Введение к работе
Актуальность темы. Термомеханические процессы в составных телах, изучаемые посредством аналитических методов на основе двумерных математических моделей, составляют предмет исследования диссертационной работы. Объектом, в котором моделируются осесимметричные температурные и обусловленные ими механические поля, является конечный составной цилиндр, т.е. цилиндр, кусочно-однородный по высоте.
Актуальность исследования обусловлена широким использованием составных, в частности цилиндрических, тел в качестве элементов конструкций, приборов и аппаратов, подвергающихся разнообразным температурным воздействиям. Важной областью использования точных двумерных решений является область экспериментальной теплофизики, предназначенная для исследования теплофизических свойств веществ. Вытекающие из этих решений расчетные формулы для определения коэффициентов теплопроводности, температуропроводности и теплоемкости, отражают реальные условия эксперимента и позволяют избежать необходимости обращения к более идеализированным одномерным моделям теплообмена.
Использование системы тел, включающей испытуемый и эталонный материал, позволяет осуществлять комплексное определение теплофизических характеристик (ТФХ). Изменение температуры системы, состоящей из образцов с различными коэффициентами линейного температурного расширения, приводит к возникновению механических полей, которые могут оказать существенное влияние на ход и точность проведения экспериментальных исследований. Учет и оценка указанных факторов возможны лишь на основе применения адекватных математических моделей термомеханических процессов, происходящих в условиях реаль-
него эксперимента.
Сложность теплофизических процессов, происходящих в составных телах, вынуждает обращаться, как к численным, так и к аналитическим методам их исследования. Последние позволяют производить не только количественный, но и качественный анализ искомых функций относительно переменных и параметров, входящих в решение, что является весомым аргументом в пользу использования аналитических методов в качестве методологической основы теплофизических исследований, объектами которых, как правило, служат составные тела простой формы (пластина, цилиндр, диск, шар). Особенно целесообразно применение аналитических методов при сильно различающихся теплофизических свойствах и геометрических размерах частей составного тела, а также при исследовании характера термомеханических полей вблизи особых точек его границы.
Нахождение аналитического выражения для функции температурного распределения, входящей в интегральные члены решения квазистатической задачи термоупругости, является первым и существенным этапом решения указанной задачи. Многочисленные примеры применения аналитических методов к решение раз-нообразаных задач теплопроводности в составных телах приведены в работах Н.М.Беляева, Д.Егера, Г.Карслоу, А.Б.Лыкова, А.А.Рядно и других авторов.К основным методам решения подобных задач следует отнести операционный метод, метод функций Грина, метод интегральных преобразований и метод Фурье. В случае многомерного нестационарного температурного поля решение можно получить используя одновременно преобразования Фурье или Ханкеля и операционный метод (Э.М.Карташов, В.П.Козлов, Р.Ишида). Как правило, операционным методом пользуются при однородных начальных условиях, а при неоднород-
-5-ных начальных условиях преимущественно применяются методы интегральных, в частности конечных, преобразований.
В основу известных сравнительных методов определения ТФХ положены либо приближенные решения (Г.К.Кондратьев), либо реаения, основывапциеся на одномерной модели теплообмена (А.В.Лыков), либо двумерные решения, полученные для полуограниченных областей (В.П.Козлов). Препятствием для широкого использования двумерных нестационарных моделей в экспериментальных исследованиях являются трудности получения и реализации аналитических решений, вследствии того, что чем точнее постановка теплофиэической задачи, отражающей реальные условия теплообмена, в частности конечность используемых тел, тем сложнее закономерности развития соответствующих температурных полей. '..-
Вторым этапом решения задачи термоупругости является определение механических полей, вызванных известным распределением температуры. Изучению теории и разработке методов теории упругости и термоупругости для тел неоднородной структуры посвящены работы Я.Ц.Григоренхо, В.З.Грищака, В.С.Гуд-рамовича, А.Т\Василенко, Г.С.Кита, А.Д.Коваленко, Ю.М.Коля-но, В.А.Ломакина, С.Г.Михлина. В.И.Моссаковского, И.А.Мото-аиловца, Н.И.Нусхелишвили, М.Ф.Образцова, Н.Д.Панкратовой, В.Л.Пелеха, Я.С.Подстригача, В.И.Пожуёва, Г.Я.Попова, И.Н.Преображенского, А.К.Приварникова, Б.В.Процюка, Д.И.Шер-мана и других авторов. Соответствующие задачи для составных ограниченных тел, т.е. тел граничные поверхности которых пересекаются, и проблемы, возникающие при их решении, рассматриваются в работах Р.К.Александряна, Д.Боджи, А.А.Баблояна, Л.О.Галфаняна, І.Дандерса. В.В.Лобода, А.П.Мелкояна, В.С.Та-нояна, С.П.Тимошенко, К.С.Чобаняна.
В частности, температурные напряжения в бесконечной составном цилиндре определены Р.Ишидрй, В.Т.Гринченко и A.D.Шевченко, а в конечном - Т.Гошииои и К.Мияо, в работе которых, как и в большинстве исследований, рассматривается случай однородного поля температур.
Анализ, осуществленный в работах В.Т.Гринченно, А.Ф.Улитко, А.Ю.Шевченко, свидетельствует о том. что получение достоверных количественных данных в рассматриваемых задачах не является тривиальной процедурой счета по формулам. Надежные результаты для конечных тел удается получить лишь после доработки общих формул на основе установленных асимптотических свойств полученных решений.
Оценки точности одномерных Моделей тепловых процессов для кусочно-однородных тел (И.Б.Зино, Э.А Тропп) показывают, что во многих случаях они не всегда могут удовлетворять требованиям инженерной практики, вследствии чего приходится обращаться к точным аналитическим решениям полной задачи'.
Все вышесказанное позволяет сделать вывод об актуальности выбранной темы.
Цель диссертационной работы состоит в определении аналитическими методами осесимкетричных термомеханических полой в конечном составном цилиндре и изучении на этой основе специфики-получения и практической реализации аналитических решений двумерных задач теплопроводности и териоупругости, моделирующих теплофизические процессы в составных телах.
Основными задачами научного исследования является:
изучение влияния тешюфизических параметров на характер распределения тепловых полей;
применение двумерных математических моделей термомеханических процессов в составных телах для тешюфизических ис-
-7-следований;
- численная реализация аналитических решений с учетом особенностей их поведения.
Общая методология исследования основывается на аналитических методах решения задач теплопроводности и термоупругости. Методика решения разнообразных задач теплопроводности в составных телах состоит в последовательном применении интегрального преобразования по пространственной переменной, вдоль которой теплофизические свойства составного тела однородны и интегрального преобразования Лапласа по временной переменной. Для решения осесимметричной задачи термоупругости используются термоупругий потенциал перемещений и функция Лява. Анализ и реализация полученного решения осуществляются на основе изучения его асимптотических свойств.
Научная новизна результатов, выносимых на защиту, состоит в следующем:
рассмотрены особенности совместного применения метода интегральных преобразований и операционного метода к решению двумерных задач теплопроводности, моделирующих температурные процессы в составных телах;
получены расчетные формулы сравнительного способа комплексного определения теплофизических характеристик, основанного на двумерной модели процесса теплообмена в системе конечных эталонного и испытуемого образцов цилиндрической формы;
исходя из общих уравнений термоупругости получено аналитическое решение осесимметричной термомехаяической задачи в квазистатической постановке. Произведена аналитическая доработка полученного решения, позволившая осуществить численное моделирование механических полей, обусловленных неравномер-
-fi-
ннм нагревом, в любой точке конечного составного цилиндра.
Практическая ценность. Полученные двумерные аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости могут представлять теоретический и практический интерес, во-первых, для обоснования границ применимости одномерных моделей тепловых процессов в составных телах, в частности при разработке теплофизических экспериментов; во-вторых, для расчета пространственных термомеханических полей в телах, реально используемых на практике, в частности в радиоэлектронной аппаратуре, при анализе тепловых процессов в ядерной энергетике, при решении различных технологических задач (контактная техника, термобиметаллы, сварка трением); в-третьих, для верификации численных методов применительно к конечным телам неоднородной структуры. Они могут служить основой для разработки сравнительных методов определения ТФХ, которые по сравнению с известными способами, позволяют:
а) повысить точность комплексного определения ТФХ за счет
более полного соответствия используемых пространственных мо
делей реальным процессам теплообмена в4составных телах, сос
тоящих яз испытуемых и эталонных образцов;
б) упростить проведение теплофизических экспериментальных
исследований, в ходе которых исчезает необходимость в реали
зации таких условий, которые хотя и значительно облегчают
теоретический анализ, но не всегда в достаточной степени со
ответствуют действительности, как, например, условие беско
нечности или полуограниченности (в тепловом отношении) сис
темы тел.
Созданы программы для ПЭВМ, которые реализуют алгоритмы расчета температурных и механических полей, вытекаифе из решения соответствующих задач.
Достоверность результатов диссертации обосновывается точностью используемых математических методов, корректностью постановок задач, согласованностью между ними и результатами полученными другими авторами.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Третьей Всесоюзной конференции "Механика неоднородных структур" (1991 г., г.Львов) и на Первой Всесоюзной конференции "Технологические проблемы прочности несущих ионструкций"(1991 г., г.Запорожье). В целом работа докладывалась на заседании семинара отдела вычислительных методов Института механики НАН Украины (г.Киев) и на научных семинарах кафедр: высшей математики Запорожской государственной инженерной академии и прикладной математики Запорожского государственного университета.