Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время в технике широко используются приборы и устройства, в состав которых входят гибкие элементы - элементы, форма которых в процессе рабочего цикла сильно изменяется. Одной из характерных особенностей таких элементов является существование нескольких устойчивых равновесных состояний. Переход из одного такого состояния в другое происходит через прощелкивание.
В качестве примеров подобных устройств можно привести рабочие элементы электрических реле и пускателей, клавиши клавиатуры, компенсаторы давления, мембранные насосы. Для расчета характеристик таких устройств, а также их прочности и долговечности необходим анализ динамики прощелкивания.
В рамках статической теории явление прощелкивания широко исследовалось уже в 40-50-х годах нашего века В.И.Феодосье-вым, А.С.Вольмиром, В.А.Светлицким, С.Д.Пономаревым, Е.П.Поповым, Я.Г.Пановко, В.В.Болотиным и др. Предметом этих исследований было определение критических нагрузок с целью предотвращения прощелкивания.
Необходимо отметить, что в настоящее время анализ прощелкивания, в особенности динамика этого процесса, является весьма актуальной и сложной задачей несмотря на развитость численных методов и наличие мощной вычислительной техники. Причина этого кроется в сильной нелинейности дифференциальных уравнений, описывающих динамику прощелкивания.
Дифференциальные уравнения в частных производных по пространственной и временной координате, получаемые при рассмотрении континуальной задачи, являются весьма громоздкими и сложными. Это крайне затрудняет их решение с помощью классических методов (метод Бубнова - Галеркина, метод конечных элементов, метод конечных разностей и т.п.).
В данной работе дифференциальные уравнения составлялись для дискретизированной модели рассматриваемой упругой системы. В соответствии с методом сосредоточенных параметров гибкий элемент моделировался системой, состоящей из несколь-
ких абсолютно жестких стержней, соединенных шарнирами. Массы, жесткости и демпферы были сосредоточены в шарнирах. Такой подход позволил, используя метод Лагранжа, сразу получить обыкновенные дифференциальные уравнения движения. С их помощью оказалось возможным по-новому взглянуть на классическую задачу прощелкивания, в частности, подвергнуть анализу актуальную для современной теории колебаний проблему хаоти-зации движения упругих систем. Целью работы являлись:
развитие метода сосредоточенных параметров для анализа нелинейных колебаний с прощелкиванием упругих систем в зак-ритическом состоянии;
исследование межмодального взаимодействия при нелинейных колебаниях;
установление условий возникновения и характера развития хаотизации колебаний рассматриваемых упругих систем.
Научная новизна содержится в следующих результатах работы:
- предложена достаточно простая модель с сосредоточенными
параметрами, которая позволяет моделировать сильно нелиней
ное закритическое состояние гибкого элемента;
предложен простой алгоритм пересчета параметров распределенной системы на предложенную модель, который проиллюстрирован на примере эластики Эйлера;
для модели, сжатой осевой силой, выявлена зона неустойчивости первой (симметричной) формы и зона устойчивости второй (кососимметричной) формы;
найдены критические значения поперечной нагрузки, вызывающей прощелкивание гибкого элемента, предварительно сжатого сверхкритической осевой силой;
применительно к данной задаче предложен метод смены ведущего параметра для численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений движения;
определен характер межмодального взаимодействия, вычислены критические значения амплитуды симметричной гармонической возбуждающей силы, вызывающей несимметричные колебания;
обнаружено, что возбуждение несимметричных колебаний под действием симметричной силы происходит вследствие зак-ритической бифуркации Хопфа;
вычислением экспонент Ляпунова установлены режимы возбуждения, при которых модельная система колеблется хаотически. Определен частотный спектр хаотических колебаний.
Достоверность полученных результатов обеспечивается построением точных дифференциальных уравнений, обоснованностью применяемых математических методов решения, совпадением результатов, полученных разными методами, а также согласованностью их с выводами других авторов.
Практическая ценность. Разработанный алгоритм пересчета параметров распределенной системы позволяет настроить рассматриваемую модель на разнообразные реальные упругие элементы (сферический сегмент, цилиндрическая панель, пологая кривая балка, арка и т.п.).
Анализ динамики такой модели позволяет выявить основные качественные и некоторые количественные характеристики динамики реальной системы.
Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы и вся диссертация в целом были представлены и обсуждались на:
- семинаре Института проблем машиноведения РАН в мае 1995
года;
семинаре Датского центра по прикладной математике и механике в июне 1995;
семинаре НИИ "Механобр" под руководством И.И.Блехмана в октябре 1995 года.
Некоторые положения диссертации были включены в курс "Современные задачи динамики и устойчивости упругих систем", прочитанный на кафедре механики деформируемого твердого тела Датского технического университета в марте 1996 года.
Публикации. По материалам диссертации опубликованы статьи [1]-[3].
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы
( наименований), содержит страниц, в том числе страницу машинописного текста, рисунков.