Математические модели теплового неразрушающего контроля Кущ, Дмитрий Витальевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Условия неидеального теплового контакта ... 13

1. Условия неидеального теплового контакта в слоистой среде 13

2. Обобщенное решение одномерной задачи 20

3. Аппроксимация обобщенного решения 24

4. Устойчивость разностной задачи 27

5. Численное сравнение моделей включений на примере задачи о тепловом ударе 29

6. Обобщенное решение задачи о включении переменной толщины в слоистой среде 33

7. Обобщенное решение задачи с теплопроницаемыы или теплоизолированным разрезом в параллеле пипеде 37

Глава 2. Одномерные коэффициентные обратные задачи нестационарной теплопроводности 41

1. Постановка обратной задачи. 41

2. Достаточное условие единственности решения обратной задачи 44

3. Исследование нарушения достаточного условия 60

4. Обратные задачи для тонких теплопроницаемых включений 67

5. Обратные задачи с одним и двумя включениями 75

6. Пример решения обратной задачи 76

7. Одномерная обратная задача теплового неразрушающего контроля (ТНК) ... 80

8. Численный эксперимент по решению одномерной обратной задачи ТНК 84

Глава 3. Многомерные обратные задачи для тонких теплопронйцаемых включений . 90

I. Теплопроницаемый слой в полупространстве.. 90

2. Включение с постоянной теплопронщаемостью ВЭТ

3. Слой с медленно меняющейся теплопроницаостью 101

4. Локально-одномерная обратная задача ТНК... 116

5. Численное решение трехмерной обратной задачи ТНК 118

Глава 4. Поведение отслоения в ортотропной пластине при тепловом воздействий 123

1. Вариационная постановка задачи квазистатистической термоупругости в ортотропной пластине с теплопроницаемым разрезом 123

2. Вариационно-разностный метод решения задачи термоупругости 126

3. Энергетический критерий разрушения... 135

4. Примеры решения задач термоупругости 137

Заключение 142

Приложение I. Численное решение задачи в параллеле пипеде с теплопроницаемым разрезом 144

Литература 154

• Численное сравнение моделей включений на примере задачи о тепловом ударе
• Одномерная обратная задача теплового неразрушающего контроля (ТНК)
• Слой с медленно меняющейся теплопроницаостью
• Вариационная постановка задачи квазистатистической термоупругости в ортотропной пластине с теплопроницаемым разрезом

Введение к работе

Тепловой неразрушающий контроль (ТНК) является одним из основных методов контроля, позволяющих обнаруживать дефекты (дефектоскопия) и определять их размеры (дефектометрш). ТНК эффективно применяется для контроля качества дорогостоящих изделий с внутренними технологическими дефектами типа трещин и инородных включений. От наличия дефектов и их размеров зависит работоспособность элементов конструкций в условиях термомеханического нагружения. Чаще всего именно возле дефектов начинается процесс разрушения конструкций посредством трещинооб-разования. Поэтому проблема выявления дефектов и изучения их влияния на термонапряженное состояние элемента конструкции имеет большое теоретическое и практическое значение.

Имеется обширная техническая литература, в которой освещаются методы и средства тепловой дефектометрии и дефектоскопии. Укажем лишь обзоры ^,13^5^6. Дадим краткое описание процесса ТНК, который условно может быть разбит на три части.

1. Изделие, с предполагаемым дефектом, подвергают нагреву источником тепла известной интенсивности. Эта стадия непродолжительна (несколько секунд).

2. Регистрируется температура поверхности контролируемо*-го изделия со стороны нагрева (односторонний контроль) или

с обеих сторон (двухсторонний контроль) (рисі). Регистрация проводится при помощи тешювизионной аппаратуры

Г А 5" 1 (тепловизором Радута-5) и может вестись в различных режимах.

_ 5 -

_{4 і і і і А*}

, Рис. І

Измерение абсолютной температуры поверхности контроля.

Измерение температуры поверхности относительно какой-либо точки, например, относительно A(BJ рис. I. Эту точку назовем "качественной", так как она достаточно удалена от дефекта, чтобы считать температурное поле на отрезке А В невозмущенным из-за наличия дефектам .

3) Данные записываются в память ЭВМ и затем подвергаются расшифровке с целью выявления дефекта и определения его параметров. Если вторая и третья стадии контроля совмещены, то контроль реализуется в реальном масштабе времени.

Для того чтобы осуществить третью стадию контроля необходимо иметь математическую модель процесса теплопередачи, постановку, метод и программу решения соответствующей обратной задачи (03) по определению параметров дефектов. Вопросы моделирования ТНК посвящены работы[11,13,5^6 Описанные там модели не удовлетворяют современным требованиям точности и быстродействия. Так для решения двумерной 03, описанной bJJU^J, требуется 1,5 -2 часа машинного времени (ЕС 1055). При механическом переносе алгоритма на пространственный случай для решения

потребуется около 15-20 часов. Кроме того, в известных работах форма дефекта считается прямоугольной (полоса, прямоугольник или параллелепипед), что существенно ограничивает их диапазон применения. Для создания конкуретно-еиособного способа ТНК (по сравнению с ультразвуковым, рентгенографическим и т.д. способами) необходимо вести контроль в реальном масштабе времени. Таким образом, основные недостатки существующих способов моделирования дефектов в том, что они не учитывают его форму и малость толщины.

С другой стороны, методы решения 03 ТШ не имеют достаточного математического обоснования. В частности, не решается вопрос корректности (единственности) решения 03. Анализ существующих работ, посвященных ТНК показывает, что для совершенствования методов теплового контроля необходимо:

- Решить вопрос о корректности постановки 03 ТНК.

То есть дать постановку, указать метод и разработать программу решения такой 03 1НК, которая имеет единственное, устойчивое решение;

Разработать экономичные методы и на их основе программы вычисления температурных полей в областях с тонкими включениями, которые позволяют проводить расчеты в существенно более короткие сроки без ущерба для точности получаемых результатов ;

Разработать методы анализа НДС элементов конструкций с дефектом, которые позволяют оценить, какую опасность представляет обнаруженный дефект в процессе эксплуатации конструкции.

Для решения указанных задач необходимо создать эффективные математические модели ТНК. Разработка таких моделей

стала целью настоящей работы. Для того, чтобы учесть форму и малость толщины дефекта в настоящей работе предложено моделировать дефект условиями теплового неидеального контакта СУНТК). Использование условий неидеального контакта для моделирования тонких включений является распространенным в различных разделах механики деформируемого твердого тела и, в частности, в задачах теплопроводности и термоупругости.

К числу простейших УНТК относятся условия контакта с термосопротивлением 8~\ (теплопроницаемая трещина

), основанные на предположении о линейном распределении температуры по толщине включения. При выводе УНТК В.Й.Даниловская j^^il , Э.Й.Григояюк и Й.П.Чуяков 20~] , Й.А.мотовиловец ["39] использовали предположение об изменении температуры по полиномиальным законам. Обобщение такого подхода приводит к идее о замене полиномиального представления температуры бесконечным рядом L ^0 J . Отметин также работы В.В. Болотина Г 9, ІО] .в которых выводятся уравнения для пластин на основе вариационного принципа. В

Г-$~ J] при выводе УНТК использовалось осреднение температуры и теплового потока по толщине включения. Для практического применения УНТК при моделировании теплового контроля необходимо выбрать условия контакта, которые позволяют достаточно точно и просто описать процесс теплопередачи. С этой позиции в первой главе анализируются различные УНТК. Даны определения обобщенных решений соответствующих задач нестационарной теплопроводности. Определения являются развитием известных (см. С 41 J ) при неидеаяьном контакте еред. Сравниваются асимптотические разложения решений. Построены разностные задачи и исследована их устойчивость.

Для определения наличия дефекта и его параметров необходимо решить G3, естественная постановка которой некорректна. Теория решения некорректных задач предлагает различные методы введения задачи в класс корректности путем использования дополнительной информации о решении. При этом вопрос о единственности 03 становится одним из центральных. Одномерная 03 "ШК является частным случаем задачи идентификации произвольной слоистой среды. Во второй главе дана постановка задачи идентификации слоистой среды в общем виде и изучен вопрос о единственности решения.

Исследование единственности обратных задач по определению параметров слоистых сред началось с работы А.Н.Тихонова [6bJ , в которой рассмотрена задача восстановления геоэлектрического разреза. Задачам, возникающим при тепловых и электромагнитных воздействиях на слоистую структуру, посвящены работы [19)2^^21. В L^2^35^5рассмотрены задачи определения коэффициентов линейных уравнений параболического типа. В L^J А.М.Денисовым доказана теорема единственности определения кусочно постоянного коэффициента уравнения теплопроводности при специальных граничных условиях. В [ i^j введено понятие эффективных параметров слоистой среды для задачи восстановления геоэлектрического разреза.

В работе цЗ"2] получили дальнейшее развитие методы, используемые в р *t ] , доказана теорема единственности определения эффективных параметров среды, подверженной тепловому поверхностному воздействию (по наблюдению за температурным полем этой поверхности). В перечисленных источниках объектом исследования является слоистая среда с идеальным кон-

тактом на границах раздела слоев. В 2, 3 главы 2 доказаны теоремы единственности для слоистой среды с неидеальным контактом.

Далее решаются обратные задачи по определению теплопро-ницаемостей и глубин залегания тонких теплопроницаемых дефектов. Для процесса "ШК, который проводится с целью обнаружения отслоений в теплоизоляционных пластинах, получены эффективные приближенные решения. Приведены данные численных экспериментов .

В ряде практически важных случаев для повышения точности определения параметров дефектов необходимо использовать *шогомерные модели процесса ТНК. Обзор современных результатов в области решения 03 теплопроводности дан в монографии L 5J . Там систематизированы результаты и предложено делить (условно) 03 на следующие типы: I) Ретроспективные - нахождение температурного поля в предшествующие моменты времени; 2) Граничные - восстановление граничных условий; 3) Коэффициентные - определение коэффициентов уравнений; 4) Геометрические 03 - нахождение геометрических характеристик областей.

Рассмотренные в третьей главе многомерные 03 для тонких теплопроницаемых включений относятся одновременно ко 2-му и 4-ому типам, так как определению подлежат коэффициенты в граничном условии (на границе контакта) и место расположения этой границы. Судя по обзорам [" 3 Ц_} 5"Э, 6^1

, такие задачи ранее не рассматривались. Поэтому в I главы 3 дана постановка многомерной 03 для тонкого теплопроницаемого включения и доказана единственность ее реше-

ния. Это потребовало приведения задачи к системе интегро-диф-ференциальных уравнений. Решена обратная задача о слое с постоянной теплопроницаемостыо. Практически все дефекты типа отслоения в тонких пластинах и оболочках имеют малое раскрытие по сравнению с толщиной пластины Я большую длину по сравнению с глубиной залегания, в этом случае построено асимптотическое решение прямой задачи и дана оценка для первого члена асимптотического ряда. Техника такого типа исследований изложена в

{^25~₃Ч2^Н~} - Проведенное исследование позволи-

ло предложить упрощенную (локально-одномерную) модель 1НК. Дано решение соответствующей - локально-одномерной 03 ТНК. В четвертой главе исследуется поведение трещины в орто-тропной пластине при термосиловом нагружении (плоско-деформированное состояние). Основными этапами такого исследования является решение задачи квазистатической термоупругости и выбор критерия роста трещины. Среди методов, обычно используемых при решении двумерных задач стационарной термоупругости до?недавне-го времени были наиболее распространены метод интегральных преобразований [_ ^ J ^и метод функций комплексного переменного [_A3;S"] . Отметим также метод функций Грина L ^ ^ J 8 последние годы все более широко используются методы конечного и граничного элементов 62)30

. Широкое использование методов функции комплексного переменного и интегральных преобразований связано с возможностью получить фундаментальное решение простейшей задачи (разрез в плоскости) в удобном для исследования виде. В монографии [^6 J дан обзор решенных плоских задач стационарной термоупругости для тел с термоизолированными раз-

- II -

резами. Задачи становятся сложнее, если разрез теплопроницае-мый. Наиболее полно результаты для таких задач представлены в монографии 28 J .

Задача существенно усложняется в случае квазистатической термоупругости. Теория решения соответствующих (парных) интегральных уравнений разработана недостаточно полно 1 Z₎SH_J

6] . Известны решения лишь для нескольких частных случаев jjf,3i^ 4 2J . Для некоторых более сложных задач можно построить асимптотические решения \_2 6^ J .В общем случае для решения задач квазистатической термоупругости целесообразно использовать методы вычислительной механики. В четвертой главе дана вариационная постановка задачи квазистатической термоупругости в прямоугольной области с теплопроницаемым разрезом, дискретизация задачи проводится вариационно-разностным методом

[5" О J . Для решения разностной задачи используется итерационный процесс. Обращение оператора Лапласа в области с разрезом проводится методом блоков [so] сущность которого заключается в разбиении области сложной формы на более простые. В каждой из полученных областей вычисляются матрицы влияния [ S \~\ . Такая матрица является дискретным аналогом тензора Грина. Матрица влияния носит название матрицы А.А.Ильюшина, первым обратившим внимание на важность ее построения Г.2 S Л¹1~\ . Метод численного решения задач теории упругости при помощи матрицы влияния изложен в монографии Б.Е.Победри [S о] , в настоящее время метод блоков находит все более широкое распространение, в том числе в математической литературе

Одним из наиболее проверенных и эффективно работающих критериев роста трещин является энергетический критерий Гриф-фитса [4?, 6^] . В котором предполагается, что трещина стано-

виться нестабильной, если ее возможное.удлинение приводит к уменьшению полной энергии системы f 62, ^Z1?J . Поэтому для выяснения степени опасности трещин необходимо знать зависимость внутренней энергии от параметров трещины. Анализ таких зависимостей проведен в последнем параграфе настоящей работы.

- ІЗ -

Численное сравнение моделей включений на примере задачи о тепловом ударе

К числу простейших УНТК относятся условия контакта с термосопротивлением 8 \ (теплопроницаемая трещина основанные на предположении о линейном распределении температуры по толщине включения. При выводе УНТК В.Й.Даниловская j il , Э.Й.Григояюк и Й.П.Чуяков 20 ] , Й.А.мотовиловец ["39] использовали предположение об изменении температуры по полиномиальным законам. Обобщение такого подхода приводит к идее о замене полиномиального представления температуры бесконечным рядом L 0 J . Отметин также работы В.В. Болотина Г 9, ІО] .в которых выводятся уравнения для пластин на основе вариационного принципа. В при выводе УНТК использовалось осреднение температуры и теплового потока по толщине включения. Для практического применения УНТК при моделировании теплового контроля необходимо выбрать условия контакта, которые позволяют достаточно точно и просто описать процесс теплопередачи. С этой позиции в первой главе анализируются различные УНТК. Даны определения обобщенных решений соответствующих задач нестационарной теплопроводности. Определения являются развитием известных (см. С 41 J ) при неидеаяьном контакте еред. Сравниваются асимптотические разложения решений. Построены разностные задачи и исследована их устойчивость.

Для определения наличия дефекта и его параметров необходимо решить G3, естественная постановка которой некорректна. Теория решения некорректных задач предлагает различные методы введения задачи в класс корректности путем использования дополнительной информации о решении. При этом вопрос о единственности 03 становится одним из центральных. Одномерная 03 "ШК является частным случаем задачи идентификации произвольной слоистой среды. Во второй главе дана постановка задачи идентификации слоистой среды в общем виде и изучен вопрос о единственности решения.

Исследование единственности обратных задач по определению параметров слоистых сред началось с работы А.Н.Тихонова [6bJ , в которой рассмотрена задача восстановления геоэлектрического разреза. Задачам, возникающим при тепловых и электромагнитных воздействиях на слоистую структуру, посвящены работы [19)2 21. В L 2 35 5рассмотрены задачи определения коэффициентов линейных уравнений параболического типа. В L J А.М.Денисовым доказана теорема единственности определения кусочно постоянного коэффициента уравнения теплопроводности при специальных граничных условиях. В [ i j введено понятие эффективных параметров слоистой среды для задачи восстановления геоэлектрического разреза.

В работе цЗ"2] получили дальнейшее развитие методы, используемые в р t ] , доказана теорема единственности определения эффективных параметров среды, подверженной тепловому поверхностному воздействию (по наблюдению за температурным полем этой поверхности). В перечисленных источниках объектом исследования является слоистая среда с идеальным контактом на границах раздела слоев. В 2, 3 главы 2 доказаны теоремы единственности для слоистой среды с неидеальным контактом.

Далее решаются обратные задачи по определению теплопро-ницаемостей и глубин залегания тонких теплопроницаемых дефектов. Для процесса "ШК, который проводится с целью обнаружения отслоений в теплоизоляционных пластинах, получены эффективные приближенные решения. Приведены данные численных экспериментов .

В ряде практически важных случаев для повышения точности определения параметров дефектов необходимо использовать шогомерные модели процесса ТНК. Обзор современных результатов в области решения 03 теплопроводности дан в монографии L 5J . Там систематизированы результаты и предложено делить (условно) 03 на следующие типы: I) Ретроспективные - нахождение температурного поля в предшествующие моменты времени; 2) Граничные - восстановление граничных условий; 3) Коэффициентные - определение коэффициентов уравнений; 4) Геометрические 03 - нахождение геометрических характеристик областей.

Рассмотренные в третьей главе многомерные 03 для тонких теплопроницаемых включений относятся одновременно ко 2-му и 4-ому типам, так как определению подлежат коэффициенты в граничном условии (на границе контакта) и место расположения этой границы. Судя по обзорам [" 3 Ц} 5"Э, 6 такие задачи ранее не рассматривались. Поэтому в I главы 3 дана постановка многомерной 03 для тонкого теплопроницаемого включения и доказана единственность ее решения. Это потребовало приведения задачи к системе интегро-диф-ференциальных уравнений. Решена обратная задача о слое с постоянной теплопроницаемостыо. Практически все дефекты типа отслоения в тонких пластинах и оболочках имеют малое раскрытие по сравнению с толщиной пластины Я большую длину по сравнению с глубиной залегания, в этом случае построено асимптотическое решение прямой задачи и дана оценка для первого члена асимптотического ряда.

Одномерная обратная задача теплового неразрушающего контроля (ТНК)

Здесь приведены результаты численного эксперимента, в котором сравниваются решения задач І, П, Ш, ІУ , моделирующих процесс теплопередачи в трехслойной пластине, подверженной воздействию поверхностного, кратковременно действующего источника тепла, йгдем придерживаться следующей терминологии. Задачу I назовем точной задачей теплопроводности в трехслойной пластине, а ее решение - точным решением. Задачи П, Ш, ІУ на-, зовем приближенными задачами, а их решения - приближенными решениями. Целью эксперимента является исследование близости приближенных задач к точной при различных значениях параметров, описывающих включение. Прикладной целью эксперимента является выбор такой приближенной задачи, которая достаточно точно и просто моделирует процесс теплового неразрушающего контроля (ТНК).

Считаем, что коэффициенты уравнений в первом и третьем слоях совпадают. Пусть толщины этих слоев равны. Интенсивность источника тепла задаем по формуле: Задачи I, Ш, ІУ характеризуются тремя безразмерными пара-метрами Я = - \ t / и характерным временем . В задаче П на один параметр меньше: , об . В первой части эксперимента сопоставлялись решения задач при различных значениях коэффициента Q : /# -fO ,-Z, ІР,ЇО. Разобьем диапазон изменения & на две части: І) Я » і ( а - У о , 0 J , Сравнение решений всех задач показало, что а) решения задач Щ Ш, ІУ совпадают с точностью до долей процентові б) отличие решения задачи І от решения задач її, Ш, ІУ не превышает 2% . П) аг 1 і/ С г«4 fa J, /& s, /О"4) . Из (2.4) видно, что при % ==о , т.е. при а =« унтк ти-па (1.6) и типа (1.9) переходят в УНТК типа (1.8). Значит задачу П можно определить как задачу ІУ (или задачу Ш) при фиксированном значении а , равном бесконечности. Поэтому исследование задачи П во втором диапазоне нецелесообразно. Использование задачи ТУ при малых значениях Я (больших tf ) затруднено, так как для обеспечения устойчивости разностной задачи (см. (4.4)) надо выбирать маленький шаг дискретизации по пространст-венной переменной. Так в расчетном примере (см. ниже) при а =/о шаг должен быть меньше [10 , а при Q = 0 - /О Поэтому во втором диапазоне сравнивались только решения задач. I и Ш. Б таблицах 1,2 приведены значения температур в гранич-ных точках пластины для а =± и сг -/о соответственно: .граница, по которой происходит нагрев). Из приведенных данных видно, что отличие решений задач I и Ш составляет около 30$. Во второй части численного эксперимента изучалась зависимость решений задач I, її, Ш, Л от параметра & . Эксперимент был построен так, чтобы исследовать процесс ТНК органо-пластиковой пластины с воздушным включением (дефект типа отслоения) . Коэффициенты задачи принимают вид Толшнина включения менялась в диапазоне -J-. [o.4,iJ щ Так как Я » d , то следовало ожидать, что отличие решений задач ЇЇ, Ш, ІУ между собой будет мало. Это подтвердил эксперимент - максимальное отличие составило 0.06$ (при у і ). Максимальное отличие решений задач I и П I наблюдалось при // d .В табл.3 приведены значения Гу(о,-ь)-Т0 (0,) Из таблицы видно, что решение задач I и П близки меащу собой. Значение параметра = і , при котором проведены расчеты, показывает, что задача П имеет широкую область применения. Таким образом,по результатам численного эксперимента можно сделать следующие выводы: 1) Задачу Ш можно использовать во всем диапазоне значе ний параметра « , однако точность приближения падает при убывании # 2) Задачу П рекомендуется использовать при а »У , как более простую, чем задача Ш. 3) Условная устойчивость разностной задачи 2 делает ее использование нецелесообразным. 4) Использование задачи П(по сравнению с задачей I) для моделирования процесса ТНК не приводит к увеличению ошибки модели. Выше рассмотрена трехслойная пластина с тонким среднем слоем, который имеет постоянную толщину. Практически интересна постановка задачи, когда толщина среднего слоя возмущена: где SQ = саме ; Stf%2)sпри ff z Z = e /,s Внешними границами пластины попрежнему являются плоскости J=о » = . Наряду с искривленными границами между слоями будем рассматривать "выпрямленные"- - % , &= . «которые получаются в случае отсутствия возмущения (5/fo) = o) Рассмотрим способ описания тонкого слоя при помощи УНЇК. Наиболее общие из известных УНТК приведены в цитируемой выше работе . Там УНТК записаны в форме (I.б),причем /, А , Є - являются функциями координат и " ; Пусть #/=#/ » Д/ = А3 Краевая задача в безразмерных координатах записывается в виде:

Слой с медленно меняющейся теплопроницаостью

Данное определение позволяет использовать теорию проекци-онно-сеточных методов I ЧІ] для построения разностной задачи. Дискретизация (7.5),(7.6) по пространственным координатам проводилась вариационно-разностным методом. Для дискретизации полученных уравнений по временной переменной использовался метод переменных направлений, модифицированный для данной задачи.

Выкладки, ввиду громоздкости,приведены в приложении I, там же доказана устойчивость разностной задачи. Алгоритм реализован на ЭВМ (ЕС 1045). Практический интерес представляет таксе двумерная задача (в прямоугольнике с теплопроницаемым разрезом). Соответствующая разностная задача получена из пространственной после элементарного упрощения. Выкладки, ввиду очевидности, не приводятся. Алгоритм реализован на ЭВМ (ЕС 1045). Обе программы используются в дальнейшем при численном решении обратной задачи ТНК ( 5, гл. 3) и при решении задачи термоупругости ( 2, гл. 4).

Анализ ассимптотики, устойчивости разностных схем и результатов численных экспериментов позволяет рекомендовать УНТК (1.9) для моделирования теплопередачи в области, содержащей тонкий слой (включение). Если температуропроводность окружающей слой среды много больше температуропроводности слоя, то рекомендуется использовать УНТК (1.8).

Рассмотрены обратные задачи по определению параметров слоев и коэффициентов в граничных условиях, а также в условиях неидеального контакта в одномерной слоистой среде - задачи идентификации среды. В первых трех параграфах дана постановка задачи иденти Ф фикации слоистой среды в общем виде и изучен вопрос о единственности решения. Далее рассматриваются обратные задачи для тонких теплопроницаемых включений. Такие задачи возникают при анализе процесса теплового нераэрушающего контроля слоистых структур с целью выявления в них внутренних дефектов. Более подробно изучены задачи об одном и двух неизвестных включениях (дефектах). В двух последних параграфах построено приближенное решение задачи ТНК с импульсным или кратковременно действующим источником нагрева, а также приведены результаты численных у- экспериментов. I. Постановка обратной задачи. В параграфе I главы I сформулирована прямая задача в двухслойной среде. В общем случае С /V слоев) прямая за дача нестационарной теплопроводности в слоистой среде с неиде альным контактом между слоями заключается в определении /fx,) в Сй}Х//7хГ ) й3 задачи (I): Л j t в/ коэффициенты тепло и температуропроводности ма« териала -го слоя, смысл коэффициентов oj tj3 пояснен ниже. Пусть &о= О . УНІК (1.1),(1.2) отличаются от (I.1.1.8) и (I.IJ.9 } только формой записи, которая более удобна для дальнейшего исследования. Если fy О , QS Q , то между j -ни и j + ± -ым слоем имеет место идеальный контакт. Заметим, что если 0 оо , то граничное условие при х- а О обращается в условие равенства нулю температуры границы: Т( о) о - 43 Введем векторы 4. ж р , составленные из параметров задачи (I): где термосопротивление и приведенная толщина J -го слоя. Сопоставляя (1.1),(1.2) с (1,1.190, получим YmJtSg/ - толщина включения между J -ым жл-d. нам. слоем, a Agj , &g - - коэффициенты тепло- и температуропро-водности материала этого включения. Заметим, что где ngj термосопротивление материала включения. Формулы (1.5), (1.6) объясняют физический смысл коэффициентов vCj TB.J&J Если сопоставить (1.1),(1.2) с моделью тешгопроницаемого включения (1Л.ёУ» то дляуЗ/ формула (1.5) сохраняет силу, &.& -& . Через U и V обозначим множества всех физически реализуемых (т.е. удовлетворяющих (1.3),(1.4)) векторов к ж / соответственно.

Вариационная постановка задачи квазистатистической термоупругости в ортотропной пластине с теплопроницаемым разрезом

В 1-2 рассмотрена общая постановка коэффициентной обрати-ной задачи нестационарной теплопроводности (определению подлежит вектор аффективных параметров среды р ). Далее рассмотрим постановку и решение обратной задачи, в которой неизвестной яв ляется лишь часть компонент вектора "р . Изучаемая ниже задача возникла при анализе процесса теплового неразрушающего конт роля слоистых структур с целью выявления в них внутренних дефектов. В одномерной постановке внутренним дефектом является дополнительный слой с неизвестными (полностью или частично) параметрами, в главе I уже обсуждались вопросы моделирования дефектного слоя. Здесь использована модель тонкого теплопроницаемого включения (I.I. 8) или (1.1),(1.2) при оО = 0) .

Из уравнений (1.1),(1.2) видно, что / »ое теплопроницае-мое включение описывается двумя параметрами: у - координата включения (точка разрыва температурного поля) и &J - теплопро -кицаемость.

Рассмотрим две слоистые среды - невозмущенную и возмущенную. Невозмущенная среда описывается известным вектором к (следова-тельно, р также известен). Возмущенная среда отличается от пергой наличием тешюпровицаемых включений. Координаты добавленных включений обозначим через %j , а их тешгапрошцаемости - Возмущенной среде соответствуют векторы 4 и /? . Очевидно, что если вектор -з? известен, то вектор эффективных параметров возмущенной среды однозначно определяется заданием стороны, » 3" однозначно определяв ются заданием векторов / и .

Назовем невозмущенной задачей прямую задачу (I) с коэффициентами, определенными вектором . Возмущенной задачей - прямую задачу (I) с коэффициентами, определенными вектором 44 Решения втих задач обозначим Tfa-б) и П(х,-і) . Рассмотрим постановку обратной задачи. Дополнительной информацией о решении является разность меиду температурой в точке x-Xfc возмущенной среды и температурой в этой ке точке невозмущенной среды. Уравнение для определения g , Y имеет вид Формальное операторное уравнение» связывающее параметры включений , и известную температуру» запишем в виде: Размерность JL считаем фиксированной» что позволяет рассматривать среду с чиелом дефектов меньшим или равным Т . Если число включений меньше -Г ., то "лишние" компоненты векторов и if полагаем равными О . Таким образом обратной задачей тонких тешюпронидаемых включений называется задача определения g , (JT.HB уравнения (4.2). Рассмотрим вопрос о корректности задачи (4.2). Утверждение. Если невозмущенная среда такова, что вектору . Удовлетворяет условиям теоремы I, то уравнение (4.2) имеет единственное решение. В самом деле» если / удовлетворяет условиям теоремы I, то F ± также удовлетворяет этим условиям. Так как Tftc -і) -известно из решения прямой невозмущенной задачи, то также известная функция. Поэтому вектор р определяется одно значно, Теперь из установленного выше взаимооднозначного CQOTW ветствия между ( - , Г ) и Р # ПР2 известном , сле -дует единственность (4.2). Таким образом» для корректной постановки обратной задачи можно применить концепцию квазирешения (см. 3). 2. Эквивалентная система интегральных уравнений. Выше рассмотрена задача теплопроводности в дифференциальной постановке. Поэтому оператор А в (4.2) неявно задает связь между искомыми параметрами и измеряемой температурой. Для построения эффективного метода решения (4.2) необходимо получить явный вид оператора А Для этого приведем исходную дифференциальную задачу к эквивалентной системе интегральных уравнений, считая, что функция Грина невозмущенной задачи известна.

Обратимся сначала к прямой задаче для невозмущенной среды. Перепишем ту задачу в более удобном для решения виде. Для этого сделаем замену переменной ее и коэффициентов уравнений по формулам: