Введение к работе
Актуальность проблемы. Широкое применение новых материалов в различных областях техники, использование их при высоких тепловых нагрузках потребовало привлечения новых физических моделей механики деформируемого тела. Многие годы проблема прочности конструкций успешно решалась на базе классической теории малых упругих деформаций Гука, Хотя теория Гука и сейчас играет важную роль в оценках прочности, невозможно на ее базе,определять работоспособность многих конструкций, выполненных из современных материалов. Если даже при малых деформациях законы Гука не справедливы, то принято говорить о моделях, описывавших свойство таких материалов, как о физически нелинейных. Многие материалы, такие, как порох, различные сорта полимеров, резиноподобные и композиционные материалы, некоторые сплазы, эксплуатируемые при высоких температурах, имеет именно такие свойства.
Получение определяющих законов, описывающих удовлетворительно физические свойства материала в реальных условиях эксплуатации, -важная задача. Если на этой стадии допускаются большие погрешности, то математическая модель, построенная на базе таких определявших законов, будет изначально содержать неустранимую погрешность.
Были предприняты многочисленные попытки сформулировать определяйте законы, которые обладали бы общностью и простотой. Другими слогами, физические законы должны описывать как можно более широкий класс материалов и в то же время, математическая модель, построенная на базе этих законов, должна быть не слишком сложной. Одной из таких моделей слонной среды, получившей широкую известность, является теория малых упруго-пластических деформаций А. А.Ильюшина. Оказалось, что в условиях активного яагружекия, свойства широкого класса металлов и неметаллов могут быть описаны в рамках теорий Гука, если считать, что модули объемного сжатия и сдвига не константы, а функции интенсивности деформация. Так как интенсивность деформаций -инвариант тензора е{«, то модель А. А. Ильюшина можно ' назвать одноинвариантноа моделью физически нелинейной сплошной изотропной среды.
Дальнейшее экспериментальное исследование свойств материалов показало однако, что в рамках теории малых упруго-пластических деформаций не могут был. удовлетворительно описаны свойства пороха, полимеров и т. д. в условиях температурных и иных видов нагружений. Оказалось, например, что диаграмма "напряжение-деформация" для пороха
существенно зависит от среднего давления /средней деформации/. Другими словами, если эту диаграмму получать в условиях гидростатического сжатия, то вследствии обжатия материала эта диаграмма "круче", чей в условиях отсутствия всестороннего давления. Заметим, что такие явления не характерны для металлов, а имеют место именно для композитных структур.
Такого рода свойства могли быть описаны только в рамках двухинвариантных физически нелинейных моделей, когда наряду с интенсивности деформаций е /вторым инвариантом/ используется а первый инвариант в /средняя деформация/. Такого рода модели двухинвариантного типа изучались в работах Д. Л.Быкова, Б.Е. Победрм и других авторов.
Следующим шагом в совершенствовании моделей, описывавших сложные нелинейные свойства современных конструкций,является создание наиболее общей физически нелинейной модели, включающей, как частный случай, ранее разработанные, учитывающей,наряду с двумя инвариантами, третий, влияние температуры, реологические особенности и т. д. В данной работе предлагается и нко такая модель сплошной деформируемой среды. Она пригодна для описания свойств таких материалов, как резина, порох, различные композиты. В ее рамках можно учесть влияние трех инвариантов на определяющие законы, вести учет температурного воздействия, вязко-упругости и т. д.
Для предлагаемой модели даны ограничения на определяющие законы, при которых корректна постановка задачи расчета на прочность конструкций, изготовленных из таких материалов. В частном случае из этих ограничений следуют результаты, полученные в работах А.А.Ильюшина, И.И.Воровича, Б.Е.Победри, Д.Л.Быкова и других авторов. Под корректной постановкой понимается единственность задачи и выполнимость вариационных принципов типа Лагракжа и Кастияьяно.
Другая важная проблема - разработка методов решения возникающих нелинейных задач. Заметим, что нелинейные задачи рассматриваемого типа решаются путем сведения их к последовательности линейных задач, как правило, эллиптических. Для теории малых упруго-пластических деформаций А.А.Ильюшина был предложен метод- "упругих решений". Суть метода в построении процесса последовательных приближений с использованием нелинейных слагаемых в правой части системы уравнений в виде фиктивных массовых сил. Другой'метод, предложенный И. А.Биргером. позволяет свести нелинейную задачу в каждом приближении к системе дифференциальных уравнений в частных производных с переменными
коэффициентами.
Кроме них автором предлагается метод, свсдякий решение исходной задачи к последовательности линейных задач, где в исходном приближении решается система дифференциальных уравнений эллиптического типа с переменными по области коэффициентами и произвольной правой частью.
Заметим, что реке.чке последовательности линейных задач, к которым сводится исходная нелинейная задача для реальных составных конструкций со сложной геометрией выреза,наличием оболочек является достаточно непростой задачей.
3 данной работе для реализации линейных задач используется метод конечных v. граничних элементов.
В развитии данного направления,наряду с упомянутыми выше авторами, большой вклад внесли работы Работнова Ю. Н., Качанова Л. М., Косквитина В.В., Огибалова П.М., Фрейденталь А., Бленд Д. , Мидлман С. и других. Методы решения линейных и нелинейных задач были развиты в работах Михлина С. Г. , Купрадзе В. Л., Мусхелишвили Н. И., Черноусько Ф. Л., БаничукяН. В., Розина Л. А.. Кошелева А. И., Коркеева В. Г., Зенкевича 0., Стренг Г., Фикс Лж., Германн Л., Вашицу К., Еребия К. и других . авторов.
Целью работы является создание и исследование новой модели, разработка методов решения соответствующих нелинейных задач на базе метода конечных и граничных элементов и расчет на прочность реальных составных конструкций (твердотопливных двигателей) с разнообразными формами выреза и с учетом в рамках этой модели реальных физически нелинейных свойств топлива или аналогичных по свойствам других материалов.
Няучная новизна . В диссертации предлагается новая модель физически нелинейной среды, позволяющая описать свойства разнообразных материалов в условиях температурного нагрухения, давления и других видов внешнего воздействия. Эта модель содержит, как частный случай, модели, созданные другими авторами (Ильюшин А.А., Победря Б.Е., Быков Д.Л. и другие), учитывает в определяющих законах влияние третьего инварианта, температурного поля и других факторов. Получены ограничения на функции, входящие в определяющие законы, выполнение которых обеспечивает единственность задачи и справедливость вариационных принципов Лагранха и Кастильяно. Полученные ограничения играют важную роль при построении определяющих законов на основе
данных опыта.
Разработаны методы решения возникающие нелинейных задач. Две из них представляет обобщение _ известных методов А. А.Ильшина и И.А. Биргера (метод упругих решений и переменные: параметров упругости) на рассматриваемую нелинейную задачу, а третий метод назван автором "комбинированным". Доказана сходимость итерационных процессоз Сметодов последовательных приближений) при некоторых ограничениях на определяющие функции. В частном случае из этих ограничений получается результаты, полученные ранее в работах И.И.Воровича, Д.Л.Быкова, Б. Е.Победри. Проведен сравнительный теоретический и практический анализ предлагаемых методов, доказана их практическая эффективность на расчетах реальных составных конструкций.
На базе метода конечных и граничных элементов с использованием различных видов конечных элементов разработаны алгоритмы расчета твердотопливных двигателей в условиях плоского напряженного и деформированного состояния с учетом физически нелинейных свойств.
Исследованы модификации метода локальных вариаций'для минимизации функционала, ускоряющие сходимость. Предложен новый итерационный метод для малосхимаемых сред и метод решения систем ;ииейных алгебраических уравнений, основанный на идее ортогонального проектирования.
Научная и практическая значимость полученных результатов. Исследования в области моделирования физически нелинейных свойств резиноподобных материалов типа твердого топлива и разработка методов расчета напряженно-деформируемого состояния таких материалов стимулирется запросами практики.
Нелинейность свойств композитных сред приводит к необходимости создания как новых моделей сплошай среды, учитывающих все аспекты общей теории моделирования.так и новых методов решения задач расчета напряженно-деформируемого состояния конструкций. Такие методы могут быть созданы лишь на основе пирокого анализа частных моделей и методов.
Практическая значимость проведенных в диссертации исследований определяется тем вкладом, который он вносит в решение насущных задач оценки прочности современных констгууцугр типа твердотопливного двигателя и подобных ему конструкций.
Полученные здесь результаты внедрены в виде научно-технических отчетов, отчетов по хоздоговорным темам. методик расчетов, специализированных программ на базе метода конечных и граничных
элементов, ектов внедрения м*тодо» раочвта л KB и НИИ, учебно-методических пособий в вузах.
Аппсобация работы. По основным результатам диссертации опубликовано около 30 работ, результаты неоднократно докладывались на ^ Всесоюзных и Международных научных семинарах и конференциях; на Королевских чтениях МФТИ, (г.Долгопрудный, 1971г.), на заседаниях семинаров К5ГУ Срук. профессора А.М.Нахушев, М. X. Шхануков, А. И. Текрокев, г.Нальчик, 1977-1989), Челябинского технического университета Срук.- профессора О, Ф. Чернявский, Д. А.Гохвельд. г.Челябинск, 1992г.), Института машиновед ния РАН Срук. - чл.корр. РАН Н.А.Махутсв. Москва, 1992г.), Всесоюзной конференции по перспективным методам планирования и анализа экспериментов Сг. Нальчик, 1982г.), на заседании объединенного семинара КБГУ, Института математики им. В.А.Стеклова, Института прикладной математики им.Келдыша, Института математика им.Романовского АН Узбекистана Сп.Терскол, 1983,1986г.г.). Всесоюзных ст.ояах-семинарах по нелинейным краевым задачам я их приложениям (Институт математики и механики АН Украины п.Терскол, 1984. 1У87, г.Самарканд, 1990г.), Международной конференции "Новые методы в физике и механике деформирумого твердого тела (п.Терскол, 1989г.), семинарах Московского государственного открытого университета {рук. - профессор И. Н. Преображенский, Москва, І993).
Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введения ' и четырех глав, изложенных на ^ZV страницах машинописного текста, а также содержит список использованной литературы, содержаний .9 Р наименования.