Содержание к диссертации
Введение
1. Состояние вопроса. Формулировка задачи 11
1.1. Обзор исследований, посвященных постановке и методам решения задач теории упругости и ползучести неоднородных тел. Методика решения задач ползучести 11
1.2. Обзор областей применения и известных решений задач термоупругости для неоднородных полимерных цилиндров 17
1.3. Применение численных методов к решению задач механики деформируемого твердого тела 23
1.4. Цели и задачи исследования. Формулировка задачи термоупругости неоднородных тел в цилиндрических координатах. Основные соотношения механики упругорелаксирующей среды 32
2. Одномерные плоские задачи термовязкоупругости для неоднородных полимерных тел 39
2.1. Вывод разрешающих уравнений. Граничные и начальные условия 40
2.2. Равнонапряженный цилиндр. Обратная задача для радиально неоднородного цилиндра 45
2.3. Алгоритм расчета 49
2.4. Плоское напряженное состояние многослойного неоднородного полимерного цилиндра 51
2.5. Плоское деформированное состояние многослойного неоднородного полимерного цилиндра 53
2.6. Решение с использованием метода конечных элементов 66
2.7. Выводы по главе 2 71
3. Центрально-симметричная задача теории упругости в сферических координатах 74
3.1. Вывод разрешающих уравнений 74
3.2. Ползучесть соляного массива со сферической полостью 77
3.3. Напряженное состояние многослойного неоднородного полимерного сферического тела 82
3.4. Выводы по главе 3 86
4. Прогнозирование прочности адгезионных соединений при осевом растяжении 87
4.1. Ползучесть адгезионных соединений 87
4.2. Тонкостенная трубка 97
4.3. Выводы по главе 4 99
5. Осесимметричная задача термовязкоупругости для полого полимерного цилиндра с учётом двумерной неоднородности материала 100
5.1. Постановка краевой задачи термоползучести для двумерного неоднородного цилиндра 100
5.2. Конечно-разностная аппроксимация краевой задачи термоползучести 104
5.3. Методика решения разностных уравнений. Использование решения упругой задачи 112
5.4. Решение модельных задач 115
5.5. Решение задачи теплопроводности вариационно-разностным методом 119
5.6. Тестовая задача расчета теплового экрана 122
5.7. Релаксационный процесс в полимерном цилиндре, находящимся под воздействием переменного температурного поля 127
5.8. Выводы по главе 5 141
Выводы по диссертационной работе 142
- Обзор областей применения и известных решений задач термоупругости для неоднородных полимерных цилиндров
- Равнонапряженный цилиндр. Обратная задача для радиально неоднородного цилиндра
- Ползучесть соляного массива со сферической полостью
- Тонкостенная трубка
Введение к работе
Актуальность проблемы. При длительном действии постоянной нагрузки во многих материалах (металлы при высоких температурах, полимеры, по-лимербетоны, бетоны) наблюдается развитие деформаций во времени (явление ползучести). Для надежного проектирования элементов конструкций с учетом реальных свойств материалов и оценки сроков их безопасной эксплуатации необходимо совершенствовать существующие методы расчета, а также разрабатывать новые методы исследования напряженно-деформированного состояния конструкций и сооружений с учетом ползучести материалов.
Одной из характерных особенностей материалов, обладающих свойством ползучести, является их неоднородность как естественная, так и технологическая, появляющаяся в процессе изготовления, обработки и эксплуатации отдельных узлов. В диссертации рассматривается один из видов неоднородности -непрерывная, при которой механические характеристики материала (как упругие, так и релаксационные) являются непрерывными функциями координат. Неоднородность указанного вида возникает в процессе сооружения конструкций (затвердение бетона, цементирование, полимеризация), при облучении радиационными потоками, при наличии температурного поля.
Исследованию влияния упругой неоднородности на н.д.с. полых цилиндров посвящены работы многих российских и зарубежных авторов. Имеется весьма незначительное количество работ, в которых сделана оценка влияния неоднородности, обусловленной температурным или радиационным полем, на напряженное состояние цилиндров, деформирующихся во времени.
В связи с вышесказанным представляется актуальной проблема расчета непрерывно неоднородных цилиндров, находящихся под длительным воздействием температурных полей и статических нагрузок, как в одномерной (плоская осесимметричная задача), так и в двумерных постановках (осесимметричная задача в цилиндрических координатах).
Таким образом, диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию поведения неоднородных многослойных цилиндров и сфер при высокоэластических деформациях.
Цель диссертационной работы заключается в теоретическом исследовании влияния одномерной и двумерной неоднородности материала на напряженно-деформированное состояние полых цилиндров и сфер, находящихся под длительным воздействием температурных полей и статических нагрузок, а также решении прикладных задач, имеющих важное практическое значение.
Научная новизна работы заключается в следующем:
- разработка методики решения задачи термовязкоупругости для многослойного цилиндрического тела в плоской осесимметричной постановке с учетом непрерывной неоднородности и термовязкоупругости каждого слоя;
разработка методики решения задач термовязкоупругости для многослойного сферического тела в плоской центрально-симметричной постановке с учетом непрерывной неоднородности и термовязкоупругости каждого слоя;
разработка на базе применения вариационно-разностного метода методики решения осесимметричной задачи термовязкоупругости с учетом двумерной неоднородности материала при произвольных граничных условиях на торцовых и образующих поверхностях;
разработка и реализация в пакете программ на ЭВМ методики расчета двумерно неоднородных полимерных цилиндров в условиях термовязкоупругости.
Достоверность полученных результатов обеспечивается:
сравнением результатов при решении задач для однородного материала с известными аналитическими решениями и экспериментальными данными.
сравнением результатов для неоднородного материала, полученных различными численными методами (МКР, МКЭ, ВРМ).
проверкой выполнения всех граничных условий, дифференциальных и интегральных соотношений;
Практическая ценность работы. Решена практически важная технологическая задача для неоднородного полимерного цилиндра, находящегося в стадии охлаждения с учетом деформаций ползучести. Проведен анализ влияния на напряженно-деформированное состояние различных физических факторов, в том числе нелинейного деформирования материала. Решена практически важная задача расчета клеевого соединения, с учетом высокоэластической деформации в соединении двух цилиндрических тел.
На защиту выносятся алгоритмы, методики и результаты, представляющие научную новизну.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены на выступлениях:
III Международная научно-практическая конференция (Нальчик, 2007);
IV Международная научно-практическая конференция (Нальчик, 2008);
V Международная научно-практическая конференция (Нальчик, 2009);
«Строительство-2007» - Международная научно-практическая конференция (Ростовский государственный строительный университет). Публикации. Основные содержания диссертации опубликовано в двух
монографиях, десяти статьях и материалах конференции; из них четыре - в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы, 3 приложений, изложена на 200 страницах машинописного текста, содержит 37 рисунков, 7 таблиц.
Обзор областей применения и известных решений задач термоупругости для неоднородных полимерных цилиндров
Исследование напряженно-деформированного состояния неоднородных цилиндрических тел, находящихся под действием различных статических нагрузок и температурных воздействий, продолжает оставаться одной из актуальных задач строительной механики. Это объясняется тем, что цилиндрические элементы конструкций широко распространены в таких важных для народного хозяйства областях техники, как машиностроение, авиация, ракетная техника и космонавтика, энергетическое строительство и др. В монографиях, в которых приведены расчеты конструкций, применяющихся в перечисленных областях техники, большое внимание уделяется рассмотрению цилиндрических тел. В работах [22, 42, 125] приводятся основные конструктивные схемы, методы расчета и результаты решения некоторых задач строительной механики применительно к конструкциям ракетных двигателей. Большое внимание уделяется определению температурных напряжений в конструкциях ракетных двигателей, а также учету влияния неоднородности материала на напряженно-деформированное состояние. В работе [125] изложены решения, полученные как по теории тонких оболочек, так и с позиций классической теории упругости. Отмечается важность определения деформированного состояния конструкций, в том числе и с учетом развития пластических деформаций, так как данный фактор оказывает решающее влияние на работоспособность подобных конструкций. В монографии [22] приведено большое количество справочного материала о физико-механических характеристиках конструкционных материалов, применяющихся в ракетостроении и других областях техники, о влиянии на них температурных воздействий, а также методики расчета твердотопливных ракетных двигателей со скрепленными зарядами. Дано решение задачи термоупругости в напряжениях для неоднородного полого цилиндра в плоской осесимметричной постановке методом возмущений и коллокаций. Решение аналогичных задач применительно к расчету ракетных двигателей методами малого параметра и сопряжения, использующими функцию комплексного переменного, приведено в работах [42, 87].
Определение термоупругих напряжений с учетом неоднородности материала в конструкциях ракетных двигателей и космических аппаратов аналитическими и численными методами изложено в работах [30, 32]. В [32] к расчету осесимметричных тел вращения применен МКЭ в форме метода перемещений. Показано, что в случае несимметричной нагрузки последняя представляется в виде ряда Фурье по азимутальной координате, и решение исходной задачи сводится к решению ряда осесимметричных задач. Подобный прием широко используют и другие авторы при расчете осесимметричных тел вращения на несимметричную нагрузку [109]. В настоящее время существует большое количество работ, в которых приводят конструкции и расчет объектов ядерной энергетики. В монографиях [42, 52] дан обширный справочный материал о конструкциях современных АЭС с реакторами корпусного и канального типов, физико-механических свойствах материалов, применяемых в реакторостроении и строительных конструкциях АЭС,.а также о методах расчета данных конструкций. В рабо- тах [42, 52] приведены данные о защитных конструкциях современных АЭС, ядерных реакторах из предварительно напряженного железобетона и других конструкциях, имеющих цилиндрическую форму и находящихся под воздействием ионизирующего излучения и температурного поля, многочисленные экспериментальные данные о влиянии указанных воздействий на физико-механические характеристики строительных материалов. В [42, 52] изложены методы расчета реакторных и защитных конструкций АЭС на действие силовых нагрузок и температурных полей. При этом показано, что необходим учет температурой неоднородности материала, так как данный фактор отвечает реальным условиям работы и влияет на напряженно-деформированное состояние данных конструкций. Расчет, проектирование и исследование работы цилиндрических корпусов ядерных реакторов и аккумуляторов тепла АЭС рассмотрен в [14]. Данный обзор областей применения термонагружен-ных неоднородных цилиндрических конструкций нельзя считать исчерпывающим, однако, учитывая важность данных областей техники, их все более широкое распространение и стоимость подобных конструкций и сооружений, можно сделать вывод, что данная задача представляет важный теоретический и практический интерес. Исследование температурных полей и термоупругих напряжений традиционно занимает важное место, как в классической теории упругости, так и в теории упругости неоднородных тел. Данный вопрос рассматривается в монографиях [22, 26, 27, 65, 73, 94]. Существенное внимание уделяется этой проблеме и в большом количестве работ по механике деформируемого твердого тела, например, [45, 66, 79, 87, 67]. В трудах [26, 27, 65] сформулированы основные задачи однородной теплопроводности и термоупругости и приведены решения некоторых задач методами классической теории упругости. В [65, 79, 94] сформулированы задачи термоупругости неоднородных тел и приводятся результаты многочисленных расчетов. Необходимо отметить, что практически во всех перечисленных выше работах содержится постановка решения задач термоупругости и теплопроводности в цилиндрических координатах. Это говорит о важности исследования напряженно-деформированного состояния цилиндрических тел. Кроме того, известны работы [59, 66, 87], в которых рассматривается только данный вопрос, поставлены и решаются задачи теплопроводности и термоупругости для однородных и неоднородных цилиндрических тел.
Монографию [67] необходимо выделить особо, так как в ней подробно изложены всевозможные постановки и методы решения задач классической теории упругости, приведены вариационные принципы статических и динамических задач, отражены также многие другие вопросы. Данную работу, наряду с [66], можно рассматривать как энциклопедию по расчетам цилиндрических тел. Основные результаты, приведенные в перечисленных выше монографиях, а также полученные в ряде других работ, удобно рассматривать в следующей последовательности: одномерные плоские задачи; пространственные задачи с произвольной неоднородностью. Одномерные задачи возникают при рассмотрении плоской осесиммет-ричной деформации или плоского напряженного состояния. В этом случае задача сводится к решению линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами относительно радиального напряжения либо перемещения [14, 22, 30, 31, 42, 65, 79, 87]. Решение разрешающих уравнений может быть получено аналитически при задании зависимости изменения модуля Юнга от радиуса цилиндра по степенному закону, либо в аналогичной упрощенной форме. В большом количестве работ применены различные приемы, сводящие решение для неоднородного цилиндра к вспомогательной задаче для однородного тела. Так, в [79] применяется метод возмущений; в [40, 42, 92] задача для непрерывно неоднородного цилиндра заменена задачей для кусочно- однородного тела, модули упругости каждого слоя при этом определены так, чтобы полученная ступенчатая функция наиболее полно отражала исходную непрерывную зависимость. При сложном виде закона изменения упругих параметров материала разрешающее уравнение не имеет решения в квадратурах. В этом случае в ряде работ применены численные методы, как правило, МКР [14, 31, 42]. Рассматривая решения одномерных задач, необходимо отметить, что, как показано в работе [13], следует различать плоское деформированное и наряженное состояние неоднородных цилиндров, находящихся под действием температурных нагрузок, так как в отличие от классической теории упругости не только деформированное, но и напряженное состояния могут существенно различаться.
Равнонапряженный цилиндр. Обратная задача для радиально неоднородного цилиндра
В решении неоднородных тел существуют обратные методы, в которых определяют такие функциональные зависимости физико-механических характеристик от координат, при которых напряженно-деформированное со- стояние тел или совпадает с аналогичным состоянием в однородном теле, или позволяет относительно просто получить решение задач. Рассмотрим обратный метод, в котором определим такую зависимость модуля упругости от радиуса, при которой напряженное состояние цилиндра равняется заданному напряженному состоянию [136]. Для этого рассмотрим задачу о плоском деформированном состоянии цилиндра. В основе метода лежат многочисленные расчеты неоднородных тел, в которых показано, что если в некоторой области тела модуль упругости меньше, чем в однородном материале, то и напряжения в этой области также уменьшаются, и наоборот. Поставим задачу отыскания такой зависимости Е(г), при которой напряжённое состояние будет заданным. При этом могут быть поставлены две задачи, зависящие от выбранной теории прочности для данного материала: 1. В случае справедливости первой теории прочности (максимальных нормальных напряжений), и при изменении модуля, упругости предел прочности материала не меняется, то кольцо будет равнопрочным при условии ттах = ад = const. Если предел прочности так же является функцией от радиуса, то кольцо можно назвать равнонапряженным. 2. В случае справедливости третьей теории прочности (максимальных касательных напряжений), то функцию Е(г) можно определить из условия Необходимо отметить, что в данном параграфе не рассматривается методика получения неоднородных тел, а определяется такая зависимость (г), при которой распределение напряжений соответствуют поставленной задаче.
Однако поскольку решение обратной задачи для вязкоупругого материала достаточно сложно (нелинейность), ограничимся решенртем обратной упругой задачи, полагая при этом дополнительно v = const. Решение задачи при условии ттах = ув = const Разрешающее уравнение рассматриваемой задачи имеет вид: где для плоского деформированного состояния — к = ——, а для плоского напряженного состояния - к = 1 — v. Подставив в уравнение равновесия (2.1) ае = т0 = const, получим Проинтегрировав (2.19), получим функцию При этом ег0 пока неизвестная величина. Считая, что к внутренней и внешней поверхностям цилиндра приложены соответственно давления Ра и Рь, найдем константы А и т0 из граничных условий: Подставив (2.21) в (2.19), получим уравнение для определения функции Я (г). Проинтегрировав последнее (с учетом, что при г = а, Е = Е0), найдем искомую зависимость: На рис 2.1 показана соответствующая кривая Я (г), вычисленная при: v = 0,3; Ь/а = 2;Ра = 10 МПа; Рь = 0 МПа для случая k = l-v Значение тв = о0 при тех же исходных данных равно 10 МПа, в то время как в однородном цилиндре ав тах равно 16,7 МПа (рис. 2.2). ТОТ факт, что в близи внешней поверхности цилиндра напряжения тв в неоднородном цилиндре больше, чем в однородном, не является существенным, во-первых, не эти напряжения определяют прочность цилиндра в целом, а, во-вторых, в зоне, где модуль упругости выше, как правило, выше и прочностные характеристики материала. Решение задачи при условии ттах = {ад — xr)/2 = const Повторив процедуру вычислений, приведенную выше, получим закон распределения модуля упругости вдоль радиуса в рассматриваемом случае. Для исходных данных, рассмотренных в предыдущем примере, в данном случае требуется существенно большее изменение модуля упругости на интервале (а, Ь) - более, чем в шесть раз (рис. 2.1). Величина т0 = (ад — тг)/2 будет равна 7,2 МПа, в то время как в однородном цилиндре величина (рв — сгг)/2 достигает максимального значения вблизи внутренней поверхности цилиндра и равна: ттах = (од — crr)/2 = 13,3 МПа (рис. 2.2). Приведенные расчеты показывают, что искусственное создание неоднородных тел может привести к существенному экономическому эффекту. В частности, при создании толстостенных цилиндрических оболочек их толщина может быть значительно уменьшена. 2.3. Алгоритм расчета Разрешающие уравнения (2.11) и (2.14) представляют собой интегро-дифференциальные уравнения второго порядка. В силу нелинейности и сложности переменных коэффициентов, аналитического решения найти не удается даже при существенных упрощениях. Алгоритм расчета справедлив как для (2.11), так и для (2.14), поэтому нет надобности приводить его в обоих случаях. На нулевом этапе решается уравнение (2.13) с соответствующими граничными условиями. Определив температурное поле и зависимости упругих и релаксационных параметров от температуры, переходим к уравнению (2.14). При t = 0, очевидно, что в этот момент времени высокоэластические деформации отсутствуют и, полагая s = EQS = 0, приходим к упругой задаче для неоднородного цилиндра. Уравнение (2.14) при этом можно записать в виде: dr (1 - ii)E dr (1 - м) Решение уравнения (2.14) с краевыми условиями (2.18), было получено численно-разностным методом. Разностная схема построена интегро-интерполяционным методом на неравномерной сетке по времени.
Матрица полученной системы линейных алгебраических уравнений трехдиагональна. К ее решению был примен метод прогонки [98]. Определив перемещения и, из соотношений Коши находим упругие деформации е0 = Е0 и er = sr, а из закона Гука - напряжения тг, cre, oz. Зная все необходимые величины на слое t = 0, согласно (2.9) можно определить для этого момента времени скорости высокоэластических деформаций ——, ——. Предполагая, что шаг по времени At может быть сколь угодно мал, можно осуществить линейную аппроксимацию по времени и вычислить высокоэластические деформации на следующем шаге t = At по формулам: Уравнение (2.29) с граничными условиями вновь решается методом прогонки. Продолжая процесс до произвольного момента времени, можно определить изменение напряжений, деформаций и перемещений в любой точке цилиндра. Рассмотрим плоское напряженное состояние полого многослойного цилиндра. Материал каждого слоя обладает различными физико-механическими свойствами, которые являются непрерывной функцией от температуры, а следовательно, от координат гу слоя: Ej (Т}(г, 0J = Щ(г О- Порядок расчета многослойного цилиндра рассмотрим на примере двухслойного неоднородного цилиндра. Пусть точка г = Ъ является границей двух слоев цилиндра с внутренним радиусом а и внешним с: а гг Ь; Ъ т2 с. Далее «штрих» — дифференцирование по радиусу. Для каждого слоя справедливо уравнение относительно радиальных напряжений: Если считать нагружение мгновенным, то в момент времени t = 0 будут справедливы начальные условия: e Q = Е в0 = 0. Таким образом, на нулевом этапе приходим к упругой задаче. Граничные условия описываются соотношениями: (т}(Ь) = -Ра; перемещения, которые с помощью соотношений Дюгамеля-Неймана можно преобразовать к следующему виду: Вводя обозначение ст = у], полученную краевую задачу можно сформулировать следующим образом: Аналитическое решение этой задачи не представляется возможным и ее решение можно получить численным методом. В качестве модельных однослойных неоднородных задач использовали решение подобных задач в работах [122]. Были получены идентичные результаты, что позволило говорить о правильной работе программы и использовать алгоритм решения в модельной многослойной неоднородной задаче. Рассмотрим плоское деформированное состояние полого многослойного цилиндра. Материал каждого слоя обладает различными физико-механическими свойствами, которые являются непрерывной функцией от температуры, а следовательно, от координат гу слоя: Ej [Tj(r)j = }(r). Порядок расчета многослойного цилиндра также рассмотрим на примере двухслойного неоднородного цилиндра.
Ползучесть соляного массива со сферической полостью
Данная задача связана с технологической проблемой создания полостей с помощью камуфлетных взрывов, при которых температура внутри полости существенно превышает начальную температуру массива. Часто такие полости создаются в массиве каменной соли [89, 149]. Поскольку в каменной соли даже при небольших нагрузках проявляются явно выраженные реологические свойства, представляет интерес решение задачи о ползучести соляного массива с полостью при действии как силовых (давление внутри полости и давление грунта), так и температурных нагрузок [15]. При этом возможен не только нагрев, но и охлаждение массива [131]. Рис. 3.1. Зависимость модуля упругости каменной соли от температуры Механические свойства каменной соли рассмотрены в многочисленных работах [53, 71, 84, 99, 118]. Поскольку в соляных породах даже при небольшой нагрузке развиваются значительные деформации ползучести, по результатам испытаний трудно определить модуль пропорци- ональности между напряжениями и деформациями. Согласно рекомендациям [99] величину Е следует определять в точке диаграммы, соответствующей а = 0,4Япр, где /?пр — призменная прочность. На рис. 3.1 приведены экспериментальные точки зависимости модуля упругости каменной соли от температуры, полученные в интервале 20С « Т « 100С и аппроксимирующая кривая Я(Т). Для описания процесса ползучести каменной соли при повышенных температурах можно использовать приведенную в [33] зависимость, имеющую при одноосном нагружении вид: где Q — энергия активации ползучести; R — газовая постоянная; Тк - температура; К; А, пит — эмпирические коэффициенты. На основании проведенных экспериментальных исследований ползучести в интервале 20С « Т « 100С в [118] получены следующие значения параметров соотношения (3.8): При сложном напряженном состоянии для скоростей деформаций ползучести с учетом (3.8) получим где (ТІ - интенсивность напряжений.
Граничные и начальные условия задачи представляются в виде: Здесь ра — возможное внутреннее давление в полости, ра = уН — давление отпора среды в предположении Н » Ь. Ниже приводятся результаты расчета, полученные методом «послойного» интегрирования с переменным шагом по времени и радиусу при следующих исходных данных: а = 2 м; Ъ = 10 На рис. 3.2 показаны эпюры напряжений ад для различных моментов времени. Следует отметить, что в процессе ползучести напряжения вблизи контура полости существенно снижаются, а по мере удаления от полости возрастают, что связано с необходимостью выполнения интегрального уравнения равновесия Последняя формула может быть получена из рассмотрения элемента массива со сферической полостью (рис. 3.4). Составим проекцию всех сил, действующих на данный элемент, на ось 0z. Интеграл от напряжений ав Вычисляя последний интеграл, суммируя выражения (3.11) и (3.12) и сокращая все на dq), приходим к равенству (3.10). При этом следует обратить внимание на то, что заметный рост напряжений ав в процессе ползучести вблизи внешнего контура вырезанного массива (см. рис.3.2) обусловлен рассмотрением приближенной модели, т.е. конечным значением Ъ (в расчете принималось Ь = 5а). В действительности же при Ъ - оо влияние отверстия и неоднородности не должно сказываться на значениях напряжений на большом расстоянии от отверстия. однородный массив (Г = 20С); неоднородный массив (Та = 100С, Т = 20С); неоднородный массив (Та = 100С, Тт = 2 О С), решение, приводимое в [10]; 1 - t = 0 (упругое решение); 2 - t = 18 ч; 3 = 524;4 = 21000 ч На рис.3.3 приведены эпюры перемещений в массиве с полостью для некоторых моментов времени. При этом фактические перемещения следует отсчитывать от прямой (показана штрих-пунктиром), соответствующей сжатию упругого массива без полости. При ползучести так же, как и в теории пластичности, принимается гипотеза о несжимаемости материала, в связи с чем дальнейшее сокращение объема сплошного массива по сравнению со стадией упругой работы не происходит. однородный массив (Г — 20С); неоднородный массив (Та = 100С, 7 = 20С); неоднородный массив (Га = 100С, Т = 20С), решение, приводимое в [10]; 1 - t = 0 (упругое решение); 2 - t = 18 ч; 3 = 52ч;4- = 21000ч неоднородного полимерного сферического тела Рассмотрим плоское деформированное состояние полого многослойного полимерного сферического тела. Материал каждого слоя обладает различными физико-механическими свойствами, которые являются непрерывной функцией от температуры, а следовательно, от координат гу слоя: Порядок расчета также рассмотрим на примере двухслойного неоднородного сферического тела. Пусть точка г = b является границей двух слоев цилиндра с внутренним радиусом а и внешним с: а гг b; b г2 с. Далее «штрих» - дифференцирование по радиусу.
Вывод разрешающих уравнений не отличается от выводы уравнений в цилиндрических координатах. В исходной системе уравнение равновесия имеет следующий вид: Кроме того, при вычислении средней деформации также необходимо учитывать, что Еу = Соотношения Коши и условие совместности деформаций будут такими же, как в полярных и цилиндрических координатах. Для каждого слоя справедливо уравнение относительно радиальных напряжений: Если считать нагружение мгновенным, то в момент времени t = О будут справедливы начальные условия: 0 = є в0 = 0. Таким образом, на нулевом этапе приходим к упругой задаче. Граничные условия описываются соотношениями: аХа) = -Ра; а? (с) = -Рс; где Ра и Рс - внутреннее и внешнее давления; и} — радиальные перемещения, которые с помощью соотношений Дюгамеля-Неймана можно преобразовать к следующему виду: Вводя обозначение cr/ = yJ, полученную краевую задачу можно сформулировать следующим образом: Аналитическое решение этой задачи не представляется возможным и ее решение можно получить численным методом, который был рассмотрен в параграфе 2.4. диссертации. Был проведен расчет трехслойного сферического тела, у которого внутренний и внешний слои - полимер ЭДТ-10 толщиной 20 и 8 мм соответственно, внутренний - ПММА толщиной 1 мм. На внутренней грани растет давление со скоростью 0.867 кгс/ч и температура со скоростью 60 град/ч. Рост температуры и давления происходит в течение 1.2 ч. Результаты расчета приведены на рис. 3.5—3.6.
Тонкостенная трубка
Однако по-иному может протекать процесс ползучести при наличии высокоэластической деформации. В этом случае величина деформации вдоль оси цилиндра зависит от предыстории ползучести. Ксли давление р0 быстро возрастало до нуля до того постоянного значения, которое в последующем оставалось неизменным, то при этом не успевала накапливаться высокоэластическая составляющая и г 0 « 0, а значит, как видно из (4.17) деформация ползучести в осевом направлении будет отсутствовать в полимерных трубах так же, как и в металлических. Если же возрастание давления осуществлялось так, что к началу процесса ползучести накопилась заметная высокоэластическая составляющая є 0, то деформация ползучести в осевом направлении будет нарастать одновременно с деформацией в поперечном направлении EQ 0, в согласии с (4.17). В данной главе показано, что разрушение адгезионного соединения цилиндров происходит не из-за нормальных растягивающих напряжений, а из-за касательных, возникающих на границе цилиндра и клея. Диссертационная работа посвящена толстостенным цилиндрам, но в данной главе также рассматриваются уравнения для решения тонкостенной трубки. Глава 5. Осесимметричная задача термовязкоупругости для полого полимерного цилиндра с учётом двумерной неоднородности материала Рассмотрим осесимметричную задачу термоползучести для полого цилиндра конечной длины с учетом зависимости физико-механических свойств материала от температуры, являющихся функциями двух координат г и z. Приводится общая задача об определении температуры и соответствующих напряжений, возникающих в процессе охлаждения в полимерном цилиндре. К решению поставленной задачи был применен вариационно-разностный метод. 5.1. Постановка краевой задачи термоползучести для двумерного неоднородного цилиндра Технологическую монолитность намоточных цилиндрических изделий из полимерных композитных материалов рассматривают в литературе [34, 122], причем в большинстве работ исследуют технологические напряжения, возникающие на стадии охлаждения. Это связано, по-видимому, с тем, что именно на стадии охлаждения технологические напряжения достигают максимальной величины и возможно визуальное наблюдение потери монолитности изделия.
Нам известна лишь работа [34], в которой проведено исследование технологических напряжений на протяжении всего процесса изготовления. В этой работе учитываются микронапряжения, возникающие вследствие усадки связующего, однако расчет проведен на основе предположения об одно- родном распределении температуры и, следовательно, степени отверждения в процессе термообработки. Применяемые на практике режимы термообработки часто соответствуют такому предположению. Однако такие режимы с температурным полем, близким к однородному на протяжении всего процесса термообработки, очевидно, далеко не оптимальны с точки зрения обеспечения минимума времени изготовления. Стремление к уменьшению времени изготовления неизбежно приведет к необходимости увеличения неоднородности температурно-конверсионного поля в изделии в процессе термообработки. Известно, что в физико-химической кинетике вводится понятие степени (глубины) полимеризации 0 1, характеризующей процесс отверждения полимерных материалов. Функция (t) удовлетворяет следующему кинетическому уравнению: здесь t — время; Т - абсолютная температура; Q (, t, Г) характеризует скорость реакции в зависимости от достигнутой степени отверждения и температуры. К уравнению (5.1) следует присоединить уравнение относительно температуры Т, имеющее следующий вид в цилиндрических координатах: дТ dq Id ( л ,„ дТ\ , д /„ ,m4 дТ dt dt К уравнению (5.1) необходимо добавить начальное, а к уравнению (5.2) - начальное и граничные условия. Последнее выпишем в следующем виде: на одной части St граничной поверхности поддерживается температура Гср; а на другой части 52 имеет место теплообмен по закону Ньютона: где Тср — температура окружающей среды ; h - коэффициент относительной теплоотдачи; Уравнения (5.1) и (5.2) вместе с граничными и начальными условиями служат для определения степени полимеризации и температуры Т. В качестве уравнения состояния для полимерного цилиндра примем обобщенное уравнение Максвелла (1.34) и совместно с (1.42) будем иметь полную систему относительно шести функций: двух смещений и четырех компонент высокоэластических деформаций. Таким образом, в приведенной выше постановке вследствие использования уравнений несвязной теории термоползучести задача определения глубины полимеризации , температуры Т и полимеризационных смещений и, w распадается на две самостоятельные задачи: а) определения (иГ; б) определения компонент напряженно-деформированного состояния. Определение закона изменения во времени глубины полимеризации относится к специальным вопросам, которые здесь опускают, при этом ничуть не упростив поставленную задачу. Итак, рассматривается процесс "охлаждения" практически отвержден-ного полимерного цилиндра.
Для решения осесимметричной задачи термоползучести с учетом двумерной неоднородности материала был применен вариационно-разностный метод. Исходные уравнения (1.42) удобно представить в дивергентном виде: Достоинство такой записи уравнений (1.42) будет показано ниже при рассмотрении разностной схемы для уравнений (5.4). Необходимо отметить, что дифференциальный оператор системы (5.4) самосопряжен и положительно определен. Нет необходимости приводить доказательство — оно дано в [113]. При рассмотрении осесимметричной задачи термоползучести для полого кругового цилиндра областью интегрирования является прямоугольник, образованный пересечением цилиндра с вертикальной плоскостью, проходящей через оси координат г и z: Напомним, что в задачах, которые рассмотрены в данной работе, граничные условия могут быть поставлены в напряжениях: На торцевых поверхностях могут быть поставлены граничные условия На торцевых поверхностях граничные условия могут быть поставлены в напряжениях - описываются соотношениями (5.5). В формулах (5.5), (5.6) и (5.7) Рар — нормальные нагрузки, действующие на боковых и торцевых поверхностях цилиндра; щ, Wp — заданные величины перемещений торцевых поверхностей цилиндра. Напряжения, входящие в (5.5) и (5.6), должны быть выражены через смещения и и w с помощью физических и геометрических уравнений. Использованный в главе вариационно-разностный метод решения эллиптических краевых задач позволяет учитывать также любые другие комбинации граничных условий в напряжениях и перемещениях. Резюме раздела: краевая задача термоползучести описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных (5.4) с граничными условиями (5.5), (5.6) и (5.7). Добавив к (5.4) обобщенное уравнение Максвелла, имеем полную систему исходных уравнений.
