Математические методы исследования краевых задач теорий пластичности и нелинейной упругости Бригаднов, Игорь Альбертович

Введение к работе

Актуальность темы

Решение краевых задач механики деформируемого твердого тела имеет огромное значение как для теории, так и для практики. В настоящее время существует множество феноменологических моделей, описывающих различные эффекты деформирования твердых тел. Адекватность и область применения каждой модели должны устанавливаться только путем сопоставления экспериментальных данных и решений соответствующих краевых задач. Поэтому в настоящее время; на первый план выходят анализ математической корректности краевых задач механики деформируемого твердого тела и разработка эффективных численных методов их решения. Дополнительным стимулом является наличие мощных ЭВМ, выдвигающих на первый план методологию вычислительного эксперимента при анализе напряженно-деформированного состояния элементов конструкций машин и механизмов,

Особенностью современного этапа развития механики сплошных сред является акцент на существенно нелинейные эффекты и связанные с ними проблемы, В механике деформируемого твердого тела принципиально различают два типа нелинейностей: физическую и геометрическую. В диссертации приводятся современные математические методы исследования обоих типов нелинейностей, наиболее ярко представленных в теориях пластичности и нелинейной упругости.

В общем случае рассматривается следующая проблема. Пусть деформируемое твердое тело в отсчетной недеформированнон конфигурации занимает область ЙСй'с границей Г. В деформированной конфигурации каждая точка х Є Г2 переходит в положение и(х) = х + v(x) і?³, где и и и — искомые отображение и перемещение, соответственно.

К телу прикладываются внешние воздействия: в П —- массовая сила с плотностью /, на части границы Г^ — поверхностная сила с плотностью F, а также задается либо перемещение и^, либо отображение щ части границы Г¹, причем исключается возможность движения тела как твердого целого (areafr¹) > 0). В исходном состоянии внешние воздействия отсутствуют тело находится в натуральном состоянии.

Как любая механическая система сплошная среда описывается силовой

характеристикой — тем или иным тензором напряжений (Коши, Пиола-Кирхгоффа, Био и т.д.). При постановке краевой задачи механики деформируемого твердого тела фундаментальным является уравнение равновесия элемента среды, записанное для выбранного тензора напряжений. Квазнстационарное описание исключает рассмотрение переходных динамических процессов и математически характеризуется отсутствием в уравнении равновесия вторых производных по времени, хотя и допускает эволюционное деформирование (т.е. наличие первых производных по времени или внешнему параметру нагружения).

Полная постановка краевой задачи наряду с краевыми условиями включает определяющее соотношение, которое связывает меру деформации с мерой напряжения и является математической моделью сплошной среды. Общие требования, предъявляемые к определяющим соотношениям механики деформируемого твердого тела подробно рассмотрены в классических работах А.А.Ильюшина, А.Ю.Ишлинского, Ю.И.Кадашевича, Л.М.Качанова, В.Д.Клюшникова, А.И.Лурье, В.В.Новожилова, В.А.Пальмова, Ю.Н.Работнова, К.Трусделла и других.

В настоящее время в рамках теории малых статических деформаций наиболее полно исследованы краевые задачи для материалов со степенным и линейным упрочнением. Здесь необходимо сослаться на классические работы А.А.Ильюшина, А.Ю.Ишлинского, И.И.Воровича, В.Д.Клюшникова, Д.Л.Быкова, Д.Д.Ивлева и других. Математические аспекты краевых задач для материалов с нулевым упрочнением подробно рассмотрены в работах П.П.Мосолова, Б.П.Мясникова, Г.А.Серёгина, С.И.Репина, Р.Темама и других. Немонотонные определяющие соотношения исследованы с механической точки зрения, например, в работах Е.И.Шемякина и В.И.Кондаурова.

Краевые задачи теории пластичности подробно исследованы для классических моделей теории течения (Р.Хилл, В.Т.Койтер и др.) и теории упругопластических процессов в классических работах А.А.Ильюшина и В.С.Ленского. Однако, развиваются другие подходы к описанию эффектов пластического деформирования, в частности, эндохронный (Э.Бажант, Ю.И.Кадашевич, K.C.Valanis и др.) и неассоциированный (В.Н.Николаевский и др.). Поэтому необходим математический анализ краевых задач и для таких моделей.

В рамках нелинейной теории упругости подробно рассмотрены вопросы адекватного описания конечного деформирования, построения реалистичных моделей эластомеров и постановки краевых задач. Здесь необходимо сослаться на классические работы А.И.Лурье, К.Ф.Черныха, Л.М.Зубова, R.W.Ogden, М.А.Moony, R.S.Rivlin и других. Математические аспекты

краевых задач для некоторых моделей нелинейно упругих материалов исследованы в известных работах J.M.Ball.

Практическая значимость анализа напряженно-деформированного состояния элементов конструкций выдвигает в разряд самостоятельного раздела пауки вычислительную механику деформируемого твердого тела, Использование современных методов вычислительной математики делает этот раздел механики не только прикладной, но и теоретической дисциплиной. Здесь необходимо сослаться на классические работы О.Зенкевича, Б.Е.Победри, А.А.Поздеева и других.

Цель работы

1. Анализ математической корректности краевых задач теорий пластичности и нелинейной упругости как в стационарной, так и в эволюционной постановках.

2. Дискретизация краевых задач теорий пластичности и нелинейной упругости, анализ математической корректности соответствующих конечномерных моделей.

3. Разработка и анализ численных методов решения дискретных задач теорий пластичности и нелинейной упругости.

4. Проведение вычислительных экспериментов и исследование эффективности различных методов на выделенных классах краевых задач.

Методы исследования. При постановке и анализе математической корректности краевых задач теорий пластичности и нелинейной упругости применяются современные методы функционального анализа: вариационное исчисление для многомерного интегрального функционала; теория абстрактной задачи Крши в банаховом пространстве, неразрешенной относительно производной, в сочетании с классической теорией операторов. Активно используется аппарат теории функций матричного аргумента. При построении дискретных моделей соответствующих краевых задач, анализе их корректности и проведении вычислительных экспери-ментов применяются вариационно-разностные методы (метод конечных элементов, явные и неявные аппроксимационные схемы Эйлера и Рунге-Кутта).

Научная новизна. На защиту выносятся:

1. Метод адаптивной блочной релаксации для численного решения краевых задач теорий пластичности и нелинейной упругости.

2. Эволюционный вариационный метод постановки и анализа краевых задач инкрементальной теории пластичности, а также общий алгебраический критерий математической корректности соответствующих моделей.

3. Вариационный метод доказательства существования и построения аналитических оценок предельной нагрузки в краевых задачах нелинейной теории упругости.

4. Вариационный метод доказательства существования и построения отображений с разрывами типа проскальзывания в краевых задачах нелинейной теории упругости.

5. Метод регуляризации вариационной проблемы физически нелинейной теории упругости с немонотонной диаграммой состояния.

Перечисленные результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность

Аналитические методы, представленные в диссертации, могут быть использованы при построении определяющих соотношений и анализе математической корректности краевых задач теорий геометрически нелинейной упруго- и упруго-вязко-пластичности.

Применение нового численного метода может существенно повысить эффективность решения практически важных задач анализа напряженно-деформированного состояния элементов конструкций с учетом как физически, так и геометрически нелинейных эффектов.

Апробадия работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конгрессах, конференциях, симпозиумах и семинарах: Республиканская научно-практическая конференция творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное <а информационное обеспечение" (БССР, Минск 03-06.05.1988)) Всесоюзная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики" (ЭССР Тарту 21-22 09.1990); Всесоюзный семинар "Моделирование, идентификация, синтез систем управления в химических и химико-металлургических производствах" (УССР Крым, Алушта 28-30 091990); Международная конференция "Asymptotics in Mechanics'94" (Россия С-Петербург 14-17 08 1994V Международная конференция " "И-mte Element Method in South Africa FEMSA'95)" (ЮАР Стелленбос 15-20 01 1995); Международная конференция "Optimization of Finite Element Approximations" (Россия, С-Петербург 25-29.06.1995); Международный

конгресс и выставка " 1995 International Mechanical Engineering Congress and Exposition" (США, Сан-Франциско 12-17.11.1995); 1-ая Международная конференция "Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности металлических конструкций и методы их решения" (Россия, С-Петербург 28-30.11.1995); Международная конференция "Fifth SIAM Conference on Optimization" (Канада, Британская Колумбия, Виктория 20-22.05.1996); Международная конференция "First South African Conference on Applied Mechanics (SACAM'96)" (ЮАР, Мидранд, Гаутинг 01-05.07.1996); Международная конференция "Numerical Methods in Engineering (ECCOMAS'96)" (Франция, Париж 09-13.09.1996); 1-ая Международная научно-практическая конференция "Дифференциальные уравнения а их применения" (Россия, С-Петербург 03-05.12.1996); Международный симпозиум "Plasticity and Impact Mechanics (IMPLAST'96)" (Индия, Дели 11-14.12.1996); семинар на кафедре механики композитов механико-математического факультета Московского государственного университета (25 03 1996 рук Б Е ПобедряУ семинары на кафедре теории упру-гости математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета (25.04 и 26.12.1996, рук. Н.Ф.Морозов).

Часть диссертационной работы выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант N95-01-00992 — исполнитель, грант N96-01-00054 — руководитель) и Центра Фундаментального Естествознания при Санкт-Петербургском государственном университете (персональный грант N5-3-2.1).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в работах [1-20], в том числе в журнале "Известия Академии Наук. Механика Твердого Тела" опубликовано 7 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка принятых обозначений, пяти глав, трех приложений, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 224 страницы, из них текстовая часть — 204 страницы типографского формата 14pt, рисунки — 20 страниц. Список литературы содержит 297 наименований.