Введение к работе
Актуальності, темы. Многие проблемы физики, механики и :овременной техники приводят к решению сингулярно возмущенных чалым параметром дифференциальных уравнений. К ним, в іастности относятся уравнения распространения волн в периоди-іеских структурах, уравнения нелинейной акустики, уравнения математической теории упругости для тонкостенных тел типа балок-голос, пластин и оболочек. Подобные уравнения возникают также в іадачах теплопроводности, оснований и фундаментов сооружений, >аспространения волн в слоистых структурах и других областях. Для >ешения подобных уравнений, имеющих важные приложения, >ффективными оказались асимптотические методы. Математическая еория сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений інтенсивно разрабатывалась с конца сороковых годов в фундаментальных работах и монографиях А.Н.Тихонова, В.Базова, К.О. Рридрихса, М.И.Вишика и Л.А.Люстерника, А.Л.Гольденвейзера, V.B.Васильевой и В.Ф. Кутузова, С.А.Ломова, В.П.Маслова, А.М. Ільина, А-Найфэ, М.В. Федорюка и других. Большинство исследо-аний посвящены сингулярно возмущенным уравнениям, у которых [алый параметр является коэффициентом старшего оператора. Сравнительно мало работ, посвященных уравнениям, у которых галый параметр является коэффициентом не всего старшего ператора, а его части. Подобные уравнения возникают в тех шзических задачах, которые рассматриваются в узких областях. В астности, в задачах математической теории упругости для полос и ластин, имеющих важное приложение в современной технике и ейсмостойком строительстве.
Данная работа посвящена распространению основных идей и
етодов решения сингулярно возмущенных дифференциальных
равнений для изучения собственных колебаний анизотропных полос
пластин, являющихся составляющими почти всех современных
онструкций и сооружений.
Целью диссертационной работы является:
определение собственных значений и собственных функций оператора динамических уравнений математической теории упругости для анизотропных полос и пластин при смешанных граничных условиях;
проведение численного анализа собственных значений в зави симости от физических и геометрических параметров задач;
установление связи собственных значений (частот собственные колебаний) со скоростями распространения сдвиговых і продольных сейсмических волн;
изучение пограничного слоя.
Методы исследований. В работе использованы асимптотический метод решения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и численные методы решения трансцендентных уравнений. Систематически использована компьютерная система МАТНЕМАТІСА 2.2.
Научная новизна:
впервые рассмотрены краевые смешанные задачи на собственные значения математической теории упругости для анизотропных полос и пластин;
асимптотическим методом выведены и решены характеристические уравнения для собственных значений;
численным методом изучены собственные колебания в зоне пограничного слоя, доказано экспоненциальное убывание функций пограничного слоя при удалении от границы, определены показатели экспонент;
для ортотропных полос и пластин выведены формулы, устанавливающие связь между собственными значениями (частотами собственных колебаний) и скоростями распространения сейсмических сдвиговых и продольных волн;
для случая общей анизотропии доказано, что нет чисто сдвиговых и продольных колебаний;
численным методом проведен анализ значений собственных чисел в зависимости от угла ориентации главных осей анизотропии.
Практическая ценность. Рассмотренные полосы-балки и пластины могут моделировать основание-фундамент сооружений в сейсмостойком строительстве. Проведенный анализ частот собственных колебаний может быть использован в расчетах для избежания резонанса при сейсмическом воздействии.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были доложены на:
семинаре отдела дифференциальных и интегральных уравнений Института математики НАН РА (1995-1998п\),
конференции "Современные вопросы оптимального управления и устойчивости систем" (Ереван, октябрь, 1997г.),
семинаре "Методы расчета тонкостенных систем" Института механики НАН Армении (1995-1998гг.),
общем семинаре Института механики НАН Армении (1998г.).
Публикации. По теме диссертационной работы опубликованы 4 мучные статьи. Список опубликованных работ приведен в конце івтореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит із введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы. Зна содержит 109 страниц текста, включающих 21 рисунок, 4 'аблицы и список литературы из 70 наименований.