и виброударных установок, с учетом влияния нелинейных эффектов. Нелинейность также учитывается в задачах акустодиагностики.
-
Проверка конструкций на наличие скрытых дефектов – метод неразрушающего контроля. Данный метод применим при производстве материалов и на стадии эксплуатации конструкций. Направленные упругие волны могут распространяться на значительные расстояния без существенного затухания, что позволяет проводить дефектоскопию в труднодоступных местах. Диссертационная работа проводилась по программе ФНИ
Государственных академий наук на 2013-2020гг. (Раздел 3 «Технические науки». Подраздел 30 «Методы анализа и синтеза многофункциональных механизмов и машин для перспективных технологий и новых человеко-машинных комплексов. Динамические и виброакустические процессы в технике»). По теме 0055-2014-0002, № госрегистрации 01201458047. Развитие теории нелинейной волновой динамики и виброакустики машин и ее приложение к анализу устойчивости распределенных механических систем с высокоскоростными движущимися нагрузками, созданию методов и средств диагностики конструкций на ранних стадиях повреждения и разработке высокоэффективных адаптивных систем виброзащиты машин. (Научный руководитель: профессор Ерофеев В.И.)
и при поддержке: – Гранта Российского научного фонда «Динамика и устойчивость систем «грунт-рельсовая направляющая – высокоскоростной движущийся объект» с
учетом эффектов излучения волн и накопления повреждений в материалах конструкций» (РНФ №14-19-01637 (конкурс «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»); руководитель: профессор Ерофеев В.И.);
– Гранта Российского фонда фундаментальных исследований «Исследование
объемных и поверхностных волн в составных элементах конструкций на основе
уточненных моделей для акустической диагностики механических
неоднородностей при неразрушающем контроле изделий» (РФФИ № 16-38-00426 мол_а; руководитель: аспирант Архипова Н.И.);
– Гранта в рамках государственных заданий в сфере научной деятельности по
теме «Оптимизация энергетических и вибрационных характеристик
регулируемых автономных электромеханических систем с новым классом
адаптивных полупроводниковых преобразователей» (№8.2668.2014/К;
руководитель: профессор Ерофеев В.И.).
Цель работы
состоит в исследовании дисперсионных, диссипативных и нелинейных
эффектов, проявляющихся при распространении продольных и поперечных
волн в составных элементах конструкций.
В соответствии с изложенной целью в работе поставлены и решены следующие
задачи:
– Выбор математических моделей, описывающих продольные и поперечные
колебания составных стержней и пластин.
– Выполнение аналитических и численных решений ряда задач о
распространении упругих волн в составных элементах конструкций.
– Выявление соотношений, связывающих характеристики исследуемых
математических моделей стержней и пластин с параметрами уточненных
(неклассических) моделей.
Научная новизна
Научная новизна работы заключается в следующем:
– Впервые предложен и теоретически обоснован подход, позволяющий
исследовать динамику составных элементов конструкций, основанный на
применении уточненных моделей стержней и пластин.
– Впервые определено, что математическая модель, описывающая продольные
колебания составного стержня, по своим дисперсионным свойствам
эквивалентна модели Миндлина-Германа.
– Получено, что составная струна, совершающая поперечные колебания,
эквивалентна балке Тимошенко с натягом; составная мембрана эквивалентна
пластине Тимошенко с натягом.
– Проведен анализ дисперсионных и диссипативных свойств волн,
распространяющихся в составном стержне с вязкоупругой силой контактного
взаимодействия.
– Впервые показано, что в составном стержне могут существовать нелинейные
уединенные стационарные волны, и исследованы особенности их
распространения.
– В рамках математической модели составной мембраны с учетом
геометрической нелинейности получены и исследованы одномерные и
двумерные солитоны, а также представлены различные формы нелинейных
периодических колебаний.
Практическая значимость
Дисперсионные и диссипативные зависимости, связывающие параметры упругих волн, могут найти применение при разработке методов расчета элементов конструкций на прочность, устойчивость.
Значение проводимых исследований будет способствовать разработке новых методов и средств неразрушающего контроля материалов и элементов конструкций для предприятий разных отраслей промышленности.
Методы исследования
При проведении исследований использованы методы механики сплошных сред, теории колебаний и волн.
Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их
согласованностью с общими положениями механики сплошных сред, теории
колебаний и волн, а также согласованностью результатов расчетов с
известными экспериментальными данными.
На защиту выносятся
– Результаты исследований распространения продольных волн, в том числе существование нелинейных уединенных стационарных волн в составном стержне.
– Математические модели, описывающие поперечные колебания в составной струне и составной мембране с линейно-упругими силами контактного взаимодействия.
– Анализ качественно различных случаев поведения солитонов в составной мембране.
Апробация работы
Результаты работы докладывались и обсуждались: на международной инновационно-ориентированной конференция молодых ученых и студентов, (14-17 декабря, 2011, Москва), на X Всероссийском совещании-семинаре «Инженерно-физические проблемы новой техники», (17-19 апреля, 2012, Москва), на IX Всероссийской научной конференции им. Ю.И. Неймарка «Нелинейные колебания механических систем», (24-29 сентября, 2012, Нижний Новгород), на Седьмой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике», (29-31 января, 2013, Москва), на 18-й Нижегородской сессии молодых ученых «Технические науки», (19-22 марта, 2013, Нижний Новгород), на международной научной конференция «Теория оболочек и мембран в механике и биологии: от макро- до наноразмерных структур», (16-20 сентября, 2013, Минск, Республика Беларусь), на 2-й Всероссийской научной
конференции «Механика наноструктурированных материалов и систем», (17-19 декабря, 2013, Москва), на 19-й Нижегородской сессии молодых ученых «Технические науки», (18-21 марта, 2014 ,Нижний Новгород), на XLII международной конференции “Advanced Problems in Mechanics (APM-2014)”, (June 30 - July 5, 2014, St. Petersburg, Russia), Proceedings of International Conference on Informatics, Networking and Intelligent Computing (INIC 2014, 16-17 November, 2014, Shenzhen, China), на Восьмой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике»,( 27-29 января, 2015, Москва), на III Международном научном семинаре «Динамическое деформирование и контактное взаимодействие тонкостенных конструкций при воздействии полей различной физической природы» (19-21 октября, 2015, Москва), на Всероссийской конференции, посвященной 95-летию со дня рождения А.Г. Угодчикова и 40-летию Научно-исследовательского института механики Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского «Проблемы прочности, динамики и ресурса» (16-19 ноября, 2015, Нижний Новгород), на X Всероссийской научной конференции им. Ю.И. Неймарка «Нелинейные колебания механических систем», (26-29 сентября, 2016, Нижний Новгород), на V Международном научном семинаре «Динамическое деформирование и контактное взаимодействие тонкостенных конструкций при воздействии полей различной физической природы» (17-19 октября, 2016, Москва).
Работа была поддержана стипендией академика Г.А. Разуваева, а также
почетным дипломом «За наиболее интересное научное сообщение» на XXIII
международной инновационной конференции молодых ученых и студентов
(Москва, 2011г.), дипломом 3 степени министерства образования
Нижегородской области на 18-й Нижегородской сессии молодых учёных в 2013г, дипломом 3 степени министерства образования Нижегородской области на 19 Нижегородской сессии молодых учёных в 2014г.
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 23 научных работ, 4 из которых[1-4] - статьи из перечня журналов, рекомендуемых ВАК РФ.
Балка Тимошенко
На дисперсионной плоскости из начала координат выходит первая дисперсионная ветвь, описывающая преимущественно изгибные волны, вторая ветвь, описывающая преимущественно сдвиговые волны, исходит из точки г. Для каждого фиксированного значения или k будет существовать два значения фазовой скорости: (12) I 1 I V С2 ) с2 V ГУК У 1 vs 2 2 КС0Сх f 1/ Ч1,2)=с0с, [2coKryJ 7R + соКс )гу ±[со -2»Ч2Ксїг; + (1.15) + оо К c ry +4KCQC 4I1/2) /2 Аналогично два значения групповой скорости для каждого фиксированного значения : у v2) = {2с0сД2Кгу)1/2[(ю2Со +2Kcj)ry + ю(ю2с0%2 -22c02KcJry2 + ю2К2 Гу + 4Кс02с:)1/2]1/2}/{2(шс2 +шКс2)гу ±[ш(2с04гу2 -4с2Кс2гу2ш)±(ш2с04гу2 -2ш2с02Кс2гу2 + + ю2К2 гу2 +4Кс2с:)1/2]/[2(ю2С;гу2 -2ю2с02Кс;Гу2 +ю2К2 гу2 +4Кс2 )1/2]} На рис. 1.4 (а,б) изображены зависимости фазовых и групповых скоростей изгибных волн в стержне от частоты, на рис. 1.4 в изображены зависимости фазовых скоростей от волнового числа. а Рис. 1.4 а – зависимость фазовой скорости от частоты. в Рис. 1.4 б – зависимость групповой скорости от частоты; в – зависимость фазовых скоростей от волнового числа. Штриховыми линиями на рис. 1.4 в изображены зависимости, полученные [13] по теориям Бернулли-Эйлера и Рэлея, штрих-пунктиром -зависимости, полученные по теории Тимошенко (Ті и Т2). Сплошными линиями изображены дисперсионные зависимости, соответствующие трем первым антисимметричным нормальным волнам (ао, ец, аг), рассчитанные [13] с помощью решения уравнения Ламе для упругого цилиндра.
В книге [2] показано, что путем введения не одного К, а большего числа произвольных коэффициентов, имеется возможность «улучшения» дисперсионных свойств модели Тимошенко, в частности, удается добиться количественного совпадения ее дисперсионной ветви с кривой аі .
Особенности распространения нелинейных изгибных волн в стержне Тимошенко изучаются в работах В.И. Ерофеева, В.В. Кажаева, Н.П.Семериковой, [69-71]. При учёте геометрической и физической нелинейности в работе [72] было получено уравнение: pFwtt -K iF(wxx -(px) = [2a2J2wx(p2x +4a3Fw3x +2a4F(p2wx + + a5J2(pw2x +3a6F(pw2x +a6Fcp3]x pJ29tt-EJ29xx+K F(9-wx) = [4a1J193 x+2a2J29x(92+wx)+ (U6) + 2a5J2(pq)xwx]x -2a2J2(pq)2 -2a4F(pw2 -2a3F(p3 -a5J2wx(p2 -Fw3x-3a6F(p2wx где w(x,t) - поперечное смещение; cp(x,t)- угол поворота поперечного сечения; р- объемная плотность материала; J1=JJz4dF, J2=Jz2dF - осевые моменты F F инерции; К- коэффициент Тимошенко; а}(} = Щ - коэффициенты, характеризующие геометрическую и физическую нелинейности среды. Отметим работы, в которых построены более сложные модели (трех- и четырехволновые) [1, 73-77], но в связи с громоздкими выкладками, уравнение Тимошенко и двухволновые уравнения являются общепринятыми в инженерных расчётах конструкций на колебания.
Согласно определению в [78]: «Пластинкой постоянной толщины называют тело, имеющее форму прямой призмы или прямого цилиндра и малую, по сравнению с размерами основания, толщину».
В книге [1] показано, что результаты, относящиеся к стержням, распространяются на пластины. В случае нарушения условия классической теории пластин, при рассмотрении задач поперечных колебаний пластин, необходимо учитывать влияние инерции вращения и деформации поперечного сдвига [98, 99]. В этом случае так же учитывается натяжение пластины.
Тогда плотность потенциальной энергии деформации пластины при изгибе имеет вид: \+iv п3ЬФУ favi/Vl h 3a9ay кцп3ГГэФу favi/Vl V Здесь К- коэффициент Тимошенко, ф,у- осредненные углы сдвига. wп = п[Ш + 12 Эу Эх dy + J 12 Эх dy + dw V/ + ф4 Эх; + 1 + 2 12 чЭуу 4 J l xJ J 4 N fawV ГэИ + — — + — J 2 [ Эх J Эу (1.17) Плотность кинетической энергии пластины равна: к a J 12 [ а) a J JJ Тогда изгибные колебания пластины [33] с натяжением представлены в виде системы уравнений: Е Э2Ф dw Э2Ф + 2цЭ2Ф „ ЭГ р дх э Ll + 1 + Ф + 12КЕ 2р(1 + у)Эу2 2ph2(l + v) дх) { pjdxdy о Е 12КЕ Э dw) Э2Ф Ll + 1+ aV А,+2ца2і/ О (1.18) V/ + -к р ЭуЭх Эу (ду_ду) дх ду а2 a2w t2 Ya2w a2vQ 2p(l + v)l Эх2 +Эу2 E E р Эу2 2р(1 + у)Эх2 2ph2(l + v) О к N + K 2p(l + v)
При решении задач динамики пластин в уточненной постановке удобно ввести в рассмотрение две потенциальные функции: Эф Эу ЛГЛ Эф ду д2 д2 — + — = -А0, — — = -AY, здесь А = — + — дх ду ду дх дх2 ду2 Тогда система уравнений (1.18) перепишется в виде: (1.19) (0-w)=O Э20 Х + 2\І кгл 12КЕ р dt 2ph2(l + v) Е — А0 + (1.20) Ах + Х = О 12КЕ dt \d2w [а2 2p(l + v) Е А0 = О N + K 2ph2(l + v) Vw + K Е 2p(l + v)J 2p(l + v) Из системы исключаем второе уравнение, тогда система (1.20) перепишется в виде: 12КЕ (0-w)=O 2ph2(l + v) Vw Е +к А0 = О 2p(l + v) А0 + dt2 d2w д? Э20 + 2ц р Е N + K 2p(l + v) (1.21) Для перехода к уравнению изгибных колебаний пластины с натяжением, необходимо из второго уравнения системы (1.21) выразить А, подставить в первое уравнение, предварительно умножив его на А. Тогда: 2p2(l + v) a4w 12Np ( + 2LI)KE a4 ( + 2ju)h2 p ld2Aw 12р d2w f2Np(l + v) ЛАА — + + 1 AAw + {Х + 2\ф2 dt 2 і, КЕ J Г2р(1 + у) 2Np2(l + v) dt KE ( + 2LI)KE X + 2\i Aw (1.22) В работе 2016 года И.Т. Селезова [95] представлены этапы развития обобщенных динамических теорий изгибных колебаний стержней, пластин и оболочек основанных на сдвиговой модели С.П. Тимошенко.
Пластина Тимошенко
Рассмотрим распространение одномерных продольных волн по бесконечному составному стержню. Составной стержень представляет собой совокупность двух стержней, находящихся в контакте друг с другом (рис.2.1). Сила контактного взаимодействия предполагается линейно-упругой.
Движение стержней описывается системой уравнений [102]: + PjS dt2 д2и 11 Эх2 R(Ul-u2), E = p2S (2.1) + гг R(u2-Ul), Эх2 2 2 a2 где Ui - продольные перемещения стержней, Ei Sip. - их параметры (модули Юнга, площади поперечных сечений и плотности) (і=1,2), R-сила упругого взаимодействия стержней.
Система (2.1) может быть сведена к одному уравнению относительно перемещения u1 . Для этого достаточно выразить u2 из первого уравнения и подставить во второе уравнение системы. В результате получим: V 1+ PA 22/ p2S д2и дї + a4 Эх2 2 2 рД ]d2u рДГ д4и R 22/ p2S -(C2 +C2) a4u а2эх2 + (2.2) ЭМ Эх + C 2 C2 J —, c2 Pi Здесь u = u1(x,t), C1 = E \ — - скорости продольных волн в р2 стержнях. Заметим, что аналогичное уравнение может быть получено в модели Миндлина-Германа, описывающей продольные колебания стержня [2,13,33]: 3\i 2 3\i 22 3w 2 1 2 2 О, дґ дх Нр Эх (2.3) 0. d2w l2 2d2w 128( + ц) l24 du kC — + к v w + k [a2 l x эх2 2 н2р HPэх Х + \1 скорости С \ \ Здесь u(x,t), w(x,t) - продольные и поперечные перемещения частиц стержня, Н - толщина стержня, р - плотность материала, С р продольных и сдвиговых волн, Л,, JLX - константы Ламэ, k1;k2- корректирующие коэффициенты, позволяющие увеличить частотный диапазон применимости модели. Система (2.3) сводится к одному уравнению относительно продольного смещения: 22254ul Х + д2и Эх4 { X Jdt2 + C2k2C2 С 2 X 2 А. ч- JLL k2A, р ) д2и Н2р Эх2 2к2 + 4 а4 (С2 +к2С2) а4и а2эх + (2.4) Таким образом, продольные колебания составного стержня можно описать уравнением Миндлина-Германа продольных колебаний некоторого гипотетического стержня, параметры которого выражаются через параметры исходных стержней следующим образом: +M1 = 1+P1S1
X p2S Л, 4- JLX k2 4 С X p H2p Pls z z PjS p2S2 д і (2.5) 2k R Hi(c?+kfcO= (c5+c!)i 2k 2 V 1 1 x/ R V 2 1/. Н!рк2с2с2=с2с2РЛ [2k x 2 R
Сведение к модели Миндлина-Германа возможно, если параметры составного стержня удовлетворяют условию рД 3p2S2, или (что тоже самое) — 3 —, где hj 2 -толщины стержней. Для совместности системы (2.5) h2 р2 необходимо также предположить равенство скоростей С, =С15 к =С2 (или наоборот). В этом случае толщина эквивалентного стержня выражается соотношением H \ [Г12 _ Г 2 ]R — , которая будет увеличиваться с ростом силы і і 2pjS упругого взаимодействия стержней по закону VR и уменьшаться как j= с Л/РА ростом погонной плотности первого стержня. Корректирующие коэффициенты в модели Миндлина-Германа связаны с параметрами исходных стержней 2 C9p,S, -p9S9 2 С? -СІ p,S, -p9S9 зависимостями k, = 2 і — ,k9 =—-—;HLJ-L--—! - - что позволяет С рД-Зр , 8Cf p2S2 получить выражение для скорости волн сдвига в виде: Сх = С1 рД-Зр рД -p2S2 В частном случае, если считать плотность одного из стержней малой (пусть р2— 0), система уравнений (2.1) сводится к уравнению продольных колебаний стержня модели Бишопа: dt 2 эх2 р а2ах2 ах4 pS -ES -pv2 I0 T + v2 I0 = 0 (2.6) Здесь v- коэффициент Пуассона, 10- полярный момент инерции, а параметры эквивалентного стержня с параметрами исходных стержней связаны соотношениями: fpS = p1S1 ES = E1S1+E2S2 J 2j =PiSiE 2 S 2 (2.7) 0 R Г R В этом случае параметры составного стержня должны удовлетворять условию Ь ±, а полярный радиус инерции и коэффициент Пуассона эквивалентного Е, S2 2ЕД E2S2 стержня определяются соотношениями г = р Е -ЕДУ R V = E2 2-Et t . Ско ти продольной и сдвиговой волн в стержне модели 2ЕД Бишопа выражаются через скорость продольной волны в исходном стержне zz 0 а p1S1 х 1 Известно (см., например, [103]), что энергия волн в диспергирующих системах переносится с групповой скоростью. Исследуем, сохраняется ли эта закономерность для составных элементов конструкций.
Линейный вязкоупругий закон контактного взаимодействия .
В главе исследована задача о поперечных колебаниях составной струны, которая сводится к задаче об изгибных колебаниях эквивалентного стержня модели Тимошенко с натяжением. Также рассматривается совокупность двух нелинейно-упругих струн, находящихся в контакте друг с другом. Показано, что составная мембрана эквивалентна пластине Тимошенко с натягом. Исследована задача о поперечных колебаниях составной мембраны с учетом геометрической нелинейности, получены и исследованы одномерные и двумерные солитоны, а также представлены различные формы нелинейных периодических колебаний.
Поперечные волны в составной струне при линейно-упругом законе контактного взаимодействия
Рассмотрим задачу о поперечных колебаниях составной струны (рис. 3.1). Поперечные колебания составной струны описываются системой уравнений: Эх2 д2и2 Эх2 }l а2 Э2ш 2 а2 + R(Ul-u2) = N + R(u2-u1) = N (3.1) где ііід - поперечные отклонения струн, р 1,2 погонные плотности, N1,2 натяжения струн, R – сила их упругого взаимодействия.
Система (3.1) может быть сведена к одному уравнению относительно поперечного смещения u1. Для этого достаточно выразить u2 из первого уравнения и подставить во второе уравнение системы. В результате получим уравнение в виде: dt Plp2 д4и R а4 (p1 + p2) -(N1+N2) О + Э2и NxN2a4u NlP2+N2Pl Э4и Эх2 R Эх4 R а2Эх2 + (3.1а) гдеи = и1(хД). Изгибные колебания балки Тимошенко с натяжением описываются системой уравнений: dt2 дх du (3.2) Ф pi—f - EI — + kGF [ dt 2 дк2 { Эх;
Здесь u - поперечные отклонения срединной линии стержня, ф - угол поворота поперечного сечения балки, р - объемная плотность, E,G - модули сжатия и сдвига, N - натяжение, F - площадь поперечного сечения, I - момент инерции, к - поправочный коэффициент Тимошенко. Система (3.2) сводится к одному уравнению относительно поперечного смещения: дх2 dt vd2u мЭ2и pF — - N— + EI + + pi N + kGFV4u /N + kGF Е д2и р21 д4и kGF ) дх4 { kGF kGJdx2dt2 kG dt 0. При этом параметры эквивалентного стержня связаны с параметрами струн условиями: N + kGF kGF ) N,N9 z_. R pF = p1+p2; N = Nj+N2; EI (3.3) NjP2 +N2Pj p2I PjP pi N + kGF E) 1 kG R R kGF kGj Из (3.3) следует, что погонная плотность стержня равна сумме плотностей обеих струн, а натяжение стержня складывается из натяжений струн. Система (3.3) является совместной, если скорости волн в балке Тимошенко связаны со скоростями волн в струне соотношениями С0 = Сі, VkCx с пі/2 N+N1 Pl+P2 где Г/2 Со = [E/pJ скорость продольных волн в стержне, Сх = [G/P} скорость волн сдвига,С1=К/р1]1/2,С2 = 2/р2]1 - скорости волн в струнах. На скорость поперечной волны в одной из струн необходимо также наложить 1/2 условие С2 [(Nx + N2 )/(Pl + p2)] которое приводит к тому, что для эквивалентного стержня в модели Тимошенко поправочный коэффициент k нужно выбирать большим единицы. При этом радиус инерции поперечного сечения балки Тимошенко выражается через параметры составной струны Nj+N2 Л/2 Г следующим образом г = [І/F]12 = fopjfcfa +р2))Г Pi +Рг У Таким образом, поперечные колебания натянутой составной струны соответствуют изгибным колебаниям некоторого гипотетического стержня модели Тимошенко с натяжением.
Рассмотрим составную струну, представляющую собой совокупность двух нелинейно-упругих струн, находящихся в контакте друг с другом. Движение струны описывается системой уравнений: + + 5х) \ d2lL Э2ш { 2 а R(u1-u2) = N1 \\ + \ R(u2-Ul) = N2 1 + J Э2и Эх2 Э2ш дх: (3.4) где Ц"ід - поперечные отклонения струн, Pj 2 - погонные плотности, Ni;2 натяжения струн, R - сила их упругого взаимодействия. Система (3.4) может быть сведена к одному уравнению. Действительно, введём безразмерные переменные U = u/u0; у = х/Х; т = t/T; у = 1 + обозначения D = Nj + N2;X = Л; Т2 = A2p2y/D, Pi р2 где u0- перемещение, Л- длина волны, удовлетворяющие соотношению и0/Л = 10 4 Т- период волны и пренебрегая величинами, в которых степень отношения и0/Л выше 3, получим: Э2и Э2и PlD Э4и p2N1+PlN2 Э4и NXN2 a4U дт2 ду2 Ry2A2p2 дт4 RyA2p2 Эу2Эт2 RA2D Эу4 Nt+N2 Up 2D Л2 2 (3-5) d2U dU) ду ду2 Решение уравнения (3.5) будем искать в классе стационарных волн, то есть в виде функции U=U(y-vx), зависящей от y-vx= , где v=const - скорость стационарной волны. Аналогичные преобразования проведены в главе 2 (стр.42).
Уравнение в частных производных (3.5) сведется в этом случае к уравнению ангармонического осциллятора относительно продольной деформации — = w: — + аw + bw 3=0, (3.6) где a = (v2-l)/B; b=-u2/6BA2; PlD 4 p + N, 2 NtN2 Ry2A2p2 Ry Л2р2 RA2 D Заметим, что корни уравнения В=0 имеют вид: vf = p2N1y/p1D; v2 = N2y/D. Они, в частности, могут удовлетворять условию —її _5-4 ——— (для определенности считаем, что Ni N?). В этом случае D PlD 0 1;1 22 5/4, тогда 0 у2 1; l v 2 5/4. D PlD Также определим знаки корней: между корней(-): v 2 о м; вне D рр корней(+): v 2 Mil,у2 2І. PiD D
Анализ (3.6) показывает, что частными решениями уравнения (3.5) являются нелинейные уединенные стационарные волны (солитоны). В первом случае а 0, Ь 0 солитон имеет положительную полярность. Сепаратрисное решение записывается в виде [13]: w() = Ac/ch(/A), Амплитуда солитона Аси его ширина А описываются выражениями: Ас = ±[(12(у2-1)Л0К} 2; A = Mv2-l)J 2. На рис.3.2 (а,б) приведены зависимости амплитуды и ширины солитона от его скорости. Если l v2 5/4 а Рис. 3.2 а – зависимость амплитуды солитона положительной полярности от его скорости. б Рис. 3.2 б - зависимость ширины солитона положительной полярности от его скорости. Во втором случае а 0, Ь 0 солитон имеет положительную полярность. Сепаратрисное решение имеет вид [13]: w($) = Acthfe/A) Амплитуда и ширина солитона описываются выражениями: At=±[(6(v2-1)A2)KJ2; A = [2B/(v2-l)J2. Зависимости амплитуды и ширины солитона от его скорости приведены на рис.3.3 (а, б). Если 1 у22 5/4. а б Рис. 3.3 а – зависимость амплитуды солитона отрицательной полярности от его скорости; б – зависимость ширины солитона отрицательной полярности от его скорости.
Поперечные волны в составной мембране
А - амплитуда колебаний, со - пространственная частота (волновое число), s -модуль эллиптической функции, имеющий смысл коэффициента нелинейных искажений формы колебания u(Q, L - длина волны, K(s) - полный эллиптический интеграл первого рода. Из соотношений (3.18) видно, что при изменении Е от 0 до +оо амплитуда и пространственная частота колебаний изменяются в пределах 0 A +oo,Va oo oo, а коэффициент нелинейных искажений - в интервале: 0 s2 1/2. Исключая из выражений (3.18) константу интегрирования Е, получаем зависимость амплитуды и пространственной частоты колебаний от коэффициента нелинейных искажений и коэффициентов уравнения Дуффинга: A = [2as2J7[b(l-2s2)r; oo = a1/2/[l-s2J2 (o s2 l/2). (3.19) Подставим в выражение (3.19) значения коэффициентов a и b :
Качественный вид зависимости амплитуды и пространственной частоты волны от ее скорости представлен на рисунках 3.8(а,б), 3.9(а,б) соответственно. а
Зависимость амплитуды волны от ее скорости. Графики построены при следующих значениях: к = +1; +1,5;+2;+1,7; s 2 = -;—;-;0 . 5 4 3 а б Рис.3.9 – Зависимость пространственной частоты волны от ее скорости. Графики построены при следующих значениях: к = +1;+1,5;+ 2; s 2=0;I;I 5 Зависимости амплитуды и пространственной частоты волны от параметра k представлены на рисунках 3.10 (а,б), 3.11 (а,б).
Графики построены при следующих значениях: v = 1; 1,5; 2; s = 0; При Е - 0 (s2 О и А - О) выражение (3.17) описывает квазигармонические колебания вблизи положения равновесия вида [13]: U=ACOS(CDO (3.20) При Е —» +оо,s2- l/2, и в этом случае (3.17) описывает существенно нелинейные колебания [13]: U =Acn«,s) (3.21) которые имеют пилообразную форму (рис. 3.12 а,б) а Рис.3.12 а – нелинейные колебания (трехмерный вид). б Рис.3.12 б – нелинейные колебания (двумерный вид). 2. Если кЧ), v 0, тогда a 0, b 0. Коэффициенты уравнения (3.16) перепишутся в виде: а = --;Ь = —. В этом случае функция потенциальной Г ЗГ энергии f(u) = (a/2)U2 +(b/4)U4имеет локальный максимум fmax = 0 при U = 0 и локальные минимумы fmin = - a2/4b в точках U7 = +л/-а/Ь (рис. 3.13 а). На фазовой плоскости (ІҐ, dUVdQ точки (±V-a/b,o) являются устойчивыми положениями равновесия типа «центр», а точка (0,0) является «седлом» (рис. 3.13 б). Рис. 3.13 а - функция потенциальной энергии при различных значениях ІҐ; б - фазовые траектории. Ограниченные решения уравнения (3.16) существуют, если константа интегрирования изменяется в диапазоне fmin Е +оо, причем различным значениям начальной энергии Е соответствуют качественно различные режимы движения. Пусть fmin E 0. В этом случае полином E-f(U) имеет четыре действительных корня U2 = +a, U3 4=+P, где принимает положительные 2 -aWa2+4bE п2 -а-л/а2+4ЬЕ а = ; р = и b b значения при р U а (рис.3.13 а). На фазовой плоскости им соответствуют замкнутые траектории, лежащие внутри сепаратрисы. В соответствии с [13] решение, описывающее нелинейные периодические колебания имеет вид: U(Q = Adn«,s) (3.22) где A {-а + [а2+4ЬЕІ/2}7ь12;оо = Д(-а + [а2+4ЬЕГ)і ; 1/2 s2 = 2[a2+4bEj7fa + [a2 + 4bEj2}, L = 4K(s)/co (3.23) Из соотношений (3.23) видно, что при изменении Е от Етш = -а2/4Ьдо 0 пространственная частота увеличивается от ю = л/-а/2 до ш = v-a, амплитуда периодических колебаний изменяется от значения A = V-a/b до значения A = -V-2a/b. Коэффициент нелинейных искажений формы колебаний изменяется в пределах 0 s2 1.
Исключая из выражений (3.23) константу интегрирования Е, получим зависимость между амплитудой и пространственной частотой колебаний от коэффициента нелинейных искажений и коэффициентов уравнения Дуффинга. 1/2 A = [-2a]12/[b(2-s2)J oo = [-a]1/2/[2-s2J/2 (0 s2 \). Подставим в выражение (3.24) значения коэффициентов а и b : (3.24) )l/2 A = [6vl 7[G(2-S2)J 2 =6(A/u„)f2vs/(2-s2)} » = {v/Г(2-s2)}" = {AY/(p2N, -p,N2)}{2svRp2D/(2-s2)}" 0 s2 l (3.24 а) Зависимости амплитуды и пространственной частоты волны от ее скорости представлены на рис. 3.14, 3.15. Графики построены при следующих значениях: s 2 = 0; —; 1
Зависимость амплитуды волны от ее скорости. Рис.3.15 – Зависимость пространственной частоты волны от ее скорости. Нелинейные периодические колебания по замкнутым фазовым траекториям внутри сепаратрисы не имеют линейного вырождения, так как при E- Emm = -a2/4b S- 0 и dn(Go,0) = l. При Е = 0 s = 1 из (3.22) получаем вырождение в сепаратрисное решение [13]: где U/(Q = A/ch( /A), 1/2 A = {-2a/b}12,A = {-l/a}1 (3.25) (3.26) Подставим в выражение (3.26) значения коэффициентов a и b : 1/2 A = {6v/G}1/2=6(A/u0)[2vs]1 -1/2 А = {Гv}12 = [foN, -p J/Ay svRp.D]-1 А - амплитуда колебания, A - его длительность. (3.26 а) На рисунках 3.16, 3.17 приведены зависимости амплитуды и ширины солитона от его скорости.
Качественный вид нелинейных периодических движений, описываемых дельта-амплитудой (3.22) приведен на рисунке 3.18 (а,б), а на рисунке 3.19 (а,б) показан вид сепаратрисного решения (3.25). а
Сепаратрисное решение. Пусть Е=0. В этом случае полином E-f(U ) имеет два действительных корня -a + Va2+4bE л/а2 + 4ЬЕ a + va + ;Р2 мнимых и(2=+а, и два и;4=+ір, где а2 b b и принимает положительные значения при - а U а (рис. 3.13 а). на фазовой плоскости ограниченным решениям при таких значениях Е соответствуют замкнутые фазовые траектории, лежащие вне петли сепаратрисы (рис. 3.13 б). Решение, описывающее нелинейные периодические колебания представлено в виде [13]: U/(Q = Aсn((D ,s) (3.27) где А={-а + (а2 + 4ЬЕГЫ2 = {а2+4ЬЕ}1/4 ; (3.28) = [-а + (а2+4ЬЕГУ2(а2+4ЬЕГ ;L = 4K(S)/CD Анализируя соотношения (3.28), получим, что при изменении Е от 0 до +оо пространственная частота колебаний возрастает от значения о = 4 a до +оо, амплитуда колебаний также неограниченно возрастает от значения A = 4-2a1b а коэффициент нелинейных искажений при этом уменьшается от 1 до 1/2.