Введение к работе
гуальность темы. Научіте и технические потребности наше-~~го "общества, связанные с необходимостью обеспечить решение важнейших хозяйственных задач, выдвинули в настоящее время ряд проблем, предусматривающих, в частности, и расширение-исследований в области механики и прикладной математики. Для успешного решения таких важних проблем,как снижение удельной металлоёмкости машин и оборудования, улучшение структурных и прочностных свойств конструкционных и строительных материалов, требуется привлечение новых, более соверпенных идей и математических методов.
Решение прикладных краевых задач теории упругости далеко не всегда удаётся представить в явном виде; для достаточно широкого класса задач их можно определить из соответствующей бесконечной, линейной алгебраической системы уравнений. В связи с этим очевидна актуальность проведения работ в направлении дальнейшего развития, усове{/шенствования и практической реализации аналитических методов, позволяющих строить приближённые решения некоторых частных задач теории упругости в явном виде, удобном для его использования в инженерных расчётах.
Состояние вопроса. Исторически одним из первых и, пожалуй, наиболее плодотворным аналитическим методом решения краевых задач теории упругости, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, явился метод разделения переменных (метод Фурье), заключающийся в построении частных решений, каждое из которых разыскивается в виде произведения функций меньшего числа переменных. В ряде случаев такое представление приводит, в зависимости от размерности задачи, к нескольким дифференциальным уравнениям. С учётом характерных особенностей геометрии области, в которой решается задача, представляется возможным определить дискретные значения (или сплошной спектр) параметров задачи. Это приводит к совокупности частных решений, суммируя которые находят достаточно общее решение.
В работах А.И.Лурье использовался метод интегрирования уравнений равновесия упругого слоя в виде степенного ряда. Параметрами этого ряда являлись дифференциальные операторы, а сам метод по зтой причине получил название символического. Своё дальнейшее раз-
витие этот метод получил в работах В.К.Прокопова, Г.Н.Бухаринова, Ю.А.Груздева, Э.Н.Байды и других учёных.
Операторный метод, основанный на представлении перемещений рядами Фурье с дополнительными членами в виде полиномов Лежандра первой и второй степени рассмотрен в работах А.Е.Крушевского. В них на базе вариационного уравнения Лагранжа для элементарного столбика и слоя получены разрешающие операторные уравнения для коэффициентов рядов переметений.
Анализ состояния вопроса показывает, что операторно-симьоли-ческий метод может быть успешно использован при решении краевых задач теории упругости и требует дальнейшего развития.
Цель работы состоит в исследовании новых возможностей операторного метода решения некоторых частных динамических и статических задач теории упругости в явном виде.
Научная новизна.I.Построена и исследована замкнутая система девяти дифференциальных операторных уравнений равновесия внутри области и шести граничных условий на поверхности.
2.'Получены формулы для рядов перемещений первой и второй
динамической и статической (при (X = «71 -0 ) задач теории упругости, тождественно удовлетворяющих условиям равновесия внутри области и части граничных условий.
-
Показано, что фактическое решение за счёт конкретного выбора входящей в него произвольной функции может быть представлено в виде интеграла, степенных и тригонометрических рядов, а также в виде неортогональных рядов ; содержащих корни трансцендентных уравнений.
-
Осуществлён переход к цилиндрической системе координат, а решения плоской и осесимметрнчной задач теории упругости получены как частные случаи пространственной задачи.
-
Разработан операторный метод нахождения коэффициентов разложения функций в ортогональные и неортогональные ряды.
-
Получено новое решение некоторых частных краевых задач теории упругости.
-
При помощи ЭВМ на примере равновесия жёстко защемленной плиты, нагруженной на верхнем основании равномерно распределенной
нагрузкой, проведено сравнение аналитического и численных решений (методом ортогонализвции, степенных рядов, коллокаций). Дана оценка характеру их невязок на границе области.
Достоверность полученных в диссертационной работе результатов основывается на непротиворечивости исходных положений основным законом механики сплошной среды; корректности постановки рассматриваемых в ней задач; использовании современных математических методов при их решении,а также согласованности частных случаев с известными результатами.
Практическая ценность. Предложенная методика позволяет решать некоторые краевые задачи теории упругости в явном виде, не сводя их к бесконечной алгебраической системе линейных уравнений. Практическая ценность состоит также и в том, что решение содержит, произвольную функцию координат и времени. За счёт выбора вида этой функции можно с единых позиций получать разнообразные формы решений задач теории упругости, не заботясь об удовлетворении их условиям равновесия внутри области и на части границы - они там выполняются тождественно. Использование операторного метода расширяет аппарйт разложения функций в ортогональные ряды и позволяет применять его в данном вопросе наравне с теорией вычетов.
Полученные результаты могут быть использованы в инженерных расчетах, связанных с анализом прочности конструкций.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы неоднократна докладывались на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Белорусской государственной политехнической академии; на городском семинаре по механике деформируемого твёрдого тела; на научном семинаре по функциональному анализу под руководством профессоров Я.В.Радыно, П.П.Забрей-ко и А.Б.Антоневича; в лаборатории дифференциальных уравнений АН Беларуси.
В целом диссертационная работа докладывалась в Белорусской государственной политехнической академии на научном семинаре по современным проблемам механики в технике.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения,
четырёх глав, заключения, списка литературы, включающего 105 наименований. Весь материал изложен на 136 страницах и содержит 4 рисунка.