Введение к работе
Актуальность темы. В различных отраслях современной техники по тем или иным технологическим, конструктивным, экономическим причинам используются конструкции, состоящие из неоднородных элементов с отверстиями сложных очертаний. Наличие в э-лементах конструкций вырезов, разрезов, угловых точек отверстий вызывает дополнительные напряжения, особенно резко проявляющиеся в окрестности этих точек. Отверстия становятся источником концентрации напряжений. Мерой такого локального увеличения напряжения является коэффициент концентрации напряжения, определяемый как отношение величины напряжения при наличии концентратора к напряжению в той же точке при отсутствии концентратора.
Такие факторы, как физико-механические свойства материала, неоднородность, нелинейный закон упругости, характер нагрузки, формы конструкции, очертаний и размеры концентратора, наличие подкреплений вокруг отверстий оказывают большое влияние на величину коэффициента концентрации напряжений. Резкое увеличение напряжения имеет место в сравнительно малой зоне около отверстия, но тем не менее концентрация напряжений в окрестности концентратора опасна для прочности конструкций. Таким образом, проблема изучения концентрации напряжения около отверстий как в однородных,так и в неоднородных телах составляет важный класс прикладных задач. Исследованием проблем, связанных с определением коэффициента концентрации напряжения, занимались Гузь А. Е, Калоеров С. А. , Клойзнер С. М., Колчин Г. Б., Коемодамиан-ский А. С., Лехнидкий С. Г., Мамриллова А., Ыеглинский Е В., Му-схелишвили Е И., Немиш Ю. Е , Овсепян Л. 0., Пелех В. Л., Савин Г. Е , Сапонджян 0. М., Саркисян В. С., Цурпал И. А., Шерман Д. И. и другие.
изучение напряженного состояния в пластинах с отверстиями осуществлялось при различных условиях, различными методами.
Реальные материалы обладают определенной неоднородностью (молекулярная структура, отклонения кристалличеокой'решетки, поликристалическая структура технических металлов и сплавов и т. п.). Напряженное состояние пластины с учетом неоднородных
свойств материала, влияние неоднородности материала на концентрацию напряжений исследованы в работах Ломакина В. А., Саркисяна В. С., Когана В. М., Колчина Г. Б., Мартыновича Т. Л. и других. Неоднородностью обусловлены такие специфические эффекты, как смешение максимума напряжения вглубь от поверхности отверстия, изменение знаков напряжения.
Лри решении задач неоднородной теории упругости эффективны метод малого параметра и метод возмущений, развитые в работах Саркисяна Е С., Ломакина В. А., Колчина Г. Б. Метод эффективного построения решения граничных задач для некоторого класса многосвязных областей предложен Шерманом Д. И.
Применение аналитических методов решения приводит к необходимости сглаживания углов границ отверстий произвольной .формы, искривлению сторон отверстий. Как нам кажется, при решении задач с особенностями, возникающими в окрестности угловых точек, эффективен вариационно-разностный метод (ВРМ), позволяющий решать подобные задачи без сглаживания углов с учетом особенностей, возникающих в углах, без искажения геометрии контура. Среди многочисленных работ, посвященных разработке математической теории ВРМ, отметим работы Оганесяна Л. А., Руховца Л. А. работы Деклу Ж., Зенкевича О., Лионса Ж. -Л., Одена Дж., Розина Л. А., Стренга Г., Фикса Дж.
Эффективным приемом работы с особенностями является локальное сгущение сетки. Построению ВРС для краевых задач в областях с негладкими границами, использующих сгущение сетки в окрестности угловых точек, в том числе покоординатное сгущение, посвящены работы Бабушки Й, Волкова Е. А., Оганесяна Л. А., Руховца Л. А., Дадаяна Ю. Г. и других.
Поскольку упомянутые аналитические и численные методы являются приближенными, представляется актуальным при решении задач изгиба неднородных пластин с отверстием произвольной конфигурации применение различных методов и сравнение полученных результатов для выявления эффективного метода решения с учетом возникающих особенностей в угловых точках отверстий. В свете быстродействия современных ЭВМ представляется перспективным вариационно-разностный метод.
Цель работы. Диссертационная работа посвящена решению задач изгиба тонких неоднородных изотропных пластин с отверс-
тием, имеющим квадратную, прямоугольную, треугольную форму. Цель работы заключается: в решении задач изгиба методом малого параметра; в решении задач изгиба вариационно-разностным методом с учетом особенностей, возникающих в угловых точках контура отверстий; в получении удобных формул для определения коэффициента концентрации напряжений около отверстий; в исследовании влияния неоднородности на распределение напряжений около отверстий; в сравнении результатов, полученных методом малого параметра и вариационно-разностным методом.
Новизна работы. В диссертационной работе впервые задача изгиба неоднородной пластины при распределении напряжения около отверстия произвольной формы при соответствующих граничных условиях решена аналитически и вариационно-разностным методом, проведено сравнение результатов. В вариационно-разностном методе используется эрмитово восполнение для прямоугольного элемента в дифференциальных уравнениях четвертого порядка Использовано покоординатное сгущение сетки в окрестности особых точек.
Показана аппроксимация и сходимость функций эрмитова восполнения для прямоугольного элемента. Вариационно-разностный метод применяется с учетом угловых точек. Выведены формулы, с помощью которых определяется коэффициент напряжения для отверстий произвольной формы. Путем расчёта выявлен эффект неоднородности.
Практическая ценность. Исследованные в диссертациионной работе проблемы концентрации напряжений около отверстий различной формы, найдут применение при расчетах элементов конструкций, состоящих из неоднородных материалов при различных граничных условиях. Комплекс разработанных программ позволяет существенно облегчить и ускорить решение задачи, а также повысить точность полученных решений. Параметризированный характер программ дает возможность проводить практические расчеты для различных материалов, видов отверстий с учетом характера задаваемых граничных условий.
Достоверность. Достоверность полученных результатов основана на корректном применении математического аппарата, в сравнении с известными результатами в некоторых частных случаях. Программы, численно реализующие расчеты при вариационно-разностном методе, прошли проверку на модельных задачах.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции "Вариационно-разност-ные_методы в математической физике" (Москва, 24-26 мая 1983 г.), на М Всесоюзной научно-технической конференции "Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов" (Ереван, Цахкадзор, 13-16 ноября 1984 г.). на vji Всесоюзной школе-семинаре "МКЭ в механике деформируемых тел" (Запорожье, 25-28 ноября, 1985 г.), на Республиканской научно-практической конференции по методике преподавания математики и механики в вузе (Ереван, Кировакан, 29-31 мая, 1986 г.), на Всесоюзной школе-семинаре "Методы конечных и граничных элементов в строительной механике" (Усть-Нарва, 15-17 мая, 1987 г.), на Всесоюзной конференции "Современные проблемы численного' анализа" (Москва, 7-11 сентября, 1987 г.). на Всесоюзной научно-технической конференции "Методы потенциала и.конечных элементов в автоматизированных исследованиях инженерных конструкций" (Киев, 10-11 декабря, 1991 г.). Диссертация в целом доложена и обсуждена на кафедре механики сплошной среды Ереванского государственного университета.
.Публикации. По. материалам диссертационной работы опубликованы 5 работ.
Структура и обьем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 239 наименований.