Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Экспериментальные исследования луков - 21 -
1.1. Описание экспериментальной установки и анализ точности измерений - 21 -
1.2. Экспериментальное исследование луков - 24-
Выводы -32-
Глава 2. Общие уравнения и постановка задачи о выстреле из лука - 33 -
2.1. Уравнения движения стержня - 33 -
2.2. Уравнения движения нити -37-
2.3. Постановка задачи о выстреле из лука - 44 -
2.4. Анализ скоростей распространения поперечных волн в тетиве и плечах лука - 47 -
Выводы -48-
Глава 3. Решение задачи о статическом равновесии лука - 50 -
3.1. Анализ уравнений статики лука - 50 -
3.2. Частный случай: сведение краевой задачи кзадаче Коши -53 -
3.3. Решение краевой задачи -58-
3.4. Исследование статики лука -61-
Выводы -68-
Глава 4. «Энергетический» метод решения задачи о выстреле из лука - 70 -
4.1. Энергетический метод решения задачи о выстреле излука - 70-
4.2. Оценка точности вычислений и сравнение полученных результатов с результатами экспериментальных исследований - 73 -
4.3. Исследование влияния параметров лука на скорость вылета стрелы - 78 -
Выводы -83-
Приложение А. Кадры видеосъемки выстрела из лука - 85 -
Приложение В. Форма луков в зависимости от величины базы лука - 91 -
Заключение -96-
Список литературы - 99 -
- Экспериментальное исследование луков
- Уравнения движения нити
- Частный случай: сведение краевой задачи кзадаче Коши
- Оценка точности вычислений и сравнение полученных результатов с результатами экспериментальных исследований
Введение к работе
Лук был известен практически на всем земном шаре, на всех континентах, за исключением, разве что, аборигенов Тасмании, Новой Зеландии и юга Австралии. Возникновение этого оружия археологи относят в самое далекое прошлое. Археологические находки (древки стрел, найденные на стоянке Штельмоор, близ Гамбурга; изображения в пещерах местечка Альпер в Испании; российские древности того же периода) свидетельствуют о существовании лука уже в конце верхнего палеолита - начале мезолита (не менее 8 тысяч лет до нашей эры).
Изобретение лука ознаменовало качественно новый этап исторического развития человека, обеспечив ему гораздо более продуктивную охоту и эффективную защиту, позволило подняться на новый, более высокий уровень жизнедеятельности. Барельефы древних Ассирии и Египта повсеместно изображают воинов с луками, осаждающих крепости и мчащихся на колесницах в погоне за зверем. В Древней Греции юноши, наравне с метанием копья и диска, бегом и борьбой, обучаются и стрельбе из лука, хотя в бою греки отдавали явное предпочтение мечам и копьям в тесном пешем строю.
Без лука не представляли своего существования и скифы. В их захоронениях, причем не только знатных воинов, но и простолюдинов, практически всегда встречается лук или, в крайнем случае, наконечники стрел. Гунны славились не только своей свирепостью, но и стрелками, и луками страшной силы, от которых спасал далеко не всякий доспех.
В средние века лук полностью сохранил важнейшую роль в жизни человека.
Население Англии, после поражения при Гастингсе [1] в 1066 году и захвата ее Вильгельмом Нормандским, долго не желало смириться с гнетом завоевателей. Народ, вооружаясь наиболее доступным оружием — луками, уходит в леса, поднимает восстания, грабит своих грабителей. Об отважных «вольных стрелках» складывают легенды.
И, видимо, не случайно, впоследствии в Англии выходят указы, согласно которым буквально все население в возрасте от 16 до 60 лет было обязано овладеть приемами стрельбы из лука. Плоды массового обучения лучников англичане пожинали в ходе Столетней войны: в 1346 году в битве при Креси [2] и 1415 году при Азенкуре [3]. Тогда английские лучники своими длинными стрелами буквально засыпали противника и выиграли сражение.
Английские лучники, в большинстве, оснащались луками за счет казны. Казенные луки делались согласно четко расписанным государственным требованиям. Помимо чисто технических достоинств, это было весьма дешевое, качественное оружие, которое могло быть произведено в массовых количествах за короткий период времени.
Английский длинный лук появился в конце 13 века. Вырезался лук из тиса таким образом, что состоял из двух слоев древесины с разными свойствами. Тис считался наилучшей древесиной, позволяющей создавать наиболее эффективные луки. Под эффективностью здесь подразумевается не столько сила натяжения лука, сколько скорость, с которой он мог распрямиться и послать стрелу (что имеет прямое отношение к дальности и точности стрельбы). Кстати, английский тис не считался хорошей древесиной, основным источником тиса была Испания, а позднее и Италия. Специальные правитель -6 ственные чиновники строго оценивали качество поставляемой древесины. Исследования немногочисленных уцелевших образцов 15-16 веков показывают исключительно высокий уровень использовавшегося материала. Соответственно, и дальность стрельбы из английских луков была на треть больше, чем из других деревянных луков - до 300 метров. Служил тисовый лук не долго - несколько месяцев, потом упругость утрачивалась, и лук ломался. Поэтому значительное количество луков перевозилось с армией в виде заготовок и доделывалось под конкретного бойца непосредственно на театре военных действий. Перевозился деревянный лук со снятой тетивой.
Сила натяжения английского боевого лука того времени составляла порядка 35 кг. Дальность стрельбы из такого лука доходила до 300 метров, причем, весьма сильно зависела от ветра. Следует отметить, что данная цифра справедлива для навесной стрельбы. Дальность прямого выстрела из лука значительно меньше - около 30 метров. Начальная скорость стрелы составляла 45-55 м/с. Безусловно, ни о какой прицельной стрельбе тяжелой боевой стрелой с кованым наконечником на дистанцию более 50 метров не могло быть и речи. Хороший лучник мог попасть на такой дистанции в человека, но и только. В состязаниях на дистанции до сотни метров применялись более легкие стрелы, имевшие большую начальную скорость и, соответственно, обеспечивавшие большую точность.
Применяемые в Западной Азии и Восточной Европе луки имели намного более прогрессивную конструкцию, чем европейские. В этих тщательно разработанных луках применяются различные материалы: древесина, роговые пластины и сухожилия, поэтому их называют составными. Составной лук - значительно более сложный по конструкции. Для его изготовления требовалось большое искусство. Этот лук - удивительное проявление изобретательности в механике. Дальняя от стрелка часть плеча лука подвергается наибольшему растяжению. Для неё подбирали материалы, обладающие способностью к растяжению. Часто использовалась кожа, обработанные жилы и т.п. Внутренняя часть лука испытывает сжатие, - её изготавливали из дерева, кости и других доступных материалов. Классический составной лук - это деревянная сердцевина, к внешней стороне которой приклеены сухожилия, а к внутренней — роговые пластины (обычно из рогов буйвола). Срок службы составного лука исчислялся десятилетиями. Перевозились составные луки в боеготовом состоянии, но, при длительном хранении, тетива снималась.
По-видимому, первые составные луки - так называемы угловые - применялись в древнем Египте. В VII веке до нашей эры угловой лук был вытеснен по всей Западной Азии скифским луком.
Великая Монгольская держава своими завоеваниями также во многом обязана луку. Воину - монголу наказывалось иметь два вида этого оружия разной величины: большой - для стрельбы с земли и поменьше - для стрельбы с коня. Сложилась у монголов и эффективнейшая тактика подавления неприятеля непрерывным массированным обстрелом с коней. На Руси она получила название «хоровод». Плотность осыпи была такой, что воин неприятеля, неосторожно показавшийся из-за крепостной стены, мгновенно становился похожим на ежа.
Не отставала в развитии лука и Русь. Здесь он был известен с древнейших времен - изначально, по-видимому, как оружие охоты, а затем и боевое. Византийские источники, описывая оружие славян, наравне со щитами и дротиками, упоминают и луки небольшого размера, со стрелами, порой отравленными. Византийский историк X века Лев Диакон [4] отмечал огромную роль лучников в войске князя Святослава Киевского при военных действиях в Болгарии. Они умело пользовались луком как в открытом бою, поражая в основном вражескую конницу, так и при взятии крепостей, и в оборо -8 не. В течение всего средневековья лук был одним из основных орудий войны на Руси и ее вассальных землях.
Луки подносились в качестве почетных даров князьям. Силой и красотой своих луков похвалялись на пирах воины-богатыри. Славяне и близкие к ним народы в своих воинских культах зачастую одушевляли лук, давали ему собственное имя, обращались с ним, как с живым существом.
Ни одно сколько-нибудь крупное сражение не обходилось без этого грозного оружия. Лучники находились, как правило, впереди и на флангах войска. Основной их задачей было прикрывать развертывание основных сил в боевые порядки, подавлять противника перед атакой, наносить ему максимальный урон еще до начала битвы, сеять панику и расстраивать его ряды. Лучники должны были также не допустить внезапного нападения вражеской конницы, встретив ее градом стрел, массово выводя из строя лошадей и всадников.
Из «Ливонской хроники» XIII века известно о существовании на Руси специальных отрядов стрелков - лучников, которые не только охраняли войска на походном марше, но и мужественно выдерживали первые атаки врага. Генрих Латвийский отмечал высокое искусство лучников Руси, их значение в борьбе с крестоносцами, превосходство над немецкими кнехтами-арбалетчиками. Знаменитое Ледовое побоище 1242 года началось именно с губительного обстрела немецкой «свиньи» русскими лучниками.
Испытания, проведенные Эдвардом Макьюэном, Робертом Л. Миллером и Кристофером Бергманом [5] показали, что точная копия составного лука с силой натяжения 27 кг должна выпускать аналогичную стрелу с такой же скоростью, как и копия средневекового тисового длинного лука с силой натяжения 36 кг (около 50 м/с). Предельное зафиксированное расстояние для выстрела на дальность из английского лука составляло 557 метров. Стрела же турецкого султана Мурата-гази IV, увлекавшегося стрельбой из лука, улетела однажды на 878,5 метра.
С поздним средневековьем в мир пришло огнестрельное оружие, которое начало постепенно вытеснять луки и арбалеты. Но лук еще долго соперничал с несовершенными аркебузами и пищалями. В 1792 г. в Англии прошли интересные соревнования. Состязались лук и ружье, сделавшие по 20 выстрелов на расстоянии 100 ярдов (91 м). Результат: в мишени оказалось 16 стрел и только 12 пуль. И это в конце XVIII века.
Оружием, качественно превзошедшим лук стали казнозарядные нарезные винтовки системы Дрейзе в Германии (конец 40-х годов 19 века) и нарезные дульно-зарядные винтовки, оснащенные пулями типа Минье (пули, расширяющиеся в канале ствола) в Англии и Франции (начало 50-х годов 19 века).
Первыми отказались от лука французы - в 1527 г. лук был объявлен непригодным для войны и королевские стрелки расформированы. В России лук просуществовал дольше. Поместная конница Ивана Грозного, наряду с огнестрельным оружием, с успехом пользовалась луками. Лишь указом Петра І, і во всем равнявшегося на Запад, лук как оружие был отменен в регулярных войсках.
Но еще не скоро он окончательно исчез с арены военных действий. В войне 1812 г. русские ополченцы и партизаны, а также союзные башкирские и калмыцкие формирования с успехом использовали это древнее оружие против французских захватчиков. Башкирские лучники метко били врага и во время Крымской кампании 1854 года. Есть данные о применении луков партизанами в период Гражданской войны.
В наше время лук продолжает существовать как спортивное и охотничье оружие. Как вид спорта, стрельба из лука признана во всем мире. У многих народов соревнования в стрельбе из лука являются неотъемлемой частью национальной культуры. Все большую популярность в последнее время приобретает охота с луком. Это непростое занятие позволяет с головой окунуться в мир природы, отойти от житейских проблем и стрессов, познать секреты и тайны окружающего мира, увидеть тени минувшего, услышать поступь седой старины.
Продолжает совершенствоваться конструкция лука. Появились так называемые блочные луки, в которых усилия стрелка при помощи системы блоков перераспределяются и используются оптимальным образом.
В современной литературе есть много работ посвящено истории применения луков (например [6] [7] [3] [1]). Значительно меньше работ посвящено исследованию луков как механического устройства. В большинство из этих работ речь идет об особенностях конструкции (например [8] [9] [10]) и типизации луков ([11] [9] [5] [12]).
Представляют интерес работы посвященные лукам, применяемым в конкретных областях. Такие, как работа А. Кабрала, посвященная русским лукам [9], работа Е.В. Черниенко о скифских луках [10], работа В.Н. Каминского о луках северокавказских аланов [8] и многие другие.
В некоторых работах (например [13]) проводятся экспериментальные исследования статики лука, заключающиеся в построении графиков зависимости силы натяжения лука (сила, которую надо приложить, чтобы удерживать тетиву в заданном положении) от величины базы лука (расстояние между рукоятью лука и точкой удержания тетивы).
Отдельного упоминания заслуживает задача об определении скорости вылета стрелы при выстреле из лука, предложенная и решенная В.И. Фео-досьевым в [14]. В основе решения лежит предположение о переходе всей упругой энергии, запасаемой при натяжении лука в кинетическую энергию стрелы. Для определения запасенной упругой энергии лука в двух крайних положениях решается задача о статическом равновесии лука. Однако в решении не учитывается движение плеч лука и тетивы, кроме того решение получено только для лука, моделируемого прямым стержнем постоянного сечения.
Исследованию процессов, происходящих при выстреле из лука, при малых отклонениях тетивы и длина тетивы близкой к длине лука посвящена работа А.В. Звягина и А.А. Малашина [15]. Задача решается в линейной постановке.
Таким образом, процессы, происходящие во время разгона стрелы при выстреле из лука, являются малоизученными, что и стало одной из причин, побудивших заняться этой задачей.
Целью проводимой работы является изучение процессов, происходящих при выстреле из лука, а также оценка влияния параметров лука на скорость вылета стрелы.
Результаты исследований приведены в [16], [17], [18], [19], [20].
Первая глава диссертации посвящена описанию экспериментального исследования лука. В ней сделано описание экспериментальной установки, рассказано об обработке результатов и приведены графики зависимости силы натяжения лука от величины базы лука, а также скорости стрелы и координаты задней точки стрелы (взаимодействующей с тетивой) от времени, прошедшего с момента выстрела.
Во второй главе рассказано об истории развития механики стержней и нитей, получены основные уравнения динамики стержней и нитей, и, кроме того, сделана постановка динамической задачи о выстреле из лука. Для моделирования плеч лука применяется модель криволинейного стержня Кирхгофа — Лява. Для моделирования тетивы используется модель идеальной нити. Проведен анализ скоростей распространения поперечных волн по тетиве и плечу лука, позволивший решать задачу в квазистатическом приближении.
Третья глава посвящена решению задачи о статическом равновесии лука, решение которой необходимо для определения начальных условий динамической задачи. Выполнена постановка задачи. Получена система обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми граничными условиями. Для случая прямого стержня краевая задача сведена к решению системы алгебраических уравнений, решение которой позволяет определить недостающие условия в задаче Копій. Для решения краевой задачи предложен и реализован численный метод, основанный на формулах Рунге - Кутта [21] модификации метода Ньютона, предложенной Исаевым и Сониным [22]. Проведено исследование влияния параметров задачи на форму лука, силу натяжения лука, силу натяжения тетивы.
В четвертой главе на основе решения задачи о статическом равновесии лука, при учете ряда предположений, сделанных на основании экспериментального исследования луков, построен метод решения динамической задачи о выстреле из лука. В основе метода лежит закон сохранения полной энергии системы «плечи». Проведены оценки точности метода и сделано сравнение полученных результатов с результатами экспериментов. Исследовано влияние параметров лука на скорость вылета стрелы.
В приложении А приведены кадры видеосъемки выстрелов из лука, использованные при исследовании луков в главе 1.
В приложении В приведены формы разных луков при различных величинах базы лука.
Экспериментальное исследование луков
Каждый из них будет классифицирован в соответствии с приведенной выше классификацией. Также для каждого лука будут построены график: 1. Зависимости силы натяжения лука от величины базы лука (Ь). 2. Координаты стрелы от времени, прошедшего с момента выстрела (с). 3. Скорости стрелы от времени, прошедшего с момента выстрела (d). Целью исследований является выявление основных закономерностей движения лука в процессе выстрела. Кадры видеосъемки выстрелов из описываемых луков приведены в приложении А. Нечетные кадры пропущены, расстояние между кадрами 0,00217 с. На РИС. 1.2.1 представлен периферийный прямолинейный выгнутый однородный рогатый лук. Плечи лук изготовлены из стеклотекстолита, рога изготовлены из дерева. На РИС. 1.2.2 представлен периферийный прямолинейный выгнутый однородный простой лук. Плечи лука изготовлены из стеклотекстолита. На РИС. 1.2.3 представлен периферийный прямолинейный прямой однородный рогатый лук. Плечи и рога лука изготовлены из стеклотекстолита. На РИС. 1.2.4 представлен центральный криволинейный глубокий составной простой лук. Плечи изготовлены из трехслойного материала. На РИС. 1.2.5 представлен периферийный криволинейный (на момент изготовления лук был прямолинейный, однако со временем утратил форму) прямой однородный простой лук. Плечи лука изготовлены из дерева.
В ходе исследований были выявлены следующие закономерности: 1. Половины тетивы в процессе движения остаются прямолинейными; 2. В процессе движения точки плеча лука, тетива и стрела движутся поступательно (то есть отсутствуют собственные колебания). Геометрические параметры лука не оказываюткачественного влияния на вид исследуемых зависимостей. Качественно отличаются графики зависимости силы натяжения лука от величины базы лука для луков, изготовленных из различных материалов (РИС. 1.2.5 - дерево; РИС. 1.2.1-1.2.4 - пластик).
Первая глава диссертации посвящена экспериментальным исследованиям луков. Сделано описание экспериментальной установки и оценены ошибки, возникающие при снятии экспериментальных данных. В ходе экспериментальных исследований установлены следующие факты: 1. В процессе разгона стрелы верхняя и нижняя половины тетивы остаются практически прямолинейными. 2. В процессе выстрела точки плеч лука движутся поступательно (то есть отсутствуют заметные собственные колебания плеч лука). 3. Вид зависимости координаты пятки стрелы и ее скорости качествен но одинаковы для различных конструкций лука. 4. Материал, из которого изготовлены плечи лука (дерево, пластик, ме тал) оказывает качественное влияние на вид зависимости силы натя жения лука от величины базы лука.
Уравнения движения нити
По-видимому, первым, кто получил уравнения конечных движений идеальной нерастяжимой нити, был Лагранж в 1762 году [37]. Эти уравнения были получены исходя из принципа наименьшего действия.
В 1770 - 1775 годах появляется ряд работ Л. Эйлера [38] [39] посвященных гибким нитям. В заключительной из них решается единственная задача: о движении невесомой, нерастяжимой нити, перекинутой через горизонтальный, шероховатый цилиндр и снабженной двумя разными грузами на концах.
В 1860 выходит работа Рута [40], в которой конечным движениям идеальной нерастяжимой нити, имеющей плоскую конфигурацию, посвящен целый раздел. А в 1872 - 1874 годах публикует свои исследования Резаль [41]. В этих работах, независимо друг от друга, получены уравнения движения плоской идеальной нерастяжимой нити и условия на скоростях. В 1880 - 1889 годах Аппелль [42] [43] и Леотэ [44] [45] исследовали стационарное движение плоской идеальной нерастяжимой нити вдоль себя с сохранением формы. В 1920-х Гамель в своем учебнике механики [46] выводит уравнения движения идеальной гибкой нерастяжимой нити двоякой кривизны. Однако эти уравнения даны не в окончательном виде; автор упрощает модель и сводит ее к плоскому движению и модели Рута. В дальнейшем Гамель в своей статье [47] дает шесть уравнений равновесия самого общего типа, но не приводит уравнений движения.
В работе 1941 года А.П. Минаков [48] получает уравнения движения идеальной растяжимой нити и решает простейшие задачи. В сороковых годах двадцатого века первый заведующий кафедрой газовой и волновой динамики механико-математического факультета МГУ Академик Узбекской ССР, профессор Х.А. Рахматулин пишет ряд работ [49] [50] [51]. Именно в этих работах получены основные уравнения движения нити, описывающие распространение возмущений, характеристики и условия на них [51]. Рассмотрена ставшая классической задача о поперечном ударе по гибкой нити. Дальнейшее развитие вопросов динамики нити проводилось учениками Х.А. Рахматулина Г.С. Морозом [52], А.Л. Павленко [53] [54], Е.В. Рябовым [55] и многими другими. Здесь следует, прежде всего, отметить значительный вклад в теорию волн в нити А.Л.Павленко.
В этих работах получены условия на сильных разрывах и вопросы их существования в нити. Исследовано решение для различных видов зависимости натяжения от деформации. Из зарубежных авторов следует упомянуть работы [56] [57] по распространению слабых возмущений в нити. Под идеальной нитью будем понимать объект, главной особенностью которого является преобладание одного характерного линейного размера (длины нити) над другими. С кинематической точки зрения это позволяет отождествлять нить в каждый момент времени с математической кривой, составленной из материальных точек. Причем, в отличие от балки, для идеальной нити будем считать изгибную и крутильную жесткости пренебрежимо малыми.
Если выбраны начало дуги и направление ее отсчета, то материальные точки нити отличаются друг от друга длиной дуги кривой. Для нерастяжимой нити длина дуги неизменна. Для растяжимой нити необходимо вводить в рассмотрение длину дуги в недеформированном состоянии и текущую длину дуги нити в растянутом (деформированном) состоянии. Длина дуги в недеформированном состоянии является естественной Лагранжевой координатой данной точки нити.
Рассмотрим РИС. 2.2.1. На нем показано положение нити в два различных момента времени. При этом OXYZ - система координат наблюдателя, точка А - начало отсчета дуги, М - произвольная точка нити, г - радиус вектор точки М, S- длина дуги AM в нерастянутом состоянии, s - длина дуги AM в текущем состоянии. В силу того, что Лагранжева координата S однозначно определяет материальную точку нити. Кинематика нити полностью задана, если известен закон движении нити r = r(S,f) (2.2.1) Скорость V и ускорение W точек нити вычисляются с использованием закона (2.2.1) V = — (2.2.2) — dV(S,f) d2r(S,) ґ оч Относительное удлинение (деформация) в нити є определяется текущей As и начальной AS длиной элемента нити As-AS є = - - (2.2.4) В силу (2.2.1) и однозначного соответствия между длиной дуги и материальными точками нити, зависимость 5 = s(S,t) существует, поэтому выражение (2.2.4) для деформации вполне определено. Единичный вектор касательной к нити f равен отношению приращения радиус-вектора г к его текущей длине: AS- O(1 + E)AS (l + )dS J Рассмотрим в качестве искомых неизвестных вектор скорости V, деформацию є и единичный вектор касательной к нити т. В силу равенства д і д і смешанных производных —— = —— и соотношений (2.2.2) и (2.2.5) они удовлетворяют уравнению dS dt dV д , = _((l + )f) (2.2.6) Векторное уравнение (2.2.6) отражает кинематику нити, и называются кинематическим. Оно справедливо, если радиус вектор точек нити г(S, t) будет дважды непрерывно-дифференцируемой функцией своих независимых переменных.
Частный случай: сведение краевой задачи кзадаче Коши
Если же задавать текущее состояние лука не величиной базы h а величиной отклонения тетивы вг, то задача сведется к решению одного алгебраического уравнения (3.2.12) с одним неизвестным т. Уравнение (3.2.13) в этом случае служит для определения h.
Метод стрельбы состоит в сведении решения краевой задачи к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Для этого вводиться вектор параметров пристрелки: V = 0(1) q=li позволяющий решить задачу Коши (3.3.1) с граничными условиями 6(1) = Р И- = Ч. у(1) + К sin (р + а) = 10 h cos(jp + a) = #(1) (3.3.2) и вектор - функция невязки -59 /(?, ?) = %(()) д(р,я) = у(РУ вычисляемая в результате решения задачи Коши. Таким образом, для решения задачи необходимо .определить корень системы нелинейных алгебраических уравнений f(p. Ч) = о #(р, ?) = 0 Для численного решения задачи применяется метод, предложенный в [59] и основанный на формулах Дорман - Принс 8(7) и Дорман - Принс 5(4) [21] [62] [63] и модификации метода Ньютона, предложенной Исаевым и Со-ниным [22] с проверкой по нормировке Федоренко [64].
Недостатком метода Ньютона является требование выбора хорошего начального приближения для сходимости метода. Этого недостатка лишена модификация метода Ньютона, предложенная Исаевым и Сониным [22]. Модификация заключается в ведении параметра а). Таким образом, для решения задачи используется следующий алгоритм: 1. Выбираются значения р и q, которые обозначаются р1 и q1. 2. Интегрируется задача Коши (3.3.1), (3.3.2), (3.3.4) - (3.3.7). 3. Вычисляются значения р и q по формуле (3.3.3). 4. Выбирается параметр со из условия (3.3.9) и вычисляются р2 и q2 по формуле (3.3.8). 5. Шаги 2-4 повторяются, пока значения р и q не будут вычислены с необходимой точностью.
Плечо лука моделируется прямым стержнем постоянного сечения. При натяжении лука сила натяжения тетивы монотонно убывает до момента, когда угол между тетивой и плечом лука не станет равен 90 = - после чего начинает возрастать. Сила натяжения лука монотонно возрастает и имеет точку перегиба при 9Q = -. Сила натяжения тетивы будет тем больше, чем меньше 10, сила натяжения лука будет расти тем быстрее, чем меньше L. На РИС. 3.4.5 и РИС. 3.4.6 приведены зависимости силы натяжения тетивы и силы натяжения лука от величины базы лука h, при фиксированных значениях отношения полудлины тетивы к длине плеча лука /0 = 0,9 и угле выгиба а=0, для различных значений коэффициента сужения. При натяжении лука сила натяжения тетивы монотонно убывает до момента, когда угол между тетивой и плечом лука не станет равен в0 = - после чего начинает возрастать. Сила натяжения лука монотонно возрастает и имеет точку перегиба при 90 = -. Сила натяжения тетивы будет тем больше, чем больше коэффициент сужения, сила натяжения лука будет расти тем быстрее, чем больше коэффициент сужения.
При натяжении лука сила натяжения тетивы монотонно убывает до момента, когда угол между тетивой и плечом лука не станет равен в0 = - после чего начинает возрастать. Сила натяжения лука монотонно возрастает и имеет точку перегиба при в0 = -. Силы натяжения тетивы и скорость роста силы натяжения лука будут тем больше, чем выше скорость роста кривизны. Выводы. В третьей главе диссертации поставлена и решена задача о статическом равновесии лука. Задача сводится к решению системы из трех обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром, граничные условия заданы в двух точках. В частном случае краевая задача сведена к решению системы из трех алгебраических уравнений относительно недостающих краевых условий. В частном случае краевая задача решается численно. Проведено исследование влияния параметров лука на силу натяжения лука и силу натяжения тетивы. 1. Изменение геометрических параметров лука не приводит к качественному изменению зависимостей сил натяжения тетивы и лука от величины базы лука. 2. Сила натяжения тетивы при натяжении лука монотонно убывает до момента, когда угол между тетивой и свободным концом плеча лука и0 = -, после чего начинает возрастать. Сила натяжения лука при натяжении лука монотонно возрастает. График зависимости имеет точку перегиба при в0 = -. При увеличении угла выгиба лука возрастает как сила натяжения лука, так и сила натяжения тетивы. При увеличении отношения полудлины тетивы к длине плеча лука сила натяжения тетивы убывает, а скорость роста силы натяжения лука возрастает. С увеличением коэффициента сужения возрастают как сила натяжения лука, так и сила натяжения тетивы. С ростом начальной кривизны плеча лука возрастают как сила натяжения лука, так и сила натяжения тетивы.
Оценка точности вычислений и сравнение полученных результатов с результатами экспериментальных исследований
На точность вычисления оказывает влияние количество расчетных точек, выбранных как по времени, так и по координате S. На РИС. 4.2.1 приведена оценка влияния числа расчетных точек на точность вычисления скорости вылета стрелы. Как видно из графика влияние числа расчетных точек по времени значительно превышает влияние числа расчетных точек по координате S. \ Метод расчета был проверен сравнением с экспериментальными результатами. В эксперименте рассматривался следующий лук: 1. Плечи лука моделируются прямым металлическим стержнем постоянного сечения длиной один метр (по 0,5 метра на плечо), линейной плотностью 0,224 кг/м и жесткостью 0,367 Н- м2. 2. Тетива моделируется кевларовой нитью длиной 0,91 метр и массой 1,37 грамма. При обработке эксперимента определение координаты стрелы происходит с ошибкой в один пиксель (ошибка находится в пределах 0,0009 метра для первого эксперимента и 0,00087 метра для второго). Величина ошибки при вычислении скорости, в соответствии с полученными в первой главе формулами (1.1.1), не превышает 0,83 м/с для первого эксперимента и 0,81 м/с для второго. Величины погрешностей представлены на РИС. 4.2.4 и РИС. 4.2.6. Анализ приведенных выше зависимостей позволяет сделать вывод о том, что предложенный метод обеспечивает хорошую точность результатов. Помимо этого сделана проверка гипотезы о прохождении плеча лука через положения, близкие к положениям равновесия. Результаты сравнения приведены на РИС. 4.2.7. На рисунке сплошными линиями обозначены теоретические значения, большими синими точками - результаты эксперимента; их размер показывает ошибку, возникающую при получении экспериментальных данных.
При построении графика брались различные значения угла выгиба а. В результате установлено, что существует такая длина плеча лука, для которой при данных J0, a, F, h, скорость вылета стрелы будет максимальной. с к с Р т рс е т л ь ыв мы \лсЄ "— 1.А Т? ЧП 1R 7А "УУ 1Л Т wа -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35величина угла-+-0,95 -в-0,925 - -0,9
Сила натяжения лука F=196 Н и /г=0,8м. Из рисунка хорошо видно, что существует угол а, при котором достигается максимальная скорость вылета стрелы. В четвертой главе предложен и реализован в виде программного пакета метод решения задачи о выстреле из лука. Проверены основные гипотезы ме -84 тода, и точность расчетов. Результаты вычислений проверены экспериментом. С помощью полученного программного пакета проедено исследование влияние различных параметров лука на скорость вылета стрелы. Установлены следующие закономерности: 1. Для каждого стрелка лук должен подбираться индивидуально. 2. Масса стрелы оказывает существенное влияние на выбор лука. 3. При фиксированной длине плеча лука существует оптимальный угол выгиба, при котором достигается максимальная скорость вылета стрелы. Чем больше длина плеча лука, тем меньше этот угол. 4. Выгодно иметь максимально длинный лук. 5. Изменение в сторону разумного уменьшения сечения плеча лука является эффективным способом увеличения скорости вылета стрелы. 6. Увеличение постоянной начальной кривизны плеча лука позволяет увеличить скорость вылета стрелы, однако при этом возрастает сила натяжения лука. При фиксированной силе натяжения лука увеличение постоянной начальной кривизны не дает выигрыша в скорости.
Диссертация посвящена исследованию процессов, происходящих при выстреле из лука. В ходе выполнения работы сделано следующее: 1. Проведено экспериментальное исследование луков. При этом уста новлены следующие факты: a. В процессе разгона стрелы верхняя и нижняя половины тети вы остаются практически прямолинейными. b. В процессе выстрела точки плеч лука движутся поступательно (то есть отсутствуют заметные собственные колебания плеч лука). c. Вид зависимости координаты пятки стрелы и ее скорости ка чественно одинаковы для различных конструкций лука. d. Материал, из которого изготовлены плечи лука (дерево, пла стик, метал) оказывает качественное влияние на вид зависи мости силы натяжения лука от величины базы лука. 2. Построена математическая модель выстрела из лука. Плечи лука моделируются балкой Кирхгофа - Лява, тетива - идеальной нерастяжимой нитью, стрела - сосредоточенной массой. Проведен анализ скоростей распространения поперечных волн в тетиве и плечах лука. Определено количество пробегов, которые совершают эти волны за время выстрела. Что позволило говорить о квазистатичности процесса. 3. Численно решена задача о статическом равновесии лука. Проведено исследование влияния параметров лука на силы натяжения тетивы и лука. Установлено, что в геометрически параметры лука не оказывают качественного влияния на вид зависимостей сил натяжения лука и тетивы от величины базы лука. Проведено исследование влияния параметров лука на форму лука. 4. Предложен и реализован в виде программного пакета численный метод решения динамической задачи о выстреле из лука, основан ный на законе сохранения полной энергии системы плечи лука - те тива - стрела. Помимо фактов, установленных при эксперименталь ном исследовании луков, в основе метода лежит гипотеза о прохож дении плечами лука положении, близких к положениям равновесия. Проведено исследование влияния параметров лука на скорость вы лета стрелы. Выявлены следующие закономерности: a. Для каждого стрелка лук должен подбираться индивидуально. b. Масса стрелы оказывает существенное влияние на выбор лука. c. При фиксированной длине плеча лука существует оптималь ный угол выгиба, при котором достигается максимальная ско рость вылета стрелы. Чем больше длина плеча лука, тем меньше этот угол. d. Выгодно иметь максимально длинный лук. e. Изменение в сторону разумного уменьшения сечения плеча лука является эффективным способом увеличения скорости вылета стрелы. f. Увеличение постоянной начальной кривизны плеча лука по зволяет увеличить скорость вылета стрелы, однако при этом возрастает сила натяжения лука. При фиксированной силе на тяжения лука увеличение постоянной начальной кривизны не дает выигрыша в скорости. 5. Проведено сравнение результатов теоретических расчетов с экспе риментальными данными. В результате сравнения установлено, что предложенная модель позволяет с высокой точностью вычислять скорость стрелы в процессе выстрела. Помимо этого выполнена проверка гипотезы о прохождении плечом лука состояний, близких к состояниям равновесия. В заключение, хотелось бы поблагодарить моего научного руководителя профессора А.В. Звягина, без которого эта работа никогда бы не состоялась; А.Ф. Зубкова за помощь в проведении экспериментов; И.С Григорьева за помощь в построении численных методов, а также всех друзей и родственников, оказывавших мне поддержку на протяжении выполнения работы.