Содержание к диссертации
Введение
1. Построение модели одномерного континуума Коссера (механическое моделирование) 13
1.1. Исходная дискретная модель. Уравнения динамического равновесия и определяющие соотношения 14
1.2. Вывод уравнений континуальной модели (осреднение в длинноволновом приближении) 21
1.3. Исследование форм равновесия модели при произвольных деформациях. Интегралы «энергии» 26
2. Исследование собственных и вынужденных плоских движений системы при малых деформациях 36
2.1. Линеаризация системы уравнений 38
2.2. Случай собственных колебаний системы 41
2.3. Пример конструкции антенного типа 45
2.4. Случай вынужденных движений. Дивергенция 50
3. Исследование плоских движений и форм равновесия континуума с частично идеально пластическими свойствами 55
3.1. Постановки краевых задач при малых движениях 56
3.2. Предельные формы равновесия 62
3.3. Задачи о предельных формах равновесия 63
3.3.1. Общий случай отсутствия распределённых нагрузок (вторая краевая задача) 64
3.3.2. Случай свободных краёв стержня и свободных крайних включений 67
3.4. Задача о квазистатическом напружений консольно закреплённого оснащённого стержня 70
Заключение 77
- Вывод уравнений континуальной модели (осреднение в длинноволновом приближении)
- Случай собственных колебаний системы
- Предельные формы равновесия
- Задача о квазистатическом напружений консольно закреплённого оснащённого стержня
Введение к работе
В.1. Краткая историческая справка
В классическом труде по математической теории упругости [30] (Введение и Примечание В) отмечено, что уже в начальный период становления и развития основ механики сплошной среды классики науки уделяли существенное внимание изучению и моделированию микроструктуры деформируемых тел и ее влиянию на свойства сопротивления тел деформированию. Особо выделены подходы, предложенные Пуассоном (S. D. Poisson, 1842), Фойгтом (W. Voigt, 1887) и Кельвином (W. Thomson, 1890), обращающие внимание на возможное наличие структурных элементов, являющихся носителями дополнительных к классическим степеней свободы в виде дополнительных поступательных или вращательных форм движений и соответствующих им внутренних взаимодействий.
Первое строгое математическое воплощение эти идеи получили в классической книге братьев Э. и Ф. Коссера [59], в которой на основе энергетического подхода (использующего «евклидово действие») построены одно-, двух- и трехмерные модели сред неклассического типа, включающие континуально распределенные в теле структурные элементы, обладающие дополнительными вращательными степенями свободы движений и энергетически соответствующими им внутренними взаимодействиями (выражаемыми тензорами моментных напряжений), чувствительные к внешним объемным и поверхностным воздействиям моментного характера.
Впоследствии теория Коссера получила название моментной теории, а среда — континуум Коссера. Одно-, двух- и трехмерные модели континуумов Коссера обладают специальной структурой, в соответствии с
которой точки континуума снабжены направлениями, выражаемыми векторами, называемыми директорами (в оригинальной теории Коссера триэдр векторов). Среда такой структуры носит название ориентированной среды1, а в силу ее способности воспринимать распределенные (внешние и внутренние, массовые и поверхностные) моментные воздействия (помимо силовых) также название полярной (микрополярной), или моментной среды. Теория континуума Коссера с упругими свойствами в силу несимметричности тензора напряжений Коши получила также название теории несимметричной упругости.
В целом работа Коссера явила первый опыт математически строгого подхода к моделированию структуры и свойств микронеоднородной среды.
Однако, несмотря на неугасающий интерес физиков к изучению и моделированию микроструктуры вещества, в том числе деформируемых твердых тел (см., например, указанные в [30] работы М. Борна (М. Born, 1915, 1923)), теория континуума Коссера не получила достойного признания и в течение более четырех десятков лет оставалась невостребованной.
С практической стороны это может быть объяснено общей направленностью физики и механики в то время на развитие тяжелой промышленности, на решение непосредственных военных задач периода первой и второй мировых войн. С научной точки зрения теория Коссера, представленная в их книге с несомненной элегантностью, строгостью и тщательностью, хотя и оставляла заслуженное впечатление основательности и завершенности, не вполне была понята
Как указано в книге [75], П.Нахди отмечал, что понятие ориентированной среды было введено Дюгемом в 1893 году, а братья Коссера были первыми, кто представил систематическое развитие теории для ориентированной среды.
современниками. Исследователи и инженеры того времени, допуская гипотетически возможность коссератовского описания тел, скорее всего, не имели достаточного интереса к точной теории конечных деформаций в неклассическом подходе, чтобы следовать многостраничному изложению, изобилующему длинными выкладками в терминах общих понятий. Известные модели классической механики сплошной среды и требуемая точность подтверждающих их экспериментов были вполне удовлетворительны для практических нужд того времени.
О книге братьев Коссера авторы известной работы [79] с нескрываемым сожалением пишут: «Шедевр Коссера стоит как башня в поле. Даже современные воссоздатели механики сплошной среды, будучи осведомлены о нем, не знают его содержание в деталях. Освоив его, они не только сэкономили бы время и усилия для переоткрытий, но и получили бы в руки образцовый метод».
Интерес к теории Коссера и к развитию других неклассических подходов в механике сплошных сред проявился в 50-60-х гг. двадцатого столетия. В работах того времени рассматривались модели несимметричной упругости [4, 38, 72, 77, 80], их обобщения [27, 37, 67, 71, 78], распространение на неупругие среды [18, 60, 61]. В частности, обобщение понятия ориентированной среды [62], предусматривавшее возможность произвольных удлинений и поворотов директоров, было развито в работе [71] до понятия деформируемой микросреды, приписанной (подобно директорам) каждой точке макросреды. Дальнейшее обобщение и продвижение эти вопросы нашли в работах [26, 28,35,53,63].
Следует отметить, что основное внимание исследователей в этих работах, равно как и в оригинальной работе Коссера уделено теоретической стороне вопроса: основным подходам и понятиям, моделям
сред и их структуре, уравнениям баланса, общим формам определяющих соотношений, уравнениям внутренних кинематических связей. Вопросы о физической достоверности этих теорий, о разработке теории эксперимента, а именно, об экспериментальном определении материальных функций и констант, характеризующих конкретные механические свойства моделей, не решаются. Принципиальная необходимость постановки этих вопросов и возможные подходы к их решению обсуждаются лишь в работах [18, 27, 28].
В последние годы в связи с развитием микроэлектронной промышленности, продвижением наук о материалах, развитием нанотехнологий в технике, химической промышленности, биоинженерии резко возрос интерес к неклассическим построениям в механике сплошной среды, причем не только в отношении теоретических моделей, но и в отношении возможных приложений их механических свойств и сопровождающих их механических эффектов.
Среди работ последнего времени по неклассическим моделям часть посвящена развитию теории микронеоднородных (микрополярных, композитных, градиентных) сред [2, 7, 8, 12, 19-21, 23, 26, 29, 32, 33, 36, 39-42, 50-53, 64, 68, 69, 76, 79], сравнению новых моделей с известными. В работе [75] излагается, в частности, обобщенная теория стержней Коссера и показано, что известные модели стержней Эйлера [17, 30, 43, 44] и Тимошенко [46] суть ее специальные случаи, отвечающие определенным видам внутренних кинематических связей. Другая часть работ посвящена разработке методов и построению решений задач [3, 31, 34, 45, 48, 49, 56-58,65,66,74].
Из всего множества выделяются пионерские работы, направленные на экспериментальное определение неклассических свойств реальных тел [22, 24, 25, 70]. Следует также особо отметить работы встречного
направления, ориентированные на механическое моделирование и целенаправленное искусственное изготовление неклассических структур коссератовского типа с наперед заданными свойствами. К числу последних относятся работы, выполненные при участии автора [9, 10, 13, 14, 54, 55], непосредственно связанные с тематикой настоящей диссертации.
В.2. Основные задачи работы
Одной из актуальных проблем является технология изготовления материалов и конструктивных элементов (покрытий, пленок, волокон) с наперед заданными механическими свойствами как классического, так и неклассического типов. В связи с этим особую важность приобретает
разработка теоретических подходов к конструктивному моделированию материалов и элементов с механическими свойствами определенного типа,
оценка и прогнозирование их конкретных механических свойств,
выработка возможных рекомендаций по технологии их изготовления.
Имеющиеся модели в области моментных теорий (включая среды
^ типа Коссера, одномерные и двумерные континуумы с моментными
свойствами) носят феноменологический характер, оснащаются, как
правило, гипотетическими материальными константами,
характеризующими неклассические механические свойства, и не затрагивают вопрос о материальной микроструктуре, по существу определяющей особенности неклассических свойств материалов и конструкций (и величины констант). Более того, вопрос о существовании или возможности изготовления материальных элементов с механическими свойствами моментного типа не ставился.
В этом смысле продуктивным представляется подход механического
(конструктивного) моделирования, предусматривающий учет
(моделирование) микроструктуры представительного элемента
континуума с присущими ему видами движений и взаимодействий, способный дать четкую наглядную интерпретацию материальным константам модели и прогнозировать ее свойства, позволяя тем самым решать поставленные три задачи, связанные с изготовлением материалов и конструктивных элементов с наперед заданными (моментными) свойствами.
В связи с этим целью настоящей работы стало изучение возможности конструктивного моделирования одномерного континуума Коссера, изучение особенностей его форм равновесия, форм собственных и вынужденных движений, выявление новых (в сравнении с классическими теориями) механических эффектов, исследование влияния конструктивных элементов на усредненные свойства модели, оценка возможности управления материальными константами модели (прогнозирования свойств).
Задачи настоящей работы соответственно предусматривали построение модели континуума, изучение его общих свойств, исследование собственных и вынужденных колебаний при малых движениях (линеаризованный случай), их устойчивости, а также изучение особенностей форм равновесия континуума с частично пластическими свойствами (см. ниже п. В.З настоящего Введения).
В исследовании использован метод механического моделирования, принцип виртуальных работ, соотношения классической теории тонких стержней, теории стержней Коссера, известного типа определяющие соотношения свойств упругости и пластичности (сухого трения), известные в механике классических сред подходы к исследованию колебаний и их устойчивости, построен пример конкретной конструкции оснащенного стержня Коссера, наглядно иллюстрирующий полученные теоретические результаты.
В.З. Структура и краткое содержание работы
Работа содержит 89 страниц, 13 рисунков и графиков, и состоит из Введения, трех Глав, Заключения и списка Литературы из 80 наименований.
Во Введении приведена краткая историческая справка о становлении и развитии моментных теорий, представлены задачи настоящей работы и дано краткое описание ее содержания.
В первой Главе рассматривается подход к моделированию одномерного континуума Коссера. Используется предложенный А.А. Ильюшиным метод математического моделирования, состоящий в построении модели конструкции, составленной элементами (ячейками) специального вида, осредненные свойства которой воспроизводят свойства моделируемого континуума. Для дискретной модели выводятся уравнения динамического равновесия в произвольных плоских движениях и приняты определяющие соотношения, выражающие упругие свойства модели. Осреднение этих соотношений в длинноволновом приближении приводит к уравнениям одномерного континуума Коссера. Рассматриваются формы равновесия построенной континуальной модели оснащенного стержня при произвольных (больших) деформациях (произвольных изгибах несущего тонкого стержня и произвольных поворотах включений). Изучаются интегралы «энергии» системы с использованием обобщённой аналогии Кирхгофа.
Во второй Главе в предположении о малости кинематических
характеристик конструкции проводится линеаризация системы уравнений.
Изучаются собственные колебания конструкции конечной длины
в случае упругих внутренних взаимодействий. В случае шарнирного
закрепления краев стержня, отсутствия моментов на крайних включениях
и равенства нулю всех внешних сил и моментов ставится и решается краевая задача о собственных колебаниях системы в предположении, что амплитуды колебаний имеют простой периодический вид. В этом случае оказывается, что каждому значению параметра (натурального числа), характеризующего моду собственных колебаний, соответствуют ровно две формы колебаний, каждая со своей частотой. Рассматривается пример конкретной конструкции, состоящей из металлического стержня с насаженными на него такими же стержнями меньшей длины, которые связаны между собой упругой (резиновой) передачей. Численно-аналитическим методом решается задача о собственных колебаниях такой конструкции. На примере одного из значений параметра моды колебаний выписывается явный вид движений для соответствующей пары частот и приведены иллюстрации характеров этих движений для разных частот этой пары. Изучаются вынужденные колебания конструкции конечной длины при внешнем воздействии, зависящем от угла поворота включений, и однородных граничных условиях.
В третьей Главе рассматривается случай частично идеально пластической связи - все внутренние взаимодействия, кроме момента воздействия включения на стержень, остаются упругими, на момент же взаимодействия стержня и включения накладывается лишь одно условие: он должен быть по абсолютной величине всегда не больше некоей определенной константы, в остальном его значения произвольны. Это условие носит характер сухого трения (в реальной конструкции это может соответствовать заржавлению креплений между стержнем и включениями). Для этого случая исследуются общие постановки краевых задач статики при малых деформациях, выявляются условия существования решения, устанавливается его неединственность в общем случае и демонстрируется, что чисто предельные состояния равновесия
единственны. Рассматривается задача о равномерном нагружении консольно закреплённого оснащённого стержня такого типа, решение которой показывает, что в каждый момент времени в предположении статики состояние равновесия будет чисто предельным.
В Заключении приведены основные результаты, полученные в работе.
Вывод уравнений континуальной модели (осреднение в длинноволновом приближении)
При выполнении уравнений (1.1.7) и (1.1.8) согласно теореме о кинетической энергии удельная (погонная) мощность работы внешних сил на ячейке удовлетворяет равенству причём удельная кинетическая энергия ячейки имеет вид а удельная мощность работы по преодолению внутренних сил выражается (с относительной погрешностью а ) формулой Фвм =(Рвкл -— (знаки ± согласованы) использовано второе из обозначений (1.1.6). Выражение (1.2.3) удельной мощности внутренних сил выделяет пары энергетически сопряжённых внутренних силовых и кинематических параметров ячейки: и показывает, что определяющие соотношения ячейки представимы [6, 15, 16, 47, 73, 79] зависимостью набора S = (Р, Мизг, Мвнутр, Мвкл_ ст) внутренних силовых параметров от предыстории изменения набора внутренних кинематических параметров ячейки: где Е (s) = E(t-s) — предыстория процесса (г) с Т t. Все внутренние параметры (1.2.4), равно как и выраженная через них работа внутренних сил (1.2.3) суть объективные [6] скаляры: их значения не изменяются при замене системы отсчёта. Поэтому принцип материальной независимости от системы отсчёта [47, 73] не накладывает ограничений на вид определяющих соотношений (1.2.5), и согласно постулату макроскопической определимости [15] форма (1.2.5) является общей приведённой формой определяющих соотношений ячейки рассматриваемой конструкции. Простейшим примером соотношений (1.2.5) являются определяющие соотношения, разделённые по энергетически сопряжённым парам (1.2.4) и представленные линейными функциями: Соотношения (1.2.6) выражают упругие свойства конструкции: Сраст., Сшг, CeKjl, Свкл ст - константы упругого сопротивления растяжению, изгибу, взаимному повороту включений и повороту включений относительно стержня. В частности, при малых удлинениях стержня, когда А, -1 = є sc 1 и потому в силу (1.1.2) =/c(l + g) = к, второе из соотношений (1.2.6) принимает традиционный для классической теории изгиба тонких стержней вид [17, 30, 43, 44]: Мизг = Сшгк.
Уравнения вида (1.1.3), а также (1.1.7), (1.1.8) с указанной точностью справедливы для всех ячеек любой из конструкций рассматриваемого типа. Рассмотрим семейство таких конструкций, недеформированная конфигурация которых (рис. 1а) образована одним и тем же несущим стержнем длины /, но с разным числом п равномерно расположенных вдоль его длины одинаковых ячеек (/ = па), таких, что величины р и J из (1.1.5) постоянны не только вдоль отдельной конструкции, но и для всех конструкций данного семейства, и равны константам р и J. Определяющие соотношения каждой из ячеек (1.2.5) имеют один и тот же конкретный вид для всех конструкций семейства и обеспечивают кусочно-гладкую зависимость между силовыми и кинематическими внутренними параметрами (1.2.4), например, имеют вид (1.2.6) с общими для всего семейства константами. Назовём конструкции такого семейства родственными друг другу. Деформированные конфигурации родственных конструкций назовём соприкасающимися, если конфигурации их несущих стержней совпадают, а повороты всех включений этих конструкций - значения одной и той же для родственных конструкций кусочно-гладкой функции (рвкл () в местах крепления осей включений на изогнутой оси несущего стержня. Аналогично внешние удельные нагрузки (1.1.4) для ячеек родственріьіх конструкций будем считать значениями одних и тех же кусочно-непрерывных функций f(), т() т„{) в узлах ячеек этих конструкций. Назовём такие нагрузки (1.1.4) равнопорождёнными. Тогда для родственных конструкций с соприкасающимися конфигурациями и равнопорождёнными нагрузками, устремляя а к нулю" (и — оо) и учитывая непрерывность и гладкость соответствующих зависимостей, получим, что в пределе стержень оснащён бесконечным всюду плотным набором дисков-включений, предельные значения его удельных (погонных) плотности и момента инерции включений равны р и J, удельные внешние нагрузки (14-4) приобретают смысл распределённых (погонных) нагрузок, их предельные значения равны Такой предельный переход имеет смысл, конечно, в том формальном предположении, что толщина несущего стержня конструкции бесконечно мала.
Фактически подразумевается уменьшение длины ячейки лишь настолько, чтобы входящие в ячейку элементы несущего стержня сохраняли свои стержневые свойства (что использовано при выводе уравнений). f(), w( f), тв{). Соприкасающиеся конфигурации обеспечивают стремление кинематических параметров к предельным гладким функциям и их разностных отношений - к производным по длине дуги Е,, а потому гладкие определяющие соотношения (например, вида (1.2.6)) обеспечивают сходимость средних значений внутренних силовых параметров Р, Мюг, Мвнутр, Мвкл ст к предельным гладким функциям длины дуги cf, а значит, их разностных отношений к их производным по . В свою очередь, равенства (1.1.8) влекут такие же предельные свойства «внешних» нагрузок Т, Мст , Мвкл , фигурирующих в уравнениях (1.1.7). Предположив также наличие предела для Q в виде распределённой поперечной силы Q{), получим, что для всех входящих в формулы (1.1.7)-(1.2.6) средних значений и разностных отношений существуют пределы вида являющиеся не чем иным, как функциями от и их производными по . Тем самым, в пределе при д- 0 уравнения (1.1.7), (1.1.8) равносильно сведутся к системе уравнений Выражение удельной мощности работы по преодолению внутренних сил (1.2.3) примет вид: Уравнения (1.2.8) выражают условия динамического равновесия одномерного континуума Коссера [59] в рассматриваемом плоском случае. При отсутствии взаимодействий между стержнем и включениями, когда Мвкл ст =0 («несвязанная» модель [8]), первые два уравнения (1.2.8) описывают движение стержня [17, 30, 43, 44] (утяжелённого включениями), а третье независимо — динамику вращения включений. Подстановка соотношений (1.2.11), (1.2.9) в уравнения (1.2.8) приводит к системе одного векторного и двух скалярных уравнений для неизвестных функций г, фвкл , Q (величины Я и фст выражены через г). 1.3. Исследование форм равновесия модели при произвольных деформациях. Интегралы «энергии» С учётом тождеств (1.2.9) запишем уравнения (1.2.8) движения конструкции в собственных осях (s,й)деформированной конфигурации оснащённого стержня.
Случай собственных колебаний системы
В предположении о малости кинематических характеристик конструкции (то есть, система испытывает малые движения, сопровождающиеся малыми перемещениями в направлении координатных осей, малыми относительными удлинения и малыми углами поворота элементов стержня; также диапазоны изменения величин относительного удлинения, изгиба стержня, углов относительного поворота включений и скорости изменения абсолютных углов поворотов включений считаются достаточно малыми, чтобы механические свойства системы могли быть представлены линейными соотношениями упругости) проведена линеаризация системы уравнений. Показано, что в случаях т.н. «несвязанной» модели (включения и стержень не взаимодействуют друг с другом) и псевдоконтинуума Коссера (углы поворотов включений совпадают с углами поворотов стержневых элементов) уравнения движения конструкции совпадают с известными уравнениями теории изгиба тонких стержней. Также показано, что одно из этих уравнений не связано с остальными и является уравнением, описывающим продольные движения стержня (колебания, распространения продольных волн с известной скоростью). Изучены собственные колебания конструкции конечной длины в случае упругих внутренних взаимодействий. В случае шарнирного закрепления краев стержня, отсутствия моментов на крайних включениях и равенства нулю всех внешних сил и моментов дана постановка и найдено общее решение краевой задачи о собственных колебаниях системы в предположении, что амплитуды колебаний имеют простой периодический вид. В этом случае оказывается, что каждому значению параметра (натурального числа), характеризующего моду собственных колебаний, соответствуют ровно две формы колебаний, каждая со своей частотой. Рассмотрен пример конкретной конструкции, состоящей из металлического стержня с насаженными на него такими же стержнями меньшей длины, которые связаны между собой упругой (резиновой) передачей. Численно-аналитическим методом получено решение задачи о собственных колебаниях такой конструкции. Приведены графики зависимости частот собственных колебаний от параметра моды (для каждой из двух форм собственных колебаний).
На примере одного из значений параметра моды колебаний выписан явный вид движений для соответствующей пары частот и приведены иллюстрации характеров этих движений для разных частот этой пары: первая форма колебаний (с более низкой частотой) соответствует прогибам несущего стержня, при которых повороты его элементов «сопутствуют» (совпадают по знаку) поворотам поперечных стержней-включений и даже превосходят их, вторая форма (с более высокой частотой) соответствует «встречным» (противоположным по знаку) поворотам элементов несущего стержня и стержней-включений. Можно сказать, что при колебаниях с низкой частотой включения содействуют изгибу несущего стержня, а при колебаниях с высокой частотой включения препятствуют изгибу несущего стержня. Изучены вынужденные колебания конструкции конечной длины при внешнем воздействии, зависящем от угла поворота включений, и однородных граничных условиях. Моделируется такой вид воздействий следующим образом: предполагается, что к каждому диску приделан стержень, длина которого мала по сравнению с длиной конструкции, но велика по сравнению с диаметром включений. Эти дополнительные стержни перпендикулярны основному стержню, находятся в плоскости его изгиба, и все смотрят в одну сторону. При этом подразумевается, что с другой стороны диска имеется некий противовес, такой, что в отсутствие внешних сил и моментов диск находится в равновесии, и рассматривается обтекание конструкции перпендикулярным несущему стержню потоком газа в плоскости изгиба стержня. При граничных условиях, аналогичных поставленным для задачи о собственных колебаниях, установлено, что в случае т.н. «попутного» обтекания (вспомогательные стержни расположены по ходу потока) движения сохраняют колебательный характер во всех модах при любых скоростях обтекания. В случае же т.н. «противоположно направленного» потока (вспомогательные стержни расположены против потока) существует критическая скорость, при превышении которой колебания конструкции переходят в движение одностороннего отклонения экспоненциального во времени характера, что можно характеризовать как явление дивергенции. Пусть рассматриваемая система с упругими свойствами испытывает малые движения, сопровождающиеся малыми перемещениями и и w (в направлении координатных осей х и у соответственно), малыми относительными удлинениями є = Л -1 и малыми углами поворота элементов стержня срст так, что независимые переменные , и х (и производные по этим переменным) могут быть отождествлены, проекции Т и Q силы F на векторы е касательной и п нормали к элементу стержня могут считаться проекциями на оси х и у соответственно, и выполнены приближённые равенства: Кроме того, диапазоны изменения величин , к, вкл-, #?вкл - рст будем считать достаточно малыми, чтобы механические свойства системы могли быть представлены линейными соотношениями упругости (1.2.11), которые в рассматриваемом случае малых движений с учётом (2.1.1) могут быть записаны с использованием классических обозначений [17, 30, 43, 44] в виде: где Е — модуль Юнга материала стержня, Sce4 — площадь, Jсеч - момент инерции поперечного сечения стержня, С — коэффициент жёсткости ременной передачи, К — константа упругости шарнирного крепления включений к стержню. В этих обозначениях в силу (1.2.9), (2.1.1) уравнения (1.2.8) после подстановки определяющих соотношений (2.1.2) примут вид: Здесь все константы, внешние силовые воздействия fx, f (проекции силы f на оси координат) и внешние моменты т, тв считаются известными.
Таким образом, четыре уравнения (2.1.3)-(2.1.6) составляют систему для четырёх неизвестных функций и, w, срвкл , Q от независимых переменных X и t. Уравнение (2.1.3), очевидно, не связано с остальными уравнениями системы и представляет собой уравнение распространения продольной волны со скоростью с= IS —, где р обозначает погонную плотность массы оснащённого стержня. Далее будем рассматривать только оставшиеся три уравнения системы. Для исключения из системы неизвестной Q продифференцируем уравнение (2.1.5) и подставим полученное выражение для производной О в уравнение (2.1.4). Уравнение (2.1.6) оставим без изменений. Тогда получим систему из двух уравнений в частных производных (до четвёртого порядка включительно) для двух неизвестных функций W и упрощается, уравнения становятся независимыми друг от друга. При этом первое уравнение (2.1.7) является уравнением для прогиба стержня в плоском случае. В статике аналогичное уравнение для прогиба получается непосредственно из уравнений Журавского [17] с учётом оснащённости массы стержня массами включений. Второе уравнение (2.1.7) в этом случае описывает отдельно движение системы вращающихся дисков под воздействием внешнего распределённого (погонного) момента тв, причём при С = 0 («безмоментная» модель [8]) вращение дисков происходит независимо друг от друга. Исключая из рассмотрения продольные движения стержня, описываемые независимо уравнением (2.1.3), обратимся в общем случае (когда, вообще говоря, К = 0 и С 0) к задаче о собственных колебаниях для системы уравнений (2.1.7) при отсутствии внешних распределённых силовых и моментных воздействий (/ =0 и тв = 0).
Предельные формы равновесия
Решения краевых задач статики для оснащённого стержня, то есть статические состояния системы и формы её равновесия назовём предельными, если для них почти во всех точках стержня выполнено равенство \Мвкя _ ш = Mmax , и строго предельными, если они отвечают какому-либо из тождеств М зМ или Мв _ ст = -Afmax . Строго свойствами [9] такая независимость не свойственна, кроме лишь случая несвязанных систем. предельные решения суть единственные решения полных постановок задач (с предельными в смысле равенств в (3.1.10) граничными условиями), а просто предельные решения, вообще говоря, не единственны. При отсутствии распределённых внешних нагрузок (/х = 0, f = 0, т = 0, тв =0] для всех краевых задач упрощаются эквивалентные уравнениям равновесия (3.1.4) представления (3.1.6): Р(х) = Р(0) = const, и их следствие (3.1.7) требования (3.1.9), (3.1.10) к граничным условиям (3.1.8) второй краевой задачи принимают соответственно вид: Рассмотрим общий случай второй краевой задачи и примеры равновесных состояний (в том числе предельных форм равновесия) оснащённого стержня при отсутствии внешних распределённых нагрузок, когда имеют место представления (3.2.1), (3.2.2), выполнены условия (3.2.3), (3.2.4) и уравнения (3.2.5). 3.3.1. Общий случай отсутствия распределённых нагрузок (вторая краевая задача) В соответствии со сделанным выше замечанием о задании граничных условий, имея в виду выполнение требований (3.2.3), (3.2.4), выберем следующие пять независимых из восьми граничных условий (3.1.8): величины Р0, QQ, Мст0, Мвкл0, Мст1 могут быть заданы произвольно (Мсот0 и Мст1 - в рамках первого требования (3.2.4)). Тогда решение задачи в отношении сил и моментов представляется согласно (3.2.1) формулами: Р(х) = Р0 = const, Q(x) = Q0= const, При известной функции Мекд ст силы и моменты определяются формулами (3.3.2) однозначно.
Тогда кинематические параметры и, w, срвкл находятся непосредственно из определяющих соотношений (3.1.1) либо из уравнений (3.2.5) при граничных условиях для w, (рвкл вида: (вместо первого из этих условий можно равносильно использовать аналогичное условие на правом конце х 1). При любом из этих способов остающиеся неопределёнными константы (одна для и, две для w и одна для срвкл) отвечают за жёсткое изменение конфигурации системы: смещения и поворот несущего стержня как жёсткого целого, и поворот всей системы включений на один и тот же угол. Они могут быть определены назначением величин указанных смещений и поворотов в какой-либо точке стержня. Функций Мвкл_ ст, удовлетворяющих условиям (3.1.2) и (3.3.3), вообще говоря, бесконечно много, а значит, и существенно отличных друг от друга решений задачи бесконечно много. Лишь для граничных условий (3.3.1), удовлетворяющих какому-либо из равенств в первой цепочке (3.2.4), условие (3.3.3) сводится к тождеству тождеству Мвкл_ ст =-MmsK ), означающему строго предельное состояние равновесия. В общем случае производные входящих в решение (3.3.2) моментов: Возможное расположение графиков функций Мст (х) и Мвкл (х) проиллюстрировано на рис. 12, (а) и (Ь) соответственно. Все возможные графики этих функций заключены между жирными прямолинейными отрезками (сами отрезки суть графики для предельных состояний), а касательные к ним во всех точках имеют углы наклона, расположенные между углами наклона прямолинейных отрезков.
Жирными криволинейными пунктирными линиями показан пример графиков функций Мст {х) и Мвкл (х), соответствующих одному решению (одной функции Мвкл _ ст ), через М и М обозначены их значения при х = 1 (соответствующие граничным условиям для функций Мст (х) и Мвкл (х) на правом конце х = /); допустимые для существования решения значения М и М согласованы друг с другом (равенством (3.2 2)) и принимают значения на отрезках М є -l- Q0, l-Q0 и М є [-1, і]. 3.3.2. Случай свободных краёв стержня и свободных крайних включений Покажем, что при отсутствии также граничных внешних воздействий (концы несущего стержня и крайние включения свободны от нагрузок) система может помимо тривиальной (недеформированной и прямолинейной) формы иметь нетривиальные (деформированные) формы равновесия, в том числе предельные. В случае свободных концов оснащённого стержня граничные условия при х = О и х = / имеют вид: Тогда решение для сил и моментов (3.3.2) и условие (3.3.3) имеют вид: Р(х) = 0, б(х)зО, Первое уравнение системы (3.2.5) удовлетворяется любой постоянной функцией, например, и = О, второе тождественно удовлетворяется (при QQ=0), а остальные два сводятся к системе уравнений для прогиба w, угла поворота включений (рвкл и момента взаимодействия включений со стержнем Мвкл_ ст : Принимая решение для w в виде и = 0, приходим к задаче отыскания функций w, (рвкл, Мвкл_ ст, удовлетворяющих уравнениям (3.3.11).
Задача о квазистатическом напружений консольно закреплённого оснащённого стержня
Рассмотрим следующую квазистатическую задачу. Пусть имеется оснащённый стержень длины / с частично пластическими свойствами описанной выше структуры, левый конец и крайнее левое включение которого жёстко закреплены, а на правом действует сосредоточенная монотонно возрастающая от исходного нулевого значения сила ?/(/) Начальные условия будут иметь вид: критического значения, а также во все последующие моменты времени монотонного возрастания силы, абсолютный угол поворота включений уже не зависит от величины прикладываемой силы, а остаётся постоянным во времени и зависит только от координаты точки стержня (опять же с точностью до движений системы включений как «целого», то есть поворота всех включений на один и тот же угол), тогда как функция прогиба несущего стержня продолжает меняться также и в зависимости от Заметим, что при этом во все моменты времени t t} во всех точках оснащённого стержня хє(0,/] внутренний момент взаимодействия включений и несущего стержня Мвкл ст (x,t) остаётся равной своему минимальному значению -Мтах, то есть все состояния равновесия при t ґ, оказываются чисто предельными. В работе получены следующие результаты. 1. С использованием метода механического моделирования, предложенного А.А. Ильюшиным, в работе построена дискретная модель «оснащенного стержня» следующего вида: тонкий упругий стержень постоянного поперечного сечения с помещенными на его упругой линии через равные расстояния жесткими массивными дисками, способными вращаться в плоскости изгиба стержня вокруг своих осей симметрии, жестко закрепленных на стержне и перпендикулярных плоскости его изгиба. Диски расположены в плоскости изгиба стержня, кручение стержня отсутствует. Повороты дисков относительно упругой линии стержня регулируются упругими шарнирами.
Диски предполагаются связанными друг с другом (с ближайшими соседями с обеих сторон) одинаковыми ременными передачами, обеспечивающими сопротивление относительному повороту охваченных ими соседних дисков. Для дискретной модели выведены уравнения динамического равновесия в произвольных плоских движениях и приняты определяющие соотношения, выражающие упругие свойства модели. Осреднение этих соотношений в длинноволновом приближении приводит к уравнениям одномерного континуума Коссера. Рассмотрены формы равновесия построенной континуальной модели оснащенного стержня при произвольных (больших) деформациях (произвольных изгибах несущего тонкого стержня и произвольных поворотах включений). Найдены интегралы «энергии» системы с использованием обобщённой аналогии Кирхгофа. Установлено, что псевдоконтинуум Коссера (абсолютные углы поворотов включений совпадают с углами поворотов стержневых элементов) ведёт себя аналогично упругому стержню с более высокой жёсткостью на изгиб, причём жёсткость конструкции может быть предсказана. 2. В предположении о малости кинематических характеристик конструкции (то есть, система испытывает малые движения, сопровождающиеся малыми перемещениями в направлении координатных осей, малыми относительными удлинения и малыми углами поворота элементов стержня; также диапазоны изменения величин относительного удлинения, изгиба стержня, углов относительного поворота включений и скорости изменения абсолютных углов поворотов включений считаются достаточно малыми, чтобы механические свойства системы могли быть представлены линейными соотношениями упругости) проведена линеаризация системы уравнений. Показано, что в случаях т.н. «несвязанной» модели (включения и стержень не взаимодействуют друг с другом) и псевдоконтинуума Коссера (углы поворотов включений совпадают с углами поворотов стержневых элементов) уравнения движения конструкции совпадают с известными уравнениями теории изгиба тонких стержней. Также показано, что одно из этих уравнений не связано с остальными и является уравнением, описывающим продольные движения стержня (колебания, распространения продольных волн с известной скоростью). Изучены собственные колебания конструкции конечной длины в случае упругих внутренних взаимодействий. В случае шарнирного закрепления краев стержня, отсутствия моментов на крайних включениях и равенства нулю всех внешних сил и моментов дана постановка и найдено общее решение краевой задачи о собственных колебаниях системы в предположении, что амплитуды колебаний имеют простой периодический вид. В этом случае оказывается, что каждому значению параметра (натурального числа), характеризующего моду собственных колебаний, соответствуют ровно две формы колебаний, каждая со своей частотой. Рассмотрен пример конкретной конструкции, состоящей из металлического стержня с насаженными на него такими же стержнями меньшей длины, которые связаны между собой упругой (резиновой) передачей. Численно-аналитическим методом получено решение задачи о собственных колебаниях такой конструкции.
Приведены графики зависимости частот собственных колебаний от параметра моды (для каждой из двух форм собственных колебаний). На примере одного из значений параметра моды колебаний выписан явный вид движений для соответствующей пары частот и приведены иллюстрации характеров этих движений для разных частот этой пары: первая форма колебаний (с более низкой частотой) соответствует прогибам несущего стержня, при которых повороты его элементов «сопутствуют» (совпадают по знаку) поворотам поперечных стержней-включений и даже превосходят их, вторая форма (с более высокой частотой) соответствует «встречным» (противоположным по знаку) поворотам элементов несущего стержня и стержней-включений. Можно сказать, что при колебаниях с низкой частотой включения содействуют изгибу несущего стержня, а при колебаниях с высокой частотой включения препятствуют изгибу несущего стержня. Изучены вынужденные колебания конструкции конечной длины при внешнем воздействии, зависящем от угла поворота включений, и однородных граничных условиях. Моделируется такой вид воздействий следующим образом: предполагается, что к каждому диску приделан стержень, длина которого мала по сравнению с длиной конструкции, но велика по сравнению с диаметром включений. Эти дополнительные стержни перпендикулярны основному стержню, находятся в плоскости его изгиба, и все смотрят в одну сторону. При этом подразумевается, что с другой стороны диска имеется некий противовес, такой, что в отсутствие внешних сил и моментов диск находится в равновесии, и рассматривается обтекание конструкции перпендикулярным несущему стержню потоком газа в плоскости изгиба стержня. При граничных условиях, аналогичных поставленным для задачи о собственных колебаниях, установлено, что в случае т.н. «попутного» обтекания (вспомогательные стержни расположены по ходу потока) движения сохраняют колебательный характер во всех модах при любых скоростях обтекания. В случае же т.н. «противоположно направленного» потока (вспомогательные стержни расположены против потока) существует критическая скорость, при превышении которой колебания конструкции переходят в движение одностороннего отклонения экспоненциального во времени характера, что можно характеризовать как явление дивергенции.