Введение к работе
Актуальность исследований. Математическое исследование задач теории упругости и вообще механики сплошной среды имеет столь продолжительную и насыщенную событиями историю, что для ее написания потребовалось бы много томов. Дополнительная проблема здесь заключается в том, что зачастую решение частной задачи механики сплошной среды является прорывом в области качественного математического исследования общих задач. Достаточно вспомнить классические исследования устойчивости стержня Эйлером или исследования Сен-Венана. Поэтому в данной работе, в качестве исторической справки, уместно упомянуть лишь одну ветвь математических исследований задач механики сплошной среды, основанную на общей современной теории уравнений в частных производных и методах функционального анализа и объединенную, в основном, методами и аппаратом исследования. Общепризнанным родоначальником этого направления является выдающийся отечественный математик С.Л. Соболев, с классических работ которого в обиходе исследователей появились понятия обобщенных производных, соболевских пространств и теорем вложения. Упомянем здесь его классическую книгу "Приложения функционального анализа в математической физике (1951) и его раннюю работу по механике 1939 г. Впрочем, корни этого аппарата прослеживаются в работах выдающихся математиков прошлого века. Ограничимся этой более частной областью методов исследований механики.
В дальнейшем исследовании математических проблем механики сплошной среды приняли участие как отечественные, так и зарубежные специалисты. Под термином "математические проблемы механики", которое здесь поневоле приходится сузить, мы будем понимать исследование математической постановки задач механики сплошной среды, их разрешимость в различных классах, единственность и неединственность решетам, качественные свойства решений такие, как их дифференциальные
свойства, поведение решений в определенных условиях, в частности, неисчерпаемая проблема устойчивости решений и состояний объекта исследований. С этим кругом вопросов неразрывно связана теория приближенных методов решения соответствующих задач механики сплошной среды. Здесь возникают вопросы сходимости приближенных методов, решение которых часто дает ответ на чисто математические проблемы, такие как проблема разрешимости задачи или качественного поведения ее решения. Проблема математического исследования приближенных методов, как, впрочем, и вся общая математическая теория механики сплошной среды, весьма далека от своего завершения.
Основой современного подхода к изучению математических вопросов механики является метод обобщенных решений. Существуют различные подходы к введению этого понятия в конкретных задачах В западной литературе, в основном, отправной точкой для техники обобщенных решений являются чисто формальные математические преобразования и теория распределений Л. Шварца. В данной диссертации используется один из наиболее последовательных подходов к обобщенной постановке задач, который был разработан И.И. Воровичем в серии работ по теории оболочек. Он характеризуется тесной привязкой постановки задачи к её механическому содержанию, к вариационным принципам механики, а также использованием в качестве пространств, в которых рассматривается соответствующая задача, так называемых энергетических пространств, нормы которых образованы путем выделения из функционала внутренней энергии его квадратичной части. Данный подход удачно сочетается с методами функционального анализа, в частности теорией соболевских пространств. Получаемые результаты, как правило, имеют очевидную механическую трактовку и наглядность. Топологический подход, развитый в докторской диссертации Воровича, позволяет, практически не меняя средств исследования качественных вопросов
;оответствующих краевых задач, рассматривать вопросы сходимости лирохого круга вычислительных методов, применяемых в механике сплошной среды.
Целью работы является математическое исследование постановки задач ^тгругих и вязкоупругих нелинейных оболочек: определяющие соотношения геории, обобщенная постановка задач, теоремы разрешимости, обоснование приближенных методов решения данных задач, а также некоторые [гроблемы устойчивости решений.
Научную новизну составляют следующие результаты, полученные автором:
1. Необходимые и достаточные условия устойчивости решении
начально-краевых задач линейной вязкоупругости с определяющими
^отношениями в дифференциальной форме (динамика и квазистатика).
Введение понятия устойчивости вязкоупругого материала.
-
Полная обобщенная постановка задач для вязкоупругих пологих (г непологих оболочек при дифференциальной форме определяющих соотношениях. Теоремы разрешимости для нескольких вариантов данной теории в задачах динамики и квазистатики. Теоремы единственности для задач динамики при некоторых дополнительных ограничениях. Обоснование проекционных методов решения данного класса задач, в том числе метода конечного элемента.
-
Теорема разрешимости для случая упругой пологой оболочки с устранимой особенностью координатной системы на срединной поверхности при общих краевых условиях.
4. Достаточные условия устойчивости решения для упругих
нелинейных оболочек. Отмечена зависимость устойчивости решении
упругих задач от термодинамических режимов нагружения оболочек.
5. Доказанная корректность постановки задач нелинейной теории
упругих оболочек по отношению к слабым изменениям формы оболочки и
типа ее краевых условий.
б. Обобщенная постановка задач для нелинейной пластины с подкрепляющими ребрами и теорема разрешимости соотвнствующих задач в общем случае.
Методика исследований. В работе использован традиционный аппарат нелинейной теории дифференциальных уравнений частных производных в модификации, разработанной в трудах И.И. Воровича. Основой методики служит введение понятия обобщенных решений, основывающееся на вариационных принципах механики. В дальнейшем обобщенное решение задач и некоторые численные методы его нахождения исследуются с использованием вариационной и топологической техники. Практическое значение диссертации. Дается строгое обоснование возможности применения различных моделей теории упругих и вязкоупругих оболочек в теоретических и практических исследованиях. Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на семинаре кафедры теории упругости РГУ, руководимой академиком И.И. Воровичем, семинаре, руководимом проф. Н.Ф. Морозовым (ЛГУ), а также на следующих конференциях и семинарах: 11-й Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин, Харьков, 1977; Семинар по некл. пробл. теории пластин и оболочек, Ивано-Франковск, 1980;
Всесоюзн. семинар "Проблемы непин. механики сплошной среды", 1987; 5th National Congress on Mechanics, Greece, Ioarmina, 1998; Восьмая межвузовская научная конференция Математическое Моделирование и Краевые Задачи", 1998.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в публикациях 1-19.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка основной используемой литературы, содержащего 131