Построение структуры матрицанта уравнений движения изотропных и анизотропных упругих сред Тлеукенов, Садритен

Введение к работе

Актуальность проблемы. Неоднородность, анизотропия и поглощение яііляются наиболее распространенными свойствами упругих

рсаЛЫШХ СрСД. РаЗВИТИС МСТОДгт ИССЛСДОПЗННЯ ПОЛИПНЫХ пропсс-

соп п неоднородных изотропных и анизотропных средах с учетом механизмов поглощения необходимо для решения широкого круга теорсти"ссжих я прикладній задач в различных областях науки и техники, прежде всего п сейсмологии, геофизике и механике ком-позитимк материалов.

Успехи теории распространения ваян в изотропных средах связаны нрежлс всего с возможностью потенциального представления лектора смещения, позволяющие ирипссти уравнения движения однородной изотропной среди к независимым полипным уравнениям. Однако такое нрелстаплеиие неприменимо уже в случае исодноро,, них изотропных сред. Наглядный я эффсктивиы<1 для однородных изотропных сред метод плоских воли в случае анизотропных сред оазываися совсем не простым. Существующие аналитические методы исследования волновых нронессоп я анизотропных средах либо не приводят к необходимым количественным и качественным рс-зум, .гагам, либо иатуїснпьіс на и; основе р₁ шения пракпічсск:і не oGVnpiu.iJ и малопригодны. Именно поэтому ралипис четолоп исследования и <|юрмироііанис представленії (I о новедешшн волн D анизшгхшнмх средах является одной из актуальных проблем механики лес}ж>рмирусмою твердого тела.

Отмстим, нскоюрис аспекты постановки этт>п и йлсмы, принятые и предлагаемой работ?. Естественно, чи» Проблему должно изучаїь на б-ізс возможно более постых ноли достаточно общей природи. К эгам последним следует относить гармонические волны и,н частности, плоские «мни, систематическое изучение которых на основе налнпгіеских методо» і:ракіичсски не проводилось.

Уравнения движения в аинклтячммх ерелах отличк..пся слож-ностьто и обилием параметров. Поэтому, наиболее Конструктивным янляї vH ноі ic;ioiiaiv:ii,ii'v и тсталміос v іучсние свойств ИХ рс-шени в досітіїочи" широком классе анизотропных сред с тем,

ЧТОбЫ УСТАНОВИТЬ ЗАВИСИМОСТЬ тех или ИНЫХ ВОЛНОВЫХ .ІІІЛСИИЙ от

структуры упругих иарачетроя, определяющих анизотропию ереді...

Другим аспектом работы является вывод іраничпьіх нежестких условий контакта. Наличие в средах прослоек с линейными и не» .'МнсИними реологическими свойствами зачастую приводні" к гро-моілкнм чисчепныч расчетам уравнений движения. Несомненна также дажноечт. ранний* нодмион. ношоляющих существенно упростил, аналитические исследования, численную качественную и количественную опенку згою влияния, сохраняя влияние физнко-мс-ханнчесхих сииисти зпіх прослоек.

Изучение волновых процессов в периодических структурах привлекает ирибороетткипелен материаловедов для решения разнообразных вопросов - о анализа динамических процессов в слоистых композитах до со шния и применения приборов и уст-ройегв, «ююпанных на волновых э<1«!к'ктах в ретулярных структу-

pax. Основные проблемы связаны з; сь с разіштисм эффективных методо» анализа волноіімх процессов п .отечных регулярных структурах, построением и нсследог чінсм ураішешн'і диснеренк. Ибо сушеспіуюіцис методы основаны лнГю на теореме Флокс ; ія ас-ограниченных структур, либо используют слоисто-однородные модели и сочетании с численними расчетами.

Цель работы: 1. Посфоснис структуры мафішаиі.. уравнений дпижсиия, описывающих раеиространеиис гармонических пали о средах неоднородных по одной из пространственных координат анизотропных і»ссх енпгоиий при объемном распространении воли, при распространении поли вдоль координатных плоскостей и координатных осей; изофонных, ігьсзокрнст-аллах гексагональной и кубической сишомий; и орготроиных пластинах, стержнях и бал- ках на унруїюм основании; п акустических средах.

1. Цывод граничных условий нежесткого контакта упругих сред, учитывающих влияние нл волновые процессы тонких пр<-слоек с линейными и нелинейными определяющими соотношениями.

2. Раїработка метода исслсдонания расирскл, аиспия полн о периодически неоднородных средах, основанного на структуре маїринанта уравнений движения.

Достоверность основных научных положений и результатов работы обоснова применением общих методо» и принципов механики сплошной среды, построением точных решений, сопоставлением и согласованностью получении* резу.и.татон с сушесгоуюишми даииы-ми. Вывод структуры маїрнциптов матсмап іески строго обоснован и докаїап. Рассмаїрниакжя классические модели сред механики деформируемого твердой* тела.

М'ііуі исследования: аналитический, исш лшый на классическом представлении маїриііаіпа системы уравнений перших) порядка с переменными к<»|к|ніішсіп;імн и форме экспоненциального маїрнчиою ряда, и мафичный метол исследования динамики унру-іих слоистых структур.

Научная повита:

1. ({первые сформулирована к решена проблема построения
сіруктури маїршіаігіа уравнений движения, онмсыпаюншх распрост
ранения іармошічсских волн в yirvnix неоднородных по одной .и
пространствен их координат, аништронных средах всех сишопнй

в оГіі,смііом случае распространсним іиїлн, при расиріхпраііснии начн плоді, каждой из координации плоскостей и координашых осей; изотропных сред . і .. іокристаллах іскеагональной и кубической сил іони И, оркнронпых и изотропных пластинах, стержнях и балках п.. уируїом основании, акустических средах.

3. UucpuMc получены ишарианшые сехггношения, связывающие элементы магрицантои. Исследована записимоегь структуры матри-каїїта отсірукіурм мафії'' упругих и....лмстг>ои систем уравпеннй движения аии кпроппмх сред всех сингоний н объемном, плоском и одномерном случаях.

4. Предложены граничные условия нечеткого контакта, они-смиак>ішіе ішияние топких прех-поск с анизотропным, шгзкоунруш-ми. нелипейпо-вязкоупругими, упруго-ішзко-плае-піческими онре-

деяяютими соотношениями; определены величины разрыва вектора смещении и ноглашенпя энергии; получена магричния формулировка различных линейных молелен срел.

4. Впсрг.ые получены аналигические прея*: '.влепи и маїрипап-топ уравнении движения ішр"однческп неоднородных изотропных и ашізотрош,..їх слоев отпосніелию маїріпь.і монолроу и на основе полиномов Чебмшсва-Гегеибарра; настроены матрицантм усредненных неріш інчееки неоднородных изотропных и пииачггроппых слоен. Пре южен,! модифицированная (]>орма уеяовин определении корней матриц моиолроміш, нозволіі <шш вдвое понизить степень характеристического ураипенпл.

3. Получены раздельные уравнения дисперсии в неограниченной перии; ;-.ческой структуре при распространении ноли и коордн-натных илпекоетях неоднородной изотропной среды, кубичсскоґі, гексагональной, тетрагональной и ромбической сингоинй шиї* г-ронных сред; при объемном распространении волн в неоднородных изотропных средах, и неоднородных анизотропных средах кубнч-нескон, гексагональной синюшні.

6. В явном виде построены матринанты однородных анизотропных''ред ромбической, тетрагональной, текса! опальной и кубической снигоиий, описывающих распросфанеинс ноли п координатных плоскостях ідолі, осп симметрии четного порядка Постр<. єн казрппаиг скалярного уравнения движения при наличии зі]хрокта двойного ііреломлсїіпя волн поперечной поляризации. Получены уравн шя дисперсии ..олії без изменения поляризации.

7. Для общего иида неоднородности нсследопано формирование зон прозрачности и непрозрачное-і.. обьемш.вс, канадовых, поверхностных и нормальных волн в нерп .дическнх структурах п случае скалярного уравнения дпнжени .. Выявлена изаимосвязь между зонами пропускания уравнения дисперсии и неограниченной периодической структуре, ко^рз(]>фнцнмггами отражения и преломления периодически неоднородным слоем и корнями уравнений дисперсии канадовых, поверхностных и нормальных волн и периодичен .сих волноводах.

8. Решены задачи отражения SH волн неоднородными полуп
ространством при нежестких условиях контакта; отражения и пре
ломления ноли с учетом двойного преломления; отражения'и пре
ломления волн анизотропной прослойкой трикг что'* сиш'онии: об
определении условий сущеетг линия пг -и Стоунлн и-Реліні'на гра
ницах с нежестким контактом; построении-матрицанта н>уравнений-
дисперсии в периодической структуре,- остояшеп- из системі» ОД>
нородных слоев жидкости и изиТроянШ if анизотропных пластин.

Научные положения, BMifociufw'c fra защиту. Метод построения матрнцаишв, основанный на Исследовании матричного экспоиенци-ального ряда. Он включает:

- структуру матрпцантов уравнений чвижения, описывающие распространив гармонических волн, в неоднородных, вдоль пространственной координаты анизотропных сред всех сингоний, изотропной среды, пьезокрнссталов гексагональной и кубической сингоний, изотропной и ортотроиной пластины, стержней и балок на

упругом основании, акустических сред;

исследование структуры матрнцаитов в зависимости от структуры матрицы козффиииеіггов уравнений движения анизотропных сред;

инвариантные, по отношению к характеру на шородности среды, соотіїошсііня между элементами матрицантов;

граничные условия нежесткого контакта, описывающие влияние тоню» прослоек с линейными И нелинейными определяющими соотношениями;

метод исследования распространения волн в периодически неоднородных средах, основанный на построении и применении структуры матрицаїгтов;

результаты исследовании но определени'о эффективных, параметров усредненньг сред при жестком н нежестком контактах и построение матрниантов усредненных регулярных структур;

решение задач об отражении и преломлении упругих воли неоднородным полупространством при нежестких условиях контакта, анизотропным слоем с двойным преломлением, анизотропной прослойкой триклинний сингонии;

условия существования волн Стоунли и Редея на границах с нежестким контактом;

результаты исследования о формировании зон прозрачности я непрозрачности объемных , канаяовых, поверхностных н нормальных волн в периодических структурах и волноводах.

Практическая ценность-Диссертационная работа является составной частью завершенных научно-исследовательских работ Института сейсмологии НАН РК и По Фонду науки Министерства науки и новых технологий РК :

-изучить взаимодействие линейных волн с тектоническими разломами И распростралие сейсмических волн в структурно-неод-нороных средах (1973-1980 гг) (N Гос.регисгр.78033492).

распротранение волн напряжения в массиве горных пород (1976-1980 JT.N Гос.регастр.78033494).

провести научные исследования по учету влияния неодно-роднестеЯ геологических сред на степень сейсмической опасности территории сейсмомикрорайонирования КааССР (1981-1933 гг. N Гос.регистр.018115002Г8).

разработать методику оценки динамических характеристик колебаний грунтов И систем "грунт-сооружение" для прогноза их реакции На сильные емлетрясения для сейсмических районов Каз-ССР (1986-1990 гг. N Гос. регистр. 018870048096)

исследование волновых процессов в гриадическн неодно-родных аиизотгтщщх средах с пьезоэффектом. (1994 г. N Гос. регитр. 0195РкШ374).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах Института сейсмоло ш , Л КахССР и Института механики и мапшновсдения НАН PKL под руководством академика НАН и ИА РК Ержанова Ж.С. (1976-1995 гг.); семинарах ЛОМИ им. В.А.СГС ова под ру» юдством профессора В.М.Бабича (1982-1989 гг.); республиканских конференциях по математике и

механике (I976-19S9 гг.); но физике тпердого тела и новым областям се применения (Караганда, 1990г.); всесоюзных и мс;к;гу-н.іроднмх конференциях, семинарах-1; симпозиумах (1978 г. Душанбе; 1982 г. Бг—урианн; 1,--,1 г. Фрунзе; 1980 г., !98<1 г. Нопо-енбнрек; I9SO г. Леіпіцш; 1989г. Кур; кшетра, Индия); Юбилейной конференции КазНТУ (1994г. Ал.маш).

Пиликании, основное содс-ржанис диссертации опубликовано в 25 иаушиг статьях и одион мониіцлфіш:

Структура и обьем рабигч. Діісссртпппя состоит ни писДЕ-ния, 8 глав, заключения и биб^лиогрлфпн, включающей 201 наименование; работа изложена на 201 странице машинописного текста.

Автор выражает глубокую благодарность научному консультанту академику НЛН и НА РК, процесору Пржаїюпу Ж.С. за привлечение интереса к данной проблеме и научные консультации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ: РАБОТЫ ІкишсдеЛ'Ш дано обоснование актуальности темы, дан обзор работ, посвященных рассматриваемым'» работе вопросам, изложено краткое содержание работы.

U нерноі) главе определяет!.і структур., матриц коэфршшеп-тов >т>.«>нсинн движения анизотропных сред

т₁₍₎ = С'^«<«:с; 26кс-- Ч*,,*'.!,,* (2) На основе метола разделения н.-ремсппых

l'(U»(-МГ-Иу)

L^t.r^'^u.^.T^uijd П)

Система уравнении (1), U) ні іш.иикії к системе нерпою порядка

'if = 6 г. W

¹# им'.чгг комично. :u

6= 6^ ice, 4 >*,*, і J

n (5) входят величины,io '.uiiiiiie n граничные условия.

Неоднородность средьі предполагается вдоль осп Z.Opit поет-роенші матрицы коофшшенюіі 1) исиодыуетсл представление решения и виде (3),113 сисгемм уравнении (1),(2) выделяются иронз-оолше по Z и исключаются компоненты тензора напряжение не

входящие d граничные условия.при сло.істой неоднородности вдоль оси г.Множитсль cxpi|wt-mx-ny| всюду onyiu<.it.

D результэте.для аииаотрошюи ср. ды трнклишюй сиигонии
матрица коэфиинетов В системы уравнений (4) получена в следую
щем виде- " ,
Ю iix (<1 Siv fir in

[(„ о о t_i4 о (it

! (_iy (,. di (jit l)t (it | (6)

B~ j С (, і if і in /»r (*t

' j й* db А* Ы (n tn j о (if (*r (і* (*т *ri

Элемент» Ь,-в явном вндс определены через yiipynic параметры ^-.Структура (6) является оОшсн для анизотропных сред всех сиигонии.

Ц анизотропных средах моноклинной сиигонии существует
ось снмметр; и второго порядка.Пели ZjAjH неоднородность вдоль
оси Z, то: а . .

О b/f О

(гч 0 Сь

(:v о ц
С = ' с (п Ґп с /*г С (7)

(ц. с (rt

Сгруктура матриц коэфиниентов (7) является обшей для анизотропны* срел,имеющие осп симметрии четного порядка и при неоднородности срс.'їм вдоль этой осн.

В анизотропных средах,пропгинслясшше коир.ишатм связывают с симметрией расемаїринаемих срел.Цслсдстшш этого.иаряду с уравнением (А) рассматривание» уравнения относительно соиггве „т-вуншшх occil,вдоль коюрых предполагается неоднородность.

Для моноклинной оішішііи при х і z В Л,,матрицз В уравнения : ( здесь опушен міниміїсль expi|wt-iiy-l.|).

(<1 Сі

Как видно структура И (X) эквивалента прукгуре (6). К анадши'нюи структуре В приводят уравнения движения анизотропных сред тстраї опальной сиигонии при х|Лу, если ось симметрии второго порядка оісугству.і.шОо в случае х|А^И Апсели существует ось торою порядка.

Такую структуру (6),(К) имеет матрица козфншісптов урав-

-неншґ движения анизотропной среды тригонально» снкгонии вдоль

ВСЕХ КООрДІШаТНЬІХ ОССЙ ПРИ ОТСУТСТВИИ ОСИ СИ.ЧМСТрНИ второго

порядка,либо,прн ее налипни , вдоль координатных осей перпендикулярных оси симметрии пторого порядки

Структура матриц коэффициентов В п форме (7) имеет место для анизотропных сред ромиическои ,теті .тональной тршональ-ногс.гексагоналыюн , кубической снигошш при наличии осей симметрии четного порядка и неоднородности параметров среды вдоль эти" осей.

Таким образом,устапоал-но.чго уравнения дниженнл упругих анизотропных сред.описьгаающих распространение в неоднородных по одной из координат анизотропных средах,приводят к двум характерны; структурам матриц коэффициентов (8) и (7).Следует отмстить.пто и целом, структура (7) следует из (8) при упетс ссютветствующеи симметрии,Однако выделение или впедение .этого различия связано с принципиально разным проявлением закономерностей волновых процессов.описывасмьгх этими структурами.Структура матриц коэффициентов эквивалентная (6) приводит :: эффекту двойного преломления.Другнми с.овами.если матрица коэффициентов имогг дополннтедьные.отлнчпые от пуля элементы , п сравпе-нии.со структуро!"! матрицы (7),то это связано с проявлением эффекта двойного преломления.

При распространении волн в координатных иоскостях четыре характерных случая.Они непосредственно следуют из выше приведенных структур и свойств симметрии аиизотроппой средь;.

В средах триклшшеи еннгоник по-прежпему матрица В сохраняет вид(6).

Б =

Для сред моноклинной СІШГОНИИ из (7) для тоскостн XZ имеем:

В то же время для плоскости (ху) п (8) следует

6 =

О itz Cii. iff О О 6а О О іч о О $щ и ё}% ц О О

С its в<ч гі Р о . о о о о 4%%4п

О О О Sit *rr

(10)

Во всех остальных случаях анизотропных сред с более высокой симметрией,либо приходим к (9),{10),либо к структуре В в виде:

о*

0 Лі Лі О 1

tii с с (t}_t

in/ С О (W -б іціч>0\

ь-

(И)

Из (10) видно , чтс В0Л1Ш2 поляризации распространяюіся независимо. С другой стороны, нз (10) следует принципиально важный вывал, что, как независимая поперечная волна поляризации, так и связанные волны продольной и поперечной поляризаций (х,у) проявляют эффект двойного преломления.

Этот эфчрект отсутствует в(11). Структура матрицы (И) эквивалентна структуре?, описывающей распространение упругих волн в неоднородной изотропной среде вдоль любой из коордішат-ных плоскостей.

При одномерном распространении гармоь.теских волн вдоль оси неоднородности совпадающей с осью симметрии четного порядка все волны разделяюты и описываются матрицами второго порядка с нулевыми диагональными членами. Это относится к средам кубической, гексагональной, тригоналыюй, тетрагональной и ромбической стшпши. За исключением тригоналыюй сшігошш при )Ш,и неоднородности вдоль х-

В сред^ триклинной сингошш при одномерном распространении имеем

О і а 0 ііч .0 Ьь (и о о о о v

С Си С iv С iii.

(12)

о о хь с о о 0 itt р <,<, с *Тж .0 Оо'О iiS о

Как видно все три поляризации по-прежнему связаны. В случае срея моноклинной С1ШГОЩІИ матрица жоэффициеитов следует из (12), если при распространении вдоль осиг/(12) положить (»,'<>, іи-й При неоднородности вдоль і и одномерном распространении вдоль jrofl оси 8 совпадает с (12) при fu * о > &« * '

Во шсл>оп ставе рашАочріш уравнении ;лижиіім шійрашой среды, пъезокрис -Длов гексагональной и кубической аантлшй, изгабные волньї, акустические среды и злектромапнггаые волны в диэлектриках. ,

В сйупае юотрошшх сред при объемном распросграиеііин
имеем структуру В Ь форме (7) при р^просгранешш в координат
ных плоскостях (11) и » одномерном случае матрицы второго по
рядка. ' ;.'.''

⁸ 6г< О '> -" U О ^б' (_г, О 03)

к структуре и віше'(ІЗ) iipnuc...-иы уряітсіга распространения иола и пкустичсекнх средах и олсктромаплгтыг вачии.

В случае изпіОних поли общая струїяурз мэтрншл коэфф:теи-топ имеет вид:

О Ьи о С

tit 0 in О

О случае иъелжриеталжш «лруюура В получена u шшс: 0 i і

:.-- . ' >. .'

! С (і, lr; ' *»Г f ^ <"»

tO iff *'»; Г «f f ^e/^\ '{ О С 0 с С *,* '»* 0.1

(16)

ІЗсктор V/ имеет следующие компоненты

^- компонента вектора электрического смешения;^- потенциал электрического поля.

Ь трстш)_гла»с изложено построение структуры маїрицапта уравнении движения анизотропных сред всех ешношій. Основные математические спедения, определении свойства іштьі из монографии Гантмахсра Ф.Р. ("Теория матриц", 1988г., Наука, гл.15, 5). Построение структуры матрнцанта основано на его иредстав-лсшш в форме экепопепцпалыюго матричного рада

« г *<

Т-Є-» S 6^*1 ⁴ SMe»J».A»-"; (IS)

о со

И ападошчном иредстаилсиии Т"

о со

Матриць! В,и ?,нс коммутируют в общем случае.

В нервом приближении ; - г ^:' сравнение элементов второго приближения дает следующую зависимость между элементами Матрниантов Т н Т:

Л It «fl in iii iti. ІГі. \0 І4, Ul '( іц-iti

І <гу ill Іії iyi iif ііУ

in i Aj *u iti i;i

J i:_k iii. in і'л Ut*n (20)

I <'.-r ^i>' ^il' *^ir ^'1 ">

Злссь її лагсе с.-'яшіяклся элементами прямого матрннзитя. Инл ке (2) оліачает шорос приближение. Лпялопічио сравниваются элемсигм треплю приближения. Затем применением метода ма-темаїичсской инлукіш и», ..змвается сохранение структуры четных и нечетных приближений, таким обра дім, в случае уравнений двн-жения анн нпр( иной среды триклшшоіі еннгошш, проведя суммирование получим:

Т««Г Т'";т^»'!(-(."т-'". (21)

«і

( - Т_г > 7

(22)

.a

і су При атом

iTteTvu сумма четных и нечетных.члепоіі ряло» (їй), (19)

*і; і_(; і.

і*₅ -*!;

^(1 іу/ 'J І <Ч t!

Т..

"У

*П <* *'»V ^^rY

<~і ^J ''/J <'.: ^ ^і

-tjf, ^ь ^г. » "<*< і'* і і

і/_гг ⁴-:7 НГ ^ «^

(23)

* »< 'г-

т.е. сумма атементоп тстін.гх и нечетных членов прямого н обр т-поїо иатринаитсн непосредственно н однозначно евнзаїш между собой в ііндс (23), поскольку і:;являются элементами прямой матрицы.

R пастностлк

Г" - 1^-4- "^l i<_{ - Ы -*гі

(24) В формуле (23) (+) относится і: четной члегп, '-) - нечешоД. Ряды (13), (18), (19) посолlonio и равномерно сходится в любой зам»./тон част интервала \я,ь\& г н определяют решение рассматриваемых уравнении движений.

Определение: структура матрнцалиа есті, зависимость ме;кду элементам;! п|:ямоі'0 и обратного матрпцанта п ферме (23),а также зависимости между элементам!! Ї и Т еледуюшне из толаеетпа

(25)

Структуру аиалопгчную (23), как это сле~ует пз структуры магнии коэффициентов В, имеют среды:

моноклинной сішгоіпш. вдоль кооряппапплх осей нерепен-дшсулярИЬ'Ч оси симметрнг т;орого порядка;

тетрагональной еингенин, ндодь координатной оси, п'ер-пенднкул.чрной одповремешю А_гн А/осям симметрии второго <1 четвертого порядка);

трнгоналыюй еннгоиин вдоль координатных осей переден-дикул5.риых оси симметрии второго порядка.

Из структуры маттпшанта (23) .непосредственно следуют структуры матринаптоіі уравнений движения анизотропных сред всех остальных еннгоиин.

В случае неоднородности вдоль оси четного порядка структура маїрнц коэффициентов имеет вид (У). Ее основная особенность заключается в гом, 4W элементы четных и нечетных „рнб-Діг.кеиш1 имеют альтернативную структуру, т.е. нули элементов мягрицаїгга четных приближений, заполняются элементами матрпцанта нечетных приближений. Используя представление (22) н

структуру (23) получим, что в рассматриваемом сл,-іае:

in. - iu. -in hi- ttr^si-ік 4.» -ічі -6< *it-in

f-⁴

T =

-fty 6lV A, -'(if І»Г -ІП

it і -iti -hi iji-iii ^i 1

-4lt ІП hi -Іц -І, і -Vty

_iT . Or -hr --i(T h$

Структура T (26) спраг'длина для сред кубической, гексагональной, ромбической стихший, при неоднородности среды вдоль любой на осей координат. Кроме того (26) справедливо в случае сред тригональпей, тетрагональної), моноклинной сингонип при неоднородности вдоль координатных осей параллельных осям четного пор"яка.

Далее, п третьей главе рассмотрены структуры матрипантов уравнений движения вдоль координатных плоскостей к координатных осей.

При распространении волн в координатных плоскостях анизотропных сред триклшшги СШ1ГОШШ структура матрицаитоп имеет вид (23).

В случае сред моноклинной снигоини структуру (26) имеют натрнцанл і уравнений движения при распространении вати в плоскостях (XZ), (уг). В плоскости (ху) одна из воли поперечной поляризашш (z - поляризация) распространяется независимо. Структуры, < члтхггвующік матршштов имеют вид:

'ігг in hi tji

т-'-

in іц іц

"/

in 4

*} ^T5i

ai)

^Г*>|*

Ut t4rj ^«і

_Структуру (11) в плоешті {xyj при x ' А_г И XlA„ , либо прй сгсугствШі oeit Ajtttiejot уравнения движения сред тетрагональной «шгоиіш. Однако, независимая попьречпая поляризашш

.. дяшюм случае, описывается магрицангом

Т*

т

(23)

Для сред тригональиоП сшігошш вн-т-скостях (ху) н (xz), сели z|A , хЦЛ то натрицаїгг кмссг структуру (26), однако, сели Л,отсуа-іт>уст, то мат ріщаігг п плоскости (xz) имеет структуру ;23).

Во псех остальных случаях сред ромбической, гексагон&ль-

!10П И КубиЧССКиІ» СШ!ГОІ!і!ЙТ'^,НМЄ!.ТШ1Д:

|Ч j. . <м - <,;. <а ]

'- Ь < * и * < -<;t

(_ -О і tVj Лі *;і. , '^«. - <Ч,- і

(25)

При одномерном распространении^,! чпы моль любой из ксор-дпіміііьіх осси триклинне.і сшігошш Т'получсііа u віще:

!"*г< ^к -<к *л '.. <-.і j

...і^і

<., -<' ''

(ЗО)

Г; Г fir <: '

1) ігх слуаях, когла оОііміміР случаи oiaicur.airtn структурой і (23) п одномерном случае ерся -мочтіїястпноЯ, тегрягггккш-лт;! епчгошш Г"^,і!мс«»г мил:

:;> . it; A; -f's._:, 1.-, -< <>. -^л і,:у - ».у

і і.. > <. -, -'» і г ;

7" =

і-A

(3D

В средах моноклинной сникший при распространении вдоль оси симметрии иторого порядка и тригопалыюй сингонии при распространении пдоль оси хА, независимой является продольная волна, а поперечные связаны. Структура Т эк. шалентна (31) с соответствующей заменой индексов.

Оо всех остальных случаях приходим к матршшнтач оторого порядка, со структурой, соппадаюшей с Т в (29) и (31) мат; щ второго порядка.

В четвертом параграф» третьей главы приведены инвариантные соотношепич, полученные из условия

В частности, равенства:

Т Т

- Е (32)

из структур] матрниантов (4'4) (29) следуют

*<( in Л

Jt-i

⁴ и (If

і <»y\

ІЧ -dr ill til

(33

и в объемном случае из (26) имеем:

_I'"

(341

-- і

н т.д.

1 I

Инвариантные соотношения (33), (34) аполитичные им не совпадают с условием in Г-* и дополняют его, офажая внутреннюю структуру и свойства решении уравнений л»нження неоднородных анизотропных сред. Главная особенность этх соотношений и .їх инвариантности (ггносшелыю конкретною вида неоднородности

Ср 114.

Аналогичные инвариантные соотношения имеют мест также для уравпеннн mrmV-'.ix vicfiaiiitii. іи>;ш в ігьсзокріїсталлах. В связи с этим более детальное изучение эшх соотношений, невидимому, можі быть основой для разни пм» качественных методов исследования решений систем уравнений с переменным коэффициента, и и разработки элективных методо» построения этих решений.

В четвертой главе но-троены «} /ктуры матрииаипш равнений движения изотропных сред, ш-езокрнсталлов, акусти'кскнх сред и уравнений изгибных волн.

Для изотропных сред в обьсмно'м ..лучас распространения совпадает с (26). В плоском с wiac Т имеет вид (29), И и одномерном вид, эквивалентный Ш) для всех тішо» і оли.

В случае- ггьсзокристаллов гексагональной сншоннн при объ

ином распространении структура Т'получена в виде:

Г ііг - ^« -^к. in *ч і Гі Іtl -ill і - in -t(( in -іц і.і -tj( -^( 4.j< ;

-<ііг ^іу ^Уу -^і» «»У - ':fUi *->г |

T*

"6і -<іі -і І і 4ц -t»i tn ^fi-t'^ |

-^Zt "ilt ^>4 ""^ifc ^»» *^rt -''ft ^*6 j

e^r -<(,- -г'гг 6r ^..- ^;-- isr-^ri

jf -f«J> -V„ 1ц .(,j (;, tyy-^j (35)

_r-^-> -<ї *i» -t';? ^u-^:j-^j <}J

Распространение поперечної! волны в пъезоактнвной плоскости (ху) о пъезокристаллах класса (6mm), описывается матриігштом со структурой Т"':

Hz, .

tii -*i,i

Г'»

in -і и 4.11 ~і-_л

Ciy lit Tyy -ill

(36)

Уравнения изшбпых воли приводят к структуре матрнцанта:

Ч.уу - ^ ІУ -^iv - ^

Г.-

(37)

В случае ап'сті!..ческих срег структура матрицанта имеет вид (28) Наряду с построением матрішантов уравнений движения упругих сред, рассмотрен вопрос о структуре матрицантов, матричных уравнений, относительно вектора , состодцего из амплитуд отра-жрчных н преломленных волн. В одном случае матрицант ст[ тлея на оспо-е мптрігтого ряда предельным нереходоя от-системы однородных слоев к Непрерывному однородному слою. Такіш образом были получены матрицаиты для воли SH поляризащш и Р, SV волн.

В случае волн горизонтальной поляризации матрицаиты ЬЛ^н My имеют структуры:

I и«» »*<,]< г 1-й,

(38)

Дяя матрнцантов М^н M_t-, описывающих распространение P.SV еолн в нсоднородноП среде, ошоснтслыю вектора _;^--ГЛ,т\+м+-3,^,^-амплитуды потенциалов отраженных и преломленных волн_}получена следующая структура:

(39)

Аналогичная структура определена и в случае объемных поли ь одномерно-неоднородных изотропных средах. Вышеизложенный путь несколько громоздок. В работе предложеш. определение мат-ріщантопМ.и М*'на . снова матріиаитовТ иТ".¹ НеоСходимость построения матриц М|Связана с постановкой и решением задач на отражение и преломление неоднородными -ЛОЯУИ. На основе Т этого сделать нельзя, поскольку они связывают компоненты вектора смещения и тензора напряжений. В однородной изотропной среде справедливо представление

її z (jzad f-t U-tf. (40)

На основе (40) вектор W Можно предсташггь как.
W = L f ; J* і й/ ₍4і)

На границе сред W,= W, , следовательно М_р= L"'TL ; Mf'- t'T^L. (42)'

Явный вид L ,L" получен для плоского и объемного случаев.

Представление (42) применимо и для решения задач отражения преломления Неоднородными анизотропными слоями, находящимися в изотропных средах.

Подробно рассмотрен скалярный случай. Выявлен частотный класс неоднородности.

{/$№**№> №'/р*>

' -того элементы тгь.ті 1., вичлашотся квпо.т частности:

І , (44)

Этот класс неодної диостн содержит в себе как частный случай степенную зависимость параметров среды оп

(«)

ILlSTSiLuIil!?. исследуется вопрос о гра. .гчных условиях нежесткого контакта, fi первоначальном варианте эти услошія рассматривались как возможность описания промежуточного состо-(ПШР между жестким контактом » піїти полним rcpacuaiiuuiuiiinoM. нз ос'.'тас зжопоа іікзкого а ухоїо трсіїки. її рзротах яптсра, наряду с развитием первоначальной идеи, дастся другая трактовка граничных условий нежесткого контакт:», имеющая более важные «е. лчша.

Анализ волновых процессов о реальних средчх нередко приводит к необходимости построения уравнений движения СЛОИсЛЛХ сред, когда отдельные слон описываются различными определяющими соотношениями. В подобных случаяхліс только аналитические исследования, по и численный анализ зачастую становится необозримо громоздким.

Для решения Гі.іх трудносте!! предлагается заменить слои па тонкие прослойки , влияние которых при определенных условиях лзгруження могут быть описаны граничными условиями контакіа двух упругих сред. При этом, во-первых, нет необходимости строить решения уравнении движения самой прослойки; во-вторых, может оыть использовано преимущество простоти построен. !я реше-niifi и упругих средах. Однако, соотвестсвующне граничные условия позволяют сохранить качественные и количественные влияния этих прослоек на волновые процессы в упругих средах

П работСіГраїшчньїс условия нежесткого контакта, описывающие влияние тонких прослое:- выводятся m прегюложеаня о том, что тонкие слои находятся в состоянииквазистатл^-леского нэгруження. Это предположение исключает необходимость апалнзл волновых процессов в самой прослойке, учитывать динамические процессы в самой прослойке.

В случае гармонических воли условием *свазистатіь»*-.ческого иагруженн.. является \» U (К - длима волны в упрупа средах; 1\ - толщина прослойки). Прн нестационарных процессах получено следующее условие:

А — '' ^ ( < і

Vir характерная скорость распрострапешш возмущения в прослойке.

Граничные условия, описывающие пяшише тонких прослоек, состоят из двух частей. Первая часть относительно компонент тензора напряжений следует из общих уравнений движений оплошных сред и не зависит от реологических свойств прослоек;

(2) 1« / ш , , .

"і =» і

Вторая часть условие связана с определяющими соотношениями прЪоск. Для анизотропных прослоек nput, S, _tS'(, имеем

^j«^42A^ecu--'<^tf*>j (48) D случае вязкоупругнх прослоек, когда

получіш _{t и}

(49) При нелішепно-вязкоупругом определяющем соотношении

С-< ₊ АсЛвйіГєЛ.

' (50)

Для уравнения состояния Малверна-Пэжнны

0 Fio

И - козффицеїгг вязкости, t; стати-ческии dpwei текучести. D более общем слу ае упруго-пязсошіастиЬ'гб тела

u^.a^kH^t &e_tt ⁴*М*>₂1Г«. (52)

M.jtd- тензор петпертого prtiira с постоянными коэффициентами. В формулах (47-52) индек.гы (2), (1) означает значение величин на границах прослойки с упруга, средой (1) и (2).

Далее, в пятой главе подробно рассмотрено влияние тонкой прослойки из вязкоГ. жидкости, тела Келышна-Фойхга; тела Ыт~мжауЯШ1Шрп1агорт. Опрвдешш я ізоізгм-случае .величины разрыва смещений іі поглощении іяіс^гіш. Исследована задача отражепіія їзолн эт границы о йородного и неоднородйого полупространства при ішзкоупругих условиях нежесткого контакта. ПрнВеденЦрезультать!«1Исле11"ых расчетов.

В aaiircJttJocHi; W угла падения волны для различаых значений^ возф^ііщйеііті не#стко'№ контакта и параметра ііеоднород-иостй Йол^рЬЬгійнства приведены коэффициента отражешш, от-ноаггельные вадгчины разрыва смеще-ий и поглащения энерпш.

В заключительном параграфе пятой главы приселена матричная формулировка граничных условий нежесткого контакта о слу- 1С анизотропных и шпкоупругнх прослоек.

В случае ппнзотрошг х прослоек эти услопня имеют п:іл:

" (53) Здесь Л яплястся усредненной матрицей коэффициентов сосгг-вегстпуюншх зиюотротшх сред. Для шпкоупругнх прослоек

/V,< с с

І-Ао й„с С С tV.

^с с о і

\к*(е<ы]»;. ₍₅₄₎

Получена матричная <|юрма граничных условия относительно пекго-рау. Рассмотрен случай тоихой прослойки трик-ишной енпгошш. Прш дена матричная фо, ма услопнП нежесткого контакта (50).

ІЗІ иісстоі. глапс рассматрнпается приложение ііолучсии х о третьей н четисріои їданих структур матрнпзтлоп к изучению і "лноиых процессом и и іграі'ччснпмх '^т іиоднчсскн неоднородных средл . Ocuoiur '? мрактсрисчнкоп таких сред яиллются ураа.чсшія дисперсии. Знание с-ір\ісі-_;рь: магрнпаптои позначаю полупгп. hoj дг.фниирішніїум tjxipviy для оііреасленші корней матрицы моиоро-?iini,KiJT"p.-w :і діях: понижает степень х ліктсристичссксго урзп-неним. Корт, ч.іракгерні нческого урашісиия ''чределякл закон дисперсии.

!-li іег-еми Флокс следует, что: {к- период неоднородности)

; с .', ->

if(!i'"> (55)

с другой стороны

к-У. ^{г у}'"' (5fl)

Иі (55) и (56) получим

І'.ііснспіо нулю .іеіерміні.іні.і маїршп.і (Г-с "I классическое ус-,и-мне ,ш ишуіашн w;mk рилнческосо уравнения. Однако, насилу С (У¹ МІ.І МОЛСМ М'ШСЛП.

, -' '

г-'.

_wu) ~ Т' *<*> - т і <<>. (58"»

равенство нулю дсгсрмішліїї» маїринм 1 - определяет тог же

закон дисперсия, пто и (57), вслелепчш независимости закола дисперсии волн о неограниченной период», .сскон структуре от направления (+). Складывая (57) и (5") получим условие

О случае скалярных иол л из (60) следует
Cfinw f і pr - ііцііц], (61)

Для связанных волн в координатных плоскостях структура матрицы имеет шід:

Г pit с f

л ; * Pa ?и piy !

' - ,"« f,i f'_tL С ! (62)

Из (60) на основе (62) получим:
col it, Ji « f<; «* к*Ь -ft <⁶³)

p«. M і f;V*/^ * J«*H^XM⁽⁰⁴⁾ При применении формулы (60) в случае іппіОішх воли имеем:

р- i>« р» ^б Н (65) ^:

| С /\И -Д. f«_J

Из (65) и (60) следует следующий вид уравнении вдеиеренн и> гибпых воли в псоїраиичеішоїі периодической структуре

І I

pj.pl-- [if«>f<. і

j '-' <67)

. ;* _f (fii p.-i)^x * 4(}\i p, > fn f^)

О обіА-мном случае д'Ш м.фш;а;гп>;> со структур .oil (26) получено характеристическое уравнение ірстьсії степени. Отмстим, что н этом случае маїриші монодримии имеет ївссшп норн-док.

Рассмотрим случаи шчтросин" уравнений дисперсии в регулярной структуре с эффектом лпопною преломлен, л. Hj матрицы мополро.чнн второю порядка I) (27) СЛСДуСТ

(66;

«і '>"( b- f-i j 4if"j »' /^J; (68)

fW-" Л -r -f+P'fa

(б")

Уравнения (68), (69) описывают ззкон дисперснії упругих
поперечні *х волн с учетом двойного преломления без изменения
пот.,)Иэатш. -^ _t ,_п_

В формулах"Ш\ и '(Й)

/>» ,'(*;,-,».», ; />«- *_Гг; ₍₇₀₎

1=2' ^irr~ ^J ' <'"" ^г '

Кроме приведенных выше случаев,в данной главе полупены уравнения дисперсии пьезоупрупос воли в коордішатаьгх плоскостях, в периодической системе "пластина-;аідкость". Получены раздельные уравнения объемных уппупгх волн в неоднородной, по одной из координат изотропной среды.

Отмечено, что наряду с формой (60) для построения уравнений дисперсии может быть использована эквивалентна;? форм

Jtt"_rS^cbl:J;i*lJT-r- (71)

Рассмотрен пример построения уравнении дисперсии исходя из формул (71). Вслсдствии нечетности функции синус (71) приводит к более сложным вычислениям, нечетность сшгуса не отражает эквивалентность прямых и об, гшых волн в неограниченной регулярной структуре.

В ссдьмоі. главе рассмотрело приложение структур матрн-цантов к исследованию закономерностей распространения волн в конечных регулярных структурах. Если периодически неоднородны . слой толщины Н имеет п периодов, т.е. K=nh, то вычисление матрішаїїта приводится к вычислению матрицы моподромни в степени п.

Tcm = r^h(t,i ^ту

Введение матрицы р (60) на основе избестіюи структурвг Т" позволило получить аналитическое представление для Т(Н) через матртгу моподромни Т (h) исходя из реккуркнтииги соотношения

Т = грТ-Е.

Из (73) следует

Т^И = Дh._ltp). (74)

24 Полиномы Р ф) являкг чі матричным анало^гом полиномов Че-бышева. В случае скалярного уравнения из (74) сразу же следует

_t Т~Ц)і-^ц^> г/^'Ч

(75)

В плоском и обьімїіом случаях в начале необходимо вычислить р."

Анализ показал сохранение структуры р.^и В частости, в плоском случае структура рЛшеет вид

_Г'

[Сі, Є г_ч 4і

L -< (76)

6*1

л'< Hi« 4^< - jv*i- Л>p-yj .

Сохранение структуры р "позволяет получить реккурентнуго формулу относительно коэффициентов *„(!„ исходя из тождгства

f^M'» рр

(77)

тіею.дая вид:

H.^I^Wik

Откуда получим Г^іі^^іР"].^^ .(79)

Вычи-ление (79) проводится, на основе (75). Окончательно
имеем: _л

^Tcw _(bJ^^;_~'

Аналогичный вид имеет представление Т в случае матрицан-тов в обьеицом случае (26)

т^ч-2 Ьі[ШТ-»і№Ь

^isi (81)

. л- ~ „ i.jV't²'³; ^i±j;J^tK) «**

гі і /V і' * - корни характеристик, жого уравнения. Рассмотрено определение усредненных характеристик. Исхо-

дя из низкочастотных разложения ураииашй дисперсии (64), (67) и других уравнения получены ураїшсннії шишкпігшсс ско-p-.,v.-reii. Показано, что урапнени. ниді атрнсс moot быть определены из уел ІІЛЙ

/с.< J" v. 6:> - с I j = с. Иплекс (2) означает сохранение б р сл-гасмых не выше

ПТСроП СТ'ІІСПІІ НО ЧИСТОК.

Расемогрепо определение усредненных параметров при наличии услопии нежесткого контакта, описывающих тонкие прослойки. Прицелены конкретные случаи.

Показано, что усредненная дт черно неоднородная изот
ропная среда прошишет сіюіїстш анизотропной среды ромбичес
кой сіпігоніш. На основе cnoilcni ііолимоиоо ЧеСишсва-Гсгсибау-
эра при услопии L>>h (L-дліша полны, li-псрпод неоднороднос
ти) „

В скалярном случае уравнения лпижсиия Т имеет В!Щ (74).

П,:Н >>> 1< I f? >, ,j і у >- С і ИЗ (74) следует

т-

(S3)

V ' '<< .>«.-*.,

В оОьсмном случае:

ПііліЧіс (2) означает сохранс: не членов лс пмше итороіі степени и Чіісптіс. (±) ошач.іі і, ч!" (НЗ) я (84) дакг- од-непременно прямой и оОраіиші маїрішаїїш.

І) тчч.мо'І r.talitf п ііер""ч It іфіром'шрлірафах-рассмотрены огра.м'шіл ночи иеінимігн-ск И-одноролиым слоем » ззшісимости or чінл.і періїо.'і'ч і число корней ур.іііігсіїпії діісіи^сші нормальных, нонерхностных а каналоных поли и периодически исог-п. родном слое, пікжо п jainicilMuciif от чнс-і периодом. Похапно, чго как отражение і лн, пік и корпи )раіінсин(1 днепер-'III расположены и пПч.-ичн

t\'l< і ' С85)

чго «чірслслмеї оґ> ллеп, проіра'шосіи урашісніш дисперснії поли п неограниченной перший': :ко(І еірукіуре. П, >і апалі. j отражении ішли рассматриналасі, точка на границе между зоной ).,;<)'ірачіі(чті н нсирозрачпост'' и получены формула:

при И *> то . При ^«{формируется зона прозрачности и

ft-¹» о

26 при Ip1⁷/ і непрозрачности.

Уравнения дисперсии нормальных, поверхностных и каналових олн d периодически нсодн .юяных слоях приведены к воду:

F;l«l.,c,* ІЬ^. (87,

При аизліГ№ коэффициента отражения, уравнения (87) использовалось сшжствоЧсСышева-Гсгсибарра, о том, что эти полином)' имеют нули только в области l|>U 4 и то, что между двумя соседними пулями «(р)|!ахолится один ноль І_й.,.р). Качественный анализ (87) показал, что все его корни лежат в области IplM и их не менее (п-2). Это значит, что нули коэффициента t. .ражсПня к корни урашісішЛ дисперсии (87) лежат в одной области и с увеличением п <|>ормнруіот зону ПрозраЧИОС-ТИ.

I) третьем napaipac рассмотрено отражение волн поперечной .юляризацнп с учетом эффекта двоино-о преломления. Построен матрнцант ураиненнл движения о явном виде для однород-пой анизотропной среды:

па основе преобразования

-у ->

VC = ^ t

бмла построена маіі>>шаГЬі получены ко 'рфицисны отражения и преломления.

13 четвертом парлірафе прицелены ураіі.іения дисперсии волн Стоуили и Редел на нежесткой вязкой и инзкоупругой Гранине контакта однородных полупространств. Приведены 'олучепнис уравнения дисперсии волн в периолическл» структуре с нежестким конгактом. Пилучены усредпсипые скорости вдоль и поперек структуры.

Уравнения дисперсии упр: их волн в системе "іиаелша-ид-іюроднаї жидкость.

В питом иараірафе получено решение задачи об отражении преломлении продольной полни тонкой анизотропной прослойки триклинної! сніп, дни. Показано, чю лаже и случае нормального падения тоской полны на юнкую прослойку порождаклея нре-ломлеппые и огражепные поперечные полны. Определены нх амплитуды.

D шестом параірафе в явном пиле построены магрннанш, оииеываюише расщ .>етрансинс независимых поперечных волн, прямой и обратной маїринант при э<[и{>сктс двойною преломления. И матрниант, оінішваюпипі евчзанные- полны в координатных плоскостях анизотропных однородных сред ромбической, тетрагональной, гсксаюналын і я кубической ешиоинй.

ті г;_!с* ~ _{4 l}.> . (89)

— - _ - _ * (УН;

-4 &іЛ.,}у іц іцт til '

матрицы В и rr удовлетворяют равенствам

" л ;< t _ , _ _ ; (91)

VB-J.V- 77 г у; //,*> »гу п.з, -- р .

Показано, что (89) с учетом (91) является решением г^от-ветсвующих уравнений движения.