Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные соотношения теории температурных напряжений в упругопластических телах 12
1.1. Кинематика упругопластической среды. Законы сохранения. 12
1.2. Определение напряженно-деформированного состояния упруго-пластического материала при тепловом воздействии 19
1.3. Выводы. 21
Глава 2. Температурные напряжения упруго-пластического материала в условиях сферической симметрии 23
2.1. Необратимое деформирование сплошного шара при быстром нагреве поверхности 23
2.2. Вычисление необратимых деформаций полого шара при нестационарном тепловом воздействии на внешней поверхности 36
2.3. Выводы. 48
Глава 3. Температурные напряжения упруго-пластического материала в условиях плоского напряженного состояния 49
3.1. Расчет напряженно-деформированного состояния упругопласти-ческого диска при температурном воздействии в центре 49
3.2. Пластическое течение бесконечной тонкой пластины, нагреваемой по круглому контуру 67
3.3. Учет пластических свойств материала в задаче горячей посадки колец 83
3.4. Расчет остаточных напряжений в прямоугольной упругопласти-ческой пластине, подверженной нестационарному температурному влиянию 91
3.5. Выводы 93
Глава 4. Температурные напряжения упруго-пластического материала в условиях цилиндрической симметрии в случае плоского деформированного состояния 96
4.1. Расчет температурных напряжений длинного полого цилиндра в рамках условия пластичности Треска 96
4.2. Расчет температурных напряжений длинного полого цилиндра в рамках условия пластичности Ишлинского-Ивлева 109
4.3. Численное решение для температурных напряжений длинного полого цилиндра при условии пластичности Мизеса. Сравнение результатов при различных условиях пластичности. 118
4.4. Расчет температурных напряжений в задаче горячей посадки длинных полых цилиндров 124
4.5. Выводы. 134
Заключение 136
Литература
- Определение напряженно-деформированного состояния упруго-пластического материала при тепловом воздействии
- Вычисление необратимых деформаций полого шара при нестационарном тепловом воздействии на внешней поверхности
- Пластическое течение бесконечной тонкой пластины, нагреваемой по круглому контуру
- Расчет температурных напряжений длинного полого цилиндра в рамках условия пластичности Ишлинского-Ивлева
Введение к работе
Актуальность темы исследования.
Температурные напряжения сопровождают большинство технологических операций обработки металлов давлением и изготовления изделий из них. В ряду таких операций следует выделить такие, где температурные напряжения задают существо процесса (сварка, высокотемпературная штамповка, сборка посадкой и др.). Насущная потребность инженерной практики по расчету подобных операций с необходимостью требует разработки соответствующих математических моделей и методов расчета в рамках этих моделей, которые способны были бы прогнозировать результаты таких операций. Поэтому в прошлом столетии сформировалось научное направление, называемое термопластичностью. Одним из основных разделов данного направления в механике оказалась теория температурных напряжений. Были выполнены блестящие работы как в основании теории, так и в ее развитии, предложены приемы интегрирования систем уравнений в частных производных для целого ряда модельных задач как в случае связанной теории, так и несвязанной (теории температурных напряжений). Дальнейшее развитие теории сдерживалось вычислительными возможностями математического аппарата. Такие возможности были предоставлены к концу столетия развитием вычислительной техники и методов вычислений. Именно с 90-х годов прошлого столетия интерес к решению задач термопластичности получил новый импульс, связанный с постоянной потребностью производственной практики в совершенствовании технологий и новыми вычислительными возможностями. И все же в тех случаях, когда процесс определяется существенными изменениями в температуре, разработанных комплексов программ, основанных на подходах метода конечных элементов и метода конечных разностей оказалось не достаточно как раз из-за существенной нестационарности тепловых полей. Тем более, что деформирование в условиях изменяющихся термомеханических воздействий несет в себе такие качественные особенности, связанные с возникновением и исчезновением областей пластического течения, движением упругопластических границ, которые в квазистационарных случаях не наблюдаются. Более того, при повышенных температурах предел текучести материала существенно снижается и потому данное обстоятельство необходимо учитывать. Следовательно, задача оценить качественные особенности эволюции температурных напряжений и формируемое таким способом поле остаточных напряжений оказывается актуальной задачей. Этой задаче посвящается настоящая работа.
Степень разработанности темы исследования. Как уже отмечалось, развитие теории термопластичности и теории температурных напряжений в частности диктуется настоятельными запросами технологической практики. Но в тоже время развитие данной теории задается логикой развития фундаментальной механики деформирования. Поэтому это направление механики всегда оставалось в центре внимания исследователей. Свои работы теории термопластичности посвятили выдающиеся механики прошлого столетия: А. А. Ильюшин, Ю. Н. Ра-
ботнов, Ю. Н. Шевченко, А. А. И. А. Биргер, Р. Хилл, В. Прагер, Д. Бленд, Г. Пар-кус и многие другие. Возможности используемого ими математического аппарата заставили остановиться только на решении простейших одномерных задач. И только открывшиеся в последнее время вычислительные возможности позволили исследовать ряд новых практических задач. В частности в числе таких задач оказались и задачи посадки цилиндрических деталей в условиях плоского напряженного состояния. Главным образом, методом расчетов оказались программные реализации, основанные на методе конечных элементов. При отказе от гипотезы плоского напряженного состояния, разработанный подход встречает трудности, связанные с необходимостью отслеживания моментов зарождения областей пластического течения и положения упругопластических границ и границ, разделяющих области пластического течения. Последние существенно зависят от выбора условия пластичности и характера зависимости предела текучести от температуры. До настоящего времени времени здесь больше вопросов, чем ответов. Отмеченное позволяет сформулировать цель и определить задачи предпринятого исследования.
Цель и задачи диссертационной работы:
Цель предпринимаемого диссертационного исследования заключается в развитии теории температурных напряжений в упругопластических телах путем постановки и решения ряда новых модельных задач теории и в обеспечении на такой основе расчетного прогнозирования изменений температурных напряжений в зависимости от особенностей эволюции областей пластического течения в условиях меняющихся термомеханических воздействий. Для обозначенной цели необходимо решить следующие задачи:
осуществить постановки ряда краевых задач теории температурных напряжений с учетом зависимости предела текучести от температуры: о нестационарном нагреве сплошного и полого шара, о локальном нагреве бесконечной и ограниченной круглой пластины, о сборке конструкции "кольцо в кольце"способом горячей посадки, о неравномерном нагреве полого цилиндра, о сборке двухслойной трубы способом горячей посадки, об остывании прямоугольной в плане пластины;
указать краевые условия на продвигающихся упругопластических границах как нагружающих, так и разгружающих; на продвигающихся границах в области пластического течения, разделяющих эту область на части, в которых течение подчинено разным системам уравнений в зависимости от принадлежности напряженных состояний различным участкам кусочно-линейных поверхностей нагружения;
разработать алгоритм расчетов неустановившихся температурных напряжений, способный отслеживать места и моменты времени возникновения границ, меняющих характер деформирования в областях тел и конструк-
ций, позволяющий прогнозировать распределения остаточных напряжений;
провести сравнение результатов расчетов, проведенных с использованием разных условий текучести (Условие Треска-Сан-Венана, Условие Ишлин-ского-Ивлева, Условие Губера-Мизеса);
Научная новизна. Научная новизна работы заключается в следующем:
впервые получены решения, включая точные, ряда краевых задач теории температурных напряжений в упругопластических телах с учетом существенной зависимости предела текучести от температуры;
указаны особенности формирования решений ряда модельных краевых задач, связанные с эволюцией обратимого деформирования и пластического течения в условиях неустановившихся температурных полей; при использовании кусочно-линейных условий пластичности продемонстрирована возможность разделения областей течения на части, в которых течение подчинено разным системам уравнений в зависимости от принадлежности напряжений различным граням или ребрам условий пластичности;
в решениях некоторых задач теории температурных напряжений в упру-гопластических телах обнаружен эффект возникновения повторного пластического течения, обусловленный существенной зависимостью предела текучести от температуры;
предложены алгоритмы расчетов полей температурных напряжений в упру-гопластических телах и сборках из них при нестационарных температурных воздействиях, предоставляющие возможность учесть появление, развитие и затухание различных областей пластического течения, включая прогнозирование итогового распределения остаточных напряжений.
показано, что в некоторых случаях классические решения, полученные при постоянном пределе текучести, не могут быть обобщены на случай зависимости предела текучести от температуры.
Теоретическая и практическая значимость. Ряд результатов диссертации носит фундаментальных характер и служит развитию теории температурных напряжений в упругопластических телах в части качественных выводов об эволюции областей пластического течения. Они могут предсказать ряд постановочных аспектов задач теории в других геометрически более сложных случаях. Результаты работы могут непосредственно использоваться в расчетном прогнозировании ряда технологических операций, одна из них, сборка конструкции способом горячей посадки, обсуждается в работе, другие (сварка, высокотемпературная штамповка порошковых материалов, локальная закалка конструкций и др.) моделироваться с использованием полученных результатов.
Положения, выносимые на защиту: На защиту выносится :
новые решения, включая точные, ряда краевых задач теории температурных напряжений в упругопластических телах;
разработанные алгоритмы расчетов, позволяющие отслеживать возникновение, развитие и исчезновение областей пластического течения, появляющиеся при выполнении разных условий пластичности;
результаты сравнения решений, различающихся выбором кусочно-линейных условий пластичности и (в отдельных случаях) их сравнение с решением, полученных в условиях выполнения гладкого условия пластичности Мизеса;
сопоставление результатов некоторых из полученных решений с результатами решений тех же задач при постоянном пределе текучести;
рекомендации, полученные в процессе решениям выбранного набора модельных краевых задач, к методике расчетного прогнозирования технологических операций, существо которых задается выраженной нестационарностью в тепловых процессах.
Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность результатов диссертации базируется на использовании классической математической модели упругопластического деформирования типа Прандтля-Рейса и корректном использовании соответствующего математического аппарата. Программы расчетов по предлагаемым алгоритмам основаны на выверенных процедурах вычисления и не содержат в себе недостаточно оттестированные модули. Неоднократные сравнения с известными решениями, полученными в условиях постоянства предела текучести и стационарности температурных полей, позволяют не сомневаться в правильности результатов расчетов.
Полученные в процессе работы над диссертацией результаты прошли апробацию на региональных, всероссийских и международных конференциях: Всероссийская конференция «Школа по фундаментальным основам моделирования обработки материалов» (Комсомольск-на-Амуре, 2010); Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2010, 2012); Международная конференция, посвященная 100-летию Л. А. Галина (Москва, 2012); IXВсероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи»(Самара, 2013); Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным системам (Алушта, 2013); Международная конференция, приуроченная к 75-летию академика В.А. Левина «Успехи механики сплошных сред» (Владивосток, 2014); XIВсероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 2015); IUTAM Symposium on Growing
solids (2015, Москва); World Congress on Engineering (2015, 2016, Лондон); IX Всероссийская конференция по механике деформируемого твердого тела (2016, Воронеж).
Кроме того, результаты работы докладывались на семинарах отдела механики деформируемого твердого тела Института автоматики и процессов управления ДВО РАН.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 28 печатных работах, из них 9 статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК [–] , 18 публикаций в сборниках трудов конференций [–, –], 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [].
Личный вклад автора. Все основные результаты, составившие диссертацию, получены автором лично. Соавторы научных публикаций А.А. Буренин и Е.В. Мурашкин участвовали в постановке задач и обсуждении результатов, а все вычисления проведены автором. Соавтором публикаций А.В. Ткачевой были проведены соответствующие расчеты в задачах, поставленных автором в условиях совместного обсуждения выбираемой методики расчетов и оценки их результатов. Большинство подобных результатов расчетов не включалось в основной текст диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа включает в себя введение, 4 главы основного текста, заключение и список литературы из 101 наименования. Работа изложена на 150 страницах, содержит 48 рисунков.
Определение напряженно-деформированного состояния упруго-пластического материала при тепловом воздействии
В правой части уравнения баланса энтропии (1.20) расположен источник, задающий производство энтропии за счет необратимого деформирования.
Так как термодинамический потенциал ф в условиях изотропии свойств среды должен сохранять свое значение при преобразовании координат, его зависимость через компоненты обратимых деформации задается при помощи набора инвариантных величин ф = ф(Іі,Т). Для построения простейшей теории достаточно положить ф квадратичной функцией [50]: параметры Ламе материала, – коэффициент линейного теплового расширения, 0 – начальная температура, – коэффициент теплопроводности , – коэффициент температуропроводности. Подставив (1.21), (1.22) в (1.19), получим:
Зависимости (1.23), устанавливающие связь между компонентами тензора напряжений, обратимых деформаций и температуры, называются соотношениями Дюамеля-Неймана [96] (аналог закона Гука для случая неизотермического деформирования). Для записи уравнения теплопроводности следует постулировать закон теплопроводности, например, в форме Фурье [97]: Когда происходит только обратимое деформирование (е9;- = 0), то совокупность соотношений (1.8) - (1.25) составляет замкнутую систему уравнений теории термоупругости (16 уравнений относительно 16 неизвестных Т, Щ ,(Tij,eij).
Определенный уровень возникающих в материале напряжений способен вызывать процессы необратимого деформирования. Принцип максимума Мизеса [21, 98] гласит, что при фиксированных параметрах pij для любого значения компонент скоростей пластических деформаций ё\- имеет место неравенство (J jSr-- (JijS1- где (Tij - действительные значения компонент тензора напряжений, соответствующие данному значению -, of- - компоненты возможного напряженного состояния, допускаемого данной функцией нагружения. Иными словами, из всех возможных процессов пластического деформирования осуществляется тот, в котором мощность диссипации механической энергии максимальна (производство энтропии максимально (1.20)). В таком случае поверхность f((Jij) = 0 (определенная комбинация значений сг ) оказывается пластическим потенциалом и следует ассоциированный закон пластического течения dpij = d—, d 0, (1.26) где dpij - приращение пластической деформации, d - величина, называемая неопределенным множителем. Значение d обязано быть положительным в области пластического течения [99].
В (1.26) учитывается, что поверхность f((Jij) является неизменной в пространстве напряжений, т.е. не зависит от истории деформирования и скорости деформирования. Данные условия задают пластическое течение, которое называется идеальным пластическим течением. Если поверхность нагружения имеет особую линию, образуемую пересечением поверхностей /l((7y) =0, (1.27) /2( 7у) = 0, то ассоциированный закон пластического течения следует записать в форме dPl] = d + & . (1.28) В простейшем случае в качестве поверхности нагружения можно принять одно из следующих условий пластичности: условие максимального приведенного напряжения (призма Треска): тах 7 - 7,-=2А;(Т); (1.29) условие максимального приведенного касательного напряжения (призма Ивлева-Ишлинского): может существенно зависеть от уровня температуры. 1.2. Определение напряженно-деформированного состояния упруго-пластического материала при тепловом воздействии
Используя соотношения (1.8) – (1.25), рассмотрим в общем виде задачу определения напряженно-деформированного состояния тел, подверженных влиянию температурного градиента.
Будем полагать, что материал деформируется в условиях медленного изменения внешних температурных условий. Скорости деформаций, возникающие при деформировании материала считаются малыми, что позволяет пренебречь функцией источника в уравнении теплопроводности (1.25) и записать его в более простой форме:
Решение уравнения (1.32) c необходимыми начальными и граничными условиями позволяет определять поле температур независимо от напряженно-деформированного состояния материала. Таким образом решение задачи находится в рамках теории температурных напряжений [96]. Следуя условию малости скоростей деформаций, в уравнении движения (1.13) будем пренебрегать инерционными слагаемыми. При отсутствии массовых сил из (1.13) получим уравнение равновесия , =0. (1.33) В качестве поверхности нагружения выберем условие пластичности Ми-зеса (1.31). Соотношения для приращений пластических деформаций (1.26) в таком случае примут вид: =(3 -) (1.34) Из (1.34) следует условие пластической несжимаемости материала =0. (1.35) Приращение пластической деформации представим в виде dpij=Pij—p iji (1.36) где р -- - пластические деформации, сформированные в предыдущий момент времени. Для упругих компонент тензора деформаций, согласно (1.8) е%] = dij - pij = - (uij + Ujj) - pij, (1.37) Полагая, что существует состояние материала в некоторый начальный момент времени, при котором р[- = 0, из (1.36), (1.35) получим dpij = pij, т.е. для пластических деформаций в следующий момент времени справедливо равенство Ра = 0, (1.38) откуда следует: da = ец = iiij. (1.39) Используя соотношения (1.37), (1.36), (1.34) для компонент обратимых деформаций можно записать ei:j = - {mj + ЩІ) - d (3 7y - akk6ij) - p i:j (1.40) Подставив (1.40) в выражения для напряжений (1.23) с учетом (1.39) получим Gl3 = (LuKk -т(Т- Т0)) 8ij + M(uhJ + ujti - 2p %j), (1.41) где L( %) = A + 4/i M( %) = m = а (ЗЛ + 2/i). Если полученные соотношения (1.40) подставить в уравнения равновесия (1.33), то придем к системе дифференциальных уравнений Иначе, при выполнении условия пластичности Мизеса (1.31) уравнения возможно переписать в перемещениях (1.42). Заметим, что при выводе (1.42) использовалось только условие пластической несжимаемости, следующее из критерия пластичности Мизеса. Но другие классические условия пластичности (Треска , Ишлинского-Ивлева) также приводят к условию пластической несжимаемости и, следовательно, в этих случаях имеется возможность записать уравнения равновесия в перемещениях. Данный факт будет далее существенно использоваться. Однако следует иметь ввиду, что при использовании кусочно-линейных условий пластичности уравнения равновесия будут принимать различные формы в зависимости от принадлежности напряженных состояний разным граням и рёбрам условий пластичности.
Выписана замкнутая система уравнений в частных производных, составляющая математическую модель теории температурных напряжений в изотропных упругопластических телах. Для зависимости предела текучести от температуры выбрана простейшая линейная зависимость; упругие модулю полагаются независящими от температуры. Показано, что уравнения равновесия (квазистатическое приближение) могут быть записаны в перемещениях, как в условиях обратимого деформирования, включая разгрузку, так и в условиях пластического течения. Данная модель ограничена случаем идеальной пластичности, то есть, пренебрегаем возможным упрочнением материалов при их необратимом деформировании, зависимостью уравнений состояния от истории деформирования, реологическими эффектами. Её отличие от пластической модели Прандтля-Рейса заключается только в учете температурных эффектов при существенной зависимости предела текучести от температуры.
Вычисление необратимых деформаций полого шара при нестационарном тепловом воздействии на внешней поверхности
Так как напряжения при равномерном остывании сохраняют свой уровень, процесс разгрузки материала происходит за счет увеличения величины предела текучести. На рис. 2.4, 2.5 изображены остаточные напряжения и радиальное перемещение при остывании шара до начальной температуры. Из рис. 2.5 следует, что процессы необратимого деформирования не влияют на размер сплошного шара при остывании до первоначальной температуры.
Вычисление необратимых деформаций полого шара при нестационарном тепловом воздействии на внешней поверхности
Особенностью расчета напряженно-деформированного состояния сплошного упруго-пластического шара является то, что законы движения упруго-пластических границ и значение накопленной необратимой деформации в каждой точке зависят только от величины предела текучести и температурного распределения (2.15), (2.17). Более сложной задачей определения параметров напряженно-деформированного состояния материала в условиях нестационарного теплового градиента является задача о нагреве полого шара, в которой законы движения упруго-пластических границ и пластическая деформация становятся связаны между собой. Рассмотрим полый упругопластический шар с внутренним и внешним радиусом 1 и 2. Пусть в некоторый момент времени = 0 температура увеличивается от начального значения = 0 до максимального = . При этом изменение температуры на внешней поверхности подчинено зависимости (2.1). Расчет температурного поля с аналогичными начальными и граничными условиями соответствует определению температуры в сплошном шаре (Рис. 2.1). На поверхностях задано условие свободного теплового расши рения: arr(Rut)=0, arr{R2,t). (2.31) С учетом с граничными условий (2.31) решения для напряжений, перемещений и деформаций будут соответствовать решениям, полученным для предыдущей задачи с точностью до новых функций времени. Кроме того, в интегралах, содержащих функцию теплового расширения A(r, t), необходимо изменить нижний предел интегрирования г = R\.
В результате температурного воздействия уровень температурных напряжений на внешней поверхности сферы достигает значений, при которых в некоторый момент времени t = tp выполняется условие пластичности (2.8) т.е. возникает область необратимого деформирования с упругопластической границей a{t). Выражение для радиальной пластической деформации в области (а г ) с учетом граничных условий (2.31) имеет вид: ргг = 2Д(М) - 4 A(pj)p2dp - 2 - Ш; (2.32) Г6 UJ г6 D(t) - одна из функций времени, определяемых из системы уравнений, задающих граничные условия и условия равенства радиальных напряжений и перемещений на упругопластической границе a(t). На стадии развития пластического течения в окрестности внутренней поверхности данные функции примут форму: A
С учетом найденных зависимостей, закон движения упругопластической границы для каждого момента времени (tp t tu) определяется численно из уравнения prr(a, t) = 0.
При уменьшении теплового градиента в некоторый момент времени t = tu на внешней поверхности происходит падение скоростей пластических деформаций до нуля (2.16), что означает начало процесса разгрузки материала. При t tu существует область пластического течения (a(t) г b(t)) и область разгрузки (b(t) г RQ), в которой имеется накопленная необратимая деформация р гг. Функция D(t) (2.33) содержит в своей записи интегралы по области разгрузки, что означает изменение ее вида при t tu. Отсюда следует, что закон движения упругопластической границы a(t) и функция пластической деформации (2.32) также меняют свой вид.
Из решения системы линейных уравнений, определяющих граничные условия и условия непрерывности радиальных напряжений и перемещений на упру-гопластических границах a(t), b(t) для функции D(t) получим:
Пластическое течение бесконечной тонкой пластины, нагреваемой по круглому контуру
Таким образом, материал находится в состоянии полной пластичности. Из ассоциированного закона пластического течения следует, что при выполнении условия (3.7) для пластических деформаций справедливы зависимости: Prr+Pipip+Pzz = 0, Ргг = P(fi(f При одинаковых значениях напряжений в области пластичности одинаковыми становятся компоненты термоупругих деформаций еГг, є-ірір. Тогда решение для перемещения в области пластического течения примет вид: игг = —) и = Сг. (3.8) г Пластические деформации определим по найденному полю перемещений (3.8): к prr=Pw = C-A(r) + -, oh (3.9) pzz = -1С + 2A(r) - —.
По мере увеличения значения Ak граница области пластического течения а отделяется от границы области температурного воздействия RT и движется в сторону края диска. В области обратимого деформирования (а г R) напряженно-деформированное состояние материала определяется ранее найденными соотношениями (3.5) с точностью до новых констант Л, В:
Далее рассмотрим решение представленной задачи в том случае, когда предел текучести линейно зависит от температуры (). Очевидно, что в области (0 T) предел текучести остается постоянной по радиусу величиной. Следовательно, представленные ранее решения остаются справедливыми в данной области. Однако при движении упругопластической границы а RT появляется зона течения (RT Г а), в которой предел текучести изменяется по радиусу. Для условия пластичности Треска (3.7) из уравнения равновесия следует: тГГ;Г = 0. При этом для радиальной компоненты напряжений выполняется равенство (тгг = -2к(г). Последние два соотношения противоречат друг другу. Следовательно, задача не имеет решения в области (RT Г а), в рамках условия пластичности Треска.
Условие пластичности Ишлинского-Ивлева при зависимости предела текучести от температуры преобразуется к виду: (Угг + cw = -4fc(r) (3.12) Проинтегрировав уравнение равновесия (3.3) с учетом условия (3.12), получим функции напряжений в области пластического течения (0 г а): Г
Примем для константы интегрирования = 0 для того, чтобы в центре диска выполнялось условие (0) = 0. Остальные константы, входящие в соотношения (3.18), (3.14), получим из условий непрерывности радиальных напряжений и перемещений на упругопластической границе и условия отсутствия радиального напряжения на краю диска:
При высоких значениях параметра Д& на краю диска становится возможным появление еще одной области пластического течения. Данное обстоятель ство связано с постепенным ростом величины окружного напряжения 7W по мере увеличения температурного градиента. Условие пластичности Ишлинского-Ивлева в данной области приобретает форму
Соотношения для напряжений и перемещений в области пластического течения (0 г а) и области обратимого деформирования (а г Ъ) определяются ранее найденными зависимостями (3.5), (3.6), (3.18), (3.14) с точностью до новых констант интегрирования А, , С, которые вместе с константами Е, F (3.18), (3.20) находятся из условий непрерывности радиальных напряжений и перемещений на упругопластических границах а, Ъ и граничного условия (
В соотношениях (3.22) остаются неизвестными упругопластические границы , , положение которых можно определить из системы уравнений, описы вающих условия lfilfi() = 0 (3.14) , w() = 0 (3.21): при котором происходит одновременное (при определенном значении Ak = Aq) выполнение условий пластичности в центре и на краю диска. Для этого воспользуемся соотношениями для напряжений в случае термоупругого равновесия (3.5). Согласно условиям пластичности (3.12), (3.17), для напряжений должны быть справедливы равенства W{T) = -2о(1 - Aq) и 2lfilfi() = 2$. Преобразуя данную систему уравнений, получим: 2 2 + 22 ()) Численное решение системы (3.24) дает значения параметров и Aq. Уровень температуры нагрева, соответствующий значению Aq является минимальным, при котором невозможно одновременное существование двух областей необратимого деформирования. При RT/R q пластическое течение сначала возникает в центре диска, а при RT/R q - на краю. Для случая RT/R q можно получить решение упруго-пластической задачи, используя условие пластичности Треска в форме 7W — (тгг = 2к(г). Алгоритм решение данной задачи [94] во многом соответствует ранее полученному для сплошной сферы.
Далее рассмотрим процесс формирования остаточных напряжений и деформаций в результате остывания диска. Процесс остывания может быть задан медленным уменьшением теплового воздействия от максимального k = к до нулевого значения k = 0. В стационарном случае (простое нагружение) пластические области (0 г а), (Ь г R) при остановке температурного роста переходят в состояние нейтрального нагружения, при котором перестают изменяться границы течения и уровень пластических деформаций, а значения напряжений удовлетворяют условиям пластичности. При уменьшении величины k области пластического течения переходят в области термоупругого деформирования с накопленными остаточными деформациями, т.е. происходит разгрузка материала. Границы областей с накопленными деформациями а = а/, Ъ = Ъ определяются из соотношений (3.23) при подстановке k = к. Штрих обозначает зафиксированные в некоторый момент времени (либо при некоторой заданной температуре в стационарном случае) величины, например, (г), к (г) - функции теплового расширения и предела текучести, зафиксированные при максимальном тепловом воздействии к.
Расчет температурных напряжений длинного полого цилиндра в рамках условия пластичности Ишлинского-Ивлева
Рассмотрим задачу от температурных напряжениях в сборке из двух колец малой толщины, изготовленных из одного и того же упругопластического материала. В начальный момент времени = 0 внутреннее кольцо, имеющее внутренний и внешний радиусы o и і, находится при начальной температуре = \. Внешнее кольцо, разогретое до температуры 2 имеет внутренний и внешний радиусы \ и 2 соответственно. Начальные перемещения в материале колец полагаем нулевыми. Внутреннее холодное кольцо вставляется в разогретое внешнее. В результате процесса теплопроводности при контакте материалов возникают напряжения обеспечивающие натяг в соединенных таким способом деталях. Для определения напряженно-деформированного состояния колец после момента посадки необходимо рассчитать поле температур, возникающее при теплообмене. Для этого воспользуемся численным решением уравнения теплопроводности = (г + rr) с начальными и граничными условиями:
На рис. 3.22 показано поле температур в процессе теплопроводности при Q/\ = 0.5, 2/1 = 1.5. Отметим, что при численном решении уравнения теплопроводности с граничными и начальными условиями (3.64) автоматически выполняются условия идеального теплового контакта между кольцами -равенство температур и тепловых потоков при на поверхности =
Соотношение (3.65) задает нулевые деформации и перемещения в обоих кольцах в момент посадки = 0. В качестве граничных условий будем использовать условия равенства радиальных напряжений и перемещений в зоне контакта = 1 и равенство нулю радиальных напряжений на внешних поверхностях 0 и2:
Отметим, что интеграл в записи для обоих колец имеет нижний предел интегрирования 0. Выбор данного предела интегрирования для внешнего кольца обусловлен более простым видом соотношений для функций времени, которые находятся из граничных условий задачи.
Анализ термоупругого состояния колец показывает, что после момента посадки уровень окружных напряжений резко возрастает до максимального абсолютного значения в зоне контакта внутреннего и внешнего кольца. Это следует из решения уравнения теплопроводности, в котором на контактной поверхности в следующий момент времени после посадки происходит скачек уровня температур. При постепенном выравнивании температурного поля, уровень окружных напряжений во внутреннем кольце в окрестности поверхности контакта уменьшается. В зоне контакта внешнего кольца величина окружного напряжения (противоположная по знаку) постепенно увеличивается. При этом значение радиальных напряжений в зоне контакта постепенно изменяется от нулевого значения до некоторой отрицательной величины Таким образом, в том случае если максимальная величина окружного напряжения в момент посадки не достаточна велика, то пластическое течение в области контакта внутреннего кольца не развивается. Пластическое течение в области контакта во внешнем кольце может развиться по мере выравнивания температурного поля. Величину максимального окружного напряжения в первые моменты времени после посадки можно определить соотношением (в силу того, весь материал колец кроме зоны контакта имеет начальное тепловое расширение, интегралы в соотношениях (3.67) равны нулю) (ІМ) = -7Д(Д1 ) (3.68)
Возможность возникновения пластического течения на внешней поверхности внутреннего кольца определяется начальной разницей между температурами и зависимостью предела текучести от температуры.
Пусть начальный уровень теплового градиента является достаточным зарождения процессов необратимого деформирования в материале колец. Тогда начиная с некоторого момента времени t = tp близкого к моменту посадки t = 0 в зоне контакта внешнего кольца появляется область пластического течения (R1 г (22(0), где a2{t) - упругопластическая граница. Распределения напряжений в области течения удовлетворяют условию пластичности Треска в форме: a(2) -a( 2) = -2k(r,t). (3.69) Условие (3.69) позоляет проинтегрировать уравнение равновесия и найти зависимости для напряжений в области (R1 г a,2(t)): (Т = (2) = 2 Р г (3.70) aw = Md,+C2(t) + 2feM). Д Р Для определения перемещений в области пластического течения внешнего кольца воспользуемся условием пластической несжимаемости материала: (2) (2) (2) (2) (3.71) +, = +. Подставив в уравнение (3.71) упругие деформации (3.2), выраженные через найденные напряжения (3.70), и, проинтегрировав полученный результат, найдем радиальное напряжение в пластической области внешнего кольца: (2) г Д A(p,t)pdp + г UJ Ri k(p,t), C2{t)r D2{t) p 2cu r а/9 H 1 . (3.72) Выражение для ненулевых компонент пластических деформаций согласно (3.72),(3.3), примут вид: V If (2) J2) = A(r,t) + 2k(r,t) 7 Д A(p,t)pdp D2{t) (3.73) Неизвестные функции времени определяются из системы линейных уравнений, задающих граничные условия на свободных поверхностях, а также непрерывность радиальных напряжений и перемещений на упругопластической границе и поверхности контакта: D2 = 2m A(p,t)pdp m 2Щ і A(p, ФФ #2 Ai ( йі Д A(p,t)pdp + щ Д a2 д 1 «2 a2 k(p,t) P A(p,t)pdp Д 7 Ді 2 2 2 2 „2 T)2 T)2 T)2 (щщщ - а22(щ(щ + Щ) - ЩЩ)) lD2{t) 7 A(p,t)pdp, Вх Ді А2 = В2 + д 2 д О R2 R2 - 2Й, С2=7 Яі R D2(t), (3.74) Д Последней величиной, необходимой для полного определения напряженно-деформированного состояния материала при пластическом течении, является упругопластическая граница a2(t), положение которой для заданного момента времени находится при помощи численного решения уравнения, задающего отсутствие пластической деформации (3.73) на упругопластической границе : ?)(2,) =0.
Отметим особенность развития температурных напряжений в кольцах, выполненных из одинакового материала. Выравнивание температурного поля приводит к некоторому итоговому распределению напряжению, которое не меняется в случае равномерного остывания материала сборки до начальной температуры. Таким образом, напряжения, вычисленные при отсутствии нулевого градиента (рис. 3.23), можно считать остаточными в том случае, если при дальнейшем уменьшении температуры сохраняется отсутствие теплового градиента. Из рис. 3.23 так же следует, что после выравнивания температурного поля равномерное увеличение уровня температуры в кольцах может привести к развитию пластического течения на свободной поверхности внутреннего кольца (за счет уменьшения значения предела текучести).