Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Экспериментальное исследование и теоретические модели расчета баланса энергии при неупругом деформировании и разрушении металлов 16
1.1 Экспериментальное исследование баланса энергии в процессе неупругого деформирования металлов .17
1.2 Теоретические подходы к описанию баланса энергии в процессе неупругого деформирования металлов 26
1.2.1 Макрофеноменологические модели упругопластического деформирования металлов, позволяющие рассчитывать баланс энергии 26
1.2.2 Определение баланса энергии в металле при неупругом деформировании на основе дислокационных моделей 31
1.2.3 Комбинированный подход к определению баланса энергии в процессе неупругого деформирования гетерогенных материалов .36
1.2.4 Некоторые модели расчета баланса энергии при циклическом деформировании металлов .37
1.3 Энергетические соотношения для описания скорости роста усталостной трещины в металле 43
1.4 Накопленная энергия как критерий разрушения материалов .47
Выводы .50
Глава 2. Термомеханическая модель упруго-пластической среды с дефектами .53
2.1 Общие соотношения термодинамики 55
2.2 Общие принципы построения определяющих соотношений с внутренними переменными для описания упруго-пластической среды .56
2.3 Общие принципы построения определяющих соотношений упруго пластической среды с помощью нескольких диссипативных функций 59
2.3.1 Определяющие соотношения для материалов с механическим поведением, слабо зависящим от скорости деформирования .60
2.3.2 Определяющие соотношения для материалов с механическим поведением, зависящим от скорости деформирования
2.4 Определяющие соотношения упруго-пластического деформирования металлов, построенные с помощью линейной термодинамики необратимых процессов 62
2.5 Модификация определяющих соотношений для описания упруго-пластического деформирования металлов с учетом двух диссипативных функций 66
2.6 Анализ предложенных определяющих соотношений .73
2.6.1 Определение производства энтропии в процессе неупругого деформирования образца из армко-железа .73
2.6.2 Оценка структурно-чувствительного параметра при одноосном растяжения образца из армко-железа 80
Выводы .82
Глава 3. Методы численного моделирования баланса энергии при деформировании и разрушении
3.1 Алгоритм реализации в пакете Simulia Abaqus термомеханической модели для описания упруго-пластического деформирования и разрушения металлов .85
3.1.1 Построение модели поведения материала с использованием технологии UMAT (User Material) 85
3.1.2 Построение критерия разрушения материала на основе функции UDMGINI (User Damage Initiation) 89
3.2 Моделирование поведения трещин в металлах с помощью расширенного метода конечных элементов (XFEM) 91
3.2.1 Основные соотношения расширенного метода конечных элементов .92
3.2.2 Моделирование процесса распространения трещины когезионным методом .92
3.2.3 Метод функции уровня 93
3.3 Расчет параметров линейной механики разрушения .94
3.3.1 Прямой метод расчета J-интеграла для плоских задач .95
3.3.2 Прямой метод расчета J-интеграла для трехмерных задач .97
3.3.3 Расчет J-интеграла методом податливости .99
3.3.4 Пример расчета J-интеграла для образца с боковой трещиной 101
Выводы 103
Глава 4. Численное моделирование диссипации и накопления энергии при деформировании и разрушении металлов
Введение .105
4.1 Моделирование напряженно-деформированного состояния при квазистатическом деформировании металлов 106
4.1.1 Постановка задачи о расчете напряженно-деформированного состояния при квазистатическом деформировании с учетом эволюции дефектов .106
4.1.2 Примеры расчета напряженно-деформированного состояния для стали 03Х18Н11, стали 08Х18Н10, титана ОТ4-0 109
4.2 Моделирование баланса энергии при квазистатическом растяжении металлов .114
4.2.1 Постановка задачи расчета баланса энергии в металлах при квазистатическом деформировании 115
4.2.2 Примеры расчета баланса энергии в процессе деформирования стали 03Х18Н11, 08Х18Н10, титана ОТ4-0 .115
4.3 Моделирование процесса разрушения металлов 122
4.3.1 Моделирование процесса зарождения трещины в стали 08Х18Н10 .123
4.3.2 Моделирование скорости роста усталостной трещины в титановом сплаве ОТ4-0 .127
4.3.3 Моделирование пути распространения трещины при кручении цилиндрического образца и разрушения опоры подшипника из стали 08Х18Н10 .133
Выводы .136
Заключение .138
Список литературы .
- Макрофеноменологические модели упругопластического деформирования металлов, позволяющие рассчитывать баланс энергии
- Общие принципы построения определяющих соотношений упруго пластической среды с помощью нескольких диссипативных функций
- Построение модели поведения материала с использованием технологии UMAT (User Material)
- Примеры расчета напряженно-деформированного состояния для стали 03Х18Н11, стали 08Х18Н10, титана ОТ4-0
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Необходимость повышения экономической
эффективности разработки современных машин и механизмов требует перехода от натурного к
виртуальному проектированию и введения в инженерную практику таких понятий, как
компьютерная модель изделия или электронный прототип. Получение достоверных результатов
на основе виртуального проектирования требует создания адекватных моделей
деформирования и разрушения материала, описывающих процессы эволюции его структуры. При этом разрабатываемые модели должны иметь простую алгоритмическую реализацию и быть адаптированными для использования в коммерческих конечно-элементных пакетах.
Одним из перспективных подходов к построению моделей деформирования и критериев разрушения материала является подход, основанный на анализе баланса энергии в материале в процессе его деформирования. Диссертационная работа посвящена анализу существующего состояния развития моделей деформирования и разрушения металлов, описывающих процессы накопления энергии в материале, построению модели упруго-пластического деформирования и разрушения металлов и сплавов, позволяющей описывать эволюцию структурных дефектов в материале на основе принципов термодинамики необратимых процессов и ее адаптации для использования в конечно-элементном пакете Simulia Abaqus.
Степень разработанности темы исследования. При создании термомеханических моделей неупругого деформирования металлов необходимо учитывать тот факт, что только часть работы пластической деформации превращается в тепловую энергию, вызванную движением и аннигиляцией дефектов различных структурных уровней. Оставшаяся доля энергии запасается в упругих полях дефектов.
Начало исследования вопроса накопления энергии в металлах при неупругом деформировании было положено в работах А. Треска, G.I. Taylor, W.S. Farren и M.A. Quinney. В 60е-80е годы прошлого столетия значительный вклад в развитие данной тематики внесли такие советские ученые, как В.Е. Панин, М.А. Большанина, В.В. Федоров, В.С. Иванова. Современные экспериментальные исследования в этой области представлены в работах D. Rittel, P. Rosakis, A. Chrysochoos, W. Oliferuk, J. Hodowany, О.А. Плехова. Критерии разрушения, основанные на величине накопленной энергии, развиваются А.Р. Арутюняном, V.V.C. Wan и J.P. Crete.
Еще в 1973 году M.B. Bever отметил, что существует проблема, связанная с большим разбросом величины накопленной энергии для одного и того же материала, полученной разными исследователями. В связи с этим возникает необходимость построения модели, способной предсказывать величину накопленной энергии в процессе неупругого
деформирования металлов с учетом истории деформированияи влияния начальной структуры материала, и объяснять механизмы, ответственные за это явление.
В результате анализа работ J.-L. Chaboche, P. Rosakis, L. Stainnier, М. Brunig, Y. Xiao, J. Chen, D. Helm, S. Dumoulin, A. Saai, M. Gurtin, L. Anand, H. Schreyer можно сделать вывод об отсутствии подхода, обладающего термодинамической строгостью, описывающего эффекты «насыщения» накопленной энергии, и удобного для компьютерной реализации.
Таким образом, проблема построения модели, способной адекватно прогнозировать величину накопленной и диссипированной энергии при неупругом деформировании металлов, до сих пор не является решенной в полном объеме. Особенно актуальным является разработка модели, описывающей баланс энергии при квазистатическом и циклическом нагружениях, как наиболее часто встречающихся в инженерной практике.
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка феноменологической модели неупругого деформирования и разрушения металлов, позволяющей рассчитывать баланс энергии в материале при произвольном трехмерном квазистатическом или циклическом нагружении, и ее адаптация для использования в коммерческих пакетах конечно-элементного моделирования.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
-
Определение тензорных параметров, описывающих эволюцию структуры материала, законов их изменения в процессе деформирования и построение термодинамической модели, позволяющей проводить расчет баланса энергии в деформируемом материале.
-
Разработка критериев разрушения материала на основе расчета величины и скорости накопления энергии.
-
Разработка алгоритмов адаптации модели и критерия прочности для использования в конечно-элементном пакете Simulia Abaqus.
-
Расчет баланса энергии при:
квазистатическом растяжении образцов из стали 03Х18Н11, стали 8Х18Н10, титана ОТ4-0;
зарождении и распространении трещины в образце из стали 08Х18Н10 при квазистатическом растяжении и в условиях сложного напряженно-деформированного состояния;
распространении усталостной трещины в образце из титанового сплава ОТ4-0.
Научная новизна. Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
построена термодинамическая модель для расчета баланса энергии при неупругом деформировании металлов и сплавов;
проведен теоретический анализ и построена зависимость, описывающая эволюцию структурного параметра в процессе квазистатического растяжения металла;
установлена связь между коэффициентом упрочнения и скоростью накопления энергии, описан эффект «насыщения» энергии как предвестник разрушения металла;
показано преимущество энергетического подхода к описанию скорости распространения усталостной трещины по сравнению с традиционными феноменологическими.
Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы
заключается в построении модели деформирования и разрушения металлов, позволяющей
определять величину накопленной и диссипированной энергии при различных историях
нагружения. Практическая значимость работы заключается в адаптации модели для
использования в конечно-элементном пакете, что позволит проводить с ее помощью расчет прочности реальных металлических конструкций. Разработанный математический аппарат позволяет определять скорость диссипации энергии в металлических материалах при деформировании и разрушении. Полученные результаты могут быть использованы как при анализе результатов метода теплового неразрушающего контроля, так и для проведения уточненных расчетов напряженно-деформированного состояния металлов с учетом эффекта саморазогрева.
Методология и методы исследования.В рамках диссертационной работы использовались подходы теории определяющих соотношений для разработки уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние материала и позволяющих рассчитывать баланс энергии. Численное моделирование проводилось методом конечных элементов (FEM) и расширенным методом конечных элементов (XFEM).
Положения, выносимые на защиту:
-
Математическая модель, позволяющая рассчитывать величины накопленной и диссипированной энергий, с учетом многоосного напряженно-деформированного состояния при квазистатическом и циклическом нагружении металлов и сплавов.
-
Алгоритмы адаптации модели накопления и диссипации энергии и критерия разрушения, основанного на величине накопленной энергии, для использования в коммерческих пакетах конечно-элементного моделирования.
-
Результаты численного моделирования эволюции накопленной энергии и эффекта ее «насыщения» при переходе к макроскопическому разрушению в процессе квазистатического растяжения стали 03Х18Н11, стали 08Х18Н10, титана ОТ4-0.
-
Результаты численного моделирования процессов зарождения и распространения трещины в образцах из стали 08Х18Н10 с использованием критерия разрушения, основанного на величине накопленной энергии.
5. Результаты численного моделирования баланса энергии в вершине усталостной трещины и прогнозирование скорости ее распространения в титановом сплаве ОТ4-0.
Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных результатов обуславливается соблюдением фундаментальных физических принципов при построении модели деформирования, выполнением требований проведения численного эксперимента, хорошим согласованием результатов численного моделирования как с оригинальными экспериментальными данными, полученными в ИМСС УрО РАН, так и экспериментальными данными других авторов.
Результаты работы были представлены на следующих международных и российских научных конференциях: XVIII Зимняя школа по механике сплошных сред (18-22 февраля 2013 г., Пермь, Россия), 13th International Conference on Fracture (Beijing, China, 16-21 June, 2013), 7th International Conference on Materials Structure & Micromechanics of Fracture (Brno, Czech Republic, July 1–3, 2013), International Workshop “Failure of Heterogeneous Materials under Intensive Loading: Experiment and Multi-scale Modeling”(10-14 February, 2014, Perm, Russia), XXI Петербургские чтения по проблемам прочности (Санкт-Петербург, Россия, 15-17 апреля 2014), 11th World Congress on Computational Mechanics (July 20-25, 2014, Barcelona, Spain), XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, Россия, 20-24 августа 2015), «Перспективные материалы с иерархической структурой для новых технологий и надежных конструкций» (Томск, Россия, 21-25 сентября 2015).
Личный вклад автора заключается в участии в разработке термодинамической модели для описания баланса энергии в процессе неупругого деформирования металлов, разработке, написании и отладке всех численных алгоритмов, представленных в работе, проведении численных экспериментов и сопоставлении их результатов с результатами других авторов и результатами экспериментов.
Публикации. Результаты диссертации представлены в 11 научных публикациях, проиндексированных в международных системах цитирования и входящих в список журналов, рекомендованных ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 153 страницы и содержит 52 рисунка, список цитированной литературысостоит из 128 наименований.
Макрофеноменологические модели упругопластического деформирования металлов, позволяющие рассчитывать баланс энергии
Исследованию вопроса накопления энергии в металлах при неупругом деформировании посвящено большое количество работ. Треска в 1874 году обнаружил, что 90% работы, затраченной на пластическое деформирование поликристаллической меди, превращается в тепловую энергию [1]. В дальнейшем, интерес к исследованию генерации тепла в процессе неупругого деформирования был проявлен в 1925 году в работе Тейлора и Фаррена [2], которые заинтересовались наблюдениями доктора Синната. Опыты Синната показали, что только десятая часть работы переходит в тепло, оставшаяся часть работы предположительно идет на изменение структурного состава материала. Тейлор и Фаррен в опытах на растяжение стали, меди и алюминия получили противоположные результаты, повторившие выводы Треска. Проведенные в 1934 году эксперименты на кручение и сжатие чистой меди и мягкой стали показали сравнимые с Треска результаты [3].
Несмотря на интерес к определению баланса энергии в процессе неупругого деформирования, проявляемый исследователями с первой четверти ХХ века, этот вопрос до сих пор остается недостаточно выясненным и требует дальнейшего изучения. Обзор работ, выполненных до 1973 года, представлен в [4]. В настоящее время существует острая необходимость подготовки аналитического обзора теоретических и экспериментальных работ, выполненных после выхода обзора [4].
В первом параграфе данной главы приведен обзор экспериментальных исследований баланса энергии при различных видах нагружений. Во втором параграфе приведен анализ теоретических работ, посвященных моделированию процессов диссипации и накопления энергии при квазистатическом и циклическом деформировании. В третьем параграфе рассмотрены уравнения, описывающие скорость роста усталостных трещин, полученные с помощью рассмотрения баланса энергии в вершине трещины. Заключительный параграф посвящен обзору критериев разрушения металлов, основанных на критической величине накопленной энергии.
В данном разделе приведен краткий обзор ключевых работ (по мнению автора), посвященных экспериментальному определению накопленной энергии.
В работе [4] отмечается, что существует проблема, связанная с большим разбросом значений накопленной энергии, полученных разными исследователями при деформировании одного и того же материала. На рисунке 1.1 представлены экспериментальные данные о величине накопленной энергии меди, полученные в процессе ее неупругого деформирования разными исследователями. Автор обзора связывает разброс в значении накопленной энергии с применением разных методов ее определения, а также с различной внутренней структурой материала.
Экспериментальные значения накопленной энергии для меди в зависимости от затраченной работы, полученные разными исследователями [4] В работах Федорова В. В. [5] было высказано предположение, что накопленная энергия является интегральным параметром, характеризующим внутреннюю структуру материала. Работа пластической деформации и выделенное тепло при всех (в том числе и круговых) процессах отличны от нуля. Следовательно, эти величины не являются функциями состояния, а являются функциями процесса. С точки зрения Федорова В. В., функцией однозначно характеризующей состояние материала, является накопленная энергия. Экспериментальные результаты Федорова В. В. также показали, что критическое значение накопленной энергии может рассматриваться в качестве критерия разрушения металла. На рисунке 1.2 представлены критические значения плотности накопленной энергии в зависимости от амплитуды циклических напряжений для различных видов сталей. Можно отметить, что амплитуда циклических напряжений практически не влияет на критическую величину накопленной энергии, следовательно, она также не зависит от числа циклов до разрушения. Таким образом, Федоров делает вывод, что критическое значение накопленной энергии является постоянной величиной для заданного материала и может быть использовано в качестве критерия его разрушения.
Критические значения изменения плотности накопленной энергии AE s для сталей при различных значениях амплитуды напряжений аa: (а) сталь 25(о), сталь 2Х13(о), сталь 40Х(о); (б) сталь 45(о), сталь 45(н), сталь 45(у)[5] Интересным является также развитие Федоровым В. В. идеи об аналогии между процессами разрушения кристаллических тел и их плавлением. Суть этой гипотезы заключается в сопоставлении энергии, затраченной на разрушение образца, с одной из термодинамических характеристик материала (скрытой теплотой плавления, энтальпией материала в твердом или жидком состояниях). Федоровым В. В. было экспериментально показано [5], что критическое значение изменения плотности накопленной энергии для сталей в отожженном состоянии близки к энтальпии железа при температуре плавления в твердом состоянии.
Расчет доли накопленной или диссипированной энергии обычно выполняется с помощью введения коэффициента Тейлора-Квинни р. В этом случае уравнение баланса энергии имеет вид: kAT-a(3 + 2u)TSo+Pa:sp = pcf, (1.1) где к - коэффициент теплопроводности, a - коэффициент теплового расширения, X, ы - постоянные Ламе, р- плотность материала, с - удельная теплоемкость, Т - абсолютная температура. Точка над буквой означает полную л & д" д" производную по времени, А = — ч ч . Здесь предполагается, что полная деформация (є) состоит из упругой (se) и пластической (sp) составляющих, є„-шаровая часть тензора упругих деформаций, a - тензор напряжений. В уравнении (1.1) величина р представляет собой отношение скорости совершенной работы к мощности диссипированной энергии. При адиабатических условиях (кДТ = 0) и при малости упругих деформаций по сравнению с пластическими, уравнение (1.1) можно переписать в более простом виде: Pdiff(s)Wp=pct, (1.2) где Wp = a: єр - скорость работы пластической деформации.
Общие принципы построения определяющих соотношений упруго пластической среды с помощью нескольких диссипативных функций
В моделях неупругого деформирования поликристаллов правильный выбор необходимого числа переменных кинематического упрочнения становится еще более существенным. Рассмотрим модель, описанную в работе [36].
При таком подходе скорость диссипации энергии ф в зерне определяется выражением: ss где TS - проекция локального вектора напряжений на систему скольжения s, у -скорость вязкопластической деформации, X - термодинамическая сила, соответствующая кинематическому упрочнению, yls - общая скорость сдвига, Ч потенциал состояния, R - термодинамическая сила, соответствующая изотропному упрочнению, а - переменная кинематического упрочнения, г -переменная изотропного упрочнения, нижний индекс s обозначает систему скольжения, по которой ведется суммирование. Скорость накопления энергии на уровне зерна Esg определяется выражением: sg=X(xA+Rsrs). S Накопленная энергия, определяемая переменными изотропного упрочнения, больше накопленной энергии, определяемой переменными кинематического упрочнения и, что более важно, возрастает от одного цикла к другому, как и в макроскопических моделях. Число переменных кинематического упрочнения слабо влияет на уровень накопленной энергии.
Эволюция накопленной энергии, полученная с помощью поликристаллической модели, соизмерима с полученной при использовании макроскопической модели, в том случае, если макроскопическая модель содержит по крайней мере две переменных кинематического упрочнения.
На макроскопическом уровне диссипация и накопленная энергия определяются выражениями (1.4) и (1.5) соответственно: (j) = J]fg (xjs-Xsds-Rsrs) , (1.4) V s = Т,Цд1-К+д1-Ч + Т,(хА+ Л)\ (1.5) g V s J где g - номер зерна, f - определяет объем зерна g, se - тензор скорости упругой деформации, єр - тензор скорости пластической деформации, аг - тензор остаточных напряжений. Расчеты показали, что нет существенного различия в значениях pint, полученных с помощью макроскопической и поликристаллической моделей. Однако поликристаллические модели позволяют разделить накопление энергии на внутризеренном и межзеренном уровнях, что может быть полезно при создании вероятностных моделей поврежденности.
В этой работе также было приведено сравнение трех макроскопические моделей: модели линейного кинематического упрочнения с одной переменной, модели нелинейного кинематического упрочнения с одной переменной и модели нелинейного кинематического упрочнения с тремя переменными.
Идентификация этих моделей проводилась с помощью результатов усталостного испытания, проведенного при частоте 8 кГц и числе циклов, равном 30000. Все модели корректно описывают зависимость напряжения от деформации, а также работу пластической деформации, но при расчете pint
наблюдаются количественные расхождения. Причина такого расхождения заключается в разных значениях переменной изотропного упрочнения для разных моделей, что ведет к разным значениям величины накопленной энергии, так она прямо пропорциональна переменной изотропного упрочнения.
Отмечается, что существенным недостатком моделей такого типа являются сложности при описании других видов нагружения (например, растяжения). Экспериментально установлено, что в процессе растяжения аустенитной нержавеющей стали происходит «насыщение» величины накопленной энергии при достижении деформации определенного уровня [37,38]. Этот эффект не может быть адекватно описан при таком выборе функции состояния и диссипативного потенциала, так как накопленная энергия всегда возрастает, в то время как пластическая деформация появляется как только переменная изотропного упрочнения становится отличной от нуля. Полное насыщение накопленной энергии может быть асимптотически описано, когда переменная изотропного упрочнения достигает некоторого критического значения при использовании других потенциалов. Однако это может противоречить экспериментальным результатам, показывающим, что часть работы пластической деформации продолжает накапливаться в материале, даже если петля гистерезиса является стабильной.
Одной из задач, поставленных в данной работе, является описание процесса распространения усталостной трещины в металлах. Расчет баланса энергии позволяет описать процесс деформирования и разрушения в вершине усталостной трещины и его влияние на скорость ее распространения.
Поскольку при распространении усталостной трещины в ее вершине формируется зона пластической деформации, то наиболее очевидным параметром, характеризующим скорость роста трещины, является работа пластической деформации. Существует множество работ, посвященных описанию скорости роста трещины с помощью такого параметра.
Построение модели поведения материала с использованием технологии UMAT (User Material)
Проблеме определения энтропии при неупругом деформировании, посвящены работы авторов [28, 73-77]. Klamecki [73] показал существование двух различных режимов производства энтропии. Один из них связан со структурными изменениями, происходящими в материале вследствие зарождения новых дефектов, а другой - с диссипацией тепла вследствие аннигиляции дефектов. В работе [74] производство энтропии связывается с деградацией материала вследствие его износа. Beghi [75] предложил способ определения производства энтропии в случае упругого и начала пластического режимов деформирования. Он показал, что предел текучести связан с переходом скорости производства энтропии от более низкого уровня (близкого к нулю) к более высокому уровню. В работе [76] для определения энтропии в сплавах Sn3.8AgO.7Cu и Sn3.0Ag0.5 использовалась теория информации и понятие «информационная энтропия Шеннона». При таком подходе энтропия определяется через вероятность наступления определенного события. Для физической системы такими событиями являются наборы микроструктурных состояний от неповрежденного до полностью разрушенного. В работе. [77] производство энтропии связывается с тремя необратимыми процессами: образованием дислокаций, их скольжением и аннигиляцией. Anand и др. [28] разработали градиентную термомехническую скоростно-нечувствительную модель пластичности монокристалла и получили выражения для определения внутренней энергии и энтропии.
Данный раздел посвящен разработке метода определения энтропии в процессе пластического деформирования на основе вышеописанной модели. Определение этой функции состояния термодинамической системы позволяет получать другие термодинамические потенциалы системы и может быть использовано впоследствии для уточнения вида свободной энергии. Предложенный подход проиллюстрирован на примере расчета производства энтропии при пластическом деформировании армко-железа. Так как определение энтропии основано на использовании экспериментальных данных по одноосному квазистатическому растяжению армко-железа, то для простоты будем считать, что рассматриваемый процесс описывается скалярными уравнениями.
Предположим, что удельная теплоемкость с = -Т(д F / дТ ) зависит от переменных р, єе, Т. В работе [4] обсуждался вопрос влияния структурных дефектов на величину удельной теплоемкости. Измерения удельной теплоемкости в отожженных и деформированных образцах показали, что разница удельных теплоемкостей составляет менее одного процента. В предлагаемом нами подходе, структурные дефекты определяются величиной структурной деформации р . Следуя работам [24, 28, 78], предположим, что удельная теплоемкость процесса с зависит от упругих деформаций єе, температуры Т и не зависит от структурно-чувствительного параметра р: с=с(єе,Т). Тогда справедливо следующее соотношение:
Введем функции s p), Ё,(р), такие, что s/(p)=-f(p), E;(p)=g(p)(здесь и далее символ “” означает производную). Интегрирование (2.88) позволяет получить выражение для определения свободной энергии F, энтропии S и напряжения о: F(se,p,T)= - Ts1(p)+E1(p)+0(se,T), (2.89) S(se ,p,T)= - — = s, (р) - аФ(Є Т) (2.90) ат ат a(se ,T) = aF(S -Т) = аф Т) (2.91) аєе дее где функция Sj(p) представляет собой величину структурной энтропии. Предположим также, что удельная теплоемкость не зависит от упругих деформаций при малых упругих деформациях [24]. Следовательно, с=с(Т) и из (2.89) можно получить: д fд2 в (е2Ф эт 2 J J = 0. дге дТ дге Интегрирование последнего соотношения позволяет получить для функции Ф(єе,Т)следующее разложение: 0(se,T)=F(T)s2(se)+E2(se). Тогда для (2.89), (2.90) и (2.91) справедливы соотношения: F(se,p,T)=F(T) - T(s1(p)+s2(se))+E1(p)+E2(se), (2.92) S(se,p,T)=Sl(p)-F(T)+s2(se), (2.93) а(єе,Т)= s2 (se)+E2 (se)=E2 (se)+TM(se), М(єе)= -s2 (se), (2.94) где M(se)=-s2 (se) зависит только от величины упругих деформаций. Предположим, что E2"(se)=E=const (модуль Юнга) и -s2 (se)=M=const (температурный коэффициент модуля упругости) и введем коэффициент термического расширения а = . Е Если предположить, что удельная теплоемкость - постоянная величина при комнатной температуре [24, 28] c(T)=c=const, то мы можем получить для функции F(T) выражение: F(T)=-c ТЬД-(Т-Т0) V io J Если также предположить, что в отсчетной конфигурации о=0 и єе=0 при Т=Т0, то мы можем переписать соотношения (2.92) - (2.94) в виде: (Т-Т0)-Т1п F=c +ЕХР)Sl(p)+E(se /2- (Т -Т0)аєе), (2.95) S=s, (p)+cln—+аЕєе, (2.96) 1 Т0 а=Е(єе-а(Т-Т0)). (2.97) Уравнение баланса энергии в одномерном случае имеет вид: e=cs-qx+r , (2.98) где qx = dq І дх, точка над символом означает производную по времени. Свободная энергия системы определяется, как: F=eS, (2.99) Подстановка (2.99) в (2.98) позволяет записать первый закон термодинамики в виде: TS=as-F-ST-qx+r\ (2.100) Производные по времени функций (2.95) и (2.96) имеют вид: F=a - Wp - cf In—+Ё\(р) - f s p) - Ts p) -ЕІаєе, (2.101) S=s,(p)+c-+aEse. (2.102) T Подстановка (2.101) и (2.102) в (2.100) позволяет получить выражение: cf+aTEse=Wp -Ё\(р) -qx+r =Wp -Ё/(р)р -qx+r , (2.103) где Wp=o(p+sp) - мощность неупругих деформаций. Из (2.101) можно получить выражения для определения частных производных свободной энергии: FP=E;(P)S;(P) и: FTp=-s/(p). Подстановка этих выражений в (2.57) позволяет получить уравнение для определения коэффициента Тейлора-Квинни: р=1_Е/()Р5 {2.Ш) и из (2.104) следует, что Ё (р)р=(1 - p)Wp. Подстановка этих выражений в (2.103) приводит к соотношению: S = s1(p) + B — - L + r . Т Т Согласно исследованиям, проведенным в [4], энтропия, связанная со структурным параметром достаточно мала и может не учитываться при определении полной энтропии системы. Предполагая, что FTp=0, мы можем получить следующие уравнения для определения производства энтропии: wP S = s,(p) + 3 — - — + г (2.105) Т Т или S=с-+aEse. (2.106) T Уравнения (2.105) и (2.106) будут использованы для обработки экспериментальных данных и получения производства энтропии системы при пластическом деформировании.
На рисунке 2.1 представлены результаты (механическая кривая, скорость накопления энергии и эволюция температуры) испытания на квазистатическое растяжение образца и армко-железа при скорости деформирования кг3 с-1. Эволюция температуры записывалась с помощью инфракрасной камеры. Детальное описание эксперимента приведено в [79]. Будем рассматривать только однородную часть пластической деформации, соответствующую временному интервалу от 50 до 140 секунды (рис. 2.1).
Рост скорости накопленной энергии на начальном этапе пластического деформирования может быть связан с зарождением новых структурных дефектов [7]. Уменьшение скорости накопления энергии обуславливается преобладанием диссипативных процессов (движения и аннигиляции структурных дефектов). Особенностью диссипации энергии в армко-железе является наличие трех линейных участков на кривой зависимости температуры от времени. Второй линейный участок соответствует образованию плато на кривой скорости накопления энергии. Эта особенность наблюдалась для всех исследованных скоростей деформирования.
Примеры расчета напряженно-деформированного состояния для стали 03Х18Н11, стали 08Х18Н10, титана ОТ4-0
Построение модели баланса энергии и расчёт доли накопленной энергии, представляет интерес при исследовании различных явлений, сопровождающих процесс пластического деформирования и разрушения. Например, прогнозирование момента образования локализованных полос сдвига, возникновения шейки и других видов неустойчивости процесса деформирования. Расчет накопленной энергии также позволяет моделировать процессы зарождения и распространения трещин в металлах на основе энергетического критерия разрушения и энергетического уравнения распространения трещины.
Моделирование накопленной энергии становится возможным благодаря введению дополнительной внутренней переменной, совпадающей по смыслу с деформацией, обусловленной дефектами. Характер введения этой переменной позволяет её использовать в качестве независимого термодинамического параметра при определении термодинамического потенциала системы.
В данной главе продемонстрированы возможности определяющих соотношений, полученных во второй главе, для моделирования процессов диссипации и накопления энергии при деформировании и разрушении металлов. В настоящей главе представлено численное решение следующих задач: расчет напряженно-деформированного состояния при квазистатическом нагружении металлов с учетом эволюции дефектов (в стали 03Х18Н11, стали 08Х18Н10, титановом сплаве ОТ4-0); расчет баланса энергии при квазистатическом деформировании металлов (в стали 03Х18Н11, стали 08Х18Н10, титановом сплаве ОТ4-0); моделирование процесса разрушения металлов на основе энергетического критерия зарождения трещины и энергетического уравнения для определения скорости распространения трещины (в стали 08Х18Н10, титановом сплаве ОТ4-0) .
Результаты решения этих задач опубликованы в работах [103-121]. Данный параграф посвящен моделированию напряженно-деформированного состояния (НДС) металлов, на основе определяющих соотношений, полученных во второй главе. Проведен расчет зависимости напряжения от деформации при кинематическом растяжении следующих металлов: стали 03Х18Н11, стали 08Х18Н10, титана ОТ4-0. Полученные зависимости сравнивались с экспериментальными данными, полученными в лаборатории Физических основ прочности ИМСС УрО РАН и с данными, взятыми из литературных источников. Расчет напряженно-деформированного состояния проводился в конечно-элементном пакете Simulia Abaqus с использованием пользовательской функции UMAT.
Постановка задачи о расчете напряженно-деформированного состояния при квазистатическом деформировании с учетом эволюции дефектов Рассматривалось нагружение образца в виде лопатки, геометрия которого Предполагается, что полная скорость деформаций є состоит из скорости упругих деформаций е, скорости пластических деформаций s, скорости структурных деформаций р: є = єе + єр + р, (4.1) Шаровая часть тензора напряжений сг0, девиаторная часть тензора напряжений (7d связаны с шаровой частью si и девиаторной частью sed тензора упругих деформаций с помощью линейного закона Гука:
Для скорости пластических деформаций и скорости структурных деформаций справедливы соотношения, полученные в п. 2.5 второй главы: Г 7d: 7d yd (4.4) М М р=Г УА др (4.5) где сг - интенсивность тензора напряжений, р - интенсивность тензора структурной деформации, Га, Гр - материальные функции. Для тензора полных деформаций в случае малых деформаций справедливо геометрическое соотношение: S = -(VU + VUT) , 2V ; где V - оператор Гамильтона. Данная система уравнений дополняется уравнением равновесия: Силовые граничные условия имеют вид: (4.6) (4.7) 108 n-a\Tp=F, (4.8) где її - вектор внешней нормали к поверхности, F - вектор поверхностных сил, Г - граница тела, на которой заданы поверхностные нагрузки. Кинематические граничные условия задаются соотношением: й\Ти=й, (4.9) где її - вектор перемещений, її - заданные перемещения, Г - граница тела, на которой заданы перемещения. Начальные условия системы имеют вид: 0е[о=0, (4.10) t=0 % =0, (4.11) Є t=0 = 0, (4.12) pt о = 0. (4.13) Для оценки сходимости задачи квазистатического кинематического нагружения образца, геометрия которого изображена на рис. 4.1, проводилась серия расчетов с разным количеством конечных элементов N: 800, 1400, 3000, 5800, 7600, 15500. Относительная погрешность у определялась согласно формуле: _т _ т у.= 15500-100%, ISSOO где г500 - значения напряжения по Мизесу в рабочей части образца, полученное при расчете задачи, содержащей 15500 конечных элементов, индекс і принимает значения 800, 1400, 3000, 5800, 7600, 15500 и указывает на число элементов, используемое при определении напряжения по Мизесу т;ш. На рисунке 4.2 приведена зависимость относительной погрешности от числа конечных элементов, используемых при расчете. Из представленных результатов можно сделать вывод о том, что размер конечного элемента существенно не влияет на значение напряжения для рассматривемой геометрии и относительная погрешность расчета даже на крупной сетке составляет 1%. Это связано с тем, что геометрия, изображенная на рисунке 4.1, не содержит концентраторов.