Введение к работе
Актуальность темы. В задачах теории упругости существуют сингулярные
решения, связанные с появлением бесконечных значений напряжений в особых точ
ках. К последним относятся точки границы тела, в которых имеет место нарушение её
гладкости, смена типа краевых условий или контакт различных материалов. Пробле
ма построения сингулярных решений в окрестности особых точек привлекла внима
ние многих исследователей. Для двумерных и трёхмерных задач линейной теории уп
ругости рассмотрены различные варианты особых точек. Важные результаты по дан
ной тематике были получены А. В. Андреевым, В. А. Бабешко, И. И. Воровичем,
Е. В. Глушковым, Н. В. Глушковой, Р. В. Гольдштейном, И. Т. Денисюком,
А. И. Каландия, В. А. Кондратьевым, А. М. Линьковым, В. Г. Мазья, В. П. Матвеенко,
С. Е. Михайловым, В. И. Мусхелишвили, Л. В. Степановой, С. П. Тимошенко,
К. С. Чобаняном, Г. И. Эскином, D. В. Bogy, A. Carpinteri, J. P. Dempsey, J. Dundurs, J. W. Eischen, F. Erdogan, E. E. Gdoutos, H. Koguchi, S. S. Pageau, M. Paggi, C. R. Picu, G. B. Sinclair, P. S. Theocaris, Т. C. T. Ting, M. L. Williams. Достаточно полно результаты, достигнутые в этой области, представлены в зарубежных обзорных статьях. Следует отметить, что в этих обзорах отсутствуют сведения о многочисленных работах российских механиков, и поэтому они не могут претендовать на корректное отражение вклада конкретных авторов в рассматриваемую проблему. В некоторой степени компенсировать это помогают диссертационные работы С. Г. Минаковой и Т. О. Накаряковой, в которых содержатся подробные литературные обзоры монографий и статей, связанных с рассмотрением и изучением теоретических аспектов проблем построения сингулярных решений для различных задач теории упругости, а также особенностей численной реализации методов исследования напряжений в окрестностях особых точек.
Анализ литературы и указанных обзоров позволяет сделать заключение, что отсутствуют работы, в которых систематизированы достигнутые результаты. Имеются определённые проблемы, связанные с анализом сингулярности напряжений в анизотропных телах при прямолинейной анизотропии, в трёхмерных телах. Имеются только единичные результаты, вне рамок классической теории упругости, в частности, полученные при использовании моделей несимметричной теории упругости. С развитием технологий получения и практических приложений функционально-градиентных материалов (ФГМ) возник интерес к исследованиям сингулярных решений в окрестности особых точек упругих тел с функционально-градиентными свойствами. Работы в этой области единичны и не имеют общего характера.
Анализ сингулярных решений и инженерный опыт позволяют сделать вывод, что окрестности особых точек, как правило, являются зонами сильной концентрации напряжений. В связи с этим сингулярные решения имеют большое значение для практических приложений. Однако в ряде прикладных разделов учёту существования сингулярных решений не уделяется должного внимания. Например, такая ситуация имеет место в методиках определения прочности клеевых соединений. Следует отметить, что наличие или отсутствие сингулярного решения и поведение напряжений определяются геометрией тела и значениями упругих постоянных в окрестности особой точ-
ки. Исходя из этого, естественной и актуальной становится задача поиска геометрии и свойств материала, которые обеспечивают в окрестности особых точек оптимальный вариант напряжённого состояния. В данном направлении имеется достаточно много экспериментальных и численных работ, в которых для частных задач анализируются и сравниваются различные варианты геометрий в окрестности особых точек. Постановка общей задачи оптимизации геометрии и свойств материала в окрестности особых точек, решение различных задач оптимизации с целью обобщения численных результатов являются актуальными как с математической точки зрения, так и для различных приложений.
Исследования, проведённые в данной работе, относятся к разделу 23 «Механика деформирования и разрушения материалов, сред, изделий, конструкций, сооружений и триботехнических систем при механических нагрузках, воздействии физических полей и химически активных сред» Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2013–2020 годы. Представляемая работа выполнена в рамках государственного задания Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук. Часть результатов была получена при выполнении проектов РФФИ №№09-08-99127, 11-01-96017-р_урал_а, 12-01-31007 мол_а, 16-31-00245 мол_а.
Целью диссертационной работы является получение новых решений задач о напряжённо-деформированном состоянии в окрестности особых точек упругих тел, в том числе с функционально-градиентными и анизотропными свойствами, с учётом моментного поведения материала; постановка и решение задач оптимизации геометрии и свойств материала в окрестности особых точек упругих тел.
Научная новизна.
-
Получены аналитические и численные решения, позволяющие оценить поведение напряжений в окрестности особых точек упругих тел с функционально-градиентными свойствами.
-
Разработан численный алгоритм, позволяющий получить порядок степенной зависимости напряжений в окрестности особых точек изотропных и анизотропных упругих тел для двумерных и трёхмерных задач классической и несимметричной теорий упругости.
-
Поставлена задача оптимизации геометрии и свойств материала в окрестности особых точек упругих тел и разработан алгоритм её численной реализации.
-
Установлены общие свойства для геометрии и упругих характеристик материала, при которых реализуются оптимальные варианты напряжённого состояния в окрестности особых точек.
Практическая значимость определяется использованием алгоритмов, разработанных для решения задачи оптимизации геометрии и свойств материала в окрестности особых точек; применением установленных общих свойств оптимальных решений для снижения концентрации напряжений; рекомендациями по совершенствованию методики определения прочности клеевых соединений.
Методология и методы исследования. Построение аналитическими методами собственных решений задач теории упругости для клиновидных областей и анализ на их основе поведения напряжений в окрестности особых точек. Разработка и исполь-
зование алгоритмов метода конечных элементов для решения задач теории упругости при наличии особых точек. Решение оптимизационных задач методами нелинейного математического программирования.
Положения, выносимые на защиту.
-
Численный алгоритм, позволяющий получать результаты о поведении напряжений в окрестности особых точек упругих двумерных и трёхмерных тел, выполненных из изотропных и анизотропных материалов, при использовании моделей классической и несимметричной теорий упругости.
-
Аналитические и численные результаты решения задачи о поведении напряжений в окрестности особых точек упругих тел, выполненных из функционально-градиентных материалов.
-
Постановка и алгоритм численной реализации задачи оптимизации геометрии и свойств материала в окрестности особых точек упругих тел.
-
Результаты решения задач оптимизации геометрии и параметров материала в окрестности особых точек упругих тел, в том числе с функционально-градиентными свойствами.
-
Демонстрация эффективности использования установленного свойства оптимальных решений в окрестности особых точек для снижения концентрации напряжений на поверхности соединения различных материалов, в том числе в клеевых и адгезионных соединениях.
Достоверность полученных результатов подтверждена численными экспериментами по оценке сходимости конечно-элементного алгоритма, сопоставлением с существующими аналитическими решениями, имеющимися исследованиями других авторов и сравнением отдельных результатов с экспериментальными данными.
Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Всероссийских конференциях молодых учёных «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 2009, 2010, 2011, 2012), Всероссийской научно-практической конференции молодых учёных «Современные проблемы математики и её прикладные аспекты» (Пермь, 2010), VI и VII Российских научно-технических конференциях «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» (Екатеринбург, 2010, 2012), VII Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010), II Международной конференции по инженерно-технической оптимизации «ENGOPT2010» (Португалия, Лиссабон, 2010), на XVII, XVIII и XIX Всероссийских Зимних школах по механике сплошных сред (Пермь, 2011, 2013, 2015), V Всероссийской научно-технической конференции «Ресурс и диагностика материалов и конструкций» (Екатеринбург, 2011), 39-й и 40-й Международных летних школах-конференциях «Актуальные проблемы механики» (Россия, Санкт-Петербург, 2011, 2012), Научно-практической конференции молодых учёных «Актуальные проблемы математики, механики, информатики» (Пермь, 2012), I Всероссийской научно-технической интернет-конференции студентов и молодых учёных «Прикладная математика, механика и процессы управления» (Пермь, 2013), V Европейской конференции по вычислительной механике «ECCM V» (Испания, Барселона, 2014), II Греко-российском симпозиуме по механике твёрдого тела и разрушению (Греция, Ксанти, 2015), XI Всерос-
сийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 2015).
Личный вклад автора. Постановки задач (совместно с научным руководителем), численные и аналитические методы исследования поведения напряжений в окрестности особых точек упругих тел из ФГМ, идея алгоритма для получения порядка степенной зависимости напряжений в окрестности особых точек, разработка и реализация программ на ЭВМ, проведение вычислений, анализ результатов.
Публикации. По теме диссертации опубликована 31 работа, включая 4 статьи в рецензируемых журналах из Перечня ВАК [1-4], 9 статей в прочих журналах, сборниках научных трудов и материалов конференций, 18 тезисов конференций. Публикации [2-4] входят в базы цитирования Web of Science и Scopus.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы (194 наименования). В работе приводятся 82 рисунка и 18 таблиц. Общий объём диссертации составляет 172 страницы.