Введение к работе
Настоящая работа посвящена исследованию устойчивости деформирования сжимаемых упруговязкопластических сред в точной трехмерной постановке, постановке и решению отдельных задач устойчивости при однородных и неоднородных докритических состояниях; разработке численного алгоритма решения характеристических уравнений задач и выявлению влияния сжимаемости (в том числе необратимой), вязкости и других характеристик сред на критические параметры в рассмотренном классе задач при малых докритических деформациях.
Актуальность темы. Вопросы устойчивости деформирования сложных сред с учетом их сжимаемости в точной трехмерной постановке позволяют оценить с большей степенью точности значения критических параметров. При этом необходимость предсказания отказов различных конструкций из металлов, грунтов и т.п. требует разработки более сложных математических моделей. С этой точки зрения рассмотрение модели сложной среды, в которой учитывается дополнительное свойство - необратимая сжимаемость - обнаруживаемое у реальных физических тел, не может не представлять интерес. Естественно, возникает необходимость постановки задач устойчивости для принятой модели сжимаемого упруговязкопластического тела, обобщения известных методов решения и решение отдельных задач для конкретных материалов. В настоящее время нет универсальных аналитических методов решения задач устойчивости сжимаемого упруговязкопластического тела. Поэтому важное значение имеет разработка методов, дающих приближенное решение поставленных задач. Развитие исследований в этом направлении связано с именами: Ж.С.Акопьяна, М.Т.Алимжанова, И.Ю.Бабича, Т.А.Баклановой, В.В.Болотина, М.А.Био, А.Н.Гузя, Ж.С.Ержанова, Л.В.Ершова, Д.Д.Ивлева, А.А.Ильюшина, А.Ю.Ишлинского, В.Д.Клюшникова, Т.Г.Кулиева, И.Д.Легени, В.М.Назаренко, Р.В.Саусвела, А.Н.Спорыхина, Ю.В.Чигорева, А.И.Шашкина Н.Ю.Швайко, и др.
Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета в рамках темы "Разработка фундаментальных математических моделей и эффективных численных методов решения статических и динамических задач течения и деформирования сред сложной структуры" (код по ГАСНИТИ 50.53/08).
Цель работы заключается в развитии трехмерной линеаризированной теории устойчивости сжимаемых сложных сред модели Д.Д.Ивлева - А.Н.Спорыхина при малых докритических деформациях включая:
- представление математически корректной постановки задач устойчивости:
полосы, свободная поверхность, слоистые массивы, полупространство с полостью при сжатии; полупростанство с непрерывной неоднородностью, вертикальная скважина;
определение аналитическим путем напряженно-деформированного докригического состояния поставленных задач;
- получение с позиций ТТУ характеристических уравнений для определения
критических параметров конструкций;
- разработку методов решения данных уравнений, и на их основе вычисление
критических параметров;
- проведение теоретического и численного анализа полученных решений и
выявление характерных эффектов и явлений для конкретных материалов. Научная новизна диссертационной работы состоит в том что для сжимаемого упрочняющегося упруговязкопластического тела модели Д.Д.Ивлева А.Н.Спорыхина на основе идей теории возмущений:
- получены статические линеаризированные задачи при малых докритических
деформациях;
- дана постановка задач устойчивости при однородных (прямоугольная плита
при сжатии, слоистые массивы, полупространство с полостью при сжатии) и неоднородных (полупространство с непрерывной неоднородностью, бурящиеся скважины) докритических состояниях;
- определено напряженно-деформируемое состояние, в невозмущенном
состоянии, поставленных задач;
- получены характеристические уравнения, построен численный алгоритм их
решения и определена степень влияния характеристик среды (сжимаемости, вязкости, упрочнения и др.) на критические параметры для конкретных материалов. Практическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при определении напряженно-деформированного состояния горного массива около скважин, выработок, полостей при учете более широкого спектра физико-механических характеристик среды, что тем самым позволит снизить конструктивные характеристики проектируемых изделий.
Приведенные решения задач устойчивости могут быть использованы при выборе расчетных схем и проектировании задач механики горных пород и сейсмологии (бурящиеся скважины, полости, поверхностные явления и явления складкообразования в толще земной коры); для проведения мероприятий, обеспечивающих их безаварийную эксплуатацию, а также при расчете пластин и оболочек при малых деформациях.
Выявленные характерные эффекты, в частности дестабилизирующая роль вязкости и стабилизирующая роль необратимой сжимаемости, в рассмотренном классе задач, позволяют при проектировании правильно назначить прочностные нормы для конструкций, работающих под нагрузками. В теоретическом плане полученные выводы дополняют уже известные и способствуют более глубокому пониманию процессов, происходящих в сжимаемых упрочняющихся упруговязкопластических конструкциях при малых деформациях.
Построенный алгоритм численной реализации исследуемых задач может применяться к ряду смежных задач устойчивости конструкций при действии различных нагрузок.
Достоверность. Проведенные в диссертационной работе исследования базируются на корректной математической постановке задач устойчивости и их решении в рамках точных трехмерных уравнений. Численная реализация построенного алгоритма для поставленных задач устойчивости основана на методе конечных разностей, который широко применяется во многих задачах механики сплошных сред и показал достаточную эффективность. Правильность работы комплекса программ проверена путем решения тестовых задач. Выводы работы согласуются с общими физическими представлениями, а также согласуются с результатами других авторов (в частных случаях).
На защиту выносятся следующие основные результаты работы:
- развитие трехмерной линеаризированной теории устойчивости сжимаемых
упруговязкопластических сред модели Д.Д.Ивлева-А.Н.Спорыхина при малых докритических деформациях;
- решение класса задач при однородных (полоса, свободная поверхность,
слоистые массивы, полупространство с полостью) и неоднородных
(полупространство с непрерывной неоднородностью, вертикальная
скважина) докритических состояниях;
разработка алгоритма численного решения поставленных задач устойчивости, как задач многомерной оптимизации;
'-' графические зависимости критических параметров от геометрии конструкций для конкретных материалов;
- оценка влияния механических параметров: необратимой сжимаемости -
стабилизирующая роль, вязкости и коэффициента Пуассона. -
дестабилизирующая роль на величину критических характеристик.
Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета в 1992-1995 гг. на научных сессиях Воронежского государственного университета 1993-1994 гг.; на школах, проводимых Воронежским государственным университетом совместно с Московским государственным университетом, Саратовским государственным техническим университетом, математическим институтом им. В.А.Стеклова в 1992-1995 гг. посвященных современным проблемам механики и математической физики.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 печатных работах.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав (13 параграфов), заключения и списка литературы, включающего 156 наименований. Работа содержит 117 листов машинописного текста, включая 16 рисунков.