Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Сплавы с памятью формы 10
1.1 Свойства СПФ 10
1.2 Применение СПФ
1.2.1 Промышленное применение 12
1.2.2 Медицина 18
1.3 Определяющие соотношения 20
1.3.1 Положение об активных процессах пропорционального нагружения 22
1.4 Краевые задачи для СПФ 24
1.4.1 Цилиндр и сфера 26
Глава 2. Цилиндр 29
2.1 Постановка задачи 29
2.2 Решение 31
2.3 Пренебрежение упругими деформациями
2.3.1 Случай внешнего давления 38
2.3.2 Сравнение постановок с учетом и без учета упругих деформаций 40
2.4 Плоская деформация 48
2.4.1 Сравнение решений для цилиндра в случае плоской деформации и в случае нулевой осевой силой 50
2.5 Предельные условия 53
2.5.1 Случай действия продольной силы 53
2.5.2 Случай плоской деформации 58
2.6 Обратное превращение 62
2.6.1 Постановка задачи 62
2.6.2 Вывод разрешающих соотношений 64
2.6.3 Приближенное решение 68
Глава 3. Сфера 73
3.1 Постановка задачи 73
3.2 Решение 74
3.3 Пренебрежение упругими деформациями 76
3.4 Предельные нагрузки 82
Глава 4. Равномерное распределение температуры 85
4.1 Вывод разрешающей системы 85
4.2 Алгоритм решения 89
4.3 Анализ полученных решений
4.3.1 Цилиндр 93
4.3.2 Сфера 107
4.3.3 Сравнение постановок 113
Заключение 128
Список сокращений и условных обозначений 130
Список литературы
- Положение об активных процессах пропорционального нагружения
- Случай внешнего давления
- Пренебрежение упругими деформациями
- Анализ полученных решений
Положение об активных процессах пропорционального нагружения
В попытке смягчить последствия землетрясений для сооружений, инженеры-строители пытаются спроектировать всё более прочную структуру для зданий. Существующие средства «борьбы» с катаклизмом можно разделить на три категории: изоляция фундамента, активный (и полуактивный) контроль и пассивный контроль. Изоляция фундамента уже многие годы привлекает к себе внимание со стороны научного сообщества, зарекомендовав себя как самый совершенный из трех смягчающих методов. Многочисленные здания по всему миру были спроектированы и/или модернизированы на основе этого метода (например, Международный аэропорт Стамбула, здание муниципалитета городов Сан-Франциско и Окленда). Суть метода в отделении движения грунта от самой структуры за счет опорных изоляторов. Однако, несмотря на широкую распространенность и отличную сейсмоустойчивость, изоляция фундамента не всегда возможна в связи с высокой стоимостью такой системы.
Альтернативами методу изоляции фундамента являются методы активного и пассивного контроля, которые основываются на внедрении специальных элементов в конструкцию самого здания. Активная и полуактивная методики контроля изменяют поведение структуры путем диссипации энергии и активных силовых устройств с внешним источником питания, которые реагируют в режиме реального времени на толчки. Напротив, пассивные методы изменяют реакцию за счет пассивного рассеивания энергии в заданных элементах, которые, при правильном проектировании, могут устранить нежелательное неупругое поведение в оставшейся части структуры и помочь распределить деформации более равномерно по высоте всей конструкции. Примерами сооружений с использованием метода пассивного контроля являются административное здание города Сан-Франциско, мост между Сан-Диего и Коронадо, здание госучреждения на западе Лос-Анжелеса. Совсем недавно начались исследования по использованию СПФ (рисунок 1.7), а именно свойства сверхупругости, в системах пассивного контроля [27], [28], [29]. Работы [30], [31] посвящены использованию пассивных элементов из СПФ при строительстве мостов.
В 1971 году Адриесен [33] предложил использовать нитиноловую проволоку в качестве ортодонтического средства, так как она способна развивать постоянное усилие при различном уровне деформаций. Ещё один важный показатель – это отношение силы, создаваемой проволокой, к её деформации. На рисунке 1.8 показана зависимость силы от величины смещения для нержавеющей стали и СПФ [34]. Как видно из рисунка, при маленьких деформациях уровень усилий в нержавеющей проволоке более высокий по сравнению с проволокой из СПФ. Это означает, что при одинаковой деформации проволока из нитинола будет создавать меньшее, но постоянное усилие, которое не приведёт к перегру-жению зубов. Таким образом, работа [33] заложила основы использования NiTi в медицинских целях.
Помимо ортодонтии сегодня нитиноловые имплантаты используются также в хирургии для сращения переломов костной ткани [35], [36]; коррекции осанки [37]; эндопротезов (протез, вживляемый внутрь человеческого организма для замены какой-либо части тела) [38], [39]; протезов костей [40], [41].
Ярким примером преимуществ использования СПФ является хирургическая операция по коррекции позвоночника с помощью стержня Харинтона. Обычно такой стержень изготавливался из коррозионно-стойкой стали. Недостатком стрежня из стали является уменьшение во времени первоначального Рисунок 1.8 — Диаграмма сила-смещение для ортодонтических проволок, изготовленных из СПФ и нержавеющих сталей.
корректирующего усилия. Через 20 мин после установки корректирующая сила уменьшается на 20 %, а через 10-15 дней — до 30 % от первоначальной. Для создания дополнительного корректирующего усилия требуются повторные болезненные операции. Если же стержень Харинтона делать из СПФ [42], то установить стержень можно 1 раз, а необходимость в повторной операции отпадает. После операции для создания дополнительного корректирующего усилия достаточно лишь нагреть стержень Харинтона до температуры, несколько превышающей температуру тела. Эффективны для этой цели сплавы на основе TiNi с добавками Cu, Fe и Mo, проявляющие после восстановления формы высокую эластичность в интервале температур 35... 41C.
В кардиологии, сердечно-сосудистой хирургии, гастроэнтерология и желудочно-кишечной хирургии применяются стенты из СПФ [43], [44], [45], [46] (стент – специальная, изготовленная в форме цилиндрического каркаса упругая металлическая или пластиковая конструкция, которая помещается в просвет полых органов и обеспечивает расширение участка, суженного патологическим процессом).
Преимущества нитиноловых стентов [47]: – большая гибкость по сравнению со стентами из нержавеющих сталей; меньшая величина создаваемых напряжений, что характеризуется меньшим риском чрезмерного натяжения сосуда при расширении стента; биосовместимость и антикоррозийные характеристики; влияние на перестройку сосуда, влекущее за собой сокращение рестено-за.
Для решения задачи используется модель нелинейного деформирования СПФ [48]. Данная модель адекватно описывает такие свойства и явления, характерные для СПФ, как изменение упругих модулей при мартенситных превращениях, накопление деформации прямого превращения, ориентированное превращение, монотонная память формы, мартенситная неупругость, сверхупругость, выделение и поглощение латентного тепла фазового перехода, диссипативные явления. Определяющие соотношения для этой модели записываются в виде:
Случай внешнего давления
Таким образом, из разрешающей системы уравнений величина q исчезла. Поэтому напряженное состояние при решении задачи в такой постановке не зависит от q, т.е. не меняется при фазовом переходе. Следовательно, условия справедливости положения об активных процессах пропорционального нагру-жения выполнены, и использование в данном случае определяющих уравнений в форме конечных соотношений (1.16) законно.
В рамках модели, не учитывающей упругие деформации, следуя соотношениям (2.32) и (2.9)-(2.11) все компоненты деформаций и смещения в фиксированной точке меняются пропорционально д. Согласно решениям, полученным с учетом упругих деформаций зависимость смещений и деформаций от с большой степенью точности может быть аппроксимирована линейными функциями. Значения этих функций для = 0 соответствуют упругому решению. Для получения приближенного решения задачи о прямом превращении достаточно найти из системы (2.26)-(2.29) значения величин и для = 1 и далее вычислить все искомые величины для выражений
Расчеты показывают, что тангенсы углов наклона прямых (2.38) к оси весьма мало отличаются от параметров и , полученных для решения той же задачи с пренебрежением упругими деформациями. Для просчитанных вариантов эта разница не превосходила 3%. Поэтому, в первом, достаточно хорошем приближении при решении с учетом упругих деформаций можно воспользоваться формулами
Для уточнения полученного решения найденные с помощью (2.39) значения () и () можно использовать как начальные приближения для соответствующих величин при решении системы (2.26)-(2.29) (скорость сходимости решения системы (2.26)-(2.29) существенно зависит от точности начального приближения для и ).
Правомерность использования положения об активных процессах пропорционального нагружения и следующих из этого положения определяющих соотношений (1.16) при решении задачи в условии пренебрежения упругими деформациями следует из свойств полученного решения (напряжения не зависят от параметра фазового состава , а, значит, речь идет о прямом превращении из полностью аустенитного состояния под действием постоянных напряжений). Возникает вопрос о выполнении условий справедливости этого положения для решений, полученных с учетом упругих деформаций. Здесь напряжения уже меняются с ростом параметра фазового состава . Поэтому проверялось условие пропорциональности изменения компонент девиатора напряжений. На рисунке 2.2 изображены графики зависимостей от отношений / (верхняя линия), / (средняя линия) и / (нижняя линия). Как видно, условие пропорциональности изменения компонент девиатора напряжений нарушается для малых значений , однако эти нарушения незначительны, и в первом приближении ими можно пренебречь. 1
Проверка выполнения условия пропорциональности девиаторов в положении об активных процессах пропорционального нагружения – графики зависимостей от отношений / (верхняя линия), / (средняя линия) и / (нижняя линия). Результаты расчетов, проведенных с учетом упругих деформаций свидетельствуют о том, что интенсивность напряжений меняется при изменении , как на внутренней поверхности цилиндра, так и на внешней (рисунок 2.3). В таком случае для применения ПАПН необходимо равенство функций распределения интенсивности микронапряжений 1() и 2(), которое может не выполняться.
Согласно кривой 2 на рисунке 2.3 а) интенсивность напряжений убывает с ростом в случае когда внутреннее давление мало, а осевая сила достаточно большая, т.к. цилиндр испытывает растяжение вдоль оси. Действительно, построим соответствующие графики для кольцевых деформаций для внутренней и внешней стороны цилиндра (рисунок 2.4). Как видно из рисунка 2.4 цилиндр в случае, который соответствует кривой 2, вместо увеличения внутреннего радиуса испытывает продольное растяжение. В случае кривых 1 и 3, цилиндр испытывает увеличение внутреннего диаметра, но как видно из рисунка 2.3 б), на внешней стороне интенсивность напряжений убывает с ростом , т.е. присутствует разгрузка. Таким образом, условия положения об активных процессах 1.6
Зависимость интенсивности напряжений г от для цилиндра с относительной толщиной = 1.1 а) на внутренней и б) на внешней стороне. Кривая 1 соответствует = 1, а = 0.1, кривая 2 - = 0.8, а = 0.01, кривая пропорционального нагружения в случае постановки с учетом упругих деформации не выполняются. И, для решения задачи с учетом упругих деформаций, корректно говорить о том, что оно получено в рамках определяющих уравнений в форме конечных соотношений (1.16), не связывая их с уравнениями в приращениях (1.2)-(1.6).
Одна из главных целей данной работы – моделирование процесса «раздачи» муфты в классическом понимании, т.е. когда муфта из СПФ насаживается на внешнюю сторону упругого трубопровода. На самом деле, на основании полученной системы можно смоделировать процесс «раздачи» муфты за счет внешнего давления. Такая муфта может применяться для последующего образования ТМС при установке на внутреннюю сторону упругого трубопровода, когда установка с внешней стороны не представляется возможной.
Пренебрежение упругими деформациями
Кроме того, на всех графиках, что особенно видно для больших нагрузок, значения кольцевых напряжений в конце прямого превращения ( = 1) несколько выше кольцевых напряжений в середине прямого перехода ( = 0.5) на внутренней стороне цилиндра и меньше на внешней стороне. Для лучшей иллюстрации построим аналогичные графики для кольцевых напряжений ф но в зависимости от параметра фазового состава для разных сечений цилиндра (внешнего, срединного и внутреннего) - рисунок 2.9. Из графиков на рисунке 2.9 видно, что в начале фазового перехода ( = 0) кольцевые напряжения на внутренней стороне возрастают, а на внешней - убывают, что сказывается на a
Сравнение зависимости кольцевых напряжений от радиальной компоненты для двух постановок: с учетом (тонкие кривые) и без учета (толстые кривые) упругих деформаций. Три кривые для постановки с учетом упругих деформаций соответствуют началу, середине и концу фазового перехода. В случае = 1.1; = 1; = 0.05 все кривые, за исключением = 0, практически неразличимы в масштабах рисунка
Сравнение зависимости кольцевых напряжений от параметра фазового состава для двух постановок: с учетом (тонкие кривые) и без учета (толстые кривые) упругих деформаций на трех сечениях цилиндра: внутреннем, срединном и внешнем. Кривые на срединном сечении практически неразличимы в масштабах рисунка. интенсивности напряжений, которая, как было показано на рисунке 2.3, убывает на внешней стороне цилиндра во время прямого превращения и тем самым не позволяет применять положение об активных процессах пропорционального нагружения. Кроме того, разница между кривыми с учетом и без учета упругих деформаций тем выше, чем выше приложенные нагрузки и особенно заметна в конце прямого превращения. В случае высоких нагрузок кольцевые напряжения на внутренней стороне цилиндра в постановке без учета упругих деформаций всегда превосходят кольцевые напряжения с учетом упругих деформаций.
Построим соответствующие графики для зависимости радиальных деформаций от радиальной компоненты (рисунок 2.10). Толстые кривые соот є -0.02 Сравнение зависимости радиальных деформаций от радиальной компоненты для двух постановок: с учетом (тонкие кривые) и без учета упругих деформаций (толстые кривые) для разных значений . В случае = 1.1; = 1; = 0.05; кривые для двух постановок при = 0 практически неразличимы в масштабах рисунка. ветствуют постановке с неучетом упругих деформаций, тонкие – с учетом. Как следует из рисунков, абсолютные значения радиальных деформаций для случая учета упругих деформаций всегда превосходят соответствующе значения, построенные без учета упругих деформаций. Тем не менее, разница для двух постановок между радиальными деформациями, приведенными на рисунке 2.10, составляет не более 3%.
Графики зависимости от для разных сечений цилиндра строить смысла не имеет, ввиду близости кривых друг к другу, поэтому приведем графики зависимости деформаций от для внутреннего сечения цилиндра = 1 (рисунок 2.11). Как видно из рисунка интенсивность деформаций в постановке с уче є
Сравнение зависимости деформаций (радиальных , кольцевых , осевых и интенсивности деформаций ) от для внутреннего сечения цилиндра = 1. Тонкие кривые соответствуют постановке с учетом упругих деформаций, толстые кривые – без учета упругих деформаций. Кольцевые и осевые деформации практически всегда неотличимы в масштабах рисунка. том упругих деформаций всегда превышает интенсивность деформаций в случае неучета упругих деформаций. Непараллельность соответствующих кривых для деформаций для двух постановок объясняется различным тангенсом (который в случае неучета упругих деформаций несколько больше) угла наклона линейной функции () для обеих постановок. Непараллельность функций () для двух постановок связана с переменностью модуля () для задачи с учетом упругих деформаций.
Построим температурные поля для обеих постановок в зависимости от (рисунок 2.12) и (рисунок 2.13). Как видно из графиков, температуры для постановки без учета упругих деформаций выше температур для постановки с 340
Сравнение зависимости температур от радиальной компоненты для двух постановок: с учетом (тонкие кривые) и без учета упругих деформаций (толстые кривые) для разных значений . учетом упругих деформаций. Особенно разница очевидна на внутренней стороне цилиндра. Кроме того, кривые без учета упругих деформации в зависимости от имеют больший угол наклона к оси абсцисс, т.е. цилиндр в постановке без учета упругих деформаций испытывает больший перепад температур между внутренним и внешним сечениями. Как было показано выше температуры в задачах с такими постановками полностью определяются значением параметра и интенсивностью напряжений, наибольший вклад в которую дают кольцевые напряжения. И, как и в случае кольцевых напряжений, наибольшая разница между двумя постановками для температур наблюдается при больших нагрузках на внутреннем сечении цилиндра.
Анализ полученных решений
Задача решается до тех пор, пока фазовый переход пройдет на всей поверхности оболочки, т.е. когда параметр a на внешней стороне оболочки станет больше, либо равен единицы. Количество необходимых итераций, на каждом шаге по , определялось экспериментально. Обычно после третьей итерации найденные интенсивности i и параметры не изменялись при дальнейших итерациях. Для надежности, результаты, представленные ниже, были посчитаны с числом итераций, равным десяти.
Чтобы выяснить оптимальный шаг для решения задачи, приведем решения одной и той же задачи на разных сетках по . Сетка по везде состоит из 50 отрезков - т.к. измельчение этой сетки не влияет на поиск фронта фазового перехода. Для модельного примера была выбрана сфера с толщиной = 1.1, внутренним давлением а = 0.05 и нулевым внешним давлением. Были выбраны сетки по со следующими шагами: = 0.1, = 0.05, = 0.03, = 0.02, = 0.01, = 0.005 и = 0.0025 - что соответствует приблизительно 10, 20, 30, 50, 100, 200 и 400 шагам по . Далее выбиралась сетка с самым мелким шагом (т.е. сетка с = 0.0025) и на нее с помощью линейной интерполяции проектировались решения c более крупных сеток. На рисунке 4.1 представлены графики сравнения функций () и интенсивности напряжений на внутренней стороне сферы i( = 1) для разной величины шага в сетке .
Для количественной оценки величины различия между кривыми () на рисунке 4.1 а) выделим в качестве модельной кривую, построенную для самого мелкого шага = 0.0025, и назовем ее . Остальные кривые будем сравни tt
Сравнение () а) и интенсивности напряжений на внутренней стороне сферы ( = 1) б) на сетках с разным шагом – сверху вниз кривые, посчитанные на сетках с шагами = 0.1, = 0.05, = 0.03, = 0.02, = 0.01, = 0.005 и = 0.0025 соответственно. где суть крайняя правая координата сетки . На рисунке 4.2 построен график изменения величины относительной ошибки различия кривых (), рассчитанной по формуле (4.23) для кривых и , в зависимости от количества шагов в сетке. Из графика на рисунке 4.2 видно, что при измельчении сетки в два раза, величина относительной ошибки различия кривых уменьшается более чем в два раза.
Исходя из полученных данных, можно сделать вывод, что если нужно получить очень точную кривую (под точной мы будем понимать такую кривую, что при укрупнении шага сетки этой кривой в два раза – величина относительной ошибки различия между новой кривой и точной кривой не превышала бы 10-15), то необходимо взять самую мелкую сетку с = 0.0025 и измельчить ее приблизительно 37.5 раз. При этом величина относительной ошибки различия кривой с сеткой = 0.0025 и с сеткой, измельченной в 37.5 раз, будет меньше 0.005. Чисто эмпирически получено, что компьютерное время нужное для решения задачи, приблизительно пропорционально количеству шагов в сетке по . Например, время, нужное для решения задачи для данной сферы с сеткой
Зависимость величины относительной ошибки различия кривых C(t), рассчитанная по формуле (4.23) для кривых / и д , от количества шагов в сетке. St = 0.0025, составляет 1,5 часа. Чисто гипотетически, время, нужное для подсчета точной кривой, составило бы более 33 миллионов лет и лишено смысла, т.к. за это время появятся более мощные компьютеры.
Все решения, представленные ниже, посчитаны на сетке с St = 0.01. Как следует из рисунка 4.2, величина ошибки различия между кривой с St = 0.01 (100 шагов) и точной кривой не превышает 1.3%. Погрешность вычислений на такой сетке, посчитанная как относительная невязка уравнения (4.18), не превосходит 0.007% для цилиндра и 0.01% для сферы (при этом толщина оболочки в большей мере влияет на величину невязки, нежели чем приложенные нагрузки).
Ниже представлены графики решений в зависимости от для разных значений (внутреннее, срединное и внешнее сечение) и от для разных значений 1,..,,..,, где 1 соответствует первому шагу по после начала фазового пе 93 рехода на внутренней стороне (т.е. \ = o + ), а u - окончанию фазового перехода на внешней стороне; остальные промежуточные , ( 1, ) выбраны так, чтобы сетка \,..,j,..,u была с постоянным шагом. На самих графиках нарисованы также точки, которые иллюстрируют положение координаты начала (сплошные точки) и окончания (выколотые точки) фазового перехода для данных кривых. В общем случае, для каждого фронта фазового перехода построено по 2 точки, таким образом, что фронт фазового перехода {\ront\ І) ( = 1,2) всегда находится на отрезке меду этими точками. В случае если точек для соответствующего фронта фазового перехода нет на кривой - значит он либо еще не дошел, либо уже прошел. Если точка всего одна - значит точки совпадают.
Для построения графиков использовались цилиндры со следующими параметрами: = 1.1 и относительно среднее давление = 0.05; = 1.1 и относительно высокое давление = 0.1; = 1.5 и относительно низкое давление = 0.1; = 1.5 и относительно высокое давление = 0.3. Для понимания того, как начинается и заканчивается фазовый переход, построим графики зависимости от для разных значений и от для разных значений (рисунки 4.3 и 4.4 соответственно). Как следует их рисунка 4.3 чем толще цилиндр и чем выше приложенные нагрузки – тем больше шагов по нужно сделать (т.е. тем больше охладить цилиндр), чтобы фронт фазового перехода начался (либо закончился) на всей поверхности цилиндра. Также видно, что в случае высоких нагрузок и толщин ближе к концу фазового перехода разброс значений на внутренней половине тела оболочки становится выше, чем на внешней половине. Как видно из рисунка 4.4 в точках фронта фазового перехода кривые могут терпеть излом, что связано с «переходом» от упругих определяющих соотношений к определяющим соотношениям для СПФ.