Введение к работе
Актуальность темы исследования. Начиная с 1990-х годов, исследователями уделяется большое внимание изучению функциональных материалов, называемых акустическими метаматериалами и фононными кристаллами [Deymier P.A., Khelif A, Adibi А]. Это активно развивающееся направление, которое изучает распространение упругих колебаний в средах со сложной периодической организацией. Фононные кристаллы можно назвать аналогом фотонных кристаллов и электромагнитных материалов, которые позволяют эффективно управлять потоком света и уже широко используются в промышленной сфере, например, при создании специальных покрытий линз и зеркал [Macleod Н.А.], в нелинейных оптических устройствах [Russel Р.] и многих других приложениях.
Интерес к фононным кристаллам (ФнК) объясняется тем, что они являются волноводами с уникальными свойствами, такими как эффект полного поглощения или отражения сигнала, отрицательное преломление, волновой резонанс, локализация волн, фокусировка и другие явления, которые позволяют управлять волновой энергией. Учёт и моделирование таких волновых явлений позволяет проектировать новые устройства, работающие в различных диапазонах частот [Chen Z., Yang Y., Lu Zh., Luo Y]. Эти устройства основаны на использовании "управляемых" поверхностных или объёмных волн [Сорокин П.Б., Квашнин А.Г., Бурков СИ., Schmidt М.Р., Fu Y.Q.].
В последние годы было проведено большое количество исследований, посвященных расширению и регулированию запрещённых зон. Однако, как правило, эти зоны не могут быть увеличены настолько, чтобы достигнуть необходимого широкополосного частотного диапазона [Yoo S., Kim Y. Y]. Для ФнК, состоящих из двух и более упругих материалов, эта проблема может отчасти решаться добавлением пьезоэлектрических компонент [Sision P.D., Chesman С], которые позволяют расширять диапазон запрещённых зон и повышают эффективность управления пото-камиволновой энергии. На данный момент разработаны устройства, включающие в свой состав пьезоэлектрические ФнК. Например, периодический набор параллельных пьезоэлектических слоев был использован для управления распространением упругих волн в тонкой пластине [Chen Sh., Wang С] или в пьезоэлектрическом стержне с электродами [Degraeve S. , Granger С, Dubus В.].
С математической точки зрения моделирование и анализ ФнК является более сложной задачей, чем описание поведения фотонных кристаллов. Это связано с большим числом дополнительных параметров, которые надо учитывать при рассмотрении задач теории упругости. При этом для моделирования ФнК нередко используются те же методы, которые применяются при решении волновых задач без периодической организации. При рассмотрении динамических процессов в многослойных средах применяется метод интегральных преобразований и построения
функции Грина [Ворович И.И., Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Ва-тулъян А.О., Соловьев А.Н].
Актуальным вопросом при изучении и моделировании ФнК является дифракция волн на различных неоднородностях, для чего используются разные прямые численные методы [Liu G.R., Bui T.Q., Komatitsch D., Tromp J., Наседкин А.В., Скалиух А.С]. Следует заметить, что эти методы в той или иной степени модифицируются в случае применения к задачам с периодически и стохастически распределенными неоднородностями [Zhang Ch., Wang Y.S., Bostrom A.E., Голуб M.B., Дорошенко О.В., Михаськив В.В]. Метод матриц переноса используется для одномерных ФнК, в то время как его распространение на двумерные и трехмерные ФнК является непростой задачей [Lin L.]. Теория многократного рассеяния позволяет решать лишь некоторые проблемы, связанные с моделированием трехмерных ФнК простых форм [Боев Н.В., Сумбатян М.А.].
Большое практическое значение имеют модели, учитывающие связанные тепловые, электрические и механические поля, а также функционально-градиентные прослойки или наличие микродефектов. Функционально-градиентные материалы представляют собой гетерогенные композиты, в которых свойства материала постепенно изменяются между двумя фазами. Присутствие функционально-градиентных компонент в структуре может кардинально изменять се динамическое поведение. Функционально-градиентные ФнК ранее рассматривались для упругого случая, но при этом большинство исследований ограничивалось рассмотрением только дисперсионных соотношений для бесконечных ФнК.
Актуальность диссертационного исследования определяется необходимостью построения механико-математических моделей для описания волновых явлений в периодических композитах. Создание таких моделей и анализ на их основе волновых эффектов имеет широкий круг потенциальных приложений, связанных с появлением в последние несколько лет технических возможностей для изготовления периодических композитов с большим количеством ячеек небольших размеров, что востребовано при изготовлении высококачественных резонаторов, сенсоров и датчиков.
Основной целью диссертационной работы является математическое моделирование и анализ особенностей распространения волн в фононных кристаллах с пьезоэлектрическими и функционально-градиентными слоями, при наличии распределений микродефектов, а также с учетом температурных полей и наноразмер-ных эффектов.
В задачи диссертационного исследования входит следующее:
1) разработка подходов и методов для описания распространения термоэлсктро-упругих волн в слоистых фононных кристаллах, состоящих из конечного и бесконечного количества ячеек;
-
создание математических и компьютерных моделей, учитывающих наличие в структуре фононных кристаллов функционально-градиентных прослоек и стохастически распределенных микродефектов;
-
классификация волновых явлений в слоистых фононных кристаллах;
-
анализ влияния функционально-градиентных прослоек, стохастически распределенных микродефектов и температуры на формирование запрещённых и разрешённых зон.
Методы исследования. Для описания волновых полей в периодическом композите используется метод матриц переноса и полуаналитический метод расчёта волновых полей в термоэлектроупругой периодической структуре.
Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечивается корректностью постановок рассматриваемых краевых задач, применением строгих математических методов, а так же сравнением с результатами, полученными другими авторами.
Научную новизну работы составляют следующие результаты:
-
полуаналитический метод для описания распространения термоэлектроупру-гих волн в слоистых фононных кристаллах конечной толщины, учитывающий их микроструктуру;
-
классификация типов разрешённых и запрещённых зон для слоистых упругих, анизотропных и пьезоэлектрических фононных кристаллов конечной и бесконечной толщины;
-
результаты анализа влияния функционально-градиентных прослоек и стохастически распределенных микротрещин в структуре слоистых фононных кристаллов на распространение волн;
-
результаты анализа влияния наноразмерных эффектов и температуры на формирование запрещённых и разрешённых зон в слоистых фононных кристаллах.
Теоретическая ценность и практическая значимость полученных результатов определяется возможностью их применения для проектирования и моделирования фильтров, пьезоэлектрических сенсоров и излучателей.
Диссертационная работа была выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (1.189.2014К "Математическое и компьютерное моделирование волновых процессов в приложении к проблемам развития инфокоммуникационных технологий и волнового мониторинга композитных материалов"), Российского фонда фундаментальных исследований (про-
екты 12-01-31001-мол_а "Анализ и моделирование волновых явлений в фонон-ных кристаллах с отслоениями"; 16-51-53043-ГФЕН_а "Перераспределение волновой энергии с помощью функционально-градиентных пьезоупругих слоистых фононных кристаллов с неоднородностями"; 16-41-230352-р_юг_а "Моделирование и определение оптимальных характеристик периодических термоэлектроупру-гих функциональных слоистых наноматериалов (фононных кристаллов)"; 18—501— 12069 ННИО_а "Управление распространением волн в периодических пьезоэлектрических слоистых композитах с электродами и трещинами"), а также в рамках выполнения ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы (14.В37.21.0387 "Волновая динамика слоистых фононных кристаллов: моделирование неповреждённых и повреждённых структур, фильтрационные и блокирующие свойства").
На защиту выносятся
-
математическая модель для описания распространения термоэлектроупругих волн в слоистых фононных кристаллах конечной и бесконечной толщины, учитывающая их гетерогенную микроструктуру;
-
классификация типов разрешённых и запрещённых зон для слоистых упругих, анизотропных и пьезоэлектрических фононных кристаллов конечной и бесконечной толщины;
-
результаты исследования влияния толщин и материальных свойств слоев, наличия стохастически распределенных микродефектов и функционально-градиентных прослоек, а также наноразмерных эффектов и температуры на распространение волн в слоистых фононных кристаллах;
-
результаты анализа зависимости расположения и размера запрещённых и разрешённых зон от микроструктуры фононных кристаллов.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на VIII Всероссийской школе-семинаре "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете" (пос. Дивноморское, 2013 г.), VII Всероссийской конференции по механике деформируемого твердого тела (г.Ростов-на-Дону, 2013 г.), International Conference DAYS ON DIFFRACTION 2014 (г.Санкт-Петербург, 2014 г.), X школе-семинаре "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете" (пос. Дивноморское, 2015 г.), 3rd International Conference on Phononic Crystals/ Metamaterials, Phonon Transport and Phonon Coupling (Франция, г.Париж, 2015 г.), 2016 International Conference on "Physics and Mechanics of New Materials and their Applications" (Индонезия, г.Сурабая, 2016 г.), XV Всероссийской конференции «Волновые явления в неоднородных средах» имени А.П. Сухорукова ("Волны-2016") (г.Москва, 2016 г.), XII Всероссийской школе-семинаре
«Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», (пос. Дивноморское, 2017г.), 4th International conference on phononic crystals/metamateri-als, phonon transport/coupling and topological phononics PHONONICS 2017 (Китай, г.Чанша, 2017 г.).
Публикации. Основное содержание и результаты диссертационного исследования отражены в 7 публикациях, из них две статьи опубликованы в журналах из перечня, утверждённого ВАК РФ, четыре в трудах международных конференций, три из которых проиндексированы в базе данных Scopus. По результатам диссертационных исследований получено свидетельство о государственной регистрации программы ЭВМ.
Объем и структура работы Диссертационная работа объемом 119 страниц имеет следующую структуру: введение, четыре главы основной части, заключение и список литературы из 106 источников. Работа содержит 66 рисунков и 9 таблиц.