Введение к работе
Актуальность проблемы.
В связи с широким внедрением численных методов в практику
решения краевых задач механики «.лошной среды важной задачей яв
ляется задача повышения достоверности к надежности результатов л
численного решения прикладных задач. Фактически эта проблема «_.
сводится применительно к краевым задачей эллип -лческого типа,»
релониг следующих вопросов.' ..
- Получение абсолютно устойчивых численных схем решения,
т.е. схем решения, в которых чисдр,обусловленности конечномерны*
аппроксиикруюших операторов ограничены в совокупности при.любой/
какой угодно большой дискретиэо"чи области или границы.>
...- -.Рассмотрение краевых задач в более широких функциональных
-?-
пространствах, позволяющих оценивать влияние на решение неполно-ти или не::, гора Я 'неопределенности в задании исходных двнных крае-ьой задачи, тторая часто суисстЕуїт при реальной постановке прикладных зпдач.
Получение апостериорной оценки абсолютной погрешности приближенного рєиения краевой ЛЯП.ПЧИ.
Построение операторов 'преобразований последовательности приближенных рбаениЯ, сходящихся к точному d одної* норме, к по-
ледорз-слычости приниженнях решений, сходящихся к точному в Солее ссльно'І нормо.
Решение этого комплекса вопросов для краевых задач упругости оказывается воаножниц только на основе некоторых ИУ, которые со- поотов^я'ітоя кранцу зндгншм. Ото позволяет по новому, оценить важность и перспективность использования метода ИУ в краевых задачах механики сг;;оішо;і среди і: в теории упругости в частности. Возможность положительного решения этих вопрс-ов хотя бы для некоторых классов краеьнх задач упругости обеспечивает повы здие надетсности и дистогерности их численного ресения и.этим определяет актуальность постпялекной проблемы.
Научная новизна.
- Построен и исследован новый класс интегральных ураБнениЙ -
ИУ с положительно определенном,ограниченным, самосопряженным
оперэтором для краеочх задач плоской и осесимметричной упругости,
плоского и оезеимметричного потенциала, задач кручения для тел
вращения е нек^ассической постановке в областях с кусочно-глад
кой греницей. Этот класс № является классом некоторых бисингу-
яярних ЫУ с достаточно силыпа'и оьойстбами, не уступяоиих свой
ствам канонических уревнєн;:Я їредгольма. Теория этих Ж' автоном
на, не опирается не. результаты їредгольма, Нетера и их обобщения
в теории ИУ, 7 е. полученные результаты имеют научную новизну и
с методической точки лренич.
На осиорє лолучешіих ИУ проведено исследогание краевых задач упругости в некласешгсеко!» постановке в новых ',|:улкцксналь~ кых пространствах.
Иолученч НОВЫе КОЛИЧеСТВЄННЬ'е апрчорние ОЦенКИ, СВЯЗКРЗ'Э-
шие нормы известных -и неизвестных данных на границе области, причем для коэ^фьцленток р неравенствах дается прост:'.> геометрический способ их численного нахождения.'Новым являете:-: л спсгоС' получения' этих оцриорнух оценок.
-%
/
- Новыми являются ре.\ ультпты об аппроксимации полученных
ИУ в конечномерном пространстве, которые сводятся к ззиясненйю
достаточно сильного результата, связанного с ограниченностью в
совокупности чисел обусловленности конечномері'. х аппроксимирую
щих операторов.
Достоверность полученных результатов осыпана на изложении всего материала диссертации в веде последовательности тесрек, для каждой из которых приведено строгое математическое доказательство. Практическая возможность использования полученных ИУ проверена при численном решении ряда задач.
Практическую ценность работы составляет комплекс методик по количественной априорной оценке решения краёвчх задач упругости, позволяющий получать инженерные оценки некоторих интегральных характеристик решения до его численного получения, а такяе оцениу погрешности приближенного решения краевых задач, комплекс програми по численному решению полученных НУ. Часть методик внедрена в расчетную практику, ряда проентно-конструїггорских организаций.
Па зашиту выносятся следующие основные результаты диссертации:
новый класс интегральны,:'уравнений краевых задач упругости в неклассическоя постановке - ИУ с полокителько определенны», ограниченным, самосопряженным оператором;
Теория краесых задач упругости в неклассической постановке, когда решение ищется в достаточно широком функциональном пространстве;
свойства конечномерных аппроксимирующих операторов для полученного класса ИУ;
количественные априорные оценки краеаых задач упругости, связывающие известные и неизвестные данные краевой задачи на границе и метод получения таких оценок.
Апробьціія работы. Результаты диссертационной работы докладывались но следующих конференциях: Всесоюзная школа-семинар по ЬЩГГ, %ЯСышев, І9?7; УШ Всесоюзная конференция по Прочности и пластичности, Иерм^, 1963; .еспуСлиханскиа иаузьо-техкическиа конференции, Томск, I9QI, 1963; УІ Всесопзная школа "Теоретические основы ь конструирование численных Алгоритмов решения задач математической фпкяи", Гсрькип, 1986; І, ІУ, У Всесовзы'Я семи-
л-
нвр "Методы граничных интегральных 'уравнений", Душино, 1964, Г987, 1968; П Всесоюзная конференция по теории упругости, Тбилиси, 1934; 1У Всесоюзная конференция "Смешанные задачи ИДЕТ", Одесса, 1989; XI Всесоюзная конференция "Численные методы решения аядач теории упругости и пластичности", Волгоград, 1989.
Диссертационная работа обсуждалась на семинаре под руководи
ствсм проф. д.ф.-м.н. Александрова В.И. .Листитут проблей меха
ники РАЙ, Москва, 1994), на семинаре под руководством чл.-корр. -
РАН проф. Ильюшина А \., МГУ, 1994, на семинаре год руководсг-
вом проф. д.ф.-и.н. Ливанова И.К. и проф. д.ф.-и.н. Захарове
В.Е., МГУ, 1994. - - ' -;
Основные результаты работы отражены в 34 публикациях, в Том'
числе! одной монографии. .
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глаь, заключения, списка литературы. Обший объем - 381 стр., в том числе 3132 стр. основного текста, 15 стр. с иллюстрациями, список литературы включает 154 наименования.