Содержание к диссертации
Введение
1. Основы теории идеального жесткопластического тела 10
1.1. Теория плоской деформации 12
1.2. Соотношения вдоль линий скольжения 16
1.3. Интегрирование уравнений плоской деформации 18
1.4. Определение полей деформаций 21
1.5. Критерии разрушения и неединственность решения 28
1.6. Построение полного решения 32
2. Пластическое течение в окрестности скругленного углового выреза с постоянным углом раскрытия 35
2.1. Обзор работ 35
2.2. Вывод уравнения свободной поверхности 39
2.3. Траектории движения частиц 53
2.4. Определение радиусов кривизны поля линий скольжения 63
2.5. Диссипация энергии и полнота решения 80
3. Пластическое течение в окрестности скругленного углового выреза с переменным углом раскрытия 95
3.1. Постановка задачи 95
3.2. Вывод уравнения свободной поверхности 101
3.3. Траектории движения частиц 113
3.4. Диссипация энергии и полнота решения 123
4. Применение модели к решению упругопластических задач 141
4.1. Сравнение с экспериментами 142
4.2. Критерий перехода от затупления к разрушению в вершине 145
4.3. Численно-аналитический метод оценки диссипации энергии 147
Заключение 148
- Соотношения вдоль линий скольжения
- Вывод уравнения свободной поверхности
- Определение радиусов кривизны поля линий скольжения
- Вывод уравнения свободной поверхности
Введение к работе
Актуальность темы. Оценка качества конструкционных материалов с позиции континуальной механики разрушения занимает прочное место при разработке новых материалов и проектировании различного рода ответственных конструкций. Формулировка условия локального разрушения в рассматриваемой точке является важнейшим моментом в механике разрушения. Первостепенную роль в развитии трещин играет предшествующая разрушению пластическая деформация. Анализ пластических течений в окрестностях резкого изменения форм является актуальным, поскольку может служить основой для расчета необходимой энергии разрушения.
В общем случае под разрушением понимается не только распад тела
на части. В понятие разрушения входит также необратимое пластическое
течение, которое характеризуется остаточными деформациями и приводит к
исчерпанию несущей способности. Напряженно-деформированное
состояние, приобретенное в процессе службы, сопровождается рассеянием
работы внутренних сил. Применение теории идеального
жесткопластического тела к задачам механики разрушения актуально, поскольку она позволяет рассчитывать один из главных параметров истории деформирования - диссипацию механической энергии.
Теория идеального жесткопластического тела является наиболее разработанным разделом теории пластичности. В этой постановке полностью пренебрегают упругими деформациями. Жесткопластический анализ позволяет успешно описывать различные технологические процессы (такие как волочение, прессование, прокатка), решать задачи о внедрении штампов различной формы и растяжении образцов, ослабленных вырезами.
Вопросам и задачам теории идеальной пластичности посвящены многочисленные работы Б.Д. Аннина, Г.И. Быковцева, X. Гейрингер, Г. Генки, Б.А. Друянова, Д.Д. Ивлева, А.Ю. Ишлинского, Л.М. Качанова, В.Д. Клюшникова, Ю.В. Немировского, Р.И. Непершина, В.В. Соколовского, Р. Хилла, С. А. Христиановича и др.
Особенностью жесткопластического анализа является
неединственность положения и вида пластической области и, вместе с тем, неединственность поля скоростей перемещений, определяющего изменение геометрии тела. Преимущества жесткопластического анализа заключаются в возможности:
- аналитического описания пластических течений с учетом изменения геометрии свободных поверхностей;
- оценки предельных (конечных) значений тензоров напряжений и деформаций в окрестностях резкого изменения геометрических форм тела (включая угловые точки).
Модель идеального жесткопластического тела является предельной по отношению к другим более сложным моделям деформируемых сред, поэтому
4 решения, полученные в ее рамках, могут служить оценкой для более сложных процессов деформирования.
Целью работы является построение возможных пластических течений и расчет диссипации энергии в окрестности вершины скругленного углового выреза с учетом изменения геометрии свободной поверхности жесткопластического тела.
Научная новизна работы заключается в следующем:
получено аналитическое описание формы свободной поверхности, образующейся из скругленного выреза в жесткопластической полосе при растяжении;
разработан алгоритм определения диссипации энергии в окрестности скругленного выреза, учитывающий изменение геометрии свободной поверхности жесткопластического тела;
сформулирован энергетический критерий, позволяющий установить момент перехода от непрерывного формообразования к появлению локальной трещины в вершине скругленного выреза в жесткопластическом теле;
предложен численно-аналитический подход, позволяющий оценивать диссипацию энергии в окрестности скругленных вырезов при решении упругопластических задач.
Достоверность полученных результатов основана на сравнении с результатами численных расчетов и экспериментальными данными.
Практическая значимость работы. Решение рассматриваемых задач актуально для прогнозирования зарождения, распространения и остановки трещин в реальных конструкциях.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на:
Международной молодежной научной конференции «XXXIV Гагаринские чтения», Москва, 1-5 апреля 2008 г.;
Пятой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара: СамГТУ, 29-31 мая 2008 г.;
Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара: СамГТУ, 1-4 июня 2009 г.;
7th EUROMECH Solid Mechanics Conference, Lisbon, Portugal, September 7-11,2009;
Всероссийской конференции «Успехи механики сплошных сред», приуроченной к 70-летию академика В.А. Левина, Владивосток, 29 сентября - 5 октября 2009 г.
Диссертация в целом была доложена на заседании кафедры прочности летательных аппаратов Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика СП. Королева 17 декабря 2009 г.
Публикации по работе. По теме диссертации опубликовано 14 научных работ.
5 Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (95 наименований). Объем работы - 155 страниц, в том числе 46 рисунков.
Соотношения вдоль линий скольжения
Оценка качества конструкционных материалов с позиции континуальной механики разрушения занимает прочное место при разработке новых материалов и проектировании различного рода ответственных конструкций. Формулировка условия локального разрушения в рассматриваемой точке является важнейшим моментом в механике разрушения. Первостепенную роль в развитии трещин играет предшествующая разрушению пластическая деформация. Анализ пластических течений в окрестностях резкого изменения форм является актуальным, поскольку может служить основой для расчета необходимой энергии разрушения. В общем случае под разрушением понимается не только распад тела на части. В понятие разрушения входит также необратимое пластическое течение, которое характеризуется остаточными деформациями и приводит к исчерпанию несущей способности. Напряженно-деформированное состояние, приобретенное в процессе службы, сопровождается рассеянием работы внутренних сил. Применение теории идеального жесткопластического тела к задачам механики разрушения актуально, поскольку она позволяет рассчитывать один из главных параметров истории деформирования — диссипацию механической энергии. Модель идеального жесткопластического тела является наиболее разработанным разделом теории пластичности. В этой постановке полностью пренебрегают упругими деформациями. Теория идеального жесткопластического тела базируется на экстремальном принципе неравновесной термодинамики — принципе максимума Мизеса, который можно рассматривать как вариант формулировки принципа Онзагера. Жесткопластический анализ позволяет успешно описывать различные технологические процессы (такие как волочение, прессование, прокатка), решать задачи о внедрении штампов различной формы и растяжении образцов, ослабленных вырезами. Особый интерес представляет исследование задач с учетом изменения геометрии свободных поверхностей. Модель идеального жесткопластического тела является предельной по отношению к другим более сложным моделям деформируемых сред (упрочняющемуся жесткопластическому телу, упрочняющемуся упругопластическому телу и т. п.).
Поэтому решения, полученные в ее рамках, могут служить оценкой для более сложных процессов деформирования. Область применимости жесткопластического анализа к решению прикладных задач можно иллюстрировать с помощью диаграммы сг — є. Традиционное применение идеальной пластичности к задачам обработки металлов давлением состоит в фиксировании предела текучести между значениями ат (предел текучести) и тв (предел прочности). Малоиспользуемая область применения в теоретических исследованиях — продолжение диаграммы ст — є за а предел прочности 7В по жесткопластическому закону. Вместе с этим, данный вид экстраполяции используется во всех конечно- элементных пакетах программ типа ANSYS. Разработка области применения идеальной пластичности является одной из задач данной работы. Особенностью жесткопластического анализа является неединственность положения и вида пластической области, и вместе с тем, неединственность поля скоростей перемещений, определяющего изменение геометрии тела. Преимущества заключаются в возможности: - построения аналитического описания пластических течений с учетом изменения геометрии свободных поверхностей; - оценки предельных (конечных) значений тензоров напряжений и деформаций в окрестностях резкого изменения геометрических форм тела (включая угловые точки). Первые работы по теории пластичности были выполнены в семидесятых годах XIX века Б. Сен-Венаном и М. Леви, которым принадлежит создание одного из вариантов теории пластичности, а также получение основных уравнений задачи плоской деформации. В 1909 г. опубликована работа А. Хаар и Т. Кармана, в которой была сделана попытка вывода основных уравнений из вариационного принципа.
В статье Р. Мизеса (1913 г.) система уравнений Сен-Венана - Леви дополнилась условием пластичности, которое раньше было получено М. Губером. Г. Генки, Л. Прандтль и Р. Мизес вывели основные уравнения различных вариантов теории пластичности и получили решения задачи плоской деформации. В 20-х годах XX века в ряде работ были опубликованы результаты экспериментальной проверки различных гипотез. Вопросам и задачам теории идеальной пластичности посвящены многочисленные работы: Б.Д. Аннина, Г.И. Быковцева, X. Гейрингер, Г. Генки, Б.А. Друянова, Д.Д. Ивлева, А.Ю. Ишлинского, Л.М. Качанова, В.Д. Клюшникова, Ю.В. Немировского, Р.И. Непершина, В.В. Соколовского, Р. Хилла, С.А. Христиановича и др. Важнейшим моментом в механике трещин является формулировка условия локального разрушения в рассматриваемой точке контура трещины. Критерий разрушения не следует из уравнений равновесия и движения механики сплошной среды. Он является дополнительным краевым условием при решении вопроса о предельном равновесии тела с трещиной. Наиболее просто формулируется условие локального разрушения в теории квазихрупких трещин, когда пластическая область у вершины трещины мала по сравнению с длиной трещины и размерами образца. Если в области вершины трещины произошла заметная пластическая деформация, или образец находится в области общей текучести, то локальные напряжения и деформации уже нельзя рассчитать, используя значение приложенного напряжения. Использование обычных численных методов приводит к значительным трудностям. Поэтому разработка методов оценки напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины представляет собой актуальную задачу. Крайний случай (по отношению к линейной механике разрушения), когда пластическая область преобладает над упругой и охватывает все поперечное сечение тела, остается мало изученным. Трудности чисто пластического аспекта разрушения связаны с необходимостью анализа деформированного состояния при больших деформациях с учетом изменения геометрии свободных поверхностей тела. Из немногочисленных трудов, посвященных этому направлению, следует отметить работы А. Ванга, Дж. Джойса, Л.М. Качанова, Ф. Макклинтока.
Вывод уравнения свободной поверхности
Анализ пластических течений в окрестности угловых и скругленных вырезов является актуальным, поскольку может служить основой для расчета необходимой энергии разрушения. Энергетический критерий разрушения является наиболее универсальным на сегодняшний день. Для жесткопластического тела он сформулирован в [71]: разрушение в заданной точке образца наступает при достижении объемной плотностью диссипации энергии W некоторого критического значения W . Альтернативой энергетическому условию является использование деформационного критерия: разрушение в заданной точке образца наступает по достижении первым главным значением тензора конечных деформаций Альманси Ех предельного значения Ет. Величины W% и Е есть пластические характеристики материала, определяемые экспериментально из испытаний на одноосное растяжение [31]. Целью данной работы является построение возможных пластических течений и расчет диссипации энергии в окрестности вершины скругленного углового выреза с учетом изменения геометрии свободной поверхности жесткопластического тела. Решение подобных задач актуально для прогнозирования зарождения, распространения и остановки трещин в реальных конструкциях. В первой главе представлены основные соотношения теории плоской деформации. Рассмотрены методы интегрирования уравнений плоской деформации с использованием двойных степенных рядов. Приведены методы расчета полей деформаций. Введены критерии разрушения жесткопластических тел. Обозначены требования к построению и существованию полного решения задач теории идеального жесткопластического тела. Во второй главе рассматривается пластическое течение в окрестности скругленного углового выреза с постоянным углом раскрытия 2S. В первом параграфе приведен обзор работ, посвященных исследованию формы свободной поверхности (0 образующейся при растяжении полосы со скругленным угловым вырезом. Во втором параграфе с помощью двойных степенных рядов определено поле скоростей перемещений в пластической области и предложен вывод аналитических уравнений свободной поверхности Z(/). Уравнение Z(Y) найдено в параметрическом виде. Параметрами являются: у — угол между касательной к Е(/) и осью Ох; время t. В третьем параграфе построены траектории частиц, сформировавших (/), и проанализирована их кинематика.
В четвертом параграфе изложен алгоритм определения радиусов кривизны поля линий скольжения, основанный на использовании радиуса кривизны (/) В пятом параграфе на основе полученных полей скоростей перемещений и радиусов кривизны исследована диссипация энергии в пластической области и на линиях разрыва скоростей. Рассмотрен вопрос о полноте решения. В третьей главе исследуется пластическое течение в окрестности скругленного выреза с переменным углом раскрытия. В первом параграфе определяется поле скоростей перемещений в двойных степенных рядах и устанавливается число неизвестных величин. Во втором параграфе предложен аналитический вывод уравнения свободной поверхности. В третьем параграфе рассмотрена кинематика частиц на свободной поверхности. В четвертом параграфе получено поле радиусов кривизны линий скольжения и исследована диссипация энергии частиц в пластической области. Рассмотрен вопрос о полноте решения. Четвертая глава посвящена вопросу применения жесткопластических моделей к описанию процессов пластического течения в реальных телах. В первом параграфе проведено сравнение с численной схемой А. Ванга по определению скоростей перемещений точек свободной поверхности и с экспериментом Дж. Джойса, исследовавшим форму Z(7). Во втором параграфе предложен энергетический критерий, позволяющий установить переход от непрерывного формообразования (затупления) к разрушению в вершине Z(f). В третьем параграфе предложен численно-аналитический подход, позволяющий использовать пластическое течение, рассмотренное в главе 3, для описания поля диссипации энергии в окрестности скругленного выреза при решении упругопластических задач. В работе принята тройная нумерация формул: первая цифра - номер главы, вторая - номер пункта; и двойная — нумерация рисунков: первая цифра — номер главы.
В схеме идеального жесткопластического тела полностью пренебрегают упругими деформациями и упрочнением. Иными словами для модуля упругости принимается бесконечно большое значение (Е — оо), что соответствует переходу к кривой с одной площадкой текучести (рис 1.1а). В такой постановке тело остается совершенно недеформируемым, пока напряженное состояние в нем не станет где-либо удовлетворять условию текучести и не возникнет возможность пластического течения. При этом некоторые части тела останутся жесткими, и нужно найти такое решение в пластических зонах, чтобы скорости на их границах соответствовали скоростям движения жестких частей [28]. Рис. 1.1. Идеальная жесткопластическая среда: а - реологическая кривая, б — механическая модель [2]. В теории идеального жесткопластического тела связь между компонентами тензора напряжений (Уц и компонентами тензора скоростей деформаций Єу определяется ассоциированным законом пластического течения: здесь cry — компоненты тензора напряжений, Єу = — (р + К;,-) — тензор скоростей деформаций, F) — компоненты вектора скоростей перемещений, Л — неопределенные скалярные множители, постоянные при определенных значениях компонент скорости деформации; fp = / \а ) — функции, определяющие поверхность текучести Е для идеальной пластической среды в пространстве напряжений сг , которая не изменяется при деформировании материала. Ассоциированный закон течения отражает тот факт, что вектор направлен по нормали к поверхности нагружения Z, уравнение которой имеет вид: fp(ay)=0. Следствием ассоциированного закона течения является теорема единственности поля напряжений (Ту в пластической области. Поле скоростей перемещений и скоростей деформаций при этом не единственно. В качестве условия текучести идеального нормального изотропного пластического тела принимаются следующие условия [2]: - условие постоянства максимального касательного напряжения (условие пластичности Треска-Сен-Венана).
Определение радиусов кривизны поля линий скольжения
Скорость частицы в точке Е известна и определяется скоростью растяжения полосы (рис. 2.13): Местоположение точки пространства Е на оси Ох не известно и связано с уменьшением гипотенузы жесткого треугольника О LE. На жесткопластической границе АЕВ нельзя поставить граничные условия для радиусов кривизны. Но можно поставить граничные для скоростей (2.2.6) и определить уравнение свободной поверхности (/) Это было выполнено в параграфе 2.2. Используя радиус кривизны р свободной поверхности Е(/) на участке AFB можно найти распределение радиусов кривизны K,S линий скольжения в пластической области АЕВ [68]. С помощью радиуса кривизны R а -линии АЕ определяется местоположение точки пространства К. Рассмотрим задачу Коши для свободной поверхности (0. Пусть пластическая область АЕВ примыкает к свободной поверхности 2(/) , в каждой точке которой известен радиус кривизны p(y,t) (рис. 2.13). В [65] показано, что кривизны линий скольжения R и S в точках некоторой произвольной кривой Рис. 2.13. Пластическая область АЕВ. связаны с приращениями гидростатического давления р и угла ср вдоль Е соотношениями Пластическое течение сопровождается диссипацией энергии в материале. При движении вдоль линии тока диссипация энергии частицы должна возрастать со временем, в противном случае материал деформироваться не может. Поэтому одной из основных задач при исследовании полученного решения является оценка диссипации энергии частиц, участвующих в пластическом деформировании.
Под объемной плотностью диссипации энергии W (формула 1.6.1) понимается работа внутренних сил [12]: Выражение (1.6.1) имеет эквивалентную формулировку Максимальная скорость сдвига єmax определяется выражением: Радиус кривизны свободной поверхности р связан с радиусом кривизны R а линии скольжения соотношением [68]: Перейдем в формуле (2.5.1) от интегрирования по времени t к интегрированию по параметру Г: где Г0 - угол, который занимала частица в начальный момент времени, находясь на кривой Е(0); у - параметр, определяющий положение частицы на свободной поверхности в момент времени t. Перепишем выражение (2.3.7) в виде: Подынтегральная функция возрастает при стремлении Г к —. Поскольку у Г0, то и значения интеграла возрастают при увеличении Г. Это позволяет сделать вывод, что максимальная диссипация энергии будет у частицы, находящейся в вершине свободной поверхности. Ее координата у всегда равна Особенность в знаменателе не позволяет применять формулу (2.5.5) для вычисления диссипации энергии в точке —. Поэтому выведем отдельно формулу для расчета диссипации энергии частицы F, занимающей положение Вычислим все функции в выражении для тах(Г,ґ) в точке Г = — Определить объемную плотность диссипации энергии W на свободной поверхности можно также интегрированием уравнения (2.5.1) по времени Функция Г(ґ) есть решение обыкновенного дифференциального уравнения (2.3.7). Приведем значения диссипации энергии для пяти частиц, находящихся на свободной поверхности (рис. 2.18). Диссипация энергии представлена как функция угла / и вычислена по формулам (2.5.5) и (2.5.6). Справа от кривых указаны начальное и конечное значения рассмотренных частиц. Примем: угол 8 = 30; L0 = 100; t = 1; р0 = -0.94.
Вывод уравнения свободной поверхности
Построение полного решения краевых задач жесткопластического анализа связано с построением статически допустимого продолжения поля напряжений в жесткие области. Следуя теории предельного равновесия, статически допустимое продолжение поля напряжений строится так, чтобы оно было ограничено некоторой поверхностью Е, свободной от напряжений, целиком лежащей внутри жесткой области. Эта область считается условно находящейся в пластическом состоянии. Если хотя бы одно такое продолжение возможно, то решение будет полным. При рассмотрении конкретных задач нет необходимости построения всей свободной поверхности Е. В [68] показано, что достаточным условием существования локального продолжения поля напряжений в окрестности жесткопластической границы является пересечение линий скольжения свободной поверхности под углом большим, либо равным 45. Именно в этом случае поверхность будет целиком лежать внутри жесткой области. В рассматриваемом пластическом течении (рис. 2.5) линии скольжения подходят к свободной поверхности под углом 45, поэтому достаточное условие выполняется. Также при построении полного решения необходимо показать, что диссипация энергии внутри пластической области и на линиях разрыва скоростей не убывает. Выше было установлено, что в пластической области АЕВ и на линиях разрыва скоростей объемная плотность диссипации энергии W положительна. Экспериментальные исследования не подтверждают существование линий разрыва скоростей перемещений, поэтому полученное в главе 2 решение имеет ограниченное применение и ниже используется для построения более общего поля. энергетические процессы в пластической области. При растяжении полосы предполагается вращение прямых АС и BD, которое происходит из-за линейности поля скоростей перемещений в квадрате E LEL\ Угол раскрытия выреза 2S(t) уменьшается с течением времени. Пластическое течение, изображенное на рис. 3.1, построено на основе решения О. Ричмонда для углового выреза (рис. 2.1).
В своих рассуждениях будем опираться на задачу, рассмотренную в главе 2. Введем систему а, Р -координат, связанную с точкой Рис. 3.2. Криволинейный треугольник АЕВ в плоскости характеристик. АЕВ в каждый момент времени t отображается в плоскости характеристик в прямоугольный треугольник АЕВ (рис. 3.2). Для скоростей перемещений и радиусов кривизны в пластической области справедливы соотношения (2.2.2): Диссипация энергии убывает вдоль прямой EF при движении от точки F к точке Е (рис. 3.10, 3.11, 3.12). Положительность значений W на участках AF и EF позволяет сделать вывод о положительности W во всей области пластической ЛЕВ. Вторая и третья глава представляют собой алгоритм определения функций, необходимых для расчета объемной плотности диссипации энергии W частиц, перемещающихся вдоль свободной поверхности и оси абсцисс. Полнота решения При согласовании полей напряжений допустимое продолжение в жесткую область предлагается строить так, чтобы оно было ограничено некоторой поверхностью S, свободной от напряжений, целиком лежащей внутри жесткой области. Эта область считается условно находящейся в пластическом состоянии. Если такое построение возможно, то решение будет полным [78], [79]. При рассмотрении конкретных задач нет необходимости построения всей свободной поверхности Е. В [68] показано, что достаточным условием существования локального продолжения поля напряжений в окрестности жесткопластической границы является пересечение линий скольжения свободной поверхности под углом большим, либо равным 45. Именно в этом случае поверхность Е будет целиком лежать внутри жесткой области. В рассматриваемом пластическом течении (рис. 3.10) линии скольжения подходят к свободной поверхности под углом 45, поэтому достаточное условие выполняется. Также при построении полного решения необходимо показать, что диссипация энергии внутри пластической области и на линиях разрыва скоростей не убывает.
Линий разрыва скоростей в рассматриваемом пластическом течении нет. Выше было показано, что в пластической области ЛЕВ диссипация энергии положительна. В главах 2 и 3 исследованы пластические течения в жесткопластических образцах в окрестности скругленных угловых вырезов. Пластическое течение, исследованное в главе 2, содержит линии разрыва скоростей перемещений. Диссипация энергии на линиях разрыва положительна, однако в начале пластического течения превышает значения диссипации энергии на свободной поверхности. Это не позволяет реально оценивать происходящие в материале процессы. Экспериментальные исследования не подтверждают существование линий разрыва скоростей перемещений. Однако, предложенный к решению \ \ J b(t) задачи поход и большинство теоретических выкладок остались справедливыми при исследовании поля, построенного на основе решения О. Ричмонда для углового выреза. Пластическое течение, скоростей Это позволило рассмотренное в главе 3 (рис. 4.1), не содержит линий разрыва перемещений, обстоятельство В параграфе 2.1 упоминались работы А. Ванга [95] и Дж. Джойса [87], посвященные изучению формы свободной поверхности скругленного выреза при растяжении полосы. Сравним полученные результаты. Сравнение с численным экспериментом А. Ванга А. Вангом в работе [95] была предложена численная схема, позволяющая определять скорости перемещений на криволинейном участке свободной поверхности (рис. 4.1). Выполним расчеты по схеме А. Ванга (рис. 4.2) с целью определить перемещения точек свободной поверхности.
