Содержание к диссертации
Введение
1. Основные соотношения теории изгиба трехслойных много-связных плит в трехмерной постановке .
1.1. Постановка задачи 8
1.2. Однородные решения 11
1.3. Представление, напряжений и перемещений в цилиндрической системе координат 18
1.4. Граничные условия для разрешающих функций при изгибе трехслойных многосвязных плит 21
2. Исследование напряжений в трехслойной плите,ослабленной полостью .
2.1. Решение трансцендентных уравнений, возникающих при определении краевого эффекта 36
2.2. Изгиб трехслойной плиты с цилиндрической полостью 41
2.3. Изгиб кольцевой трехслойной плиты 51
3. Задачи изгиба многосвязных трехслойных плит .
3.1. Напряженное состояние трехслойной плиты с двумя цилиндрическими полостями 64
3.2. Периодическая задача при изгибе трехслойных многосвязных плит 78
3.3. Изгиб трехслойной плиты с полостями при наличии в ней циклической симметрии 92
Выводы 104
Заключение 106
Библиографический список 107
Приложения 114
- Представление, напряжений и перемещений в цилиндрической системе координат
- Граничные условия для разрешающих функций при изгибе трехслойных многосвязных плит
- Решение трансцендентных уравнений, возникающих при определении краевого эффекта
- Изгиб трехслойной плиты с полостями при наличии в ней циклической симметрии
Введение к работе
В настоящее время трехслойные плиты широко используются в самолетостроении, караблестроении и других отраслях современной промышленности, это связано с тем, что они, с разнесенными за счет заполнителя внешними слоями, обладают при небольшом весе высокими характеристиками прочности и жесткости, а также имеют теплоизоляционные и звукоизоляционные качества. Особенно рациональными трехслойные плиты оказываются в условиях работы на изгиб.
Знание напряженного состояния трехслойных плит необходимо для их расчета на прочность. Так как область применения прикоад-ных теорий ограничена, а для пластин большой толщины они не позволяют исследовать с достаточной точностью картину указанного напряженного состояния, то задача развития методов исследования трехслойных пластин в трехмерной постановке является актуальной,
В развитие теории трехслойных пластин большой вклад внесли А*Я «Александров, С.А.Амбарцумян, В.В.Болотин, Г.А.Ванин,И.И.Во-рович, К.З.Галимов, Э»И»Григолюк, Г.Б.Колчин, Л.М.КУршин, X.М.Муштари, А.П.Прусаков, А.В.Саченков, Н.Г.Тамуров, Ю.А.Устинов, И.А.Цурпал и др.
Теория изгиба трехслойных пластин вначале строилась, как и для однослойных, на основе гипотез Кирхгоффа, которые применялись для всего пакета. В результате этого трехслойная пластина заменялась однослойной с определенными средними характеристиками.
Однако особенностью трехслойных пластин является большое влияние поперечных деформаций и деформаций сдвига внутреннего слоя на работу внешних слоев, что делает неприемлемым применение гипотез Кирхгоффа для описания работы внутреннего слоя.
В дальнейшем появились труды, в которых строились теории из-гиба трехслойных пластин, учитывающие влияние работы внутреннего слоя путем введения различных гипотез.
Так, рассматривая трехслойные пластины, Е.Р.Рейсснер /70/ пренебрегал поперечными деформациями внутреннего слоя и вводил допущение о равномерном распределении напряжений по высоте внешних слоев.
Э.И.Г^иголюк /16-18/ вместо допущений Рейсснера ввел предположение о том, что нормаль к срединной поверхности пластины в результате деформации поворачивается, не изгибаясь. Это позволило путем использования вариационных принципов построить ряд схем для определения напряженного состояния трехслойных пластин с маложестким и жестким внутренним слоем. Однако, эти допущения не позволяют учитывать поперечную деформацию внутреннего слоя.
Дальнейшее развитие теория трехслойных пластин получила в работах А.П.Прусакова /Ч7,Ч0/. Полученные им основные уравнения изгиба и устойчивости трехслойных пластин с легким заполнителем были свободны от допущений рейсснера, что позволило рассмотреть ряд задач изгиба трехслойных пластин в более уточненной постановке.
Большой вклад в развитие теории трехслойных пластин и оболочек внесж казанские ученые, В работе Н.К.Галимова /щ/ получена система уравнений равновесия для трехслойных пологих оболочек при действии на оболочку поперечных нагрузок. При выводе уравнений для внешних слоев использовались гипотезы Кирхгоффа, а для внутреннего слоя применялся квадратичный закон изменения тангенсаль-ных перемещений по толщине слоя. На основе этих уравнений в работах /гЗ, 15/ получено решение ряда осесимметричных задач о продольно-поперечном изгибе трехслойных круглых пластин несимметричной структуры.
Уточненная теория пологих трехслойных оболочек построена в
5 работе А.В.Саченкова и В.А.Костина /51/. Эта теория строилась без привлечения кинематических гипотез относительно работы внутреннего слоя,
В работе х.М.МУштари Аз/ дается оценка погрешностей трех основных теорий трехслойных пластин и оболочек, исследуются области применения этих теорий.
Используя теорию пологих оболочек И.Н.Векуа, Л.А.Маркин в работе /39/ построил теорию трехслойных пластин симметричного строения, которая позволяет учитывать наряду со сдвиговыми деформациями и сжимаемость внутреннего слоя в поперечном направлении. На примере изгиба трехслойной круглой пластины под действием нагрузки, равномерно распределенной по поверхности внешнего слоя,изучено влияние сжимаемости внутреннего слоя на характер распределения нормального и тангенсального напряжений по поверхности контакта заполнителя с внешними слоями.
Изучению влияния ослабляющих отверстий на концентрацию напряжений в трехслойных сферических оболочках посвящены работы Г.А.Ванина /7-9/, При исследованиях применялась гипотеза о линейности закона распределения смещений по толщине как заполнителя, так и внешних слоев. Исследования показали, что в трехслойных оболочках концентрация напряжений выше, чем в однослойных.
Большинство известных результатов по расчетам и проведенным экспериментам для трехслойных пластин и оболочек на их прочность и устойчивость приведено в сборнике /2/.
Рассмотрению различных теорий изгиба трехслойных пластин посвящены обзоры Л.М.Куршина /33/, Л.М.Хэбипа /57/, Х.М.Муштари Лз/.
Но, как отмечено в работе /24/, приближенные теории трехслойных пластин применимы только для пластин, у которых относительная толщина не превосходит величины 0,3. Для более толстых пластин нужно применять теорию трехслойных пластин в трехмерной постановке.
Используя однородные решения А.И.ЛУрье, в работе И.И.Ворови-ча и И.Г.Кадомцева /ю/ с помощью асимптотического метода авторы дали качественное исследование напряженно-деформированного состояния трехслойной плиты средней толщины. В работах /22,23/ И.Г.Кадомцев провел качественные исследования краевых эффектов в трехслойной пластине и изучил концентрацию напряжений в пластине средней толщины с круговым отверстием.
Общий подход к изучению напряженно-деформированного состояния многосвязных толстых пластин был разработан А.СЛСосмодамианским и В.А.Шалдырваном /28/.
В данной диссертации этот метод распространен на решение задач изгиба трехслойных толстых многосвязных плит.
цель диссертации состоит в разработке методики решения задач изгиба трехслойных толстых многосвязных плит; решении конкретных задач; изучении влияния на концентрацию напряжений, возникающей при изгибе трехслойных многосвязных плит, количества и расположения полостей, а также различных параметров трехслойных плит.
В диссертации впервые решены задачи изгиба трехслойных толстых плит, ослабленных различным количеством полостей. Проведены численные исследования концентрации напряжений, выяснены закономерности распределения напряжений в многосвязных трехслойных плитах в трехмерной постановке.
В первой главе приводятся однородные решения, построенные полуобратным методом й.й.Воровича /ю/, выведена функциональная система уравнений для определения разрешающих функций при изгибе трехслойных многосвязных плит.
Во второй главе изложено решение задач изгиба трехслойной плиты, ослабленной одной полостью, дано решение трансцендентных уравнений, возникающих при определении краевого эффекта.
В третьей главе рассматриваются задачи изгиба многосвязных
7 трехслойных плит. Исследуются вопросы концентрации напряжений в многосвязной трехслойной плите в зависимости от различных параметров плиты.
В заключении сформулированы основные научные результаты диссертации, которые выносятся на защиту.
В приложении приведены результаты исследований, не вошедшие в основной текст диссертации.,
Основные результаты опубликованы в работах /31х, 60-65/.
Численные исследования проводились на ЭВМ EC-I022.
Результаты диссертации докладывались на объединенном научном семинаре кафедры теории упругости и вычислительной математики Донецкого государственного университета и отдела математических проблем упругости и пластичности Института прикладной математики и механики АН УССР (1977-1983 г.г.), на конференциях про-фессорско*4іреподавательского состава Донецкого государственного университета (1976-1978 г.г.), на научном семинаре кафедры сопротивления материалов Днепропетровского инженерно-строительного института (1981 г.), на научном семинаре кафедры теоретической механики Казанского государственного университета (1983 г.), на Республиканском симпозиуме "Концентрация напряжений" (г. Донецк, 1983 г.).
х В работе /Зі/, написанной в соавторстве с А.С.Космодамианским и В.А.Шалдырваном, соавторам принадлежит участие в постановке за' дачи, в анализе полученных результатов. А.Ю.Чурикову - получение аналитической формы решения, а также участие в постановке задачи и обсуждение вопросов, связанных с проведением исследований.
Представление, напряжений и перемещений в цилиндрической системе координат
В настоящее время трехслойные плиты широко используются в самолетостроении, караблестроении и других отраслях современной промышленности, это связано с тем, что они, с разнесенными за счет заполнителя внешними слоями, обладают при небольшом весе высокими характеристиками прочности и жесткости, а также имеют теплоизоляционные и звукоизоляционные качества. Особенно рациональными трехслойные плиты оказываются в условиях работы на изгиб.
Знание напряженного состояния трехслойных плит необходимо для их расчета на прочность. Так как область применения прикоад-ных теорий ограничена, а для пластин большой толщины они не позволяют исследовать с достаточной точностью картину указанного напряженного состояния, то задача развития методов исследования трехслойных пластин в трехмерной постановке является актуальной,
В развитие теории трехслойных пластин большой вклад внесли А Я «Александров, С.А.Амбарцумян, В.В.Болотин, Г.А.Ванин,И.И.Во-рович, К.З.Галимов, Э»И»Григолюк, Г.Б.Колчин, Л.М.КУршин, X.М.Муштари, А.П.Прусаков, А.В.Саченков, Н.Г.Тамуров, Ю.А.Устинов, И.А.Цурпал и др.
Теория изгиба трехслойных пластин вначале строилась, как и для однослойных, на основе гипотез Кирхгоффа, которые применялись для всего пакета. В результате этого трехслойная пластина заменялась однослойной с определенными средними характеристиками.
Однако особенностью трехслойных пластин является большое влияние поперечных деформаций и деформаций сдвига внутреннего слоя на работу внешних слоев, что делает неприемлемым применение гипотез Кирхгоффа для описания работы внутреннего слоя. В дальнейшем появились труды, в которых строились теории из-гиба трехслойных пластин, учитывающие влияние работы внутреннего слоя путем введения различных гипотез.
Так, рассматривая трехслойные пластины, Е.Р.Рейсснер /70/ пренебрегал поперечными деформациями внутреннего слоя и вводил допущение о равномерном распределении напряжений по высоте внешних слоев.
Э.И.Г иголюк /16-18/ вместо допущений Рейсснера ввел предположение о том, что нормаль к срединной поверхности пластины в результате деформации поворачивается, не изгибаясь. Это позволило путем использования вариационных принципов построить ряд схем для определения напряженного состояния трехслойных пластин с маложестким и жестким внутренним слоем. Однако, эти допущения не позволяют учитывать поперечную деформацию внутреннего слоя.
Дальнейшее развитие теория трехслойных пластин получила в работах А.П.Прусакова /Ч7,Ч0/. Полученные им основные уравнения изгиба и устойчивости трехслойных пластин с легким заполнителем были свободны от допущений рейсснера, что позволило рассмотреть ряд задач изгиба трехслойных пластин в более уточненной постановке.
Большой вклад в развитие теории трехслойных пластин и оболочек внесж казанские ученые, В работе Н.К.Галимова /щ/ получена система уравнений равновесия для трехслойных пологих оболочек при действии на оболочку поперечных нагрузок. При выводе уравнений для внешних слоев использовались гипотезы Кирхгоффа, а для внутреннего слоя применялся квадратичный закон изменения тангенсаль-ных перемещений по толщине слоя. На основе этих уравнений в работах /гЗ, 15/ получено решение ряда осесимметричных задач о продольно-поперечном изгибе трехслойных круглых пластин несимметричной структуры.
Уточненная теория пологих трехслойных оболочек построена в работе А.В.Саченкова и В.А.Костина /51/. Эта теория строилась без привлечения кинематических гипотез относительно работы внутреннего слоя,
В работе х.М.МУштари Аз/ дается оценка погрешностей трех основных теорий трехслойных пластин и оболочек, исследуются области применения этих теорий.
Используя теорию пологих оболочек И.Н.Векуа, Л.А.Маркин в работе /39/ построил теорию трехслойных пластин симметричного строения, которая позволяет учитывать наряду со сдвиговыми деформациями и сжимаемость внутреннего слоя в поперечном направлении. На примере изгиба трехслойной круглой пластины под действием нагрузки, равномерно распределенной по поверхности внешнего слоя,изучено влияние сжимаемости внутреннего слоя на характер распределения нормального и тангенсального напряжений по поверхности контакта заполнителя с внешними слоями.
Изучению влияния ослабляющих отверстий на концентрацию напряжений в трехслойных сферических оболочках посвящены работы Г.А.Ванина /7-9/, При исследованиях применялась гипотеза о линейности закона распределения смещений по толщине как заполнителя, так и внешних слоев. Исследования показали, что в трехслойных оболочках концентрация напряжений выше, чем в однослойных.
Граничные условия для разрешающих функций при изгибе трехслойных многосвязных плит
Численный расчет производился при ф = 0,5, Л - 0,9. Кривые 1,4 соответствуют относительным толщинам Л , равными соответственно 4, 2, I и 0,5. Из приведенных графиков видно,что напряжения (Удв имеют разрыв на стыке слоев. При увеличении относительной толщины плиты концентрация напряжений в области внутреннего слоя уменьшается, а с приближением к линии контакта слоев - увеличивается и достигает наибольших величин на линии контакта.
На рис. 4 показаны зависимости тех же напряжений от относительной толщины внутреннего слоя Лч , Кривые I и 2 отража 51 ют влияние толщины внутреннего слоя, которая равна соответственно 0,7 и 0,9. Пунктирная кривая отражает изменение напряжений в однородной плите. При этом относительная толщина плиты равна Л = 1,0.
Зависимость напряжений (Г$е от вида нагрузки дана на рис.5. Концентрация напряжений исследовалась для нагрузок вида &гъ=Р$ к" Фивые 1 3 соответствуют значению к , равному I, 2, 3 при Л = 2,0. Из проведенных исследований видно, что в толстых трехслойных плитах возникает сложное напряженное-деформированное состояние, которое необходимо определять только при использовании трехмерной теории изгиба трехслойных плит. 2 3« Изгиб кольцевой трехслойной плиты /63/ рассмотрим трехслойную кольцевую плиту, занимающую объем \/ [1 жП,Щ 1} , где я - безразмерный внешний радиус поперечного сечения плиты. Начало безразмерной цилиндрической системы координат, к которой отнесем плиту, поместим в центре отверстия в ее срединной плоскости, направив ось по геометрической оси плиты (рис.б). Все линейные размеры отнесем к внутреннему радиусу плиты Rz . Будем считать, что рассматриваемая плита изгибается усилиями, не изменяющимися в окружном направлении. Они приложены к ее боковым поверхностям _Г2; ( j = 1,2). Эти усилия создают осесимметричное напряженное состояние плиты, при котором вихревое состояние отсутствует. решение поставленной задачи сводится к определению разрешающих функций Р и Ср из системы дифференциальных урав« плиты нений вида Функции h и Ср при учете осесимметричности напряден ного состояния плиты и условия однозначности перемещений принимают следующие представления /28/: Постоянные коэффициенты 2у , ал , /// и о определяются при удовлетворении граничным условиям на боковых поверхностях ПЛИТЫ _0 : . Если загружена внешняя боковая поверхность J2r , то граничные условия запишем так:
Решение трансцендентных уравнений, возникающих при определении краевого эффекта
Численные расчеты производились для трехслойной плиты, ослабленной четырьмя полостями.
На рис.19 приведены эпюры максимальных напряжений (Гее при следующих параметрах трехслойной плиты: ф =0.5, Jt1 =0.9, JI = 1.0, (Г = 0.3. Кривая I соответствует расстоянию между центрами соседних полостей & = 4, а кривая 2 - =3. Пунктирная кривая отражает изменение напряжений (Гв0 в трехслойной плите, ослабленной одной полостью.
Картину распределения напряжений 6 &е вблизи боковой по-верхности основной полости при j?i =0.9 можно проследить пори с. 20. Здесь Я =1.0, Ф =0.5 и С- =3.
В табл.9 приведены максимальные значения напряжений Уе& для трехслойных плит, ослабленных различным числом полостей .Первый столбец соответствует плите: с рядом полостей, второй - плите, ослабленной двумя полостями, третий - четырьмя полостями и четвертый столбец - для плиты с одной полостью.
Как видно: из численных расчетов в трехслойной плите с четырьмя полостями происходит перераспределение, напряжений и, несмотря на то, что по-прежнему максимальная концентрация напряжений возникает на перемычке между ближайшими полостями, абсолютные значения их меньше, чем в плитах с рядом полостей и с двумя полостями.
Учитывая, что максимальная концентрация напряжений в трехслойных многосвязных плитах возникает на перемычках между полос- тями, для увеличения прочности трехслойных плит можно внутренний слой в опасных зонах заменить более жестким материалом, чем в других слоях, это приведет к снижению концентрации напряжений во внутреннем слое. 1. В трехслойных толстых многосвязных плитах возникает сложное напряженно-деформированное состояние, которое существенна зависит от всех параметров плиты. 2. Нормальные компоненты тензора напряжений являются максимальными, на контакте слоев они; претерпевают разрыв. Касательные напряжения - непрерывны. 3. С увеличением относительной толщины плиты увеличивается как концентрация напряжений вблизи полостей, так и ее зависимость от различных параметров трехслойной плиты. 4. Наличие полостей в трехслойной плите усиливает трехмерный характер напряженно-деформированного состояния, приводит к резкому возрастанию концентрации напряжений на перемычках между полостями. 5. Распределение напряжений в многосвязной трехслойной плите существенно зависит от количества полостей и их расположения. 6. Зона возмущенного состояния в трехслойных толстых плитах больше, чем в однослойных пластинах и достигает двух-трех радиусов полости, 7. Так как с увеличением жесткости внутреннего слоя концентрация напряжений в нем уменьшается, то для увеличения прочности трехслойной плиты в зоне возмущенного состояния следует брать более жесткий внутренний слой. 8. Для трехслойных плит с большой относительной толщиной, для расчета которых прикладные теории неприемлемы, необходимо использовать теорию изгиба трехслойных плит в трехмерной постановке.
Изгиб трехслойной плиты с полостями при наличии в ней циклической симметрии
Используя теорию пологих оболочек И.Н.Векуа, Л.А.Маркин в работе /39/ построил теорию трехслойных пластин симметричного строения, которая позволяет учитывать наряду со сдвиговыми деформациями и сжимаемость внутреннего слоя в поперечном направлении. На примере изгиба трехслойной круглой пластины под действием нагрузки, равномерно распределенной по поверхности внешнего слоя,изучено влияние сжимаемости внутреннего слоя на характер распределения нормального и тангенсального напряжений по поверхности контакта заполнителя с внешними слоями.
Изучению влияния ослабляющих отверстий на концентрацию напряжений в трехслойных сферических оболочках посвящены работы Г.А.Ванина /7-9/, При исследованиях применялась гипотеза о линейности закона распределения смещений по толщине как заполнителя, так и внешних слоев. Исследования показали, что в трехслойных оболочках концентрация напряжений выше, чем в однослойных.
Большинство известных результатов по расчетам и проведенным экспериментам для трехслойных пластин и оболочек на их прочность и устойчивость приведено в сборнике /2/. Рассмотрению различных теорий изгиба трехслойных пластин посвящены обзоры Л.М.Куршина /33/, Л.М.Хэбипа /57/, Х.М.Муштари Лз/. Но, как отмечено в работе /24/, приближенные теории трехслойных пластин применимы только для пластин, у которых относительная толщина не превосходит величины 0,3. Для более толстых пластин нужно применять теорию трехслойных пластин в трехмерной постановке. Используя однородные решения А.И.ЛУрье, в работе И.И.Ворови-ча и И.Г.Кадомцева /ю/ с помощью асимптотического метода авторы дали качественное исследование напряженно-деформированного состояния трехслойной плиты средней толщины. В работах /22,23/ И.Г.Кадомцев провел качественные исследования краевых эффектов в трехслойной пластине и изучил концентрацию напряжений в пластине средней толщины с круговым отверстием. Общий подход к изучению напряженно-деформированного состояния многосвязных толстых пластин был разработан А.СЛСосмодамианским и В.А.Шалдырваном /28/. В данной диссертации этот метод распространен на решение задач изгиба трехслойных толстых многосвязных плит. цель диссертации состоит в разработке методики решения задач изгиба трехслойных толстых многосвязных плит; решении конкретных задач; изучении влияния на концентрацию напряжений, возникающей при изгибе трехслойных многосвязных плит, количества и расположения полостей, а также различных параметров трехслойных плит. В диссертации впервые решены задачи изгиба трехслойных толстых плит, ослабленных различным количеством полостей. Проведены численные исследования концентрации напряжений, выяснены закономерности распределения напряжений в многосвязных трехслойных плитах в трехмерной постановке. В первой главе приводятся однородные решения, построенные полуобратным методом й.й.Воровича /ю/, выведена функциональная система уравнений для определения разрешающих функций при изгибе трехслойных многосвязных плит. Во второй главе изложено решение задач изгиба трехслойной плиты, ослабленной одной полостью, дано решение трансцендентных уравнений, возникающих при определении краевого эффекта. В третьей главе рассматриваются задачи изгиба многосвязных трехслойных плит. Исследуются вопросы концентрации напряжений в многосвязной трехслойной плите в зависимости от различных параметров плиты. В заключении сформулированы основные научные результаты диссертации, которые выносятся на защиту. В приложении приведены результаты исследований, не вошедшие в основной текст диссертации., Основные результаты опубликованы в работах /31х, 60-65/. Численные исследования проводились на ЭВМ EC-I022. Результаты диссертации докладывались на объединенном научном семинаре кафедры теории упругости и вычислительной математики Донецкого государственного университета и отдела математических проблем упругости и пластичности Института прикладной математики и механики АН УССР (1977-1983 г.г.), на конференциях про-фессорско 4іреподавательского состава Донецкого государственного университета (1976-1978 г.г.), на научном семинаре кафедры сопротивления материалов Днепропетровского инженерно-строительного института (1981 г.), на научном семинаре кафедры теоретической механики Казанского государственного университета (1983 г.), на Республиканском симпозиуме "Концентрация напряжений" (г. Донецк, 1983 г.).