Содержание к диссертации
Введение
1 Напряженно-деформированное состояние оболочек вращения 12
1.1 Основные соотношения 12
1.2 Задача кручения гофрированных оболочек
1.2.1 Некоторые результаты исследований влияния параметров задачи на полевые характеристики 18
1.2.2 Исследование области применимости линейной теории 29
1.2.3 Метод малого параметра 30
1.3 Задача растяжения-сжатия оболочек вращения со сложной формой меридиана 38
1.3.1 Некоторые результаты исследований влияния параметров задачи на полевые характеристики 40
1.3.2 Исследование области применимости линейной теории 48
1.3.3 Метод малого параметра 49
1.4 Задача о действии гидростатического давления на оболочку с периодической
структурой срединной поверхности 54
1.4.1 Некоторые результаты исследований влияния параметров задачи на полевые характеристики 55
1.4.2 Исследование области применимости линейной теории 63
2 Устойчивость гофрированных оболочек вращения 65
2.1 Постановка задачи 65
2.2 О методах исследования устойчивости
2.2.1 Метод начальных параметров 70
2.2.2 Метод Флоке–Ляпунова 71
2.3 Некоторые результаты численных исследований 72
3 Колебания гофрированных оболочек вращения 75
3.1 Постановка задачи 75
3.2 Крутильные колебания гофрированных оболочек
3.2.1 Некоторые результаты исследований 77
3.2.2 Метод малого параметра з
3.3 Продольно-изгибные колебания 89
3.3.1 Некоторые результаты исследований 90
3.4 Распространение гармонических крутильных волн в цилиндрической оболочке с гофрированной вставкой 91
3.4.1 О теории Флоке 94
3.4.2 Анализ энергетического коэффициента прохождения 95
Заключение 98
Список литературы
- Некоторые результаты исследований влияния параметров задачи на полевые характеристики
- Некоторые результаты исследований влияния параметров задачи на полевые характеристики
- Метод начальных параметров
- Некоторые результаты исследований
Некоторые результаты исследований влияния параметров задачи на полевые характеристики
Во всех рассмотренных случаях кривые, описывающие поведение и і (То), имеют монотонно-возрастающий нелинейный характер.
Замечание. Здесь и ниже будем говорить, что оболочка «1» жестче (мягче) оболочки «2», если при одинаковых механических характеристиках, при одном и том же значении приложенной внешней нагрузки, а также при одинаковых геометрических параметрах - толщине, радиусе на торцах, длине оболочки и амплитуде гофров, максимальное значение перемещения мі первой оболочки меньше (больше), чем для второй.
Влияние величины амплитуды поверхности на максимальное перемещение Приведём результаты исследований влияния амплитуды К на решение задачи (1.18)-(1.19) при постоянных значениях параметров L = 2г0 = 0.1 м, Т0 = 1.1 106 Па. Сравним кривые перемещения U\(z) при двух значениях К для оболочки типа 2 со значениями т2 = 1,5 и оболочки типа 1 со значениями т\ = 1,3. Из рисунков 1.6-1.7 видно, что при увеличении амплитуды гофра, оболочки, отвечающие разным законам гофрировки, дают отличные друг от друга результаты, кроме того, большое влияние оказывают параметры
Для оболочки типа 2 при т2 = 1 на отрезке К Є f-0.8ro,0.8rol функция щ (К) имеет монотонно убывающий характер, в случае т,2 ф 1 кривая немонотонная с точкой минимума при К = 0 (рис. 1.8). Для анализа полученного результата рассмотрим отдельно случаи с К 0 и К 0:
При K 0 самой жесткой оболочкой является оболочка с m2 = 1. При увеличении m2 оболочки испытывают большие перемещения u1 при одном и том же приложенном усилии. Исключением является случай m2 = 3, когда кривая располагается ниже аналогичной кривой для m2 = 2.
Данный факт свидетельствует о том, что указанные оболочки на торце, где приложено усилие, деформируется практически одинаково. Однако заметим, что при этом по длине оболочки деформации отличаются.
Для оболочки типа 1, вне зависимости от знака К, увеличение количества гофров (mi) приводит к увеличению максимального значения и\. Стоит отметить, что как и для оболочки типа 2, при mi = 1 функция и1тах(К) - монотонно-убывающая (рис. 1.9).
Для более полного понимания влияния амплитуды недеформированной поверхности на значение перемещения и\ на торце оболочки, где приложено усилие, увеличим длину оболочки и посмотрим, как изменятся полученные результаты.
Увеличим длину рассматриваемой оболочки вращения в два раза: L = 4г0 = 0.2 м. В случае если была выбрана оболочка типа 1, результаты качественно не изменились, однако для определения влияния длины при изменении К сравним графики функций щ (К) для обо-лочек с разными длинами. Из приведенных рисунков (1.10-1.13) можно сделать следующие выводы: Увеличение длины оболочки приводит к увеличению максимального значения и\. При уменьшении амплитуды (К Є [—0.8rn,0l) увеличивается разница между щ для оболочек с разными длинами. Если К 0, то с увеличением значения этого параметра, начиная сif O.lro, уменьшается разница между и\тах для оболочек разной длины.
Зависимость максимального Рисунок 1.16: Зависимость максимального значения u1 от параметра K для оболочки значения u1 от параметра K для оболочки типа 1 при постоянной длине и постоянном типа 1 при постоянной длине и постоянном объёме дляK 0 объёме дляK 0 Для оболочки типа 2 увеличение длины приводит к тому, что при К 0 полностью меняются жесткостные характеристики, а в остальных случаях характеры зависимостей и\тах(К) сохраняются (рис. 1.12).
Было проведено исследование влияния параметра Хнаиі в случае постоянного объёма J-max гофрированных оболочек V. В качестве исходного значения V был выбран объём цилиндрической оболочки с толщиной h = 0.001 м, радиусом срединной поверхности го = 50h и длиной L = 2r0 V0 = 3.1416- Ю-6 м3. Для того, чтобы изменение амплитуды поверхности не влияло на объём оболочки, изменялась её длина. В результате можно сделать следующие выводы:
Для оболочки типа 2 данная постановка задачи повлияла только на результаты при т2 = 1 и К 0: для одного и того же значения К оболочка с постоянной длиной получала меньшие максимальные перемещения и\, чем оболочка с постоянным объёмом. Для остальных случаев разница между щ для обоих задач оказалась несуществен-ной. (рис. 1.14)
Для оболочки типа 1 можно заключить следующее (рис. 1.15-1.16): при К 0 получен ная гофрированная оболочка при постоянном объёме становится жестче, чем аналогич ная оболочка постоянной длины, при К 0 оболочки с постоянным объёмом оказались мягче, чем оболочки с постоянной длиной, причём наибольшая разница между щтах двух задач происходит при К — О.Зго.
Некоторые результаты исследований влияния параметров задачи на полевые характеристики
Зафиксируем параметр К = ±0.1го, растягивающее или сжимающее усилие То = 2.2 104 Па. При расчётах длина оболочки изменялась в пределах L Є [0.1r0,7.5r0]. Результаты, представленные на рисунках 1.29-1.30, позволяют сделать вывод, что гофрированные оболочки обладают меньшими жесткостями на растяжение-сжатие, чем цилиндрическая оболочка. Кроме того, проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:
Для оболочки типа 2 справедливо утверждение: оболочка со значением К = -0.1г0 мягче, чем оболочка со значением К = О.ІГо. Вместе с тем, существует локальная точка максимума. Начиная с 777-2 = 2, образуется вторая точка максимума, причём увеличение r(z) = r„ оболочки типа 1 при различных значениях т\ количества гофров приводит к тому, что U2rnax в ней постепенно увеличивается и при ш-2 5 превосходит аналогичное значение в первой точке максимума. Кроме того, при увеличении параметра 777-2 увеличивается и длина оболочки, при которой образуется точка максимума.
Для оболочки типа 1 результаты схожи, за исключением того, что в данном случае график функции и2 (L) имеет одну точку максимума (рис.1.30):
Отметим также, что при увеличении длины для малого количества гофров (гп\,т2 4) максимальное значение осевого перемещения «2 соответствующих гофрированных оболочек при растяжении-сжатии стремится к аналогичному значению «2 цилиндрической оболочки.
Далее рассмотрим гофрированные оболочки с увеличенной амплитудой недеформирован-ной поверхности К = ±0.2го. Анализ полученных результатов подтвердил сделанные выше выводы для оболочки типа 1. В случае же, если рассматривается оболочка типа 2, увеличение параметра К привело к тому, что для т2 = 2,6 осталась лишь одна точка максимума, а для ПІ2 6 график U2rnax(L) на исследуемом участке стал монотонно возрастающим (рис. 1.31).
: Зависимость максимального значения продольного перемещения «2 от длины оболочки типа 2 для К = 0.1г0 иК = 0.2г0 где Y? — решение нелинейной краевой задачи (1.31)-(1.32), Yf — решение линейной краевой задачи (1.32)-(1.34). Оценка проводится на основе сравнения максимальных значений компоненты «2, поэтому, исходя из результатов 1.3.1, величина Л вычисляется при х = LQ. Кроме того, параллельно сравниваются полученные результаты для гофрированных оболочек с Л для цилиндрической оболочки.
Рассмотрим оболочку типа 1. Анализ полученных в ходе исследований результатов позволяет сделать следующие выводы:
При увеличении усилия Т0 и фиксированных значениях L = 2г0, К = ±0.1 г0 значение Л увеличивалось. Для цилиндрической оболочки Л « 10-5, для гофрированной оболочки «погрешность» увеличивается, так для т\ = 3 величина Л достигала значения 0.08. изменении величины Т0 и постоянных L = 2г0, К = ±0.1 г0 наибольшее значение Л 0.12 достигалось для случая т2 = 4. При уменьшении или дальнейшем увеличении т2 значение параметра Л для гофрированных оболочек уменьшалось и стремилось к значению параметра Л для цилиндрической оболочки.
При изменении амплитуды недеформированной поверхности К и длины оболочки L результаты аналогичны тем, что были получены для оболочки типа 1.
Система уравнений (1.34) является системой уравнений с переменными коэффициентами, анализ которой в большинстве случаев можно проводить лишь с помощью численных методов. Однако при условии, что К0 С 1, решение можно построить с помощью метода разложения по малому параметру.
Для определения границ изменения малого параметра К0 = К/, при которых результаты численного интегрирования отличаются от построенного аналитического решения не более чем на 2%, будем сравнивать значения перемещения u2(L). Для простоты дальнейшего изложения диапазон изменения К0, в котором полученные аналитические решения не более чем на 2% отличаются от численных результатов, будем определять [Ка,Кь].
Рассмотрим оболочку типа 1. Пусть f = L = 2r0 = 0.1 м. Из результатов, представленных в таблицах 1.14, 1.15, нетрудно увидеть, что с увеличением значения to увеличились и значения левой Ка и правой К границ изменения параметра К0. Однако данное утверждение справедливо лишь для малых ті (т\ 5). Кроме того, стоит отметить резкое уменьшение отрезка при увеличении количества гофров с т\ = 1 до т\ = 2.
Исследуем влияние длины оболочки на связь аналитического и численного решений при t0 = 1(Г4. Сравнивая аналогичные результаты в таблицах 1.15-1.17, приходим к выводу, что при постоянном растягивающем-сжимающем усилии увеличение длины оболочки приводит
Пусть f = / = 2r0, L = 1тъ Тогда значение \Ка\ с ростом количества гофров увеличивается, а значение 1 — медленно уменьшается. Увеличение длины периода в 2 раза не изменило характеры поведения границ отрезка изменения малого параметра Ко, но привело к их увеличению. Данные результаты проиллюстрированы в таблицах 1.18-1.19.
Для оболочки типа 2 результаты исследований влияния величины приложенного усилия обратные: увеличение значения t0 привело к уменьшению \Ка\ и Къ (табл. 1.20-1.21). При изменении длины оболочки типа 2 (табл. 1.21-1.24) получим выводы, аналогичные выводам для оболочки типа 1. Задача о действии гидростатического давления на оболочку с периодической структурой срединной поверхности
Метод начальных параметров
Замечание. Анализ элементов матрицы Н показал, что некоторые из них — квазипериодические, поскольку периодичность этих элементов нарушается в окрестности торцов оболочки (своеобразный краевой эффект). Поэтому для контроля точности описанного выше метода, основанного на использовании метода Флоке-Ляпунова, была проведена серия численных экспериментов для оболочек с разнообразным количеством гофров, в которых сравнивались результаты расчетов, получаемых на основе интегрирования краевой задачи (2.4)-(2.6) двумя описанными методами, а также модифицированным методом Флоке-Ляпунова, учитывающим «краевой эффект». Сравнительный анализ элементов соответствующих матриц показал, что при выбранных параметрах соответствующие элементы отличаются менее чем на 0.01%. Это указывает на то, что «краевой эффект» мало влияет на критические значения давления. Заметим, что данный метод легко обобщается на оболочки, у которых длина не кратна периоду структуры.
Замечание. Аналогичные рассуждения проводятся и в случае, если на торцах оболочки заданы условия шарнирного опирания (2.7)-(2.8).
Некоторые результаты численных исследований Рассмотрим оболочку вращения типа 1 со значением К = 0.1г0. В соответствии с описанными выше методами алгоритм отыскания наименьшего значения гидростатического давления q, при котором осесимметричное напряженно-деформированное состояние теряет устойчивость, сводится к отысканию нулей определителя при различных целочисленных значениях параметра волнообразования по окружной координате.
Для жесткой заделки торцов при т\ = 4 получено: При L = Го наименьшее критическое значение внешнего гидростатического давления q = 2.44 105 Па достигается при п = 9. Критическое значение внутреннего гидростатического давления q = 2.35 105 Па для значения параметра волнообразования по окружной координате п = 7. При L = 2го наименьшее критическое значение внешнего гидростатического давления, при котором осесимметричной напряженно-деформированное состояние теряет устойчивость, уменьшилось примерно в 5 раз: q = 5.3 104 Па при п = 7 – Критическое значение внутреннего гидростатического давления q = 5.2 104 Па при n = 8.
На рисунках 2.1-2.4 представлены формы потери устойчивости для двух из указанных случаев. Форма потери устойчивости Рисунок 2.2: Форма потери устойчивости гофрированной оболочки длиной L = г0 при гофрированной оболочки длиной L = г0 при Тої = 4 под действием внешнего Тої = 4 под действием внешнего гидростатического давления при условии гидростатического давления при условии жесткой заделки торцов (вид сбоку) жесткой заделки торцов (вид сверху) Отметим, что при исследовании устойчивости длинных оболочек вращения (L 5г0) с периодической формой срединной поверхности, метод исследования, основанный на теории Флоке-Ляпунова, оказался существенно эффективней метода начальных параметров с точки зрения временных затрат (на ПК, используемой диссертантом, численные расчеты с использованием МФЛ занимали примерно в 3.5 раза меньше времени, чем расчёты проведенные с использованием метода начальных парметров). Вместе с тем, МФЛ сравнительно простыми средствами позволил установить, что «краевой эффект» практически не влияет на величину критического давления для длинных тонких оболочек.
Моделирование указанного сильфона гофрированной оболочкой типа 1, и исследование её устойчивости в условиях жесткой заделки торцов при действии внутреннего гидростатического давления дало величину критической нагрузки, равную q = 0.8782 МПа. Данный результат отличен от представленного в [122] на 18%. Глава 3
В силу того, что система (3.6) представляет собой систему дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, для нахождения собственных частот крутильных колебаний, кроме стандартного метода пристрелки, применялся метод Флоке-Ляпунова.
Постановка задачи предполагает исследование влияния длины L, амплитуды недеформи-рованной поверхности К оболочки и количества гофров на собственные колебания гофрированных оболочек. Однако если в качестве параметра обезразмеривания выбрать не толщину, а длину, то зависимость ш(В) определяется выражением
Была проведена серия вычислений для первых пяти собственных частот в зависимости от параметров К и Тої. Результаты численных исследований позволяют сделать вывод, что характер кривой П(К) зависит от количества периодов гофрированной оболочки. Так, для оболочки типа 1 (рис. 3.1-3.4):
При Тої = 1 зависимость первой собственной частоты Q\ от параметра К на отрезке К Є [-0.8го,0.8го] имеет монотонно убывающий характер. Кривые остальных частот немонотонны, при К 0 функции Qiti ф 1 обладают точкой локального минимума, которая с увеличением номера частоты достигается при большем значении \К\. При Тої = 2, в отличии от Тої = 1, монотонным поведением характеризуется уже функция П2(-Ю, в то время как для остальных собственных частот наблюдается немонотонный характер, причём точка локального минимума существует для частот Qi} і = 3,4,5. Дальнейшие исследования позволяют сделать вывод, что при изменении амплитуды гофра К, зависимости fli(K) для г ф т\ немонотонны, при этом более высокие частоты обладают локальной точкой минимума при К 0, а низкие частоты — точкой максимума при К = 0 (цилиндрическая оболочка). Увеличение параметра Тої приводит к «прижиманию» кривых Q(K) к вертикальной оси, отвечающей К = 0.
Некоторые результаты исследований
Для проверки сделанных выводов было проведено аналогичное исследование для оболочек с К = ±0.2го. Анализ результатов, представленных на рисунках 1.46-1.47, подтверждает сказанное выше. Можно сделать вывод, что увеличение амплитуды привело к уменьшению жесткостных характеристик гофрированных оболочек. Кроме того, точки максимума функции Щтах(Ь) появляются при большем значении параметра L.
Замечание. Выше приведены результаты исследований в случае, когда на торцах оболочки выполняются условия жесткой заделки (1.42). Если же имеют место граничные условия типа шарнирного опирания (1.43), то сравнение результатов двух задач позволяет сделать следующие выводы:
Для оболочки типа 1 разница между значениями щтах двух краевых задач (1.41)-(1.42) и (1.41),(1.43) отлична от нуля для оболочек, длина которых L Є [0.1r0,2r0]: максимальные радиальные перемещения щ оболочки с жесткой заделкой торцов меньше, чем у оболочки, для которой при х = 0,1/ выполняются условия шарнирного опирания. Увеличение амплитуды недеформированной поверхности К приводит к увеличению указанной разницы. Стоит отметить, что для оболочки с граничным условием (1.43) с увеличением тг и К у графика функции щ (L) образуется точка минимума на отрезке L Є [O.lro,r0]
Рассматривая оболочку типа 2 при К = ±0.1г0, обе исследуемые краевые задачи (1.41)-(1.42) и (1.41),(1.43) давали практически одинаковые значения щ . Увеличение ам - max плитуды приводит к увеличению разницы только для оболочки с тг = 1. Причём в случае К 0 кривые Щтах(Ь) двух задач заметно отличались лишь на отрезке L Є [0.1r0,2r0], а для оболочки со значением К 0 - на всём отрезке изменения длины (L Є [O.lro,7.5г0]). Данные гофрированные оболочки в условиях шарнирного опирания торцов оказались мягче, чем аналогичные оболочки при жесткой заделке.
Рассматривается гофрированная оболочка вращения, радиус срединной поверхности которой задаётся одним из выражений (1.13)-(1.14).
С целью оценить влияние нелинейных слагаемых в системе (1.41) на напряженно-деформированное состояние гофрированной оболочки, введём параметр «погрешности» Л решение линейной краевой где Kf - решение нелинейной краевой задачи (1.41)-(1.42), У2Л задачи (1.42),(1.44). Оценка проводится на основе сравнения максимальных значений компоненты щ. Отметим, что во всех описываемых ниже случаях установлено, что Л 1%. Это свидетельствует о том, что в выбранном диапазоне изменения параметров для анализа поведения гофрированной оболочки вместо нелинейной задачи можно рассматривать линейную.
Учитывая (2.9), граничные условия (2.6) можно сформулировать следующим образом Y,CtttJ(Lo) = 0, J = 1-4 (2.10) г=1 где Uj — J-ая компонента решения tj. Таким образом, задача о существовании нетривиальных решений краевой задачи (2.4)-(2.6) свелась к вопросу существования нетривиальных решений однородной алгебраической системы (2.10),а следовательно, к задаче поиска нулей определителя этой системы.
Данный метод опирается на теорию Флоке-Ляпунова для обыкновенных дифференци-альных уравнений с периодическими коэффициентами [120,121].
В предположении, что все коэффициенты матрицы Н уравнения (2.4) являются периодическими функциями переменной х, алгоритм определения критических значений нагрузки состоит из следующих этапов:
Критические значения параметра p, при котором исходная форма теряет устойчивость, определяется из условия обращения в ноль детерминанта этой системы.
Замечание. Анализ элементов матрицы Н показал, что некоторые из них — квазипериодические, поскольку периодичность этих элементов нарушается в окрестности торцов оболочки (своеобразный краевой эффект). Поэтому для контроля точности описанного выше метода, основанного на использовании метода Флоке-Ляпунова, была проведена серия численных экспериментов для оболочек с разнообразным количеством гофров, в которых сравнивались результаты расчетов, получаемых на основе интегрирования краевой задачи (2.4)-(2.6) двумя описанными методами, а также модифицированным методом Флоке-Ляпунова, учитывающим «краевой эффект». Сравнительный анализ элементов соответствующих матриц показал, что при выбранных параметрах соответствующие элементы отличаются менее чем на 0.01%. Это указывает на то, что «краевой эффект» мало влияет на критические значения давления. Заметим, что данный метод легко обобщается на оболочки, у которых длина не кратна периоду структуры.
Замечание. Аналогичные рассуждения проводятся и в случае, если на торцах оболочки заданы условия шарнирного опирания (2.7)-(2.8).
Рассмотрим оболочку вращения типа 1 со значением К = 0.1г0. В соответствии с описанными выше методами алгоритм отыскания наименьшего значения гидростатического давления q, при котором осесимметричное напряженно-деформированное состояние теряет устойчивость, сводится к отысканию нулей определителя при различных целочисленных значениях параметра волнообразования по окружной координате.
Отметим, что при исследовании устойчивости длинных оболочек вращения (L 5г0) с периодической формой срединной поверхности, метод исследования, основанный на теории Флоке-Ляпунова, оказался существенно эффективней метода начальных параметров с точки зрения временных затрат (на ПК, используемой диссертантом, численные расчеты с использованием МФЛ занимали примерно в 3.5 раза меньше времени, чем расчёты проведенные с использованием метода начальных парметров). Вместе с тем, МФЛ сравнительно простыми средствами позволил установить, что «краевой эффект» практически не влияет на величину критического давления для длинных тонких оболочек.