Введение к работе
Актуальность проблемы. Интенсивное развитие техники выдвинуло необходимость Полос- углубленного изучения волновых процессов и телах, содержащих включения либо в объеме, либо на границе. Причиной тому послужило обнаруженное явление локализации упругих волн в районах, содержащих последнее и приводящее, к примеру, в акустических явлениях к сильно концентрированным полям излучения в окружающую среду, а в задачах с нестационарном воздействии ударных волн с конструкциями к локализованным полям напряжений в районах крепления дополнительных элементов. Такое же явление имеет место и в задачах физики твердого тела, где локализация волновых процессов приводит к перестройке дислокационной структуры материала с последующим изменением его физических свойств. Представляется, что ответствепш.ш за локализацию волнового процесса несут стоячие, не распространяющиеся волны. Последние, следуя теории поверхностных воли в жидкости, получили название ло-вушечных мод колебаний. Этого определения будем придерживаться и в настоящей работе. Присутствие таких волн в общем волновом пакете заставляет признать существование смешанного спектра собственных частот колебаний у дифференциальных операторов, описывающих поведение тел с включениями. Именно, спектра, содержащего, как непрерывную, так и дискретную части. Сегодня законченной математической теории о распределении собственных значений сингулярных дифференциальных операторов (сингулярность вызвана наличием грапицы бесконечной протяженности) не существует. Практика заставляет восполнить имеющийся пробел исследованием угг.тзашгого выше явления на ряде специально подобранных задач, решение которых позволило бы выделить главные, присущие этому явлению, особенности. С одной стороны это поможет продвинуться в разработке соответствующей математической теории, с другой — - полученные результаты решений можно использовать для разработки новых методов и средств измерения, контроля и диагностики.
На актуальность темы диссертации указывает и то, что она связана с исследованиями Института проблем машиноведения РАН по научному направлению "Динамика волновых движений
механических систем", утвержденному Постановлением Президиума РАН, и выполнялась в соответствии с
программой фундаментальных исследований РАН "Механика" (Раздел 4, гос.per. 01. 9. 00. 44514);
программой фундаментальных исследований РАН "Машиностроение и технология".
Научная значимость работы подтверждается ее выполнением при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований.
Состояние вопроса. Известное разделение задач математической физики по спектру собственных значений: дискретный для уравнений, описывающихся колебания упругих тел ограниченных размеров и непрерывный для тел, имеющих границы бесконечной протяженности, — существовало до 1927 г., Шредингер, в связи с физической теорией квантов, натолкнулся на тип задач о собственных значениях, спектр которых обнаружил совершенно иную структуру, чем рассмотренные до сих пор. Для операторов вида — LU + V U = \U, где V(x) потенциал, был доказан целый класс теорем о существовании дискретного спектра, располагающегося до начала непрерывного. Оператор Шредингера оказался богатейшим источником задач спектральной теории особенно в квантовой механики, где собственные значения — суть возможные значения энергии системы. В классической механике задачи со сметанным спектром были изучены Урсуллом Ф. (1951 г.) при описании явления образования стоячих волн на безграничной поверхности идеальной несжимаемой жидкости. Полученное им математическое обоснование существования дискретного спектра у оператора Лапласа, при соответствующих краевых условиях на дне канала определенного рельефа, подтверждало существование не распространяющейся волны на поверхности жидкости с амплитудой экспоненциально спадающей на бесконечности, впервые показанное Стоксом Г. (1846 г.). В дальнейшем этот раздел механики развивался Эвансом Д., Макайвером П., Кузнецовым Н.Г., Боннетом А. и др. Дискретный спектр собственных частот колебаний, обнаруженный учеными в объемах жидкости с безграничной поверхностью при различной топографии дна, располагался всегда до граничной частоты, определяющейся нача-
ло волнообразования на поверхности, был конечен и ему соответствовали собственные формы в виде указанных выше ловушечных мод колебаний. Рассматриваемый только один вид дифференциального оператора (оператор Лапласа) не позволяет использовать результаты, полученные вышеуказанными исследователями, для описания локализации волновых процессов в других задачах механики.
Следующей областью классической механики, где было обнаружено явление локализации, является механика твердого деформируемого тела. Впервые наши отечественные ученые Воронин И.И., Бабешко В.Л., изучая резонансные свойства упругой полосы, контактирующей на конечном участке своей границы с вибрирующим массовым штампом.'ббнаружили ряд резонансов (В-резонансы), сопровождающихся явлением локализации волновых процессов под штампом и раскачки последнего с безграничной амплитудой. Это, безусловно, вызвало широкое обсуждение в научных кругах и появление колебаний такого вида в безграничной среде, где в общем случае существует унос энергии от источника па бесконечность, было классифицировано как открытие. Первые результаты указывали на существование резонансов на частотах, лежащих только до первой граничной частоты упругой полосы, а в 1985 г. впервые был обнаружен высокочастотный резонанс, т.е. выход вещественного дискретного спектра на ось непрерывного. Большие математические трудности не позволили получить весь дискретный спектр и проанализировать условия, определяющие его существование. Вещественный дискретный спектр собственных частот колебаний некоторых элементов конструкций (балка Бернули-Эйлера с двумя сосредоточенными упругими включениями, пластина с упругим набором подкреплений)определен в работе Бобровницкого 10.И. (1992 г.) В задаче о колебании пластины в канале, заполненном пдеп.лтлто сжимаемой жидкостью, Белинский Б.П. показал возможность существования дискретного спектра в задачах гидроупругости.
Видно, что число работ, изучающих ловушечные моды колебаний в средах с включениями, весьма ограничено. Целый ряд принципиальных вопросов остался практически не исследованным — это вопросы влияния вида дифференциального оператора, описы-
вающего динамику волновода, краевых условий, а также включений на возникновение вещественного спектра собственных частот колебаний в упругих телах с одной из границ бесконечной протяженности. Ни в одной из известных автору работ не ставился вопрос об условиях, определяющих положение этого спектра (последний может располагаться как до начала непрерывного, так и на. нем). Осмыслению этих вопросов и в какой-то степени ответу на них и посвящена настоящая теоретическая работа. Целью работы является:
теоретическое исследовешие формирования ловушечных мод колебаний (возникновение вещественного дискретного спектра собственных частот колебаний) в одномерных и двухмерных упругих телах, имеющих одну из границ бесконечной протяженности и содержащих как сосредоточенные, так и распределение массово-упругие включения;
вывод необходимых и достаточных условий, приводящих к возникновению низкочастотного (значения спектра располагаются до начала непрерывного) и высокочастотного (точечный спектр лежит на оси непрерывного) спектров;
установление связи между явлениями локализации нестационарных волновых процессов в районах включений и существованием вещественного дискретного спектра в общем спектре онера-тора, описывающего динамику волновода;
— исследование формирование ловушечных мод колебаний в телах ограниченных размеров и установление связи этого явления с эффектом образования ловушечных волн в телах с границей бесконечной протяженности.
Научную новизну определяют следующие результаты работы, которые выносятся на защиту:
формулировка необходимых и достаточных условий существования вещественного дискретного спектра собственных частот колебаний в одномерных и двумерных упругих телах, имеющих одну из границ бесконечной протяженности и содержащих массово-упругие включения;
исследование спектра собственных значений основных видов дифференциальных операторов, описывающих распространение волн в упругих телах с включениями;
оценка собственных значений и собственных функций в задачах о колебании элементов конструкций, содержащих как сосредоточенные, так и распределенные- включения;
метод определения вещественного дискретного спектра на оси непрерывного, позволяющий разделить поиск ловушечных частот и спектра параметров волновода и включений, при которых эти частоты становятся собственными;
описание формирования ловушечных мод колебаний в упругих телах конечных размеров как явления образования кратных частот при определенных параметрах включения.
Практическое значение полученных результатов непосредственно вытекает из решения конкретных задач о колебании элементов конструкций, содержащих включения. Такие элементы как балки, пластины оболочки, наиболее широко используются на практике в машиностроении и судостроении. Поэтому приведенные в работе значения собственных частот колебаний, а также необходимые для их существования значения параметров включений, позволяют прогнозировать, к примеру, характер акустического излучения, а также неравномерность распределения вибрации по длине конструкции.
Достоверность результатов обеспечивается выбором расчетных схем и моделей, адекватных реальным объектам, строгостью и корректностью математических выкладок.
Апробация. Научные результаты и основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались па Всесоюзной конференции ''Методы расчета прочности судовых конструкций" (Ленинград, 1990 г.), Всесоюзном научном совещании по проблемам прочности (Москва, 1991 г.), Всесоюзной конференции "Волновые процессы в мліпиііо'троеіпіи" (Горький, 1989 г.), VI Международной конференции по а еороткчсской механике (Ли-берен, 1992 г.), Международной конференции по ударным волнам в конденсированных средах (Элсевир, 1991 г.), Европейском коллоквиуме Евромех-316 по структурной акустике (Манчестер, 1994 г.), III Международном конгрессе по акустике и вибрации (Монреаль, 1994 г.), Международной конференции по борьбе с шумом и вибрадией "NOISE-93" (Петербург, 1993 г.), а также на семинарах по акустике под рук. проф. Д. П. Коузова и семина-
pax кафедрі,! "Механика и процессы упрашгепия'ПГТУ" под рук. проф. В. Л. Пальмова.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 печатних работ.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, 6 глав и заключения. Диссертация содержит 291 л машинописного текста, -11 рисунка. Список литературы включает 66 наименования.