Содержание к диссертации
Введение
1. Введение 7
1.1. Предмет исследования 7
1.2. Актуальность темы 8
1.3. Степень разработанности темы и обзор литературы 10
1.4. Цель и задачи работы 24
1.5. Научная новизна 25
1.6. Теоретическая и практическая значимость 27
1.7. Общая характеристика работы и методы исследования 28
1.8. Основные положения, выносимые на защиту 34
1.9. Степень достоверности и апробация результатов 36
2. Модифицированный метод прямого разделения движений: исследование динамики систем общего вида, допускающих разделение движений по времени
2.1.0 предлагаемой модификации МЛРД 3 8
2.2. Уравнение Матье без явного малого параметра 41
2.2.1. Постановка задачи 41
2.2.2. Решение с помощью модифицированного МЛРД 42
2.2.3. Оценка справедливости полученных результатов 46
2.2.4. Сравнение с результатами численных экспериментов 48
2.2.5. Обсуждение полученных результатов 50
2.3. Исследование отклика нелинейного параметрического усилителя при соотношении
2:1 между частотами параметрического и 52
внешнего воздействий
2.3.1. Постановка задачи 52
2.3.2. Решение с помощью модифицированного МЛРД 54
2.3.3. Случай малой амплитуды внешнего воздействия 56
2.3.4. Отклик усилителя в общем случае 59
2.3.5. Коэффициент усиления 61
2.3.6. Обсуждение полученных результатов 63
2.4. Уравнение Ван дер Поля без явного малого параметра 64
2.4.1. Постановка задачи 64
2.4.2. Решение с помощью модифицированного МЛРД 65
2.4.3. Определение параметров установившихся режимов колебаний в системе
2.4.4. Нестационарные режимы колебаний 68
2.5. Обсуждение результатов, полученных с помощью модифицированного МЛРД
3. Метод изменяющихся амплитуд: исследование параметрически возбуждаемых и нелинейных систем, движения которых не разделяются по времени
3.1. О методе изменяющихся амплитуд 73
3.2. Уравнение Матье в более широкой области изменения параметров
3.2.1. Постановка задачи и решение с помощью метода изменяющихся амплитуд
3.2.2. Определение границ устойчивости для третьего параметрического резонанса и обсуждение полученных результатов
3.3. Исследование отклика нелинейного параметрического усилителя при наличии расстройки между частотами внешнего и параметрического воздействий
3.3.1. Постановка задачи 82
3.3.2. Линейный случай 83
3.3.3. Нелинейный случай. Решение с помощью метода изменяющихся амплитуд
3.3.4. Обсуждение полученных результатов и проверка с помощью численных экспериментов
3.3.5. Сравнение с результатами натурных экспериментов 98
3.4. Исследование влияния характера нелинейности на отклик
102 параметрического усилителя
3.4.1. Постановка задачи 102
3.4.2. Решение с помощью метода изменяющихся амплитуд
3.4.3. Обсуждение полученных результатов и проверка с помощью численных экспериментов
3.5. Обсуждение результатов, полученных с помощью метода изменяющихся амплитуд
4. Исследование динамики структур, движения которых допускают разделение по пространственной координате, а не по времени, с помощью модифицированного метода прямого разделения движений
4.1. О разделении движений не по времени, а по пространственной координате
4.2. Собственные частоты и формы струны с переменным поперечным сечением
4.2.1. Постановка задачи 116
4.2.2. Решение с помощью модифицированного МЛРД 117
4.2.3. Определение собственных частот и форм колебаний струны 121
4.2.4. Сравнение с результатами численных экспериментов 125
4.2.5. Обсуждение полученных результатов 128
5. Исследование динамики пространственно периодических структур, движения которых не допускают разделения по координате, с помощью метода изменяющихся амплитуд
5.1. Об использовании метода изменяющихся амплитуд 130
5.2. Собственные частоты и формы балки с переменным поперечным сечением. Теория Бернулли-Эйлера
5.2.1. Постановка задачи 131
5.2.2. Решение с помощью метода изменяющихся амплитуд 134
5.2.3. Дисперсионные соотношения балки 138
5.2.4. О влиянии модуляций на собственные частоты и формы балки
5.2.5. Сравнение с результатами численных экспериментов 150
5.2.6. Обсуждение полученных результатов 152
5.3. Дисперсионные соотношения и полосы частот запирания балки с
153 переменным поперечным сечением. Теория Тимошенко
5.3.1. Постановка задачи 153
5.3.2. Дисперсионные соотношения однородной балки Тимошенко 156
5.3.3. Безразмерные уравнения колебаний балки Тимошенко с
157 переменным поперечным сечением
5.3.4. Решение с помощью метода изменяющихся амплитуд 159
5.3.5. Анализ полученных дисперсионных соотношений балки 163
5.3.6. Проверка с помощью серии численных экспериментов 168
5.3.7. Обсуждение полученных результатов 180
5.4. Подавление вибрации струны, находящейся под действием
распределенной внешней нагрузки, с помощью пространственных 181
модуляций ее параметров
5.4.1. Постановка задачи 181
5.4.2. Пространственно гармоническая внешняя нагрузка 183
5.4.3. Постоянная по координате внешняя нагрузка 193
5.4.4. Произвольно распределенная внешняя нагрузка 197
5.4.5. Обсуждение полученных результатов 201
5.5. Влияние нелинейных факторов на дисперсионные соотношения и
202 полосы запирания периодической балки Бернулли-Эйлера
5.5.1. Постановка задачи 202
5.5.2. Уравнения движения 204
5.5.3. Решение с помощью метода изменяющихся амплитуд 212
5.5.4. Дисперсионные соотношения и полосы частот запирания 218
5.5.5. Проверка полученных результатов 229
5.5.6. Обсуждение полученных результатов 236
5.6. Распространение продольных упругих волн в периодическом стержне в случае произвольной модуляции его поперечного сечения
5.6.1. Постановка задачи 238
5.6.2. Решение с помощью метода изменяющихся амплитуд 242
5.6.3. Ширина и положение нечетных полос запирания 245
5.6.4. Ширина и положение четных полос частот запирания 250
5.6.5. Общая несимметричная форма корригации 257
5.6.6. Обсуждение полученных результатов 260
5.7. Распространение поперечных волн в продольно движущейся периодической струне
5.7.1. Постановка задачи 261
5.7.2. Уравнения движения 262
5.7.3. Области параметрической неустойчивости для однородной струны
5.7.4. Полосы частот запирания для неоднородной не движущейся струны
5.7.5. Подавление параметрической неустойчивости колебаний струны путем пространственных модуляций ее параметров
5.7.6. Обсуждение полученных результатов 279
5.8. Обсуждение результатов, полученных с помощью Метода Изменяющихся Амплитуд при исследовании динамики пространственно периодических структур
6. Заключение 282
6.1. Итоги и основные результаты исследования 282
6.2. Рекомендации и перспективы дальнейшей разработки темы 288
6.3. Список публикаций автора по теме диссертации 290 Список литературы
- Степень разработанности темы и обзор литературы
- Оценка справедливости полученных результатов
- Определение границ устойчивости для третьего параметрического резонанса и обсуждение полученных результатов
- Определение собственных частот и форм колебаний струны
Введение к работе
Актуальность темы. Многие задачи, с которыми сталкиваются сегодня
инженеры и специалисты по прикладной математике, не поддаются точному
решению. Среди причин, затрудняющих точное решение, можно указать,
например, нелинейные уравнения движения или наличие параметрического
воздействия на систему. В тоже время, решение ряда актуальных проблем,
возникающих в различных областях науки и техники, возможно только при
учете нелинейных факторов. Многие инженерные задачи современной техники
требуют изучения динамики систем, возбуждаемых параметрически и
описываемых дифференциальными уравнениями с периодическими
коэффициентами. В связи с этим, для решения многих важных и актуальных для приложений задач сегодня используются приближенные и/или численные методы. Среди приближенных методов наиболее широкое распространение нашли проекционные и асимптотические методы, в частности метод многих масштабов, метод гармонического баланса и метод прямого разделения движений (МПРД) – эффективный подход к описанию и исследованию явлений, возникающих при действии высокочастотной вибрации на нелинейные механические системы. Здесь следует отметить, прежде всего, основополагающие работы Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, А. Найфе, Т. Xаяси, В.В. Болотина, И.Г. Малкина, П.Л. Капицы, а также работы Н.С. Бахвалова, Г.П. Панасенко, Л.И. Маневича, Ф. Верхалста, К.А. Лурье, И.В. Андрианова, Я. Аврейцевича, И.И. Блехмана и других. Для исследования параметрически возбуждаемых систем широкое применение получили методы, основанные на теории Флоке, вклад в развитие которых внесли труды А.М. Ляпунова, Н.В. Маклахана, Л. Бриллоуина, В.А. Якубовича, В.М. Старжинского, а также Д. Мида, С. Синха, Р. Лэнгли, А.А. Майлыбаева, А.П. Сейраняна и других.
Однако, существующие аналитические методы исследования динамики
линейных и нелинейных упругих систем и структур оказываются
непригодными для решения ряда актуальных задач, так как их использование
налагает слишком существенные ограничения на параметры системы и/или
класс разыскиваемых решений. Например, подобные трудности возникают при
исследовании распространения упругих волн в пространственно периодических
структурах, сигналов микро- и нано-масштабных параметрических усилителей,
колебаний линий электропередач и подвесных мостов, динамики
железнодорожных путей и т.д. В этих и других случаях приходится иметь дело с упругими структурами, находящимися под сильным параметрическим воздействием или под действием многих параметрических и/или внешних сил с некратными частотами. Данные, также как и существенно-нелинейные, задачи требуют разработки новых аналитических методов исследования.
Создание новых аналитических методов, имеющих более широкую область применимости и дающих более широкий класс решений, чем
традиционные асимптотические и приближенные методы позволит решить ряд актуальных задач механики деформируемого твердого тела, например, о распространении упругих волн в периодических структурах и композитных материалах, подавлении вибрации в заданных частях распределенных конструкций, управлении сигналами нелинейных микро- и нано-масштабных параметрических усилителей и т.д. В частности, эти методы могут быть полезными для решения актуальной задачи оптимизации динамических свойств упругих систем, например их собственных форм и частот колебаний, посредством пространственных модуляций параметров, что, в свою очередь, может послужить толчком к созданию новых типов структур и материалов. Также данные методы могут использоваться для исследования систем, параметры которых изменяются и по времени и по пространственной координате, например, движущихся цепей приводов, ремней машин, линий конвейеров и т.д., что представляет существенный интерес для приложений.
Цель и задачи работы. Целью настоящей работы является создание новых аналитических методов исследования динамики линейных и нелинейных упругих систем и структур, имеющих более широкую область применимости и позволяющих получить более широкий класс решений, чем традиционные асимптотические и приближенные методы. Особое внимание уделяется системам, находящимся под сильным параметрическим воздействием, а также существенно нелинейным проблемам.
В соответствии с целью работы были поставлены следующие задачи:
-
Разработать модификацию МПРД, не предполагающую введение ограничений на спектр частот воздействия на систему и позволяющую в ряде случаев отказаться и от других, обычно вводимых при использовании традиционных асимптотических методов, ограничений, в частности, решать существенно нелинейные задачи.
-
Разработать новый аналитический метод исследования динамики систем и структур, не предполагающий введение ограничений на класс разыскиваемых решений и применимый, в частности, для изучения систем, движения которых не допускают разделения по времени на быстрые и медленные.
-
Адаптировать предложенную модификацию МПРД для исследования динамики упругих систем, движения которых разделяются не по времени, а по пространственной координате, например, пространственно периодических структур.
-
Разработать аналитический метод исследования динамики пространственно периодических структур, движения которых не допускают разделения по пространственной координате на медленно и быстро изменяющиеся компоненты, применимый, в том числе, и в нелинейных случаях, а также для изучения систем, параметры которых изменяются и по времени и по координате.
Методы исследования. Методы, предлагаемые в настоящей работе, можно рассматривать как развитие МПРД. Данные методы тесно связаны с подходами, основанными на теории Флоке, в частности методом бесконечных определителей Хилла, а также методом гармонического баланса и классическими асимптотическими методами.
Применительно к исследованию распространения упругих волн в пространственно периодических структурах модифицированный МПРД оказывается близок к методам гомогенизации, в частности, к процедуре осреднения динамических процессов в таких структурах, предложенной в (Бахвалов, Панасенко, 1984). Также имеет место связь обоих предлагаемых в работе методов с подходами к исследованию распространения упругих волн в периодических структурах, основанными на теории Флоке, например, с методом пространственных гармоник (Mead, 1996).
Научная новизна работы.
-
Предложена новая модификация МПРД, имеющая более широкую область применимости, чем его исходная формулировка и традиционные методы нелинейной динамики, в частности, методы многих масштабов и усреднения. Данная модификация может быть использована для решения задач, не предполагающих введения традиционных ограничений на спектр частот возбуждения, а также при наличии сильного параметрического воздействия на систему и (или) сильной нелинейности. Кроме того, с ее помощью удается исследовать системы, находящиеся под действием многих параметрических и (или) внешних сил с некратными частотами. Данный метод позволяет находить как стационарные, так и нестационарные решения, описывающие колебания с медленно изменяющимися амплитудами.
-
Предложен новый аналитический приближенный метод исследования линейной и нелинейной динамики систем и структур, движения которых не допускают разделения по времени на быстрые и медленные, названный Методом Изменяющихся Амплитуд (МИА). В отличие от традиционных методов нелинейной динамики, в частности, методов гармонического баланса, многих масштабов и усреднения, данный метод не предполагает введения ограничений на класс разыскиваемых решений. Метод не требует наличия малого параметра в исходных уравнениях, так что с его помощью могут быть рассмотрены системы под сильным параметрическим воздействием и с существенной нелинейностью.
-
Предложенный модифицированный МПРД адаптирован и использован для исследования динамики упругих систем, движения которых разделяются не по времени, а по пространственной координате на медленно и быстро изменяющиеся компоненты; в частности, метод применим для изучения колебаний пространственно периодических структур.
-
Предложенный Метод Изменяющихся Амплитуд адаптирован и применен для исследования линейной и нелинейной динамики периодических структур, движения которых не допускают разделения по пространственной координате на медленно и быстро изменяющиеся компоненты.
-
Показано, что амплитуда сигнала нелинейного параметрического усилителя может быть существенной в случае очень слабого внешнего воздействия, так что коэффициент усиления системы может принимать сколь угодно большие практически допустимые значения.
-
Получено, что максимальная амплитуда сигнала нелинейного параметрического усилителя может быть больше при наличии расстройки между частотами внешнего и параметрического воздействий, чем при ее отсутствии.
-
Для балок и струн с периодически переменными поперечными сечениями выявлено присутствие длинноволновой компоненты в их собственных формах, имеющих период близкий к периоду модуляции, что указывает на свойство неоднородных периодических структур поддерживать длинноволновые колебания на высоких частотах.
-
Выделены ключевые параметры, определяющие влияние эффектов, учитываемых в теории Тимошенко, на дисперсионное соотношение и полосы частот запирания балки, совершающей поперечные колебания. В частности выявлено, что с уменьшением гибкости балки полосы частот запирания смещаются вниз по частоте и их ширина увеличивается.
-
Предложен новый способ подавления вибрации в ограниченной конструкции, находящейся под действием произвольно распределенной периодической по времени внешней нагрузки, путем пространственных модуляций ее параметров. Эффективность способа проиллюстрирована на примере струны с переменным поперечным сечением.
-
Проведено исследование влияния различных нелинейных эффектов на дисперсионное соотношение и полосы частот запирания периодической балки Бернулли-Эйлера. Показано, что нелинейная инерция может приводить к исчезновению полос частот запирания.
-
Для продольного волнового движения в периодическом волноводе с произвольной формой корригации выявлена связь между шириной и положением полос частот запирания и амплитудами гармоник, входящих в разложение этой формы корригации в ряд Фурье.
-
Метод Изменяющихся Амплитуд адаптирован для исследования систем, параметры которых изменяются и по времени и по пространственной координате. С его помощью показано в частности, что даже малая пространственная периодичность продольно движущейся струны может привести к подавлению областей параметрической неустойчивости.
Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая ценность работы состоит в создании новых аналитических методов исследования
динамики линейных и нелинейных упругих систем и структур, имеющих более широкую область применимости и позволяющих получить более широкий класс решений, чем традиционные асимптотические и приближенные методы.
Практическая ценность работы состоит в выявлении с помощью
предложенных аналитических методов ряда значимых с прикладной точки
зрения эффектов и явлений, возникающих в различных линейных и
нелинейных системах, в частности эффектов, связанных с распространением
упругих волн в периодических структурах и композитных материалах,
подавлением вибрации в заданных частях распределенных конструкций,
управлением сигналами нелинейных микро- и нано- масштабных
параметрических усилителей, контролем автоколебаний в автономных системах, подавлением областей параметрической неустойчивости колебаний систем с пространственно-временными модуляциями параметров, например, движущихся периодических цепей приводов, ремней машин, линий конвейеров и т.д. Предлагаемые в работе методы позволяют решить актуальную задачу создания упругих структур и систем с заданными динамическими свойствами, например, с заданными собственными формами и частотами колебаний, посредством пространственных (и/или временных) модуляций параметров, что может послужить толчком к разработке новых типов структур и материалов.
Основные положения, выносимые на защиту.
1) Предложена новая модификация Метода Прямого Разделения Движений,
имеющая более широкую область применимости, чем его исходная
формулировка и традиционные методы нелинейной динамики, в
частности, методы многих масштабов и усреднения. Данная модификация
МПРД может быть использована для решения задач, не предполагающих
введения традиционных ограничений на спектр частот возбуждения, т.е. в
случаях, когда это возбуждение не является околорезонансным или
низко- или высокочастотным. Кроме того, ее применение позволяет
отказаться и от других, обычно вводимых при использовании
асимптотических методов, ограничений на рассматриваемые системы, в
частности, исследовать существенно нелинейные задачи и случаи
сильного параметрического воздействия.
2) Предложен новый аналитический приближенный метод исследования
линейной и нелинейной динамики систем и структур, движения которых
не допускают разделения по времени на быстрые и медленные,
названный Методом Изменяющихся Амплитуд. В отличие от
традиционных методов нелинейной динамики, в частности, методов
гармонического баланса, многих масштабов и усреднения, данный метод
не предполагает введения ограничений на класс разыскиваемых решений.
Кроме того, использование метода не требует наличия малого параметра
в исходных уравнениях. В частности, с его помощью удается исследовать
системы, находящиеся под действием многих параметрических и (или) внешних сил с некратными частотами.
-
Предложенная модификация МПРД адаптирована и использована для исследования динамики упругих систем, движения которых разделяются не по времени, а по пространственной координате на медленно и быстро изменяющиеся компоненты; в частности, метод применим для изучения колебаний пространственно периодических структур.
-
Предложенный Метод Изменяющихся Амплитуд адаптирован и использован для исследования динамики периодических структур, движения которых не допускают разделения по пространственной координате на медленно и быстро изменяющиеся компоненты. Показана применимость метода для исследования колебаний распределенных конструкций, параметры которых изменяются и по времени и по координате.
-
С помощью предложенных в работе методов выявлен ряд значимых эффектов, возникающих в различных линейных и нелинейных системах, в частности эффекты, связанные с распространением упругих волн в периодических структурах и композитных материалах, подавлением вибрации в заданных частях распределенных конструкций, управлением сигналами нелинейных микро- и нано- масштабных параметрических усилителей, контролем автоколебаний в автономных системах, подавлением областей параметрической неустойчивости колебаний систем с пространственно-временными модуляциями параметров и т.д. Обоснованность и достоверность результатов обеспечивается
анализом существующих работ по теме диссертации, использованием
математически и физически обоснованных допущений при разработке
предлагаемых в работе новых аналитических методов, сравнением полученных
теоретически результатов с экспериментальными данными и результатами
численных расчетов, систематическим сведением полученных результатов к
известным частным случаям, а также продуманной постановкой
экспериментальных исследований, которые проводились при использовании высокоточных современных приборов.
Апробация работы. Результаты работы были представлены и обсуждались на: Международной конференции Euromech Colloquium 503 Nonlinear normal modes, Dimension reduction and Localization in vibrating systems, Рим (2009); Международной конференции 7th European Nonlinear Dynamics Conference (ENOC 2011), Рим (2011); Международной школе-конференции «Актуальные проблемы механики» (Advanced Problems in Mechanics), Санкт-Петербург (2012, 2013, 2014); Международной конференции EUROMECH 532 – 1st International Colloquium on Time-periodic Systems «Current trends in theory and application», Франкфурт (2012); Международной конференции COMPDYN 2013 (4th ECCOMAS Thematic Conference on Computational Methods in Structural
Dynamics and Earthquake Engineering), Кос (2013); Международной конференции 11th International Conference on Vibration Problems (ICOVP 2013), Лиссабон (2013); Международной конференции 8th European Nonlinear Dynamics Conference (ENOC 2014), Вена (2014); Международном конгрессе 11th World Congress on Computational Mechanics (WCCM XI), Барселона (2014); Международном конгрессе 22nd International Congress on Sound and Vibration, Флоренция (2015); Международной конференции COMPDYN 2015 (5th International Conference on Computational Methods in Structural Dynamics and Earthquake Engineering), Крит (2015); Международном симпозиуме IUTAM Symposium on Analytical Methods in Nonlinear Dynamics, Франкфурт (2015); Семинаре совместной лаборатории «Вибрационной механики» ИПМаш РАН и НПК «Механобр-техника», Санкт-Петербург (2014, 2016); Городском семинаре по механике под руководством чл.-корр. РАН Д.А. Индейцева, Санкт-Петербург (2014, 2015); Семинаре им. А.А. Ильюшина кафедры теории упругости Механико-математического факультета МГУ, Москва (2016).
Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации
опубликовано 25 научных работ, 12 из которых в изданиях, рекомендованных
ВАК РФ. Вклад автора в публикации, выполненные в соавторстве, состоял в
формулировке основных идей и гипотез, математической постановке задач,
выполнении аналитических исследований и численных расчетов,
непосредственном участии в экспериментальных исследованиях. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 310 страниц, в том числе 74 рисунка. Список литературы содержит 200 наименований.
Степень разработанности темы и обзор литературы
Для исследования распространения упругих (или других) волн в медленно меняющихся волноводах еще вначале 20-го века был предложен метод ВКБ (WKB), названный так в честь его создателей G. Wentzel, Н. Kramers и L. Brillouin [110,111]. С помощью данного асимптотического подхода рассматриваются короткие волны с медленно изменяющимся по координате волновым числом, распространяющиеся в структуре.
Как было отмечено выше, исследование пространственно периодических структур представляет существенный интерес для приложений, так как такие структуры используются повсеместно, от композитных материалов, механических фильтров и различного рода волноводов до каркасов зданий, ферм мостов, кранов и других промышленных сооружений, железнодорожных путей, составных труб и т.д. В связи с этим, линейные пространственно периодические структуры являются предметом исследования ученых вот уже более 300 лет, начиная с работы Ньютона [38]. Однако до работы Рэлея [112] рассматриваемые системы представляли собой сосредоточенные массы, соединенные пружинками. Большой интерес к данной области исследований появился в 20-ом веке, в частности, были созданы классические работы [38, 113, 114]. В настоящее время данная область переживает очередной подъем интереса, см. например [115-119]. Важным свойством пространственно периодических структур является наличие полос частот запирания, т.е. диапазонов частот, в которых упругие (или другие) волны не могут распространяться.
Определение таких диапазонов частот и соответствующих им уровней затухания является актуальной с практической точки зрения задачей [38,113-119]. Для ее решения было создано множество аналитических методов, большинство из которых основано на теории Флоке [36,38,42], в частности метод пространственных гармоник (method of space-harmonics) [120] и различные вариации метода бесконечных детерминантов Хилла [36-38,42,85,86]. Отметим также, что исследование распространения плоских упругих волн в одномерных волноводах часто проводится численно с помощью методов спектрального элемента (spectral element method) или матрицы переноса (transfer matrix method), см., например [121-124].
Существенным недостатком метода гармонического баланса по сравнению с другими аналитическими методами является тот факт, что он применим для отыскания только периодических решений рассматриваемых линейных или нелинейных дифференциальных уравнений, и не может использоваться для изучения переходных режимов. В результате, данный метод оказывается непригодным для решения многих актуальных задач, так как налагает слишком существенные ограничения на спектр разыскиваемых решений.
Метод усреднения и метод многих масштабов применимы для отыскания как чисто периодических решений, так и решений близких к периодическим. Следует, однако, отметить, что данные методы накладывают существенные ограничения на параметры рассматриваемых систем, в частности, на спектр частот возбуждения. С помощью этих методов, как правило, могут быть рассмотрены только слабо нелинейные задачи. Кроме того, в случае параметрического воздействия на систему, амплитуда такого воздействия полагается малой. В результате, многие актуальные для приложений задачи оказываются вне области применимости данных методов. Например, в работе [125] с помощью метода многих масштабов рассматривалось распространение акустических волн в периодическом волноводе для случая слабой модуляции. В работах [126-128] исследовались похожие задачи эластодинамики так же в предположении, что параметрическое воздействие является слабым. Таким образом, асимптотические подходы и методы гомогенизации [104-107] оказываются применимы только при наличии малого параметра в рассматриваемых уравнениях движения, так что либо амплитуда модуляции полагается малой [104, 125-129], либо изменение параметров структуры считается медленным [110,111,130,131] или быстрым [104-107], либо выделяется некий параметр структуры (например, жесткость), который рассматривается как малый [132].
Современные методы исследования линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, основанные на теории Флоке [36,38,40,42], не предполагают введения существенных ограничений на параметры рассматриваемой системы и позволяют найти все решения. Данный факт объясняет большую популярность данной теории при исследовании параметрически возбуждаемых систем, в частности динамики пространственно периодических структур, для которых на ее основе был разработан целый ряд упоминавшихся выше специальных методов [38, 113, 120, 133]. Однако, существенным недостатком данной теории является сложность, а зачастую и невозможность ее применения к исследованию нелинейных задач. Кроме того, она не может быть использована для изучения динамики систем, находящихся под действием многих параметрических и (или) внешних сил с некратными частотами. Отметим также, что и другие методы, обсуждаемые выше, в частности методы гармонического баланса, усреднения и многих масштабов, оказываются неприменимыми для исследования динамики таких систем.
Таким образом, существующие аналитические методы оказываются непригодными для решения многих актуальных задач механики и физики, так как их использование налагает слишком существенные ограничения на параметры системы и/или спектр разыскиваемых решений. В частности, трудности возникают при решении существенно нелинейных задач и исследовании динамики нелинейных систем и структур, находящихся под сильным параметрическим воздействием или под действием многих параметрических и (или) внешних сил с некратными частотами.
Оценка справедливости полученных результатов
Необходимо отметить, что использование модифицированного МЛРД предполагает отказ от ряда упрощений традиционного метода. В частности, при решении уравнения быстрых движений (для переменной у/) медленные переменные X и Т1 нельзя считать постоянными. Предлагаемую в настоящей работе модификацию МЛРД можно рассматривать как развитие идей, предложенных в [1,143] для исследования уравнений без явного физического малого параметра: для решения задачи вводится ограничение на спектр разыскиваемых решений. В задачах, рассмотренных в [1,143], искомое движение х было близко к движению х0 определенного вида, например, к гармоническим колебаниям или равномерному вращению. В результате, формальный малый параметр вводился перед разностью Z(x)-Z(x0) (см. уравнение (1.1)).
Подобно другим приближенным методам, например, методам гармонического баланса [84-86] и бесконечных определителей Хилла [36-38,42,85,86], для каждой рассматриваемой задачи модифицированный МЛРД предоставляет явное условие, при выполнении которого полученные результаты являются справедливыми. Также проводится оценка погрешности найденного решения, см. пункты 2.2.-2.4. Однако, как и в традиционном МЛРД, условие применимости модифицированного метода определяется апостериорно: находятся области параметров, в которых амплитуды #-(7j) действительно изменяются медленно, и имеют место близкие к периодическим решения. В этих областях параметров составляющая X =Ь0 изменяется действительно медленно по сравнению с у/.
Необходимо также отметить связь модифицированного МЛРД с методами, основанными на теории Флоке, в частности методом бесконечных определителей Хилла [36-38,42,85,86]. Указанные методы, также как и предлагаемый новый подход, предполагают сведение уравнений с периодическими коэффициентами к системам уравнений с постоянными коэффициентами. Однако, в отличие от этих методов, модифицированный МЛРД предполагает введение малого параметра Є, использование которого существенно упрощает решение получаемой системы уравнений с постоянными коэффициентами. Кроме того, в отличие от методов теории Флоке, модифицированный МЛРД применим для исследования нелинейных задач и систем, находящихся под действием многих параметрических и (или) внешних сил с некратными частотами.
Также можно выделить основные преимущества модифицированного МЛРД перед классическим методом гармонического баланса, которые заключаются в следующем: 1) модифицированный МЛРД предоставляет возможность получения сравнительно простой и надежной оценки устойчивости найденных периодических решений, 2) также метод позволяет найти нестационарные (т.е. непериодические) решения, описывающие колебания с медленно изменяющимися амплитудами. Данные преимущества проиллюстрированы в пунктах 2.2-2.4.
В качестве первого примера использования модифицированного МЛРД рассмотрим классическое уравнение Матье, описывающее колебания, возникающие в различных механических и физических системах [37,38], например, динамику маятника с вибрирующей осью подвеса, балки под действием следящей нагрузки, колебания в электрических цепях и т.д. Отдельно стоит отметить значение данного уравнения для теории динамической устойчивости упругих систем [37,86] и исследования распространения волн в пространственно периодических структурах [38], для которых оно является классическим модельным уравнением.
Лсследованию уравнения Матье посвящено множество работ, в частности, классические труды [40-43]. С помощью методов, основанных на теории Флоке, например метода бесконечных определителей Хилла [36-38,42,85,86], были определены области устойчивости и неустойчивости данного уравнения, нашедшие отображение на известной диаграмме Айнса-Стретта. Теория Флоке позволяет найти все решения уравнения Матье, однако, как было отмечено в [85], при отсутствии малого параметра в этом уравнении решения становятся довольно громоздкими, что существенно затрудняет их определение, особенно в областях устойчивости. Классические асимптотические методы, например методы многих масштабов и усреднения, в свою очередь, оказываются неприменимыми для исследования уравнения Матье при отсутствии явного малого параметра [79-82].
В настоящем пункте работы исследование уравнения Матье без явного малого параметра проводится с целью иллюстрации процедуры использования модифицированного МЛРД. На примере этого уравнения, показывается также, что область применимости предлагаемого нового метода шире, чем у классических асимптотических методов. Также обсуждаются некоторые преимущества модифицированного МЛРД перед другими приближенными методами, в частности методом бесконечных определителей Хилла, например, сравнительно большая простота в применении. Рассматриваемое уравнение имеет вид: ?f-S(l + Zcost0) p = 0, (2.3) Исследуется случай отрицательной жесткости, 0, в частности, рассматривается задача стабилизации движений с помощью колебательных воздействий.
Определение границ устойчивости для третьего параметрического резонанса и обсуждение полученных результатов
В качестве второго примера использования модифицированного МЛРД рассмотрим актуальную для приложений задачу исследования отклика нелинейного параметрического усилителя в случае, когда соотношение между частотами параметрического и внешнего воздействий составляет два к одному.
В настоящее время, параметрические усилители, основанные на резонансных микро- и нано-масштабных системах, широко используются для усиления различного рода сигналов; при этом для этих устройств характерен низкий уровень шума и искажений сигнала, что свидетельствует об их большой эффективности. В связи с этим, изучению параметрических усилителей посвящено множество работ, см., например [144-147]. Традиционно параметрические усилители рассматривались как линейные системы, находящиеся под действием комбинации внешнего и параметрического возбуждений. Динамика таких систем сравнительно хорошо изучена, см., например [37]. Однако, многие микро- и нано-масштабные параметрические усилители, по сути являющиеся, например, микро- или нано-балками, закрепленными с обоих концов, проявляют ярко выраженный нелинейный характер поведения в случае сравнительно больших амплитуд отклика [148,149]. В связи с этим возникает необходимость рассмотрения динамики таких систем при учете нелинейных факторов. В качестве простейшей модели может быть использована классическая нелинейность типа Дуффинга [59]. В работе [150], например, был исследован околорезонансный отклик такой системы для случая слабого параметрического воздействия и малой нелинейности. В данном пункте работы мы отказываемся от этих ограничений на параметры системы, в частности, не налагаем требований на амплитуду параметрического воздействия и коэффициент нелинейности быть малыми; кроме того, рассматриваем более широкий диапазон частот возбуждения, что представляет большой интерес для приложений. Исследуемое уравнение имеет вид: z + yz + dz + Xz cos 2t0 + kz3 = Acos(t0 + ф), (2.20) здесь z представляет отклик усилителя, у - коэффициент диссипации, которая полагается линейной, А и х амплитуды внешнего и параметрического воздействий, соответственно, ф - сдвиг фазы, 8 - квадрат собственной частоты линеаризованной системы, и t0 - безразмерное время.
Как видно, рассматривается случай, когда соотношение между частотами параметрического и внешнего воздействий составляет 2 к 1. В работах [36,37] было показано, что в линейном случае именно при таком соотношении частот достигается максимальное усиление сигнала. Как было отмечено выше, динамика системы рассматривается при 8 1 и х так чт0 классические асимптотические методы не могут быть использованы. Методы, основанные на теории Флоке также оказываются неприменимыми для исследования рассматриваемой нелинейной задачи.
Используя модифицированный МПРД, разыскиваем решение уравнения (2.20) в форме: z = a(Tl) + (TvTQ), (2.21) описывающей колебания с медленно изменяющимися амплитудами. Здесь масштабы времени Тх и Т0 и переменные ОС и у/ имеют те же значения, что и в пункте 2.2. Подставляя (2.21) в (2.20) и усредняя данное уравнение по быстрому времени Т0, при учете соотношений для переменной у/, получим следующее уравнение медленных движений: є2 + єг— + 8а + х(со$2тЛ + к(а3 + За(2) + (3)) = 0, (2.22) dT 2 УІ\Г о/ \r / \r / Уравнение быстрых движений получается путем вычитания уравнения (2.22) из (2.20): + 2є + є2 + к(3 +3а2 +3а2-3а(2)-(3)) + дТ2 дТЖ дТ2 {У у г \г / \г П (2.23) +i + 6. + = _W(c, + )cos2r0-( cos2r0 ) + Acos(r0+ ) Учитывая, что (TVT0) является периодической по времени Т0 функцией, решение уравнения быстрых движений (2.23) разыскивается в виде ряда: = B1(ri)cos(r0+ 1(ri)) + B2(ri)cos(2r0+ 2(ri)) + ... (2.24) Влияние второй, третьей и высших гармоник на отклик системы при 8 \ и 1 оказывается пренебрежимо слабым, если является малым либо коэффициент нелинейности к, либо амплитуда внешнего воздействия А: к«1 или А«1. В этом случае, в частности, не возникают супер- и субгармонические резонансы. А значит, при таких значениях параметров достаточно учесть только первую гармонику в ряду (2.24). Учет высших гармоник не составляет труда, но приводит лишь малым количественным изменениям получаемых результатов. Для амплитуды Вх и фазы 6Х получим следующие уравнения: + еу -ВЛ\ + е -) 2 + 8В1 + кв1 + Ъка2В1 dl2 dlx l dTx l 4 l l (2.25) ZB1 cos2 + Acos - ф) d2e, f dBA( d6l\\ є2В, 4 /В, +2є \\ 1 + \ = zB,sm2a - Asm№ -ф), (2.26) dT 2 { l dTj{ dTJ 1 l Для приложений основной интерес представляет определение стационарного отклика усилителя. Из (2.22), (2.25)-(2.26) следует, что такой отклик описывается уравнениями: В2 Sa+k(a3+3a ) = 0, (2.27) -В, + SB, +кВІ + Ъка2Вх = -ZB, cos26 + Acos(6 - ф), (2.28) уВ, = хВх sin Wx - Аът(6х - ф), (2.29) Рассматривая случай 0, к 0, получим, что уравнение (2.27) допускает единственное вещественное решение а = 0. Отметим, что из уравнения (2.22) следует, что данное решение является устойчивым (см. [139]). 2.3.3. Случай малой амплитуды внешнего воздействия
Рассмотрим вначале случай малой амплитуды внешнего воздействия, А є2. Учитывая, что а = 0, из уравнений (2.28)-(2.29) получим следующие выражения для амплитуды В1: 4Ґ — Зкк Д =0, ві = ( п —: і ±Af-f+(\-8) (2.30) 4 Так что при выполнении соотношений Z 27 л Z2 f +1- 0 в рассматриваемой системе могут возникнуть устойчивые колебания с — J— Xі - Т2 +(1- ) даже при сколь угодно малом Ък\ А ) амплитудой В1 —\l-X2 -f+(}-8) Ък\\А значении амплитуды внешнего воздействия Л. Устойчивость этих колебаний следует напрямую из уравнений (2.25)-(2.26). В качестве иллюстрации на рисунке 2.4 показаны соответствующие зависимости амплитуды Вх стационарного отклика рассматриваемого нелинейного параметрического усилителя от параметра д. Сплошные линии соответствуют устойчивым решениям, штриховые линии - неустойчивым. Рисунок 2.4. Зависимости амплитуды стационарного отклика нелинейного параметрического усилителя от параметра 8 при пренебрежимо малых значениях амплитуды внешнего воздействия А. Сплошные линии соответствуют устойчивым решениям, штриховые линии - неустойчивым
Из выражений (2.30) и зависимостей, представленных на рисунке 2.4, следует, в частности, что значительный отклик усилителя может быть получен и при малых значениях амплитуды х параметрического воздействия: % є. Например, при выполнении соотношений % є, Х 7, дФ1 и к є, выражение для амплитуды Вх приобретает вид: и если д 1, то мы получим Вх - є-т. В качестве иллюстрации на рисунке 2.5 показан отклик усилителя при ;г = 0.1, = 0.001, 7 = 0.02, А = 0.00001 и (а)д = 0.96, z(0) = 0, z(0) = 0, (б) д = 0.5, z(0) = 0, z(0) = 27. В случае (б) наложены ненулевые начальные условия, так как при рассматриваемых значениях параметров сосуществуют два устойчивых стационарных режима колебаний (см. рисунок 2.4); нас же интересует режим колебаний с наибольшей амплитудой. На рисунке 2.5 сплошные линии представляют численное решение исходного уравнения (2.20) с помощью программы Wolfram Mathematica (NDSolve); штриховые линии отвечают значениям амплитуды стационарного отклика усилителя, полученным аналитически. Как видно, имеет место хорошее согласие между аналитическими и численными результатами.
Определение собственных частот и форм колебаний струны
В работе [150] (см. также [139]) было показано, что характер отклика нелинейного параметрического усилителя при строгом выполнении соотношения два к одному между частотами параметрического и внешнего воздействий существенно зависит от того, является ли параметрическое воздействие «до критическим» или «после критическим». До критическим называется параметрическое воздействие в области устойчивости соответствующей линеаризованной системы, после критическим - в области неустойчивости. Как следует из полученных выражений в пункте 3.3.3, в случае наличия расстройки между частотами параметрического и внешнего воздействий этот вывод остается справедливым. В качестве иллюстрации на рисунке 3.4 показана зависимость максимальной амплитуды стационарного отклика усилителя a от частоты внешнего воздействия Qd при 0 = О.1,бО = 1,ф = -я/4,k = ОЛ, d = 0.01 и различных соотношениях между частотами параметрического Qp и внешнего Qd воздействий: (а), (г) 1.95 к 1; (б), (д) 2 к 1; (в), (е) 2.05 к 1. Случаи (а)-(в) соответствуют до критическому параметрическому воздействию, p=0.15; случаи (г)-(е) - после критическому воздействию, p=0.35. Сплошные линии представляют устойчивые стационарные решения, найденные аналитически, а штриховые линии - неустойчивые решения; крестики соответствуют численным решениям исходного уравнения (3.21), которые были получены с помощью программы Wolfram Mathematica 7.
Зависимость максимальной амплитуды стационарного отклика усилителя a от частоты внешнего воздействия Qd при /3 = 0.1, 00=1, ф = -7Г/ 4, k = 0.1, d = 0.01 и различных соотношениях между частотами параметрического Qp и внешнего Qd воздействий: (а), (г) 1.95 к 1; (б), (д) 2 к 1; (в), (е) 2.05 к 1. Случаи (а)-(в) соответствуют до критическому параметрическому воздействию, p = 0.15; случаи (г)-(е) - после критическому воздействию, p = 0.35. Сплошные линии представляют устойчивые стационарные решения, найденные аналитически, штриховые линии - неустойчивые решения; крестики соответствуют численным решениям исходного уравнения (3.21) Как видно из рисунка 3.4, в случае до критического воздействия наличие расстройки между частотами параметрического и внешнего воздействий существенно снижает максимальную амплитуду отклика усилителя. При достаточно слабой нелинейности существует единственное стационарное решение уравнения (3.21), являющееся устойчивым. В качестве иллюстрации на рисунке 3.5 показана зависимость аналитического (штриховая линия) и численного (сплошная линия) решений от времени t при 0 = О.1,й?=1,p = ОЛ9, Op=2.d = O.l,Od=l.l,0 = -;z74,k = O.l. При более сильной нелинейности сосуществуют одновременно три стационарных решения исходного уравнения (3.21), два из которых устойчивы, подобно случаю классического уравнения Дуффинга.
В случае после критического воздействия можно выделить сразу несколько значимых эффектов, возникающих из-за наличия расстройки между частотами параметрического и внешнего воздействий. Во-первых, зависимости на рисунке 3.4 (г)-(е) показывают, что из-за расстройки изменяется число устойчивых и неустойчивых стационарных решений уравнения (3.21). При отсутствии расстройки имеем пять решений, при наличии - только три решения. Данный вывод, однако, является не совсем верным: количество стационарных решений сохраняется, но некоторые из них накладываются одно на другое на рисунке 3.4 (г)-(е), т.е. они имеют одинаковую максимальную амплитуду. В качестве иллюстрации на рисунке 3.6 показаны два устойчивых решения уравнения (3.21) (штриховые линии), найденные аналитически при /5 = 0.1,(0 = 1, p = 0.27,Qp =2.1, d = 0.1,Od =1.1,
Устойчивые решения уравнения (3.21) (штриховая линия), найденные аналитически при /3 = 0.1,(0= 1,p = 0.21,О = 2.1,d = 0.1,Od = 1.1, ф = -,k = 0Л; сплошные линии представляют численные решения Как видно из рисунка 3.6, найденные устойчивые стационарные решения уравнения (3.21) отличаются друг от друга только лишь фазой. Другой значимый эффект, который следует из зависимостей, приведенных на рисунке 3.4 (г)-(е), состоит в появлении «прыжка» в отклике усилителя при изменении частоты внешнего воздействия Qd, т.е. в резком увеличении отклика при сравнительно слабом изменении Qd. Например, на рисунке 3.4 (г) такой прыжок имеет место при Qd=0.98, а на рисунке 3.4 (е) при Qd=0.94. Отметим, что при отсутствии расстройки между частотами подобный прыжок в отклике усилителя не наблюдается, см. рисунок 3.4 (д).