Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Механические свойства эластомеров 11
1.1 Структура и свойства линейных макромолекул 11
1.2 Упругие потенциалы 12
1.3 Одноосное и двуосное растяжение эластомеров 17
Глава 2. Изгиб пластин и криволинейных стержней 25
2.1 Основные соотношения 25
2.2 Сжатие пластин и стержней 27
2.3 Сжатие колец 33
Глава 3. Безмоментные мембраны и оболочки 40
3.1 Основные соотношения 40
3.2 Балка-полоска 42
3.3 Сжатие балки-полоски и цилиндрической оболочки, находящихся под давлением 44
3.4 Динамическое поведение балки-полоски при растяжении давлением 48
3.5 Круговая цилиндрическая оболочка под внутренним давлением 56
3.6 Круглая плоская мембрана при больших деформациях 59
Глава 4. Осесимметричные деформации оболочки вращения 62
4.1 Основные соотношения 62
4.2 Растяжение круглой мембраны нормальным давлением 64
4.3 Растяжение нормальным давлением плоской кольцевой мембраны 73
4.4 Круглая мембрана с жестким центром 77
4.5 Контактная задача для круглой мембраны 79
4.6 Сферическая оболочка под внутренним давлением. 82
4.7 Контактные задачи для сферической оболочки 85
4.8 Растяжение сферической оболочки, имеющей отверстие 92
4.9 Численные методы решения нелинейных краевых задач 94
Глава 5. Прямоугольная мембрана 103
5.1 Растяжение прямоугольной мембраны в плоскости 103
5.2 Однородное растяжение мембраны 106
5.3 Мембрана с жестким круглым включением 108
5.4 Одноосное растяжение мембраны. Нелинейное решение 111
5.5 Экспериментальные исследования 113
5.6 Искажения однородного напряженно-деформированного состояния 117
Заключение 121
Список литературы
- Упругие потенциалы
- Сжатие пластин и стержней
- Круговая цилиндрическая оболочка под внутренним давлением
- Контактные задачи для сферической оболочки
Введение к работе
Актуальность исследования. Начиная с 50-х годов XX века интенсивное освоение и широкое применение в практической деятельности получили изделия из эластомеров. Эти материалы используются при изготовлении пневматических сооружений, антенн, амортизаторов, различного рода мембран и оболочек, уплотнителей. Постоянно создаются новые высоко эластичные материалы. Эти материалы обладают специфическими механическими свойствами — они могут испытывать большие обратимые деформации. Наиболее широко в промышленности и в быту нашли свое применение различные марки резин, изготовленные из каучуков, искусственных и натуральных.
Эксплуатация изделий из полимерных материалов происходит, как
правило, в условиях воздействия механических нагрузок. Поэтому
специалистам, занимающимся расчетом и эксплуатацией резинотехнических
изделий, важно не только знать специфические механические свойства высоко
эластичных материалов, но и уметь рассчитывать напряженно-
деформированные состояния изделий из них. Расчет, как правило, сводится к решению нелинейных краевых задач, аналитическое решение которых построить в большинстве случаев не удается. Применение численных методов не позволяет выявить особенности поведения как материалов конструкции, так и самой конструкции. Не всегда удается сопоставить теоретические результаты с экспериментальными данными.
Экспериментальные исследования по определению механических свойств резиноподобных материалов стали интенсивно проводиться в 1940-е годы. Основную методику проведения экспериментов по одноосному и двуосному растяжению эластомеров заложил L. R. G. Treloar. Впоследствии эту методику использовали В. П. Никифоров, Г. М. Бартенев, Л. М. Зубов и А. М. Колесников, Kawabata S., M. Matsuda, R. Rivlin, Saunders, Аlexander H, Hart-Smith, A.P.S Selvadurai, Albrecht и Ravi-Chandar, а также K.Y.Volokh и K. Balakhovsky, I. Muller. Ставились эксперименты по растяжению мембран и оболочек нормальным давлением. По результатам экспериментальных исследований были предложены различные варианты упругих потенциалов для описания зависимостей между нагрузкой и деформацией.
Основы нелинейной теории упругости стали закладываться в начале XX века. Одним из первых был английский математик А. Ляв, в России основоположником нелинейной теории был В. В. Новожилов. Варианты нелинейной теории упругости и нелинейной теории оболочек в разных трактовках предлагались и предлагаются сейчас. Авторами были К. Ф. Черных, С. А. Алексеев, А. С. Григорьев, И. И. Ворович, К. З. Галимов, П. А. Жилин, Л. М. Зубов, В. Н. Паймушин, Н. Ф. Морозов, С. Б. Филиппов, П. Е. Товстик, В. А. Еремеев, И. А. Бригаднов, В. Г. Баженов, Е. И. Михайловский, С. А. Кабриц, В. Ф. Терентьев, В. И. Феодосьев, В. А. Шамина, S. Antman, A. E. Green, W. T. Koiter, A. Libai, J. G. Simmonds.
Конкретные задачи по растяжению различных мембран и оболочек решались Л. М. Зубовым, С. А. Кабрицем, В. А. Троценко, В. И. Кузнецовым, А. М. Колесниковым, С. Feng, L.Yu, W. Zhang, H. A. Erbay, V. H. Tuzel, Saccomandi, Lecce, Wineman, J.B.Suh, A.N. Gent, S.G. Kelly. Несмотря на многочисленные, на первый взгляд, экспериментальные и теоретические исследования, практически отсутствуют экспериментальные исследования различных конструкций, изготовленных из одной и той же резины и сопоставления экспериментальных результатов с теоретическими.
Целью работы является проведение экспериментальных исследований по
деформированию различных пластин и оболочек для определения
механических характеристик материалов в различных конструкциях; разработка численных методов решения нелинейных задач, имеющих неединственное решение; построение аналитических и численных решений нелинейных краевых задач для криволинейных стержней и безмоментных оболочек; сопоставление теоретических результатов с экспериментальными.
Методы исследования. Используются теоретические методы
исследования напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек с
применением аппарата нелинейной теории упругости. Экспериментальные
методы исследования основываются на методиках, описанных в литературных
источниках и на авторских методиках. При обработке теоретических и
экспериментальных результатов применяются современные компьютерные
технологии. Основная масса расчетов производилась в среде
программирования математического пакета MATLAB.
Новизна работы. Построены решения нелинейных задач по сжатию резиновых криволинейных стержней сосредоточенными силами и плоскостями и дано сопоставление теоретических результатов с экспериментальными; решена задача о нелинейных колебаниях плоской мембраны, нагруженной нормальным давлением; построены решения для эластомерных мембран, растягиваемых поверхностными и краевыми нагрузками, в закритической области; решены контактные задачи по растяжению нормальным давлением сферической и цилиндрической оболочек. Поставлены эксперименты и проведено сравнение с результатами, полученными в ходе натурных экспериментов. Полученное в работе решение задачи о больших деформациях прямоугольной мембраны представлено в виде суперпозиции функций комплексной переменной.
Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задачи, сопоставлением результатов с результатами других авторов и с данными, полученными в ходе поставленных в работе физических экспериментов. Достоверность экспериментальных данных обеспечивается точностью измерений и сопоставлением с результатами других исследователей.
На защиту выносятся:
-
Теоретические и экспериментальные результаты по сжатию криволинейных стержней.
-
Теоретические и экспериментальные результаты по растяжению плоских мембран нормальным давлением.
-
Теоретические и экспериментальные результаты по решению контактных задач по растяжению нормальным давлением сферической и цилиндрической оболочек.
-
Численный алгоритм решения задач о нелинейных колебаниях плоской мембраны.
Практическая значимость. Разработан метод построения решения нелинейных краевых задач растяжения оболочек в закритической области. Дана оценка критических деформаций, при которых может произойти потеря устойчивости криволинейных стержней при сжатии и безмоментных оболочек при растяжении.
Апробация работы. Основные положения научной работы
докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
-
Научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" г. Санкт-Петербург, 2007.
-
Международная научная конференция «Процессы управления и устойчивость», г. Санкт-Петербург, 2008.
-
Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Дубна, 2012.
-
Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования», г. Воронеж, 2012.
5. Международная научно-практическая конференция «Теория и практика
актуальных исследований», г. Краснодар, 2012.
-
Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Пущино, 2013.
-
Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования», г. Воронеж, 2013.
-
Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Дубна, 2014.
-
Международная конференция «Устойчивость и процессы управления», посвященная 85-летию со дня рождения проф., член-корр. РАН В.И. Зубова, г. Санкт-Петербург, 2015.
-
Международная конференция «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий», г. Воронеж, 2016.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 16 работ, которые содержатся в списке публикаций по теме диссертации на стр.15-16. Статьи [1], [2], [3] опубликованы в изданиях, входящих в международную реферативную базу Scopus. В работах [1], [2], [3], [10], [11], [13], [15], [16] соавторам принадлежат постановка задачи и проверка правильности полученных автором диссертационной работы результатов посредством решения задач другими численными методами. Работа [12] написана в соавторстве с А. В. Крицкой, которой принадлежит постановка задачи и ее
теоретическое исследование, автору диссертационной работы принадлежит численное решение задачи.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации 132 страницы, общее количество рисунков —80, таблиц — 2, список литературы содержит 124 наименования.
Упругие потенциалы
Пусть длина каждого ребра до деформации dx1,dx2,dx3. Пусть параллелепипед растягивается в направлении координатных осей. На координатных площадках возникают напряжения у. . Длина ребер после деформации при таком растяжении будет Atdx1, где Я. — кратности удлинения ребра в результате деформации. Дадим небольшие возможные приращения кратностям удлинений — йЯ.. Тогда приложенные к элементарному объему силы совершат работу SU = a SAdxdx , і, j, к = 1,2,3 іФ]Фк. Эта работа, в силу закона сохранения энергии, расходуется на изменение энергии деформации, поэтому д\; SU-дФ МД-— SAldx!dxkdxi= 0. (1.1) Отсюда, в силу произвольности SAt, получаем для случая сжимаемого материала зависимость между напряжениями и деформацией, определяемую через упругий потенциал: і і дФ сгЯ,Я, = . ; дЛ, Для несжимаемого материала йЯ. зависимы. Из условия несжимаемости J = A1A2A3 =1 получаем Я2Д + ЛЛ 2 + Л 2 3 = 0 Отсюда находим 52 и поставим полученное выражение в (1.1) f ,5Ф , 9Ф Ul , дФ , дФ\дЛ, п (тх-(тъ-\ — + Ъ— г+ - зЧтгЧ о =0. Оставшиеся в этом выражении вариации \ и SA независимы, поэтому справедливы следующие соотношения между напряжениями и упругим потенциалом „ дФ л дФ 5Ф , 5Ф "l "з = Л Л а2 "з = 2 Л Эти выражения можно записать и в такой форме сгi=4— + p (i =1,2,3), (1.2) где p скалярная функция. В теории оболочек используется статическая гипотеза Кирхгофа ( 73 С сг15сг2), полагаем СГ3 = з + p = О отсюда находится функция . дФ p — —An , тогда приходим к закону упругости для несжимаемого материала , ЭФ , 5Ф о-i =Яi Л— i = 1,2 (13)
На сегодняшний день большинство предложенных в литературных источниках потенциалов строятся эмпирически на основе экспериментальных данных, а не на основе статистической теории [12, 77, 103, 116]. К числу таких потенциалов относятся потенциалы, которые и будут использоваться в работе при решении задач [79]: степенной потенциал, предложенный К.Ф. Черныхом (типа Огдена): Ф = [(1 + А)(Лn + Лn+4n-з) + (1-А)(Л"n + n + n-з)]; из которого следуют потенциалы Бартенева-Хазановича (n = 1,/? = 1), Муни-Ривлина (n = 2), неогуковский (n = 2, /3 = 1); Джента — Томаса (0 р 1) [91] І" Ф = (/?(I-З) + З(І-/?)ІПII/З); Беккера Трелоара Ф = 2//2 (ііЦ-і); i=\ Присса (/? 1) (l + /?)(I-3) + 4(l-/?)(V+V+V-3) 4 Волькенштейна (/? 1) Ф = — [(l + /?)(I-3) + 4(l-/?)( + +4-3); Исихары, являющегося частным случаем потенциала Бидермана ( /? 1,К" 0) (і + /?)(I-з) + (і-/?)(II-з) + к-(I-з)2; Ф -" 2 Чоеглы (/? 1,к- 0) Ф =—[(і+ /?)(I-з) + (і-/?)(II-з)+к-(I-з)(II-з); КлоснераСегала (/? 1, 0) (! + /?)(I - 3) + (1-/?)(II-3) + -(II-3)2 Ф 2 В работе [74] для описания поведения мягких биологических тканей использовались следующие виды формы Ф : Ф = Цехр(II-3)-1), Ф = сЛехр(а2I(I2-3II))-і), Ф = а1(ехр(а2(I-3))-1) + (II-3) + а4(III-3), Ф = ал ехр (ск2 (I - 3) + аъ [II - 3) J -1 , где ai — постоянные материала. В этом случае также можно указанным ниже в этом параграфе способом перейти к использованию степенного потенциала, имеющего более простой вид. Это позволит облегчить расчет напряженно-деформированного состояния стенок кровеносных сосудов при различных способах нагружения, а также может оказаться полезным при поиске новых материалов для искусственных аналогов сосудов в ситуации, когда эти сосуды повреждены травмой, атеросклерозом или инфекционным процессом [114]. Для всех этих потенциалов JU — линейный модуль сдвига, n — безразмерный параметр, а /3 и JC рассматриваются как материальные постоянные, I,II,III,— главные инварианты деформации: і = %+% + %, я = л2л22+л22л32+л32Л2, я/ = Л2Л2Л2 Для двухпараметрического семейства потенциалов вида Такое разнообразие предлагаемых потенциалов затрудняет выбор потенциала при расчете конкретных изделий, поскольку определение физических характеристик основывается на одноосном растяжении образцов. При малых деформациях все перечисленные выше потенциалы определяют линейную связь между нагрузкой и деформацией. В теоретическом отношении эту зависимость для всех рассмотренных потенциалов вплоть до 250% деформаций можно описать степенным потенциалом с точностью до 10% за счет выбора в нем параметров п,р. Так, например, приведем некоторые значения параметров, полученные для выше указанных потенциалов, при которых искомые зависимости максимально точно можно описать с помощью степенного потенциала. Для потенциала Джента - Томаса — /3 = 1, п = 2 соответствующие константы для степенного потенциала/? = 0.5, п = 1.2; для описания потенциала Беккера — Трелоара в степенном потенциале наиболее подходящим оказывается значение /7 = 3.5; для потенциала Присса подходящими будут следующие пары: /? = 0.5,и = 1.8; /? = 0,и = 1.6; Р = -1,п = 1; /? = -0.5, и = 1.4. При одноосном растяжении искомые зависимости для потенциалов Присса и Волькенштейна совпадают. В работе использовался двухпараметрический потенциал (1.4).
Сжатие пластин и стержней
Математические модели линейных и нелинейных колебаний мембран могут дать не только количественные отличия в решениях, но и качественные. При малых колебаниях около статического положения равновесия для определения частот собственных колебаний можно использовать линеаризованные решения. Построение численного решения нелинейных уравнений эффективно можно строить с применением сеточных методов, используя технологии параллельных вычислений.
Пусть рассматривается цилиндрическая оболочка постоянного радиуса R. Принимается гипотеза о том, что цилиндрическая оболочка сохраняет форму, при этом ее радиус становится 0 равным RA . Для описания напряженно-деформированного состояния используются уравнения (3.3). Предполагается, что деформация не зависит от угловой координаты. Связь между длиной дуги и угловой координатой выражается таким образом: 0 0 0 0 s = Rep, где 0 (р 2к. В деформированном состоянии длина дуги и радиус связаны соотношением s = Rep, и, / 0 соответственно, кратность изменения радиуса тогда точки деформированного цилиндра лежат на дуге окружности радиуса R. С учетом этого уравнения движения будут иметь вид: 1 1 д2х 1 & 00 .. R дер Rdcp 1 1 d2z 1 дх 00 1 R дер Rdcp Из этих двух уравнений следует уравнение для относ ительного изменения радиуса цилиндрической оболочки: / 0 1 R = 0 0 qA/R = RphA или: ,д-0 (д--Л-")0Др . nRX Параметр Л не зависит от s и является функцией времени, соответственно, Т = T(t). Если ввести величины Q qR /uh t = t 4ju 0 2 1 pR то получим безразмерное дифференциальное уравнение, описывающее динамическое поведение цилиндрической оболочки: X = -4 AQ---(r-A-n) (3.20) С начальными условиями 1(0) = 1, І(0) = 0.
При решении дифференциального уравнения (3.20) будем рассматривать такой вариант нагружения цилиндрической оболочки, как мгновенный наброс давления: Q = q = const . В этом случае дифференциальное уравнение (3.20) может быть решено аналитически.
После умножения уравнения (3.20) на Л и последующего интегрирования получаем уравнение для скорости относительного изменения радиуса цилиндра: Xі = І0( -і)4(Г+Г"-2) Откуда получаем квадратуру dk + І А 0(Л2-і)--т(Г+А-"-2) ,!2 п2 которая имеет особенность в точке Л = \. В окрестности этой точки знаменатель подынтегрального выражения с точностью до величин второго порядка малости ведет себя как , соответственно, интеграл будет сходиться. Для неогуковского материала это дифференциальное уравнение принимает следующий вид: Из условия равенства нулю производной А находим два корня Л1=1, / = 1/-\/1_б и область относительного изменения радиуса цилиндра Если ввести новую величину а = l/yl — Q, то можно записать, что 2 А а1 Л Л2 . — l 1 (Л2-\)(Л2-а) l 1 2 2 А а1 Л \-а2 ( ( Л2 V V + а J J (3.21) Решение этого уравнения будем искать в виде: Л2 = = После преобразований получим щ 1 + а2 sin + v v / / 1-а2 1 t откуда ц/ Вернемся к выражению (3.21) a а1 Л2 sin — + с 1-а2 1-а2 2 2 \а Константу с найдем, воспользовавшись начальным условием: с = л/. Таким образом, после преобразований получаем уравнение для Л2 : 2-е Q Л2 cos ( /нё). 2(1-6) 2(1-6)
Из этого равенства видно, что для неогуковского материала значение одной только нагрузки позволяет определить амплитуду и частоту относительного изменения радиуса цилиндра. Колебания возможны при Q \, при значениях Q 1 Л будет неограниченно возрастающей функцией во времени. Для неогуковского потенциала точка Q = 1 соответствует точке максимума статической зависимости «нагрузка - деформация».
В параграфе в рамках нелинейной теории тонких оболочек решается задача о растяжении в плоскости круглой мембраны из изотропного упругого несжимаемого материала. Решение представлено в квадратурах. Для случая потенциала Черныха получено аналитическое решение. Показано, что решение может иметь особенность при конечных поперечных размерах деформированной мембраны.
Пусть круглая мембрана внешнего радиуса Г2 и с радиусом внутреннего отверстия г1 растягивается в плоскости равномерной нагрузкой, приложенной по ее внешнему контуру. Для случая осесимметричной деформации уравнения равновесия имеют вид [10, 34, 39, 77] Г—0 + Т1-Т2=0 , (3.22) dr а уравнение, связывающее кратности удлинения \ и Л2 — 0 dr г—0 + Л2-Л1=0 , (3.23) dr dr /0 /0 Л1=0,Л2=г/г,Л3=/г/ = 1ДЛ . dr На внутреннем контуре мембраны принимаются следующие граничные условия 0 приГ = Г1: Г = Г1 или =1, а на внешенем контуре 0 при Г = Г2: Г = Г или \ = Г /г2 1. Эти граничные условия предполагают, что точки внутреннего контура не смещаются. Радиус внешнего контура увеличивается до значения Г = Г . При этом нагрузка, растягивающая о мембрану, подсчитывается по формуле Р = Т1 (Г = Г2).
Постоянная интегрирования С, содержащаяся в (3.26)-(3.28), должна быть положительной величиной. Эта величина и константа С0 находятся из удовлетворения граничным условиям. Функция \=\[А2) как решение уравнения (3.25) при различных значениях параметра ]3определяется из (3.26)-(3.28) явно. Решения (3.27)-(3.28) допускают решение, на котором \ может принимать бесконечные значения в некоторой точке промежутка \f[,f2 I При этом Л2 в этой точке будет принимать конечные значения. Конечные значения будет принимать усилие 71, усилие Т2 — бесконечно большие, а кратность деформационного изменения толщины мембраны А3 обращаться в ноль. То есть при конечных поперечных размерах растянутой мембраны в ней может возникнуть особенность в некоторой точке. Для решения (3.41) на внутреннем контуре должно выполняться равенство 1 + 3/1 = С, поскольку в этой области Я2=1. Так как / положительная величина , то константа С должна удовлетворять неравенствам 1 С 4 . Значение С = 4 соответствует недеформированной мембране, а С = 1— случаю, когда на внутреннем контуре А1= Х). Для решения (3.42) при Я2 = 1, поскольку 0 /? 1 и Х = (1-J3)(1 + J3) 1, функции f(x) и (р(х) принимают положительные значения в рассматриваемом диапазоне изменения параметра (5. Значения константы С в этом случае будут положительными и конечными при любых значениях \ 1 на внутреннем контуре, в том числе и при / — оо.
Полученное решение с особенностью в рамках теории тонких оболочек следует рассматривать лишь как одно из возможных направлений деформаций. И уравнения теории тонких оболочек в таких вариантах физической нелинейности нельзя использовать для описания напряженно-деформированного состояния тонких мембран. В этих случаях необходимо прибегнуть к теориям, учитывающим более точно неоднородность напряженного состояния по толщине, чем теория тонких оболочек.
Круговая цилиндрическая оболочка под внутренним давлением
Решение системы (4.1) при рассмотренных граничных условиях осуществлялось с применением численных методов. Некоторые из результатов расчетов представлены на рисунке 4.21 в виде зависимости между вертикальной нагрузкой Р и вертикальным перемещением zY0) для радиусов жесткого центра 0.1 и 0.4. Внешний радиус мембраны принят за единицу. В задаче о растяжении мембраны с жестким центром без поверхностной нагрузки расчетные зависимости между осадкой и вертикальной нагрузкой были линейными, в отличии от результатов, представленных на рисунке 4.16. Решение поставленной задачи было получено численно, для проверки численных результатов была поставлена серия экспериментов по растяжению образцов разных марок резин диаметром 101 мм посредством подъема винта, на конце которого закреплена шайба радиуса r (0.1 и 0.4 см) (рисунок 4.19).
Близкий по содержанию эксперимент описан в работе [81], однако методика проведения эксперимента существенно отличается. Авторы этой работы реализовали сферическую зону контакта с мембраной, тем не менее, несмотря на другую методику проведения эксперимента, полученные авторами результаты согласуются с результатами, полученными в диссертационной работе. 4.6 Сферическая оболочка под внутренним давлением Решение уравнений (4.1) для замкнутой сферической оболочки постоянной толщины о h = const радиуса R, нагруженной нормальным давлением, можно получить в явном виде. В силу симметрии задачи деформированная оболочка отличается от недеформированной только величиной её радиуса. При равенстве усилий в окружном и меридиональном направлениях, кратности удлинения в этих направлениях равны относительному изменению радиуса. С учетом этого из уравнений (4.1) следует решение: Ai=A2=A = R/R,T,=T2=T, о 0 / (р = (р = s/r, о о г = R sin ср, z = R cos ср. Разрешающая система уравнений тождественно удовлетворяется, если выполняется равенство 2TX\X,X) = R qX , из которого при заданном значении давления находится относительное изменение радиуса. Это же уравнение определяет и зависимость между давлением и деформацией, которая может иметь и точки экстремума. Производная dq/dX подсчитывается по формуле
В частном случае неогуковского материала экстремум давления достигается при Л = 1.83, а для потенциала Бартеньева-Хазановича - при Л = 1.357 .
Для сопоставления этих теоретических результатов с экспериментальными была поставлена серия экспериментов по растяжению эллипсоида вращения внутренним давлением. В качестве экспериментальных образцов брались оболочки с поперечными размерами от 30 мм до 100 мм при толщине стенки 0,2 мм. Во всех экспериментах давление измерялось в мм водяного столба с точностью +1 мм. Максимальная погрешность измерения давления составляла 2%. Во всех экспериментах характерным являлось то, что при больших деформациях после некоторого падения давления при растущих деформациях начинался его рост, если до этого момента материал не разрушался. На рис. 4.22 показана зависимость давления от размеров полуосей эллипсоида. Экспериментальные точки обозначены символом «звездочка».
Расчетная зависимость «давление-кратность удлинения» для случая степенного потенциала на рисунке 4.23 представлена в виде сплошной линии, экспериментальные точки обозначены с помощью символа «звездочка». Как следует из полученных результатов, теоретические и экспериментальные зависимости достаточно хорошо согласуются до кратности удлинения 2.5. Во всех экспериментах при больших деформациях, начиная с некоторого значения кратности удлинения, наблюдался минимум зависимости p(z(0)\, после которого рост деформации сопровождался увеличением давления. Степенной потенциал (1.4) не дает получить точку минимума. Полученные результаты согласуются с результатами, полученными в [38, 83, 99, 123, 124]. 1000
Полученные в работе расчетные результаты согласуются с экспериментальными. Максимальное давление достигается при кратности удлинений не больше двух, что согласуется с теоретическими результатами, полученными для сферической оболочки.
Таким образом, как следует из авторских экспериментальных результатов и теоретических предпосылок, резиновые мембраны и оболочки могут иметь ограниченную несущую способность по нагрузке, т.е. если мембрана или оболочка будут находиться под нагрузкой больше предельно допустимой, то начнётся процесс непрерывного растяжения вплоть до разрушения ( 3.5). Это означает, что происходит потеря устойчивости, если нагрузка превысит максимально допустимую. Точка экстремума нагрузки является точкой бифуркации решения, поскольку в окрестности этой точки при одной и той же нагрузке могут существовать два решения. Аналогичная бифуркация происходит и при сжатии тонкого стержня (пластины). В экспериментах по растяжению мембран точку максимума нагрузки удалось пройти без потери устойчивости (равновесным способом) за счёт способа нагружения – постепенным нагнетанием массы воздуха в замкнутый ограниченный мембраной объём. Для случая сжатого стержня такой способ найти не удаётся.
Сжатие сферической оболочки двумя плоскостями. Ставится задача о сжатии растянутой нормальным давлением сферической оболочки двумя параллельными жесткими плоскостями. Предполагается, что в зоне контакта между оболочкой и плоскостью осуществляется свободное скольжение (рис. 4.24). Участок 1 — зона контакта. Принимается, что в зоне контакта форма плоская: r r ,z = z 0 , х = Лг, р = тг/2 , где Y — точка прекращения контакта. Участок 2 — вне зоны контакта. На границах этого участка выполняются следующие граничные условия: при s = s : г = г , (р = 0 (V = 0) z = Z0 ; при s = : г = 1, (р = — , z(1)=0 .
Система уравнений (4.1) решалась при этих граничных условиях с применением численных методов. Проводилась серия экспериментов по сжатию оболочки плоскостями по следующей методике. Сферическая оболочка диаметра 75 мм подвергалась растяжению нормальным давлением. Оболочка помещалась под пластину из оргстекла на фиксированной высоте 80 мм, давление внутри оболочки нагнеталось с помощью насоса небольшими порциями воздуха. Велась фотосъемка сжатой оболочки на фоне масштабно-координатной сетки. Зона контакта просматривалась по смазке. После достижения контакта происходило растяжение в горизонтальном направлении.
Расчетная форма сжатой оболочки приведена на рисунке 4.24. На рисунках 4.25-4.27 показаны зависимости от осадки зоны контакта, поперечного размера оболочки, давления, а также вертикальной силы соответственно. На рисунке 4.28 приведена расчетная зависимость «зона контакта — поперечный размер», а также символом «звездочка» отмечены экспериментальные точки». Как видно из рисунка, эта зависимость близка к линейной. Решение строилось с применением численных методов.
Контактные задачи для сферической оболочки
В работе для растяжения образцов с отверстиями использовалась экспериментальная методика, разработанная Трелоаром для одноосного растяжения. В экспериментах используется установка, описанная в главе 1.
В качестве испытуемых образцов брались полосы листовой резины различных марок (ГОСТ: ТУ 38.105.116-81, ТУ 38.305.05379-95) шириной от 7 см до 12 см, длиной от 15 см до 40 см, а толщиной 0.5 мм до 13 мм.
На рисунке 5.3 показано как выглядит мембрана, прикрепленная к зажимам до растяжения. На рисунке 5.4 образец после растяжения. Во всех экспериментах отверстие принимало форму, близкую к эллиптической. На рисунке 5.5 показана форма отверстия после растяжения мембраны в 5 раз, точки соответствуют экспериментальным данным, сплошная линия расчетным.
Некоторые из результатов экспериментов приведены на рис. 5.6, 5.7. Все геометрические характеристики (удлинения и размеры полуосей) даны в безразмерном виде (отношение длины мембраны и размеров отверстия к первоначальным размерам).
В ходе эксперимента исследовалось влияние ширины образца на раскрытие отверстия, влияние геометрических параметров образца и размеров отверстия на его раскрытие, влияние напряжений на параметры отверстия.
В этой серии экспериментов растягивались образцы различной длины и ширины, но с одинаковыми размерами отверстий. На рисунке 5.6 для образцов длиной 15 см, шириной 10 см, толщиной 0.5 мм и длиной 10 см, шириной 15 см, толщиной 0.5 мм с одинаковым диаметром отверстия 12 мм показано изменение параметров (размеры полуосей) отверстия в зависимости от удлинения. По оси Х отложено удлинение, по оси Y большая и малая полуоси эллипса. «Звездочками» отмечены большая и малая полуоси эллипса узкой мембраны, «квадратами» — широкой.
Как следует из экспериментальных данных, в рассматриваемом диапазоне геометрических параметров исходного образца относительные поперечные размеры деформируемого отверстия в рамках погрешности измерений от этих параметров практически не зависят
В этой серии экспериментов растягивались образцы различной длины и ширины, с различными размерами отверстий.
Как следует из анализа полученных данных в рассматриваемом диапазоне геометрических параметров исходных образцов и первоначальных размеров отверстий относительные поперечные размеры деформируемых отверстий от этих параметров также практически не зависят.
Эксперименты из п.1 и п.2 проводились на разных образцах при различных внешних нагрузках, в этом эксперименте осуществлялось растяжение образца с тремя отверстиями разных размеров. Таким образом, вдали от отверстий реализовывалось одно и тоже напряженное состояние при одном и том же уровне напряжений для всех отверстий одновременно. Этот эксперимент ставился таким образом, чтобы можно было определить общую кратность удлинения образца и кратность удлинения в окрестности каждого отверстия отдельно.
На рис. 5.7 для образца длиной 358 мм, шириной 100 мм, толщиной 0.8 мм с тремя отверстия диаметрами 15 мм, 26 мм, 35 мм показана зависимость размеров полуосей отверстий от общей кратности удлинения образца.
Аналогичный эксперимент был поставлен для образца длиной 370 мм, шириной 100 мм, но с толщиной 13 мм и с двумя отверстия диаметрами 11 мм и 32 мм.
Как следует из анализа экспериментальных данных (рис.5.7) относительные размеры различных отверстий в деформированных образцах, находящихся под одной и той же нагрузкой, от их первоначальных размеров практически не зависели при отношениях ширины мембраны к диаметру отверстия больших 2.
На рисунке 5.7 «кружками» отмечены параметры малого отверстия, «квадратами» — среднего, «звездочками» — большого. Отверстия разных диамет ров лП V.»
Для сопоставления экспериментальных и теоретических результатов по раскрытию круглого отверстия необходимо определить физические характеристики материала. Для их определения в 1.3 описаны эксперименты по одноосному растяжению мембраны без отверстия. Найденные константы /л,п использовались для определения относительных размеров отверстия.
На мембранах с отверстием однородное напряженное состояние искажается в окрестности отверстия (рис.5.4). И чем больше деформация, тем больше искажение. Вместе с этим замечено, что наибольшее искажение происходит в ортогональном к плоскости мембраны направлении (рис.5.4). При этом при деформациях порядка 500% область искажения однородного напряженного состояния, как показывали экспериментальные данные, сопоставима с размерами отверстия. Поэтому линеаризованный вариант (5.8) нелинейных уравнений равновесия (5.5) можно использовать для исследования напряженного состояния в окрестности отверстия. Как следует из рисунка 5.9 при деформациях порядка 100-200 % это вполне допустимо.
Наряду с этими искажениями, при растяжении тонких мембран в окрестности растянутого отверстия наблюдается выход из плоскости мембраны (образуется складка рис. 5.8). Размеры складчатой зоны и форма складки зависят от размеров отверстия. В вертикальной плоскости происходит двусторонний выход. Сначала идет зона минимума, потом максимума и снова минимума. Детально форма складки в работе не исследовалась.