Модели и методы исследования нелинейной пространственно-одномерной динамики неоднородных сплошных сред Хуснутдинова, Карима Робертовна

Введение к работе

Актуальность роботы. Работа посвящена изучению нелинейной про странствеїшо-одномеріюй динамики неоднородных сплошных сред.

Выбор темы исследований обусловлен возросшим в последнее Время интересом к нелинейным эффектам, имеющим место при распрос гранении волн конечной амплитуды в сплошных средах, а также значительным интересом к развитию математических методов исследования соответствующих нелинейных уравнений в частных производных.

В настоящее время имеется обширная литература, посвященная изучению нелинейных волн. Разработан ряд аналитических методов исследования нелинейных уравнений в частных производных, с помощью которых удалось построить классы точных решений многих важных для приложений уравнений. При этом выяснилось, что одни и те же уравнения возникг ют в качестве моделей волновых процессов в самых разнообразных физических ситуациях, являясь своего рода универсальными уравнениями.

Важным фактором, влияющим на динамику сплошной среды, является ее неоднородность. Сходство волновых процессов в различных физических ситуациях делает актуальной задачу поиска простых модельных систем уравнений, позволяющих, однако, изучить особенности распространения и взаимодействия нелинейных волн в неоднородных средах и разработать единые методы исследования подобных задач.

Цель работы. Целями настоящей работы являются:

построение полевых моделей, пригодных для описания нелинейных волновых процессов в неоднородных сплошных средах;

развитие метода исследования нелинейной динамики неоднородных сплошных сред, основанного на линеаризации динамических уравнений около их постоянных решений, и построение при помощи него решений, описывающих взанмодейсі вне уединенных both неинтегрнрусмых динамических уравнении;

групповая классификация по точечным снмметриям динамических уравнений (связанных уравнений типа Клейна-Гордона), по-

строение и анализ точных инвариантных решений;

аналитическое описание'линейных и нелинейных эффектов пере
качки энергии между компонентами среды в двухкомпонентных
средах.

Научная новизна- Все- основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

предложены новые полевые модели,"построенные на основе дискретных систем взаимодействующих частиц и пригодные для описания нелинейных волновых процессов в неоднородных сплошных средах;

обобщен на широкий класс нелинейных уравнений и систем уравнений в частных производных метод построения классов частных решений в виде формальных рядов, основанный на линеаризации уравнений около их постоянных решений; указаны условия существования формальных рядов; этим методом построены решения, описывающие взаимодействие уединенных волн неинтегрируемых динамических уравнений;

проведена групповая классификация по точечным симметриям связанных уравнений типа Клейна-Гордона (с точностью до пре> образований эквивалентности) и на ее основе для подмодели t гу-ковским.взаимодействием и обобщенной модели дислокации Френкеля-Конторовой найдены'-И проанализированы частные инвариантные решения, в том числе решения в виде периодических ,и уединенных волн; отмечено явление фильтра уединенных волн в двухкомпонентных средах;

аналитически описаны линейные и нелинейные эффекты перекачки энергии между компонентами в двухкомпонентных средах.

Методы исследования. Методика построения полевых моделей на основе дискретных соответствует направлению, развитому в работах

[1, 2, 3](см. также [4]). Используются методы группового анализа дифференциальных уравнений, а также методы теории возмущений.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть полезны специалистам, ра ботаюшим в различных областях механики сплошных сред, прежде все го, в области динамических задач механики деформируемого твердого тела.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на XI Российском Коллоквиуме "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования" (г.Самара, Россия, 1993г.), на международной конференции "Симметрия в нелинейной математической физике" (г.Киев, Украина, 1995г.), на первой неортодоксальной школе по нелинейности и геометрии (г.Варшава, Польша, 1995г.), на научно-исследовательских семинарах кафедры теории упругости МГУ им.М.В.Ломоносова под руководством член-корр. РАН А.А.Ильюшина и Института прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН под руководством проф. М.В.Масленникопа и д.ф.-м.н. В.В.Веденяпина.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 6 работах, список которых приведен в конце автореферата.

1. Ильюшина Е.А. Одна ил моделей сплошной среды с-учетом микроструктуры // Прикл. матем. и механика. - 1969. - Т. 33, N 5,-С. 917-923.

2. Илъюттт Е.А. К построению теории упругости неоднородных твердых тел с микроструктурой: Дисс. кандидата ф.-м. паук - М., 1976. - 117 с.

3. Коротша М.Р. Вопросы обоснования некоторых моделей механики сплошной среды: Дисс. доктора ф.-м. наук - А/., 1985. - 320 с.

і Ильюшин А.А. Механика сплоіиной среды. - А/.: П.ід-во МГУ. -1990. - 310 с.

Структурой объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 11 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 92 наименования. Диссертация изложена на or страницах, содержит 6 рисунков, Я таблицы.