Введение к работе
Актуальность проблеми. Прочностные расчеты деформируемых тел, т.о. определение их напрял!8нно-дефор>яфованного состояния 37 заданных внешних воздействий, являются одним из основных и зеобходимых аспектов процесса проектирования конструкций и сооружений. В настоящее время подавляющее большинство таких расчетов выполняется на электронных вычислительных машинах (ЭВМ) и связано с использованием приближенных, численных методов решения задач.
Наиболее широко используемыми численными методами, применяемыми для решения прикладных задач механики деформируемого твердого тела, являются метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов (№3). МКЭ основан, как правило, на использования вариационных постановок задач; МГЭ - на постановках задач в виде интегральных уравнений, которые часто называют граничными интегральными уравнениями (ГИУ).
Исходной математической формулировкой задач для решения их численными методами служит, в основном, постановка в перомоще-ях, т.е. такая постановка задач механики, в которой неизвестными функциями являются перемещения точек деформируемого тела. Постановки в перемещениях обладают рядом положительных свойств, облегчающих численное решение, что и обусловило их широкое применение в практических расчетах. Эти свойства, например, для вариационной постановки в перемещениях задач теоріш упругости мозк но сформулировать следующим образом:
I.Функционал вариационной постановки содержит производные от неизвестных функций не выше первого порядка, что позволяет использовать яростно конечные элементы, обеспечивающие только непрерывность искомых функция;
2.Вариационная постановке п перемещениях является бозуслпй но экстремальной вариационной задачей, т.п. задачей без дополнительных условий;
З.Фуннцжлшл вариационной постановки является строго выпуклым (при наличии закрепления от жесткого смещения) и вариационная задача есть задача поиска точки минимума функционала, что обеспечивает положительную определении>оть систем алгебраических уравнения НІС:), для .реи:шіин которых существуют зфісктиішне алгоритми .
РИУ для постановок в перемещениях такно являются достаточа удобным инструментом решения задач, поскольку, комбинируя уравнения прямого и непрямого методов, удается для основных краевых задач получить интегральныо уравнения второго рода, ядра котори либо имеют слабую особенность, либо являются сингулярными (в последнем случае интеграл пошшается в смысле главного значения по Коши). Для решения интегральных уравнении с ядрами указанных типов разработаны достаточно простые и аффективные схемы МГЭ.
Для оценки прочности конструкций и сооружений необходимо знание полей напряжений (усилии), возникающих в точках деформируемого тела. С точки зрения определения напряжений при численных расчетах постановки задач в перемещениях обладают существе! ным недостатком. Поскольку результатом приближенного решения ді таких постановок являются значения перемещений в отдельных точках (узлах сетки) тела, то шчасление напрягений сводите! по существу, к численному дифференцированию поточечно задана; функций, что приводит, как правило, к снижению точное определения напряжений (усилий) по сравнению с точност определения перемещении.
Несмотря на постоянное совершенствование существуют комплексов программ для решения прикладных задач механи деформируемых тол и непрерывное повышение мощности используем ЭВМ, о важности проблемы повышения точности определен напряаений при численном решении задач свидетельству разнообразие предлагаемых подходов и значительное количєсї публикаций, о чем подробнее будет сказано далее в обзе состояния проблемы.
Одним из способов повышения точности определения напряжеі при численном решении является разработка и использоваї постановок задач в напряжениях (усилиях),# т.е. таких постаної задач механики деформируемых тел, в которых неизвестш функциями является непосредственно напряжения (усилия). Имеї этому кругу вопросов посвящена настоящая диссертация.
Основные цели работы. В наиболее общем вида поставлен: перед работой цель заключается в разработке и исследова (теоретическом и численном) таких постановок в усилиях (напря ниях) задач механики деформируемых тел, которые были эффективны с точки зрения вычисления напряжений при числен
решении задач методами конечних и граничных элементов.
В диссертации рассматриваются следующие классы линейных статических задач механики деформируемого твердого тела:
стержневые системы (конечномерные задачи);
теория упругости, кручение и изгио стержней, а также задачи стационарной теплопроводности, фильтрации (задачи о дифференциальными уравнениями второго порядка):
- изгиб тонких пластин (задачи с дифференциэльнымя
уравнениями четвертого порядка).
Для стержневых систем ставилась цель разработки варианта метода сил, сравнимого по сложности алгоритмизации и проградаи-рования с алгоритмом метода перемещении* Это подразумевает разработку такого способа построения общего решения однородных уравнений равновесия, который не требует анализа и проведения каких-либо операций с матрицей уравнений равновесия.
Для задач, описываемых дифференциальными уравнениями, ставилась цель получения таких дифференциальных, вариационных и интегральных постановок задач в усилиях, которые с вычислительной точки зрения были бы не хуже традиционных постановок задач в перемещениях. Это подразумевает:
а) для вариационных постановок - сохранения всех трех положи
тельных свойств вариационной постановки в перемещениях: первого
порядка производных в функционале, строгой выпуклости функциона
ла, безусловно экстремального характера вариационной задачи;
б) для интегральных постановок -' рохранения порядка ^особен
ностей в ядрах интегральных уравнений, возможности получения ин
тегральных уравнений второго рода .для всех основных типов
краевых задач.
Наряду с разработкой и теоретическим анализом постановок в усилиях Ставилась задача построения новых конечных и грвничішх элементов для соответствующих постановок, исследования особен-тей их численной реализации МКЭ и МГЭ. проверки эффективности предложошшх подходов при решении модельных и практических задач.
Научная новизна. Предложен способ явного, аналитического построения общего решения однородных уравнений равновесия произвольных статически неопределимых стержневых систем. Способ основан на прямом построения уравнении совместности деформация для
таких систем, пригоден как для систем с жесткими, так и с шарнирными узлами а не требует какого-либо анализа уравнений равновесия.
Сформулирован алгоритм метода сил, в котором структура матрицы разрешающей системы уравнений однозначно определяется нумерацией контуров стержневой системы, что делает метод сил для стержневых систем сравнимым по трудоемкости алгоритмизации и программирования с методом перемещений.
Для плоских и пространственных задач теории упругости с произвольными граничными условиями предложены постановки задач, в которых напряжения являются непосредственно искомыми функциями.
Получены соответствующие вариационные постановки в напряжениях, обладающие всеми тремя положительными свойствами вариационных постановок в ..еремещешях. и, тем самым, позволяющие применять аналогичные по сложности схемы .мКЭ для прямого получения напряжений без численного дифференцирования перемещении.
Получены соответствующие интегральные постановки в напряжениях в виде ГИУ прямого метода. Предложенные ГИУ являются интегральными уравнениями второго рода для всех основных типов краевых задач и содержат сингулярные особенности. Таким образом, возможно решение полученных ГИУ стандартными для уравнений в перемещениях схемами мТЭ, при этом обеспечивается возможность получения всех напряжений (в том числе, и тангенциальных) на границе тела с использованием только алгебраических операций.
Проведено исследование свойств постановок в напряжениях, в частности, доказано, что предложенные постановки имеют единственное решение по напряжениям для не закрепленного от жесткого смещения тела (вторая краевая задача теории упругости). Тем самым, обеспечивается возможность устойчивого численного решения таких задач Оез неоОходимости введения закреплений от жесткого смещения или использования специальных алгоритмов регуляризации.
Для задач изгиба тонких пластин с произвольными граничными условиями предложена постановка задач, в которой усилия (моменты и перерезывающие силы) являются непосредственно искомыми функциями.
Получена соответствующая вариационная постановка в усили-
4 '
ні, которая, сохраняя положительные свойства постановки в перемещениях (положительную определенность и безусловно экстремальный характер), в одном отношении превосходят ее: фупкционал вариационной постановки в усилиях содержит производные первого порядка от неизвестши функций. Таким образом, при численном решении задач изгиба тонких пластин МКЭ становится возможным использовать простые конечные элемента, обеспечиващив только непрерывность аппроксимируемых функций.
Проведенное исследование предложенной постановки показало, что, как и для задач теории упругости, постановка в усилиях задач изгиба тонких пластин обвспечиваот единственность решения для пластин, не закрепленных от жесткого смещения, что дает возможность устойчивого численного решения таких задач без введения дополнительных связей.
Изучены вопросы численной реализации предложенных постановок в усилиях (напряжениях) методами конечных и граничных элементов. Проведено сопоставление с обычными постановками в перемещениях го точности определения напряжений и общему объему вычислительных затрат.
Практическая ценность. Методы, алгоритмы и результаты исследований, представленные в диссертации, могут быть использованы широким кругом пользователей для выполнения прочностных расчетов разнообразных конструкций.
Построенные в диссертации кояечпые и граничные элементы для постановок в усилиях позволяют в практических расчетах при сравнимых с постановками в перемещениях вычислительных затратах в ряде случаев существенно повысить точность определения напряжений (усилий) по сравнению с традиционными формами МКЭ и МГЭ.
Приведенные в диссертации конкретные применения разработанных подходов связаны с исследованиями напряженно-деформированного состояния различных гидротехнических сооружений, выполненными для Прооктно-изыскательского института Гидропроект (г.С8Нкт -Петербург).
Предложенные в диссертации вариационные и интегральные постановки в усилиях (напряжениях) задач механики деформируемых Тол используются при выполнении научно-исследовательских, аспирантских и дипломных работ на Гидротехническом факультете Санкт-Петербургского государственного тохіглчоского уігашрситота. Отдоль*
ные положения раооты включены в специальные курсы гю строитель кой механике и теории упругости.
Апробация работа.Основные положения и результаты работы докладывались на УШ Всесоюзной школе-семинаре "Методы конечных и граничных элементов в строительной механике" (Нарва, 1987 т.). Всесоюзном научно-техническом совещании "Предельные состояния бетонных и железобетонных конструкций энергетических сооружений" (Нарва, 1988 г.). IX Всесоюзной школе семинаре "Методы конечных и граничных элементов в строительной механике" (Челябинск, 1989 г.), X школе-семинаре "Метода конечных и граничных элементов в строительной механике" (Одесса, 1992 г.), семинаре по строительной механике в СПбГТУ (ЛЖ) под руководством Л.А.Розина (1986, 1988, 1992 гг.).
По материалам диссертации опубликовано 16 печатных работ, из них -6 в соавторстве. Соавторами являлись аспиранты, научным консультантом диссертационных работ которых был автор.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 224 наименований и приложения, содержащего документы о внедрении результатов работы. Изложена на 380 страницах, содержит 53 рисунка и 7 таблиц.