Содержание к диссертации
Введение
1. Математическая модель крыла в потоке газа 11
1.1. Геометрические характеристики крыла 11
1.2. Модель нагрузок 14
1.3. Динамика стержня, учитывающая депланацию сечения 17
1.4. Задача о колебаниях крыла в потоке воздуха 20
1.5. Метод решения уравнений состояния . 23
Выводы 28
2. Потеря устойчивости при кручении крыла 29
2.1. Геометрические характеристики некоторых симметричных профилей. 29
2.2. Уравнения состояния крыла с профилем, имеющим две оси симметрии . 33
2.3. Изменение корней характеристического уравнения при изменении числа м
2.3.1. Зависимость собственных частот от числа м и относительной толщины профиля 40
2.3.2. Уточнение критических скоростей
2.4. Зависимость критических скоростей от материала крыла 47
2.5. Зависимость критической скорости от критериев подобия 57
Выводы 58
3. Изгибные колебания тонкого крыла 59
3.1. Аналитическое решение уравнения изгиба крыла 59
3.2. Частоты свободных изгибных колебаний. 62
3.3. Формы свободных изгибных колебаний 67
3.1. Решение неоднородного уравнения изгиба 70
Выводы 77
Заключение 78
Литература
- Динамика стержня, учитывающая депланацию сечения
- Метод решения уравнений состояния
- Уравнения состояния крыла с профилем, имеющим две оси симметрии
- Формы свободных изгибных колебаний
Введение к работе
Актуальность темы: Классическая теория аэроупругости имеет дело с напряжением и деформацией упругого тела под действием заданных внешних сил или перемещений. Обычно принимается, что деформация мала и не влияет существенно на действие внешних сил. В таком случае мы часто пренебрегаем изменениями в размерах тела и основываем наши расчеты на его первоначальной форме. Так, в задачах изгиба или выпучивания колонн, пластин или оболочек считаются заданными внешние нагрузки и граничные связи. Однако в аэроупругости положение иное: нагрузки зависят от деформаций объекта исследований, что существенно меняет тип краевой задачи.
Специфические трудности флаттерных задач вызваны тем, что аэродинамические силы, вообще говоря, не могут быть достаточно просто выражены через возмущения обтекаемой поверхности. Однако в области больших сверхзвуковых скоростей возможны существенные упрощения, основанные на асимптотических свойствах сверхзвукового потока. Наиболее простой вариант теории сверхзвуковых потоков известен под названием «закона плоских сечений» или «поршневой теории»; он приводит к формуле, связывающей местное давление на тело с нормальной компонентой скорости поверхности в рассматриваемой точке. Полагая возмущения малыми, можно эту формулу линеаризировать. Тогда многие задачи панельного флаттера можно свести к исследованию собственных значений некоторых обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Наряду с этим были применены приближенные методы, основанные на сведении упругой системы к некоторой конечномерной системе.
тв
Аэроупругость рассматривает крыло и набегающий поток как единую систему, содержащую и деформируемое тело (ДТТ), и жидкость (газ). В то же время возможна декомпозиция ее на две подсистемы, математические модели которых могут быть разработаны независимо друг от друга. В моделях МДТТ естественно выделить модель жидкости (газа) как внешнюю среду, и заменить их действие на ДТТ силами и моментами, распределенными по его поверхности. Взаимосвязь внешней среды и объекта исследований может быть реализована двумя способами: учитывать влияние деформаций объекта на аэродинамические силы или нет. Второй подход используется в прикладной аэродинамике, когда объект считается абсолютно твердым. В ряде работ по аэроупругости внешние нагрузки связывают ся с моделью набегающего потока. В то же время при трансзвуковых скоростях настоящее время, видимо, не существует общепринятой теории обтекания, позволяющей достоверно описать внешние нагрузки. Например, упомянутая «поршневая» теория может быть использована только при больших сверхзвуковых скоростях.
В то же время модель потока в этом смысле может быть построена и на основании продувок профилей, аэродинамических поверхностей и летательных аппаратов в целом (или их физических моделей). Результатами этих исследований являются графики (таблицы), связывающие аэродинамические нагрузки со скоро-
стью набегающего потока и конструктивными параметрами объекта (удлинением, сужением, стреловидностью и т.п.). Так как в экспериментальных исследованиях нетрудно реализовать как до-, так и сверхзвуковые режимы обтекания, то модель нагрузок, построенная на основании экспериментальных данных, позволяет рассматривать все возможные режимы.
Примером такой модели может служить линейная аэродинамика, в которой аэродинамические нагрузки представляются линейными функциями угла между направлением набегающего потока и элементами обтекаемых поверхностей. Коэффициенты линейной зависимости представляются экспериментальными зависимостями, а где это возможно – теоретическими кривыми.
Ряд современных беспилотных ЛА имеет раскрывающиеся крылья достаточно большого удлинения (~5 и более), имеющие симметричный профиль малой относительной толщины. Вполне естественно для таких объектов применить теорию стержней, соотношения которой существенно проще, чем для тонких пластинок. Эта особенность позволяет надеяться на получение аналитических решений для критических скоростей набегающего потока, особенно при использовании линейной теории стержней, основанной на гипотезах Бернулли.
Таким образом, можно сформулировать цель работы: разработать метод определения критических скоростей обтекания длинного прямого крыла на основании теории стержней, учитывающей взаимное влияние простейших состояний: изгиба и кручения.
Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:
-
Произвести анализ существующих профилей крыльев большого удлинения и способов описания действующих аэродинамических нагрузок в широком диапазоне скоростей набегающего потока, как до-, так и сверхзвуковых.
-
Для крыла малой относительной толщины выбрать математическую модель и привести ее к удобному для реализации виду.
-
Разработать способ определения критических скоростей, основанный на математической теории устойчивости.
-
Для ряда профилей с двумя осями симметрии произвести анализ зависимости критической скорости дивергенции от относительной толщины профиля и механических характеристик конструкционных материалов
-
Установить зависимость изгибных и крутильных колебаний в различных режимах обтекания.
Методы исследований основаны на аналитических решениях уравнений состояния и численном определении собственных частот в зависимости от скорости обтекания.
Научная новизна:
-
Метод численно-аналитического определения критических скоростей обтекания крыла большого удлинения, основанный на представлении аэродинамических коэффициентов экспериментальными кривыми в широком диапазоне скоростей.
-
Определение критических скоростей для крыльев различных профилей.
На защиту выносятся:
-
Способ численно-аналитического определения критических скоростей обтекания.
-
Реализация способа для различных профилей с двумя осями симметрии при различных материалах крыла и относительных толщинах.
-
Анализ влияния крутильных колебаний на изгибные в различных режимах обтекания.
Практическая ценность состоит в разработке и реализации алгоритмов определения критических скоростей и результаты их определения для конкретных крыльев.
Достоверность результатов подтверждается корректностью аналитических решений дифференциальных уравнений состояния, корректностью аппроксимаций исходных данных, применением современных способов представления результатов.
р в
Личный вклад автора заключается в приведении уравнений состояния к безразмерному виду, удобному для реализации, разработке и реализации алгоритмов среде MathCad 14, анализе результатов расчетов.
Апробация результатов: Основные положения работы обсуждались на: XVIII Зимней школе по механике сплошных сред (г. Пермь, 2013), Международной конференции «Современные проблемы математики, информатики, механики» (Тула, 2013), семинарах по механике сплошной среды каф. Математического моделирования ТулГУ под рук. А.А. Маркина (2013, 2015гг.).
По диссертационной работе имеется 2 публикации в изданиях, входящих в перечень изданий ВАК.
Структура и объем диссертации: Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения, списка литературы из 104 источников. Общий объем работы 86 стр. машинописного текста, в том числе 78 стр. основного текста, содержащего 91 рисунков и 12 таблиц.
Динамика стержня, учитывающая депланацию сечения
На стержень в потоке газа действуют распределенные аэродинамические сил. Величина поперечной составляющей аэродинамической силы, действующих в каждом поперечном сечении, определяется в рамках линейной теории; аэродинамическая нагрузка принимается пропорциональной углу между вектором скорости набегающего потока и одной из главных центральных осей инерции поперечного сечения (углом атаки профиля). Подъемную силу Y принято выражать через безразмерный коэффициент подъемной силы Су [66]: cкорость центра тяжести летательного аппарата относительно воздуха (при отсутствии ветра скорость относительно Земли); скорость невозмущенного воздушного потока; Sk - площадь двух консолей крыльев;
При малых углах атаки коэффициент подъемной силы плоских (неза-крученных) крыльев с симметричным профилем пропорционален величине : С =С".а . которая зависит, главным образом, от числа М и от формы крыльев в плане, характеризуемой для трапециевидных крыльев удлинением , сужением и углом стреловидности . Таким образом, с; =/(м,л,г/,х). ( 1.9) Здесь: М - число Маха; - удлинение крыльев с подфюзеляжной частью; - сужение крыльев с подфюзеляжной частью; - угол стреловидности по линии, проходящей через середины хорд. При сверхзвуковых скоростях полета производная С" с достаточной степенью точности определяется линейной теорией крыльев конечного размаха. Формулы линейной теории легко можно преобразовать к виду: - = /ШМ2-1; Afgy;n). ( 1.10) Такая структура формул весьма удобна для построения расчетных графиков, так как число независимых переменных в данном случае меньше, чем в выражении ( 1.9). При дозвуковых скоростях полета (М Мкр) значения С" изолированных крыльев могут быть наиболее точно подсчитаны по линейной теории несущей поверхности. В этом случае расчетные выражения можно преобразовать к виду: - = /Ш1-М2; Afgy;n). ( 1.11) Теоретические зависимости: = /Ш\-м2\ ( 1.12) Таким образом, как при сверхзвуковых, так и при дозвуковых скоростях по лета отношение зависит от одних и тех же параметров. Разница заключала ется в том, что при М 1 в качестве так называемого приведенного удлинения берется параметрх4м2 -\ а при М 1 — параметр л4\-М2 . Этот параметр можно записать в более общем виде, пригодном для любых скоростей: ]р2-\ При околозвуковых скоростях полета значение С" пока не может быть с достаточной степенью точности подсчитано теоретическими методами. Правила подобия для околозвукового потока позволяют сделать лишь каче ственный вывод о том, что отношение JL при числах М близких к единице, Я , должно существенно зависеть от параметра Л\[д, (здесь с-относительная толщина профиля, измеренная в сечении, параллельном плоскости симметрии летательного аппарата).
Момент тангажа, или продольный момент, вызывается аэродинамическими силами и реактивными силами двигателей. Рассмотрим момент аэродинамических сил. Как известно, в аэродинамике обычно пользуются безразмерным коэффициентом момента
Здесь Sk иЪА – площадь и средняя аэродинамическая хорда крыльев. М" - частная производная от момента тангажа. Величина аэродинамического момента Mz при данной скорости и высо те полета зависит от ряда факторов и прежде всего от угла атаки и скорости изменения угла атаки и т.д.
Как известно из курса аэродинамики [66], подъемную силу Y и момент тангажа Mz принято выражать через безразмерныe коэффициенты подъемной силы Су и момента тангажа Mz, которые в рамках линейной теории представляются линейными функциями угла атаки профиля :
Производные коэффициентов зависят главным образом от числа М и от формы крыльев в плане, характеризуемой для трапециевидных крыльев удлинением , сужением , относительной толщиной с и углом стреловидности . Таким образом, Отметим, что для стержневой модели крыла подъемная сила - поперечная нагрузка, приложенная в центре тяжести профиля, а момент тангажа - распределенный по длине крутящий момент.
Большой практический интерес представляют задачи о расчете стержней сплошного сечения, обладающих в поперечном сечении одной осью симметрии, например, некоторые крылья аппаратов и строительные конструкции и т.д., изображенным
Отнесем это крыло к прямоугольной левовинтовой системе координат Oxyz, направив ось Oz параллельно боковой образующей (Рис 1.5, а).
Постановка задач теории стержней, учитывающая депланацию сечений, принадлежит В.З. Власову [26]. Основные гипотезы: Плоское сечение, перпендикулярное оси стержня в начальном состоянии, не деформируется в своей плоскости, то есть сохраняет поперечные размеры и форму контура. Плоскость контура остается перпендикулярной к деформированной оси стержня; плоскость сечения испытывает депланацию.
При этом система перемещений такова, что перемещения вдоль осей х и у соответствуют поступательному движению плоскости сечения как абсолютно твердого тела и повороту его вокруг направляющего вектора оси z, а продольные перемещения (вдоль оси т) определяются поворотами сечения как абсолютно твердого тела вокруг главных центральных осей инерции поперечного сечения и депланацией сечения.
Здесь u(z,t), v(z,t), w(z,i) -компоненты вектора перемещения центра тяжести сечения, Oy(z,t), OJz,t), (p(z,t) - углы поворота сечения относительно осей у и х и угол закручивания; г - расстояние от точки до центра тяжести сечения, d(z,i) -мера депланации. Функция депланации принята в соответствии с В.З. Власовым [26] в виде произведения ху. Приведенные следствия из кинематической гипотезы В.З. Власова включают в себя и гипотезу Бернулли; отличие заключается в дополнительной неизвестной функции d - мере депланации. Разрешающая система дифференциальных уравнений относительно компонент перемещения и угла закручивания при учете только инерции поступательного движения и поворота вокруг касательной к оси имеет вид [26]:
Метод решения уравнений состояния
Учитывая, что на современных беспилотных ЛА крылья, как правило, имеют симметричные профили (Рис 1.2, профили 1, 6, 7, 8), часть геометрических характеристик в модели п. 1.3 равна нулю (например, J{xy2) и т.п.). Безразмерные уравнения состояния для таких профилей следует принять в форме ( 1.22), в которых критерий ах следует положить равным нулю: ( 2.10) Как отмечалось в п. 1.4, при этом состояние кручения - определяющее для потери устойчивости; в однородное уравнение изгиба не входит число М и частоты свободных изгибных колебаний от него не зависят. Слагаемое, определяемое углом закручивания в уравнении изгиба можно перенести в правую часть и рассматривать как возмущающую силу. Тогда состояние изгиба при потере устойчивости по крутильной форме можно определить, если задать изменение угла 6 во времени как возрастающую экспоненту. В связи с высказанным рассмотрим крутильные колебания, то есть второе уравнение ( 2.10). Примем, что начальный угол установки крыла =0 и рассмотрим однородное уравнение свободных крутильных колебаний (2.8), в котором положим существование гармонических свободных колебаний:
Уравнение свободных крутильных колебаний - обыкновенное линейное равнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами: ( 2.12) Следуя предложенному в п. 1.5 методу, перейдем от ( 2.12) к системе 4 уравнений первого порядка с 4 неизвестными: ( 2.13) Переходя к матричной форме записи, отметим, что в векторе состояния ( 1.25) следует оставить последние четыре компоненты, определяющие состояние кручения:
Это обыкновенное дифференциальное уравнение решается аналитиче ски методом начальных параметров [47]: (2.17) где T/Qj - значение вектора состояния при =0 (вектор начальных параметров), нормированная матрица фундаментальных решений V(,П) определяется как оригинал матрицы, определяющей преобразование Лапласа уравнения по координате [47]:
Удовлетворяя граничным условиям при =0, положим два начальных параметра 6а0=0 и фао=0, а для существования нетривиального решения потребуем равенства нулю главного определителя однородной системы уравнений, определяющей граничные условия на конце консоли:
Трансцендентное уравнение D12{Q.,M)=0 решается относительно Q, например, методом половинного деления для различных М, а, Ъ. Значение М, при котором ЩМ)=0, =1,2,3..., и есть критическая безразмерная скорость обтекания прямого крыла.
Изменение корней характеристического уравнения при изменении числа М. Покажем возможность потери устойчивости крыла, анализируя корни характеристического уравнения относительно р: D(p,a,b) = 2-a-p2+b-p4=0. ( 2.23) Решена задача о свободных колебаниях стального крыла прямоугольного сечения L=1M, 6=0.1М, h = 0.01м (Рис 2.1). Примем, что модуль Юнга материала Е=2-105ПМа, коэффициент Пуассона v=0.3, плотность р=7850 кг/м 3 . Безразмерные параметры крыла: Я = 10 - удлинение крыла; с = 0,1 - относительная толщина; г=1 — сужение крыла. Принимаем профиль крыла прямоугольным (Рис 2.1а).
На Рис 2.6 и Рис 2.7. показаны зависимости вещественной и мнимой частей корней от числа М при Q=l (т.е. задаем частоту свободных колебаний, равную 1). Рис 2.6: Зависимости вещественной частей корней от числа М
Рис 2.7: Зависимости мнимой частей корней от числа М Критические скорости определяем следующим образом: пока все корни вещественные, то происходят свободные устойчивые по Ляпунову крутильные колебания. При значении М, при котором появляется чисто мнимый корень, одна из форм начинает развиваться апериодически (М=1.125), вокруг этой формы совершаются устойчивые колебания по форме, соответствующие другой паре корней (см. графики первого и второго корня). Вторая критическая скорость (М=2.58) соответствует появлению двух пар комплексных кор-39
ней, причем второй и четвертый корни соответствуют развивающимся гармоническим колебаниям.
Таким образом, показано, что при произвольно назначенной частоте свободных колебаний имеются числа М, при которых в разложении по формам свободных колебаний появляются апериодические составляющие, следовательно - потеря устойчивости описывается предложенной моделью.
Одним из важнейших безразмерных параметров крыла является его относительная толщина, которая влияет не только на жесткость, но и на зависимость коэффициента подъемной силы от числа М (см. Рис 2.2). Расчеты проводились для крыла длиной L=1м, бортовой хордой Ь=0.1 м, и относительными толщинами c = 0.01; 0.025; 0.05. Материал крыла сталь с Е=2.1011 Па, /7=7850 кг/м3, v-0.3. Геометрические характеристики профилей для разных относительных толщин приведены в Табл. 2.3. Для трапециевидного профиля Рис 2.1в параметр а - отношение малого основания трапеции к большому (бортовой хорде) - принимался равным 0.8.
Уравнения состояния крыла с профилем, имеющим две оси симметрии
Нетривиальные решения системы существует, когда равен нулю определитель матрицы, выражающий граничные условия. Для консольного крыла с началом координат в центре тяжести бортового профиля, равны нулю кинематические параметры в начале координат (безразмерный прогиб и угол поворота), и на конце консоли - силовые параметры (изгибающий момент и поперечная сила). Вектор состояния определяется двумя неизвестными начальными параметрами /40 и 00 Тогда для определения частот свободных колебаний имеем уравнение:
Расчеты проводились для крыла с удлинением Л.=10 и относительными толщинами с = 0.05; 0.1; 0.15; 0.2. Материал крыла - сталь 3: =200 ГПа, /7=7850 кг/м3, v=0.3. Геометрические характеристики двух профилей - ромбовидного (Рис 2.1б) и "трапециевидного" (Рис 2.1в), параметр трапециевидного профиля а = 0,8.
Зависимости определителя ( 3.13) от безразмерной частоты Q приведены на Рис 3.1... Рис 3.2. Из них видно, что первая собственная изгибная частота возрастает при увеличении относительной толщины профиля и безразмерного радиуса инерции при поперечном изгибе. Эти рисунки позволяют определить интервалы изоляции корней частотного уравнения ( 3.13) для последующего их уточнения. Значения первой собственной изгибной частоты после уточнения приведены на Рис 3.2 и Табл 3.2 Рис 3.1: Зависимости определителя от безразмерной частоты Q
Так как изгибные колебания для профиля с двумя осями симметрии при известных частотах и формах крутильных колебаний являются вынужденными (см. уравнение ( 3.1)), то опасными являются значения частот, совпадающие с собственными частотами крутильных колебаний, то есть резонанс изгибных и крутильных колебаний. При идеально-упругом материале крыла резонансные амплитуды бесконечны; для их уточнения следует учесть вязкость материала (хотя бы по модели Фойгта).
Такой вид изгибных колебаний характерен для докритического режима обтекания (М M1, М1: Q1=0, см., например, Рис 2.8), когда крутильные колебания - гармонические. Тогда при приближении к критической скорости слева частота крутильных колебаний стремится к нулю и может совпасть с собственной частотой изгибных колебаний, что приведет к резонансу по первой изгибной форме. Другая картина взаимодействия изгиба и кручения соответствует закритическому обтеканию. Частота крутильных колебаний меняется скачком, от нуля до значения второй собственной частоты (см. Рис 2.8), но эти колебания развиваются вокруг экспоненциально возрастающего крутильного движения по первой форме, причем, чем больше удаляется скорость обтекания от первой критической, тем интенсивнее возрастает амплитуда крутильного движения. При этом правая часть уравнения ( 3.1) также растет экспоненциально, и частное решение этого уравнения имеет такой же характер. Так как изгибные собственные частоты ниже крутильных (см. Рис 3.2 и Рис 2.5…Рис 2.8), то резонанс изгибных и крутильных колебаний должен наступить раньше, чем число М достигнет критического значения. Тогда «критическое» число М по изгибу, то есть точка резонанса, и есть «несущая способность» крыла по скорости обтекания. Критической в смысле теории устойчивости решения уравнения состояния эта точка не является, так как смены формы ни собственных крутильных, ни собственных изгибных колебаний не происходит.
При увеличении скорости обтекания до второй критической вышеописанный процесс повторяется; будет ли он реализован - зависит от сохранения прочности крыла в первом процессе. Во всяком случае для решения этого вопроса следует иметь возможность описывать напряженное состояние крыла как в до-, так и в послекритическом состоянии. С этой целью используем метод модального разложения [47].
Формы свободных изгибных колебаний Для каждой собственной частоты следует найти начальные параметры как нетривиальные решения однородной системы уравнений _К1(1,Пл)4 3 1(Шл)4 4][001 0J ( 3.14) Ранг этой системы равен 1, так что один из начальных параметров можно задать произвольно, например, положить цх0=1. Тогда, исключая второе уравнение, и определяя 0 из первого, получим:
Чтобы исключить произвол в выборе параметра цх 0, учтем, что для определения частного решения уравнения ( 3.6) базисом разложения угла закручивания в сходящийся ряд является нормированное безразмерное поперечное перемещение Tа( ,Qyt): Здесь для вычисления поперечного перемещения использованы выражения для компонент матрицы фундаментальных решений ( 3.12) и выражение для 0 через цх 0 ( 3.15). На следующих рисунках показаны компоненты собственных состояний крыла при изгибе - безразмерное поперечное перемещение, угол поворота сечения, безразмерный изгибающий момент и безразмерная поперечная сила - для первых четырех собственных частот. Следует отметить, что вид зависимостей собственных состояний от координаты С универсален для любого профиля; отличаются только собственные частоты.
Формы свободных изгибных колебаний
Здесь d(0),a(0) - коэффициенты разложения в ряд по собственным функциям начальной скорости и начального перемещения, которые будем считать однородными (т.е. равными нулю). Функция параметра преобразования Wk(s) в теории управления называется передаточной функцией. Если известен ее оригинал (так называемая импульсно-переходная характеристика, ИПХ), то оригиналы модальных коэффициентов определяются интегралом Дюамеля:
Параметр р имеет физический смысл логарифмического декремента. Для стали 3 он был измерен в работе [81]; его величина составила 0.2119. Пусть полет происходит на постоянной высоте с постоянной скоростью. В силу линейности модели (п. 1.4) состояние крыла можно представить суперпозицией двух состояний: изгиб постоянной подъемной силой, обусловленной углом атаки БЛА, и свободными крутильными колебаниями, причиной которых могут быть порывы ветра, изменения плотности и температуры на высоте полета и т.п. Тогда крутильные колебания можно рассматривать как моногармоническое внешнее воздействие с частотой, определенной первой собственной частотой крутильных колебаний. Вынужденные из-гибные колебания при докритическом числе М есть реакция крыла на гармоническое воздействие, определяемое ( 3.26) при e(C,x)=e1(C)sin(Q1 r). Оставляя только установившуюся часть решения, получим: Qси оз гб- собственная изгибная частота упругого крыла, QKp - частота крутильных колебаний, А - амплитуда, ф - фаза изгибных колебаний. Формулы ( 3.28) позволяют построить амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики крыла, в которых роль частоты внешнего воздействия играет первая частота свободных крутильных колебаний, изменяющаяся в диапазоне от 0 (при М=М1кр) до Пмах (при М=0). Резонансная частота изгибных колебаний (соответствующая максимуму АЧХ) определяется из равенства нулю производной АЧХ по частоте внешнего воздействия: где Пизг- безразмерная частота свободных изгибных колебаний. Отметим, что данная амплитуда - безразмерная в том смысле, что она отнесена к амплитуде возмущающей подъемной силы: Ав = KbCy(M)90M2 11(c)91(C)dC . ( 3.31) где в0 - амплитуда крутильных колебаний по их первой форме, в1( Q - первая нормированная собственная форма крутильных колебаний, 4 (0 - первая нормированная собственная форма изгибных колебаний.
На этих рисунках приведены АЧХ и ФЧХ изгибных колебаний на четырех младших формах. Очевидно, что опасной по прочности крыла является первая частота, так как ее относительная резонансная амплитуда - наибольшая из четырех для любого Р (см. Табл. 3.3). На ФЧХ (Рис. 3.8) точки резонанса характерны сменой знака фазы (от тг/2 до -тг/2), как и в любом резонансном процессе. Влияние декремента на резонансные частоты также очевидно - увеличение декремента приводит к уменьшению резонансной амплитуды - и не противоречит результатам других исследований резонансных процессов [58] с демпфированием, пропорциональным скорости.
Рассмотрим полученные результаты с точки зрения обтекания крыла потоком воздуха. Как показано на Рис 2.8…Рис 2.79, собственные частоты крутильных колебаний зависят от числа М набегающего потока, причем с увеличением М частота падает до нуля; на Рис. 3.7 - это начало интервала. Конец интервала может быть выбран достаточно произвольно, но меньшим, чем собственная частота крутильных колебаний при М=0. Таким образом, резонанс на первой частоте изгибных колебаний возможен только вблизи критического (наименьшего) числа М. Резонанс на высших частотах наступает при меньших числах М; данные Рис 2.8…Рис 2.79 и Табл 3.2 позволяют оценить первую собственную частоту крутильных колебаний при М=0 величиной 200… 500, а четвертую частоту изгибных колебаний - 120, то можно считать, что последняя соответствует нисходящей части зависимости первой собственной частоты крутильных колебаний от М. Но ее резонансная амплитуда наименьшая из приведенных в Табл. 3.3; очевидно, что старшие частоты имеют амплитуды еще меньше и ими можно пренебрегать.
Тогда механизм изгибных и крутильных колебаний профилей с двумя осями симметрии при увеличении скорости набегающего потока может быть представлен так: при малых М, меньших 0.8Мкр, реализуются свободные крутильные ко лебания по первой их форме, не сопровождающиеся заметными изгибными колебаниями. Затем, по мере приближения к Мкр, последовательно проявля ются изгибные колебания по третьей и второй формам с резонансными ам плитудами амплитуды крутильных колебаний. При достижении чис лом М величины 0.999Мкр развиваются изгибные колебания с частотой, близкой к первой собственной частоте таковых и амплитудой порядка (0.5… 1.5)М2 амплитуды крутильных колебаний. Возникающий при М&Мкр процесс происходит при апериодически развивающемся угле закручивания; изгиб же в силу апериодической правой части также будет развиваться апериодически, что нетрудно установить, ис пользуя ИПХ изгиба ( 3.27) и интеграл Дюамеля ( 3.26):
Такой процесс можно назвать изгибно-крутильным флаттером, но потеря устойчивости изгибом является следствием потери устойчивости кручения. Собственные частоты изгиба остаются вещественными. Такой тип флаттера следует называть наведенным или индуцированным.
1. Для профиля с двумя осями симметрии изгибные движения являются вынужденными, так как угол закручивания крыла входит только в правую часть уравнения крутильных колебаний; число М набегающего потока не влияет на коэффициенты уравнения, которые зависят только от геометрии крыла
2. Собственные частоты изгибных колебаний существенно ниже, чем крутильных, что следует из меньшей величины поперечного момента инерции профиля по сравнению с моментом инерции при кручении.
3. Резонанс между изгибными и крутильными колебаниями возможен при числах М, близких, но меньших критического значения его. При этом амплитуда изгибных колебаний резко возрастает, так что потеря устойчивости при кручении сопровождается «флаттером», который не является потерей устойчивости в смысле перехода изгибных движений в апериодический режим из-за смены типа корня частотного уравнения.
4. Причиной потери устойчивости по изгибу является апериодический характер изменения угла закручивания, так что такой флаттер следует называть наведенным (индуцированным).