Содержание к диссертации
Введение
1 Малые колебания вращающейся на роликах цилиндрической оболочки 24
1.1 Введение 24
1.2 Колебания бесконечной цилиндрической оболочки 24
1.3 Колебания вращающейся на роликах цилиндрической оболочки конечной длины 31
2 Потеря устойчивости пластинки, подкрепленной круговым стержнем 39
2.1 Введение 39
2.2 Начальные усилия 42
2.3 Приближенное решение для первого случая 43
2.4 Приближенное решение для второго случая 49
2.5 Приближенное решение для третьего случая 53
3 Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами с тавровым поперечным сечением 56
3.1 Введение 56
3.2 Стержневая модель шпангоута 57
3.3 Пластиночная модель шпангоута 62
3.4 Оптимальная форма поперечного сечения шпангоута 70
Заключение
- Колебания бесконечной цилиндрической оболочки
- Колебания вращающейся на роликах цилиндрической оболочки конечной длины
- Приближенное решение для первого случая
- Стержневая модель шпангоута
Введение к работе
Актуальность темы.
Тонкостенные конструкции, содержащие оболочки и пластины, широко применяются в технике. Опыт показывает, что тонкостенные конструкции могут разрушиться не из-за высоких напряжений, превышающих предел прочности, но вследствие недостаточной упругой устойчивости тонкостенных элементов. Наличие динамических нагрузок, действующих на оболочки и пластины, приводит к необходимости изучения их колебаний.
При проектировании надводных и подводных кораблей, летательных аппаратов, тепловозов и вагонов, трубопроводов, резервуаров, куполов и покрытий в инженерных сооружениях часто используются подкрепленные оболочки, которые обладают большей жесткостью по сравнением с гладкими оболочками такого же веса. Во многих случаях расчеты подкрепленных оболочек на устойчивость имеют существенное значение.
В данной работе решены некоторые частные задачи теории колебаний и устойчивости подкрепленных оболочек. В первой главе для определения частот колебаний круговой цилиндрической оболочки, подкрепленной абсолютно жесткими цилиндрическими роликами используется разложение решений в ряд Фурье. Во второй и третьей главе приближенные значения критических нагрузок потери устойчивости подкрепленных оболочек и пластин находятся с помощью асимптотических и численных методов.
Цель работы. Основной целью диссертационной работы является построение моделей подкрепленных цилиндрических оболочек; исследование частот и форм колебаний, устойчивости оболочки, поиск оптимальных значений параметров на основе построенных моделей.
Основные методы исследований. Для достижения поставленной цели использована классическая теория оболочек, основанная на гипотезах Кирхгофа - Лява, точность которой оказывается достаточной для вывода всех полученных в работе приближенных формул.
В задаче о колебаниях оболочки на роликах решения представлены виде рядов Фурье. При решении задач устойчивости подкрепленных оболочек и пластин, использован асимптотический метод Вишика-Люстерника. В ряде случаев для поиска параметра критической нагрузки применен вариационный метод. Полученные приближенные результаты сравниваются с результатами, найденными численно методом прогонки. Для проведения расчетов созданы программы базе пакетов Mathema-tica 7.0 и Maple.
Научная новизна. Решена задача о колебаниях вращающейся цилиндрической оболочки, подкрепленной абсолютно жесткими цилиндрическими роликами, найдены частоты и формы малых свободных коле-
баний при произвольном числе роликов в случае их равномерного расположения.
Решена задача потери устойчивости кольцевой пластинки, подкрепленной круговым стержнем, рассматриваемой как модель шпангоута для круговой цилиндрической оболочки.
Решена комплексная задача потери устойчивости цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами с тавровым поперечным сечением. В качестве модели шпангоутов использованы как упрощенная стержневая, так и пластиночная модели. Найдены значения критического давления для подкрепленной оболочки и оптимальные параметры подкрепляющего оболочку шпангоута.
Достоверность полученных результатов обеспечивается математически корректной постановкой задач, использованием строгих аналитических методов, сравнением аналитических и численных результатов.
Научная и практическая ценность. Решен ряд новых задач устойчивости и колебаний подкрепленных цилиндрических оболочек.
Рассмотренная в первой главе цилиндрическая оболочка, подкрепленная роликами, является моделью оболочки центробежного концентратора, используемого для обогащения руд.
Во второй и третьей главах получены приближенные формулы для расчета критического давления и оптимальной формы шпангоута, которые могут быть использованы при проектировании тонкостенных конструкций. Для оболочки с фиксированной массой оптимальным параметрам соответствует наибольшее критическое давление. Расчеты для цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами, подверженной действию равномерного внешнего давления, могут быть использованы при проектировании подводных лодок, а оболочка, подверженная действию внутреннего давления может являться моделью для котлов высокого давления.
Апробация работы. Результаты работы были представлены: на объединенном семинаре СПбГУ и ПГУПС "Компьютерные методы в механике сплошной среды"(Санкт-Петербург 2009, 2010), на Международной научной конференции по механике "Шестые Поляховские чтения", СПб, 2012, на XXXXV Всероссийском симпозиуме по механике и процессам управления, посвященный 70-летию Победы, Миасс, 22 - 24 декабря 2015, на Европейском конгрессе по Вычислительным методам в прикладных науках и технике (ECCOMAS Congress 2016), 5-10 June 2016 Crete Island, Greece, на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики СПбГУ.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 работ. Список публикаций приведен в конце автореферата. Статьи [1] – [3] вышли в журнале, рекомендованном ВАК. Переводы работ [1], [3] и работа
[7] индексированны в базе Scopus.
В работе [1] соавтору Филиппову СБ. принадлежит численное решение задачи, а Боярской М.Л. - ее приближенное аналитическое решение. В работе [2] соавтор Филиппов СБ. нашел начальное напряженное состояние подкрепленной оболочки, а Боярская М.Л. получила формулы для критического давления и оптимальных параметров. В работе [3] и [7] соавтор Филиппов СБ. вывел вариационные формулы, а Боярская М.Л. выполнила численные расчеты методом прогонки и провела анализ полученных результатов. В работе [6] соавторам Филиппову СБ. и Кулаковскому И.А. принадлежат вычисления оптимальных параметров для задачи о колебаниях подкрепленной шпангоутами оболочки, а Боярской М.Л. — решение той же задачи для случая потери устойчивости оболочки.
Результаты, выносимые на защиту:
-
Изучены колебания цилиндрической оболочки, вращающейся на роликах. С помощью представления решения в виде отрезка ряда Фурье получены приближенные формулы для определения частот и форм свободных колебаний. Проведен анализ результатов и их сравнение с данными численного расчета.
-
Исследована устойчивость широкого шпангоута под действие равномерной нагрузки, приложенной к его краю. В качестве модели такого шпангоута используется кольцевая пластина, подкрепленная по краю круговым стержнем. Асимптотическим и вариационным методами получены приближенные формулы для определения критических нагрузок. Проанализировано влияние размеров поперечного сечения стержня на их величину.
-
Получены простые приближенные формулы для расчета критического давления для оболочки, подкрепленной шпангоутами с тавровым поперечным сечением в случае узких и широких шпангоутов, для случаев внешнего и внутреннего давления и расположения шпангоутов снаружи или внутри оболочки. Установлено, что шпангоуты с тавровым поперечным сечением эффективнее шпангоутов с прямоугольным сечением за исключением случая, когда широкие шпангоуты расположены внутри оболочки, находящейся под действием внутреннего давления.
-
С помощью стержневой модели шпангоутов для подкрепленной оболочки с фиксированной массой найдены оптимальные параметры, соответствующие максимальному значению критического давления. С использованием пластиночной модели определена оптимальная форма шпангоута с тавровым поперечным сечением.
Объем и структура диссертации.
Колебания бесконечной цилиндрической оболочки
В этой главе найдена нижняя часть спектра частот вращающейся на п роликах бесконечной цилиндрической оболочки. Выведена система линейных дифференциальных уравнений, описывающая свободные колебания оболочки. В случае равномерного расположения роликов получены приближенные формулы для определения частот и форм колебаний. Проведено сравнение приближенных значений частот с результатами численного решения краевой задачи методом ортогональной прогонки.
Далее рассмотрена цилиндрическая оболочка с шарнирно закрепленными краями, подкрепленная расположенными по окружности абсолютно жесткими цилиндрическими роликами. Получены уравнения для нахождения частот колебаний невращающейся оболочки. Приводятся численные значения частот при наличии трех роликов.
В случае малых колебаний бесконечной цилиндрической оболочки с нерастяжимым меридианом, вращающейся с постоянной угловой скоростью Г2Г, формулы для кинетической энергии Т и потенциаль Малые колебания вращающейся на роликах цилиндрической оболочки ной энергии П, полученные в работе [25], можно записать виде 12fl- Г0 — радиус оболочки, h — ее толщина, р — плотность материала, w и v — проекции перемещений на нормаль и касательную, (р — окружная координата, Е — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона. Кроме потенциальной энергии изгиба Пі в выражение для П входит слагаемое П2, которое учитывает окружное растягивающее усилие, возникающее за счет действия центробежных сил.
Приближенные выражения для функций w и v ищем в виде отрезков рядов Фурье: N w((p,t) = 2_\ iak(t) cos k(p + bk(t) sin k(p] , V k=i N r (v,t) = Y, k=i L k k sin k(p H — cos kip 1.3) Подстановка (1.3) в (1.1) и (1.2) дает формулы т = 0Р Ы2 + 2а/г« + т(2 1.4) где N ( 1\ TV = Y,[k l)(akbk dkbk Т(2,=Е( 1+Р) («2+&2), Малые колебания вращающейся на роликах цилиндрической оболочки 26 N П = г Е № " Х) + 4РЩ\№ 1)(4 + b2)}. (1.5) Пусть контакт j -ro ролика и оболочки происходит по образующей цилиндра if = (fij. Тогда при наличии п абсолютно жестких роликов имеют место уравнения связей N to , jt ) k=1 j = 1,2,..., п. { Pj,t) = 2[ak{t) cos k pj + bk{t) sin кщ] = 0, . Запишем уравнения Лагранжа, считая а и && обобщенными координатами: d (дТ\ _дТ дП _ у-д dw(ipj,t) dt \дак) дак дак J dak Jt\J)bk) Wk + Wk j=1 J дьк Здесь Aj — множители Лагранжа, A; = 1, 2,... , N. Подставив в эти уравнения выражения (1.4) и (1.5), получим уравнения малых колебаний кольца п Л, Ji Т И ГпРП J- п Л, скак - 2Qrdkbk + ек[екП20 + П2]ак = —3 г cosкіР. 1.7) с + 2Qrdkdk + efc[e 0 + 2] = E —з Т sin (/ =1 кг03рп где ck = l + —, dk = k--, ek = k 2 -l, Q2 Введем безразмерные величины r, Q и Aj по формулам Г2Г Л г0 т = Q0t, Q = —, Л Малые колебания вращающейся на роликах цилиндрической оболочки и приведем систему (1.7) к виду п ckdk - 2Шфк + ек[ек + П2 ]ак = \3 cos кщ, 2 Х (L9) ckbk + 2Шкак + ек[ек + П }Ък = 2_ Xj sin & ,-, fc = 1,2,... ,7V. Точкой в (1.9) обозначена производная пот. Уравнения (1.6) и (1.9) представляют собой систему 2N + п уравнений с 2N + п неизвестными ак) Ьк и Aj.
Рассмотрим случай равномерного расположения роликов, для которого Ык-l) 7 Л п рк = , fc = l,2,...,n и выберем N = п. В этом случае частоты находятся в явном виде. Если N п, то задача не имеет аналитического решения. После подстановки ik = Акешт, Ьк = Вкешт, Xj = Ljel0JT, в уравнения (1.6) и (1.9) получим систему линейных однородных алгебраических уравнений с неизвестными Ак) Bkl Ly. п , ...,n, , ...,n, J? . . . , 71, 2(cjkAk + sjkBk) = О, j = 1, 2,..., n, (1.10) k=i n akAk +f3kBk = 2cjkLj, k = l,2,...,n, (1.11) n -f3kAk + akBk = 2sjkLj, k = l,2,...,n, (1.12) где Cjjfe = cos , Sjjfe = sin , «fc = efc(efc + 72) - u2ck, j3k = -2iQdku. Частотами колебаний являются значения ш: для которых система уравнений (1.10)—(1.12) имеет нетривиальные решения. Малые колебания вращающейся на роликах цилиндрической оболочки Пусть число роликов п = 2п\ + 1, где п\ — натуральное число. Ввиду того, что 2?rjk 2irj(n — к) C-jk — COS — COS — Cj n—ki П П . 2irjk . 2irj{n-k) (1.13) sjk = sin = - sin = -Sj -k) v n n К 1, Z, . . . , 71 , Cjn 1, Sjn U, уравнения (1.10) принимают вид Y [cjk(Ak + Ар) + sjk(Bk -Вр)}+Ап = 0} j = 1,2,..., n, (1.14) k=i гдер = n—k. Система (1.14) представляет собой систему п линейных однородных алгебраических уравнений с п неизвестными хк = А + Ар} xni+k = Bk — Вр, к = 1, 2,... , пі и хп = Ап. Предположим, что определитель системы Dn не равен нулю. Тогда она имеет только тривиальное решение и, следовательно, Ар = -Ак, Вр = Вк} Ап = 0. (1.15)
Вычисления показывают, что определители D : D5 и Dj отличны от нуля. Из к-го уравнения системы (1.11) вычтем ее р-е уравнение, а к-е уравнение системы (1.12) сложим с ее р-м уравнением. Добавим к полученным 2ni уравнениям n-е уравнение системы (1.12). Принимая во внимание равенства (1.13) и (1.15) получим следующую систему уравнений {ак + ар)Ак + (рк - f3p)Bk = 0, (рр - f3k)Ak + (ак + ар)Вк = 0, к = 1,2,... ,щ, апВп = 0. (1.16) Условие существования нетривиальных решений системы (1.16) дает уравнения частот (ак + ар)2 + {(Зк - (Зр)2 = 0, ап = 0, і Малые колебания вращающейся на роликах цилиндрической оболочки 29 положительные корни которых определяются по формулам (к) ш12 Jn2(dp - dk)2 + (ер + ск)[е2р + е2 + Q2(ep + ек)\ Т tt(dp - dk) (ср + ск) к = 1, 2,... ,щ, х г (1.17) Аналогичные преобразования при четном числе роликов п = 2п1 показывают, что и в этом случае частоты определяются по формулам (1.17), однако к = п1 соответствует одна частота „с,) = /е,„(е,„+ (1-18) у Сщ Полученные безразмерные частоты ujj связаны с размерными частотами uorj равенствами uorj = Q0UOJ, j = 1, 2,..., п. При уменьшении угловой скорости вращения оболочки Q частоты UJ1( и бо 2 сближаются. Если Q = О, то вместо этих двух частот появляется одна кратная частота Ср -\- ск Превращение кратной частоты неподвижной оболочки со( ) в часто (о) (к) ты и\ и бо 2 вращающейся оболочки называют расщеплением ча стот. Нетривиальные решения, соответствующие частотам со1( , щ ,ojn и uj(n1) имеют вид w1(k) = Аешт(е гк - ew), wf) = Аешт(егк - e"w), wn = Аешт siump, wn1 = Аешт sinri1ip, где A — произвольная постоянная. Приближенные формулы (1.17) и (1.18) для п частот колебаний из нижней части спектра получены в случае, когда число N членов рядов (1.3) совпадает с числом роликов п. Если необходимо уточнить значения этих частот или найти другие частоты, то число N
Малые колебания вращающейся на роликах цилиндрической оболочки следует увеличить. Однако при N п частоты оказываются корнями алгебраических уравнений, имеющих четвертый или более высокий порядок, поэтому получить явные формулы для вычисления частот не удается.
В Таблице 1 представлены значения низших безразмерных частот колебаний для различного числа роликов п и двух значений безразмерной угловой скорости вращения оболочки Q. В верхних строчках для указанных значений п и Q приведены результаты, полученные по формулам (1.17) и (1.18), а в нижних — результаты численных расчетов методом ортогональной прогонки.
Колебания вращающейся на роликах цилиндрической оболочки конечной длины
В этой главе исследуется устойчивость тонкой круговой цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами с тавровым поперечным сечением, под действием равномерного внешнего давления. Для модели, в которой шпангоуты рассматриваются как круговые стержни, при помощи приближенных формул решается задача об оптимальном распределении материала между шпангоутами и оболочкой, приводятся максимальные значения критического давления, соответствующие найденным величинам оптимального характерного размера поперечного сечения шпангоута. Для поиска критического значения параметра нагрузки и соответствующего ему значения критического давления в случае моделирования шпангоута кольцевой пластинкой применен метод прогонки. Путем совместного использования стержневой и пластиночной моделей шпангоута найдено оптимальное значения ширины подкрепляющего кольца. Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами 57
Предположим, что круговая цилиндрическая оболочка подкреплена по параллелям s = S{: і = l,2,...ns одинаковыми шпангоутами рис. 3.1). Выбрав за единицу длины радиус оболочки го, для описания потери устойчивости подкрепленной оболочки под действием равномерного внешнего бокового давления р исполвзуем безразмернвіе уравнения полубезмоментной теории [19]:
Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами 58 где С) означает производную по координате s. В работе [19] шпангоут рассматривается как круговой стержень. В предположении, что оболочка и шпангоуты изготовлены из одного материала, а характерный размер поперечного сечения шпангоута много меньше /І, на параллелях, подкрепленных шпангоутами получены следующие условия сопряжения:
Уравнения (3.1) с граничными условиями (3.2), (3.3) описывают также колебания шарнирно опертой балки, подкрепленной пружинами жесткости с в точках s = S{. Пусть Л1 критическое значение параметра Л, соответствующее потере устойчивости подкрепленной оболочки. Приближенное значение параметра Л1 определяется по формуле Л1 (с) = min Л1 (с, m), Л1(с, т) =—\ b/4 m 2 , (3.4) т ТП6 где а1{с) — наименьшее положительное значение параметрам, для которого краевая задача (3.1-3.3) имеет нетривиальное решение. В дальнейшем предполагается, что шпангоуты расположены равномерно, т. е. Si = П/п, i = l,2,...,ns.B этом случае краевая задача (3.1-3.3) имеет явное решение w ( ) = sin ——, ап{0) = —, которое не зависит от с, а соответствующее ап(0) приближенное значение Лп(0) может быть найдено по формуле л / ч л / ч 4(J1/4aJ0)u3 4тг?ш1/4// , ч Лп(0) = ттЛп(0,т) 4- = М , (3.5) Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами Такие же решения имеет краевая задача для неподкрепленной оболочки. Для нее критическое значение параме) нагрузки M0)- 3/4f = —У (3.6) При одновременном выполнении условий п 1, с 1/п для нахождения наименьшего собственного значения краевой задачи (3.1-3.3) можно использовать метод осреднения. В работе [19] получена приближенная формула а1 = - + -—. (3.7) Несмотря на то, что формула (3.7) выведена в предположении п 1, с 1/п, она дает хорошее приближение к точному значению (i1 даже при наличии на оболочке всего одного шпангоута и при достаточно больших значениях параметра с.
Подстановка (3.7) в формулу (3.4) дает приближенное выражение для A1: А1(т?) = А1(0)(1+7?)3/4. (3.8) Формула (3.8) годится для определения критического значения А, если значение г] не слишком велико. С увеличением г] увеличивается и выражение в правой части формулы (3.8). При г/ = г/ = п4/3 — 1 имеет место равенство А1(0)(1+т?)3/4 = Ап(0)=пА1(0), поэтому формулой (3.8) можно пользоваться при г] ту - Если же Г] ту , то A1 = nA1(0). (3.9) Из формул (3.8) и (3.9) следует, что (3.10) A1fa) Г (1 + т?)3/4, 0 77 77 , А1(0) \ П, 77 77 . Если неподкрепленная цилиндрическая оболочка имеет длину / радиус Г0 и толщину h0, то ее масса M0 = 2nr03ph0l, где р — плот Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами 60 ность материала Из формулы (3.6) следует, что критическое давление ро для такой оболочки можно определить с помощью приближенной формулы _ XMEhf _ Ehf
Рассмотрим цилиндрическую оболочку длиной /, радиусом г о и толщиной /г, подкрепленную ns шпангоутами с тавровыми поперечными сечениями. Размеры таврового сечения приведены на рис. 2. Введем обозначения k = b/a} к\ = ai/a, hi = b\/b. Тогда площадь
Тавровое поперечное сечение шпангоута. поперечного сечения шпангоута Ssp = azk(k\ + hi — k\ki)} а момент инерции поперечного сечения шпангоута относительно образующей цилиндра / = а4А 3[1 + (1 - -fci)(l - /с2)3]/3. sp При к\ = 1 или ki = 1 шпангоут имеет прямоугольное поперечное сечение. Масса подкрепленной оболочки Ms = 27гЛ3phi+2TiRipnsS: Критическое давление для рассматриваемой оболочки
Приближенное решение для первого случая
Использование стержневой модели шпангоута позволяет найти оптимальное значение а размера поперечного сечения шпангоута а, но не позволяет определить оптимальную форму поперечного сечения, которая зависит от относительной ширины шпангоута к = Ь/а, где Ь — ширина шпангоута.
Критическое давление рс, соответствующее форме потери устойчивости второго типа, связано с Лс следующим образом: рс = ЕЬЛс/а.
Введем обозначение fp = рс/р0, где р0 — критическое давление для гладкой оболочки безразмерной толщины /г0, которое определяется по формуле (3.11). Тогда относительное критическое давление, полученное с помощью пластиночной модели шпангоута
Относительное критическое давление /с для подкрепленной обо Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами 71 лочки можно найти по приближенной формуле fc = mm(fb,fp), где /ь и fp соответствуют потере устойчивости по формам первого и второго типа. Зафиксируем параметры /, /го, nS: k\7 &2, У и рассмотрим подкрепленную оболочку с оптимальными параметрами а = a , d = d . Обозначим f(k) = ndj (к) и f (k) се относительные критические давления, соответствующие потере устойчивости по формам первого и второго типа. Для вычисления fp(k) по формуле (3.37) выберем а\ = к\а 7 Ъ\ = к\Ь 7 Ь = ка 7 є = b — b\. Функция f(k) возрастает, а функция fl{k) убывает, поэтому относительное критическое давление rc(k) = mm(ft(k)j;(k)) имеет максимум в точке к = к 7 где f(k) = fl{k) . Следовательно, к = к является оптимальным значением параметра к.
В качестве примера рассмотрим оболочку с параметрами / = 10, ho = 0.01, п = б, к\ = h2 = 0.2, v = 0.3. Необходимые для расчетов значения величин /г, Ь и є имеются в таблице 9. Слева приводятся значения параметра а и функции /6 для стержневой модели шпангоута, справа — значения (Зс и / для пластиночной модели при различных к и соответствующих им є. В скобках указывается величина т, при которой (Зс принимает наименьшее значение.
Зависимость функции / от ширины кольца є демонстрирует рис. 3.7. Кривая /6 показывает зависимость, полученную с использованием стержневой модели шпангоута и соответствует потере устойчивости по форме первого типа. Кривая / соответствует потере устойчивости по форме второго типа. Функция / достигает максимального значения для є = є 0.0643, которое является оптимальным. Таблица 9. Параметр а и относительное критическое давление Д и f для различных fc и соответствующих им е. сте зжневая модель вычисляемые величины пластиночная модель
В первой главе разработан алгоритм поиска частот колебаний подкрепленной роликами круговой цилиндрической оболочки с нерастяжимым меридианом. Учитвівается вращение оболочки, приводящее к расщеплению частот. Рассматривается и цилиндрическая оболочка конечной длины. Ввіведенві общие формулві для нахождения частотві и приведенві ее конкретнвіе численнвіе значения. Получен-нвіе в работе резулвтатві позволяют оценитв областв применимости уравнений бесконечной оболочки.
Во второй главе мы рассмотрели потерю устойчивости круговой цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами таврового поперечного сечения под действием равномерного давления. В качестве модели подкрепляющего шпангоута использована кольцевая тонкая узкая пластинка, подкрепленная круговым стержнем. Предполагается, что потеря устойчивости пластинки происходит под действием радиальных напряжений, возникающих на соединенном с цилиндрической оболочкой ее крае. Уравнения устойчивости пластинки и граничные условия упрощены асимптотическим методом. В частных случаях приближенная краевая задача имеет аналитические решения. В общем случае значения параметра критической нагрузки вычислены методом прогонки.
Рассмотрены три случая, соответствующие расположению кольца снаружи или внутри оболочки и разному направлению давления (см. Рис. 2.2). В первом случае анализируется потеря устойчивости кольцевой пластинки под действием радиальных сжимающих усилий, приложенных к внутреннему заделанному краю пластинки. В этом случае число волн по окружности при потере устойчивости не велико. В частности, форма потери устойчивости может быть осесимметричной. С ростом размеров поперечного сечения стержня критическая нагрузка уменьшается, а затем возрастает. Уменьшение вызвано ростом начальных усилий, а возрастание происходит из-за роста жесткости стержня. Во втором и третьем случаях число волн по окружности велико. С увеличением размеров поперечного сечения стержня критическая нагрузка растет.
Результаты, полученные в данной работе, можно использовать для расчета оптимального дизайна цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами с тавровым поперечным сечением.
Стержневая модель шпангоута
Результаты, полученные в работах [12], [38] на основе стержневой модели шпангоута, свидетельствуют о том, что с увеличением относительной ширины шпангоута к функция f(k) возрастает. Однако, расчеты, проведенные в [34] методом конечных элементов, показывают, что при достаточно больших значениях к относительное критическое давление убывает. Это связано с тем, что при больших значениях к стержневая модель шпангоута не работает, и для адекватного описания потери устойчивости подкрепленной оболочки необходимо использовать пластиночную модель шпангоута.
Предположим, что круговая цилиндрическая оболочка подкреплена по параллелям s = s&, к = 1, 2,... ns одинаковыми шпангоутами с тавровыми поперечными сечениями (см. рис. 3.1). В качестве модели шпангоута будем использовать кольцевую пластинку с безразмерными толщиной а\ и шириной є = b — Ъ\1 внешний край которой сопряжен с круговым стержнем прямоугольного поперечного сечения размером а х Ъ\ (см. рис. 3.2).
Действующее на оболочку внешнее давление р вызывает растягивающие радиальные напряжения на внутреннем контуре пластинки, вследствие чего в пластинке возникают сжимающие окружные напряжения, и она может потерять устойчивость (см. рис. 2.2Ь). Для того чтобы найти возникающие в пластинке начальные напряжения, следует решить краевую задачу, описывающую осесимметричную деформацию рассматриваемой конструкции.
Безразмерные уравнения для цилиндрической оболочки могут Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами 63 быть записаны в виде as as as Tf) = A _„№W ф = vduV _ wW (3.14) as , ч , as as as где T{ , T2 , Q и M — безразмерные усилия и момент, w , it И & — КОМПОНеНТЫ Перемещения И уГОЛ ПОВОрОТа ДЛЯ S Є [Sfc-l, Sfc], А; = 1, 2,... , n, n = ns + l, So = 0, sn = /. Предположим, что на краях оболочки заданы условия шарнирного опирання: Т[1) = WV = М = 0, s = so, Т[п) = w = MW = 0 Уравнения as as (3.15; которые получаются из (3.14) при /І = 0, называются безмоментны-ми. В случае шарнирного опирання решения (3.15) удовлетворяют граничным условиям T1(1)(So)=T1(n)(Sn) = 0. (3.16) Осесимметричная деформация пластинки в ее плоскости описывается следующими безразмерными уравнениями: {rTlp) -Т2р = 0, rTlp = ru p + vup, гТ2р = up + vrup. (3.17) Здесь С) означает производную по радиальной координате г, г Є [1,Ті], Г\ = 1 + є — внешний радиус пластины, є — ширина пластины, Т\р и Т2р — тангенциальные усилия, ир и vp — компоненты перемещения. Жесткость пластинки на изгиб не учитывается, так как она намного меньше ее тангенциальной жесткости. Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами 64 На внешнем крае пластины г = Г\, подкрепленном круговым стержнем, следует задать условие сопряжения: ТіР = - Мп), (3-18) где Sn = ab\ — площадь прямоугольного поперечного сечения кольца. На параллели s = Sk, г = 1 должны быть выполнены условия сопряжения оболочки и пластинки: w (k) = w (k+l) = #( ) = 0(А+1) М(к) = м(к+1) ьрі hQW = hQW - аіГір, T[k) = T[k+l] (3.19) где к = 1,2,... , ns. Предполагается, что пластинка и оболочка изготовлены из одного материала. Для приближенного решения систем (3.14) используем представленный в книге [21] асимптотический метод. Неизвестные функции будем искать в виде суммы основного безмоментного состояния и краевых эффектов. Так, например, w k = wa + wb\ где wa — решения безмоментных систем (3.15), а функции (к) wb ]j(k) e«i(s-Sfc-i) і ]j(k) e«2(s-Sfc-i) і ]j(k) ea3(s-sk) jj(k) a4(s-sk) J_ Zi о 4t з где L) - произвольные постоянные, «1,2 = у=(1±і), азА = —=(1±і), q = a1/\ описывают краевой эффект. Имеют место приближенные равенства (к) dwb (3.20) U — "la 11 "Mo ) U — иЬ J М(,) = м = v l, ф = 0(», = _ f (is (is и с точностью до величин О(ц) условия (3.19) принимают вид wik) = wik+1\ 4к) = 4к+1\ мік) = мік+1\ hQ{bk) = hQ{bk+1) - aiTlp, w{k) + wik) = -up, (3.2i; s = sk, r = 1. Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами Из соотношений (3.15), (3.16), (3.19) и (3.20) следует, что Iff = - ? = 0, « = , к =1,2,...,п.. (3.22) Общее решение системы (3.17) Up = Cir + C2/r, Tip/2p = -fCiTSC2/r2, ,323, 7 = 1 + , 6 = 1 — v \ содержит две произвольные постоянные С\ и С2. Связь между ними находится путем подстановки решения (3.23) в условие (3.18): с2 = с„ік, к = 71а1 + 1", ог\а\ — аЬп Следовательно, ир{1) = С1 + С2 = С1{1 + г\К), Г1р(1) = 7Ci - 6С2 = Сі(7 - Jr?tf). l 4j Предположим, что Sk — Sk-i /І, для к = 1, 2,... , п. Тогда w{bk\sk) = D W8 - -1) + f W8 - -1) + f} + D[k) _ І73 - u4 , , , it [Sk] = D\ + D2 + D\ eas[Sk Sfc+ + + (fc+1)e«4(Sfc-Sfc+i) )( +!) + )( +!)_ Аналогичным образом с помощью формул (3.20) получим )(St) -a3Dt)-a4 f, (3.26) Af 4(St.) p4(«l44 + «42Df)), Л/ +1) (5і) Л4(«іДГ1) + «?4І+1) ), Qf)( ) -M4(«!44 + «lDf), Введем обозначения D\ = D\ , D2 = D2 , D% = D\ , D4 = D4 и подставим выражения (3.25), (3.26) в условия (3.21). Принимая во внимание второе равенство (3.22), получим систему линейных