Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. Результаты фундаментальных исследований в области динамики кусочно-однородных лпнейно-вязкоупругпх сред играют большую роль при проектировании сложных технических сооружений и находят широкое применение в геофизике, сейсмологии, дефектоскопии.
Одним из важных направлений исследований в области динамики кусочно-однородных упругих п вязкоупругих тел, наряду с разработкой новых моделей, численными методами и экспериментами, является развитие аналитических методов и расширение множества аналитически решенных нестационарных краевых задач. Математическая сложность данной проблемы является главной причиной того, что, несмотря на известные к настоящему времени публикации на эту тему, многие важные задачи остаются до спх пор не исследованы пли же исследованы не полностью. К ним относятся нестационарные задачи для лпнейно-вязкоупругпх многослойных тел с произвольным количеством плоскопараллельных, цилиндрических пли сферических границ раздела слоев, рассматриваемые во всем диапазоне изменения времени при вязкости, которую нельзя считать малой, п в отсутствии предположений о наличии зависимости между наследственными свойствами материала разных слоев. Вызывают также большой интерес вопросы, связанные с получением аналитических решений неодномерных нестационарных задач для упругих многослойных тел с неплоскопараллель-ными границами раздела слоев, в частности, слоистых цилиндров.
Таким образом, аналитические исследования нестационарных краевых задач рассматриваемого класса и связанные с этим математические проблемы представляются весьма актуальными.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Работа проведена с целью построения новых аналитических решеніш линейных нестационарных дпнамігіескпх задач для упругих и лпнейно-вязкоупругпх кусочно-однородных (слоистых) тел с произвольным числом границ раздела. Эти решения должны быть справедливы во всем диапазоне изменения времени при вязкости, которая не является малой, и при отсутствии зависимости между наследственными ядрами составляющих тела слоев.
Для этого в диссертации используется метод интегрального преобразования Лапласа по времени с последующим обращением транс-
формант в пространство орпгпналов. Чтобы осуществить и строго обосновать методику обращения, в диссертации формулируется и доказывается теорема п два утверждения, касающиеся общих свойств решений рассматриваемых нестационарных краевых задач в пространстве трансформант. Это дает возможность эффективно применить известные приемы контурного интегрирования п теорию вычетов.
С помощью построенных аналитических решений исследуются нестационарные волновые процессы в кусочно-однородных упругих и лпнейно-вязкоупругих телах с конкретными геометрическими II фнзпко-механпческими параметрами.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Сформулирована и доказана теорема, определяющая достаточные условия того, чтобы решение трансформированной с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени нестационарной краевой задачи динамики кусочно-однородного линейно-вязкоупругого тела не имело точек ветвления на всей комплексной плоскости.
Сформулированы и доказаны два утверждения, касающиеся асимптотических свойств решения указанной трансформированной задачи в окрестностях точек накопления особенностей. Теорема и оба утверждения позволяют строго обосновать представление оригинала в виде ряда по вычетам, что выражает собой новый подход к решению нестационарных задач исследуемого класса, заключающийся в сведении их к более простым задачам о собственных колебаниях.
С помощью интегрального преобразования Лапласа по времени и на основании установленных в диссертации свойств трансформант получены ранее неизвестные аналитические решения ряда нестационарных задач для кусочно-однородных упругих и лпнейно-вязкоупругих тел.
Указан естественный способ ускорения сходимости рядов, которые представляют собой решения рассматриваемых задач.
На основе построенного аналитического решения нестационарной задачи для упругого цилиндра с произвольным числом слоев разработан способ исследования переходных процессов в упругом цилиндре с радиальной неоднородностью произвольного вида.
Построенные решения реализованы на ЭВМ и исследованы нестационарные процессы в ряде конкретных цилиндрических конструкций.
ДОСТОВЕРНОСТЬ ОСНОВНЫХ НАУЧНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ обеспечивается выбором известной модели, адекватно отражающей волновые процессы в
- :J -
наследственно-упругих кусочно-однородных средах при малых деформациях, строгим математическим обоснованием всех этапов проводимых исследований п сопоставлением с. результатами других авторов.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ работы заключается в том, что исследованные теоретические вопросы позволяют применить эффективный способ построения аналитических решении целого ряда практически важных динамических задач для кусочно-однородных линейно-вязкоупругих тел и с их помощью проследить переходные процессы в элементах конструкций, широко распространенных в современной технике. Полученные аналитические решения создают основу для исследования задач оптимизации слоистых конструкций, а также могут быть использованы в сейсмологии и геофизике.
Результаты диссертации могут играть важную роль при тестировании алгоритмов, создающихся на базе того или иного численного метода решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела. Именно такое применение нашли некоторые из полученных результатов [7, 10].
Построенные аналитические решения можно использовать в качестве составной части вычислительных процедур, предназначенных для динамических расчетов сложных технических объектов (подобного рода пример содержится в [9]).
Представленные в диссертации исследования выполнялись в соответствии с тематическим планом Государственного Института физико-технических проблем, а также в соответствии с планом совместных работ ГосИФТП и Института машиноведения РАН в рамках Государственной научно-технической программы "Безопасность населения и народнохозяйственных объектов с учетом риска возникновения природных и техногенных катастроф".
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные научные результаты диссертации доложены на 11-й Международной зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 1997 г.); на семинарах Государственного института физико-технических проблем; на семинарах кафедры теории упругости, кафедры газовой и волновой динамики и кафедры композитов Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова; на семинарах Московского автомеханического института, Института проблем механики РАН и Института прикладной механики РАН.
ПУБЛИКАЦИИ. Результаты диссертации опубликованы в 17 работах,
список которых приводится в конце автореферата.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Она содержит 200 страниц, включая 30 рисунков п 19 стр. списка литературы со 197 наименованиями.
На защиту выносится:
-
Формулировка и доказательство теоремы, определяющей достаточные условия отсутствия на всей комплексной плоскости точек ветвления решения трансформированной с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени нестационарной краевой задачи динамики кусочно-однородного лннейно-вязкоупругого тела.
-
Формулировка и доказательство двух утверждений, касающихся асимптотических свойств решения указанной трансформированной задачи в окрестностях точек накопления особенностей. Строгое обоснование представления решения исходной нестационарной задачи в оригиналах в виде ряда по вычетам.
-
Предложение естественного способа ускорения сходимости рядов, представляющих собой решения задач рассматриваемого класса в оригиналах.
-
Построение с помощью интегрального преобразования Лапласа по временп ранее неизвестных аналитических решений ряда задач нестационарной динамики кусочно-однородных упругих и линейно-вязкоупругпх тел.
-
Разработка способа исследования переходных процессов в упругом цилиндре с радиальной неоднородностью произвольного вида на основе построенного аналитического решения нестационарной задачи для упругого цилиндра с произвольным числом слоев.
G. Исследованпе с помощью численной реализации построенных аналитических решений нестационарных процессов в ряде цилиндрических конструкцій! с конкретными геометрическими и физико-механическими параметрами.