Введение к работе
Актуальность темы
Многие актуальные проблемы техники, такие как исследование сейсмостойкости сооружений, разведка полезных ископаемых, проектирование и эксплуатация конструкций в условиях динамического нагружения, совершенствование моделей неразрушающего контроля, требуют решения динамических задач теории упругости для слоистых структур с дефектами различной структуры (включения, поры, полости, микротрещины), своевременная диагностика которых позволяет выявлять опасные с точки зрения механики разрушения дефекты. Поскольку большинство современных конструкционных материалов и грунтов являются анизотропными (ортотропными), то моделирование волновых процессов в слоистых средах с дефектами в рамках модели ортотропного упругого тела весьма актуально.
Многие аспекты волновых процессов могут быть изучены на основе исследования математических моделей, которые базируются на решениях краевых задач о колебаниях анизотропного слоя с дефектами различной природы: полости, включения, а также задач об определении конфигурации дефекта и его месторасположения по информации о полях перемещений на поверхности слоя.
С точки зрения причинно-следственной связи задачи о колебаниях упругих тел с полостями принято разделять на два класса. Первый – класс прямых задач, целью которых является определение волнового поля в упругом теле с известной геометрией полости на основе заданных граничных условий. Второй класс – это обратные задачи (ОЗ), в которых требуется по известным полям смещений, заданным на части границы области, определить местоположение и конфигурацию полости. В последнее время методы решения ОЗ, которые являются нелинейными и некорректными, активно развиваются, что связано с моделированием различных динамических процессов на основе моделей теории упругости (дефектоскопия, геофизика, сейсморазведка).
Одним из наиболее эффективных методов решения стационарных задач о колебаниях тел с полостями, особенно неканонической формы, является метод граничных интегральных уравнений (ГИУ), позволяющий снизить размерность исследуемых задач на единицу. К настоящему моменту решения задач о колебаниях упругих тел, ослабленных дефектами, изучены достаточно подробно и в основном опираются на метод сведения исходной краевой задачи к системе ГИУ и на исследование его дискретного аналога – конечномерной алгебраической системы, построенной на основе метода граничных элементов (МГЭ). Однако обратные задачи о реконструкции параметров полости по некоторой информации о полях перемещений на части границы упругого тела исследованы недостаточно.
Изложенное выше определяет актуальность и практическую значимость работы.
Цель работы состоит в разработке эффективных численно-аналитических методов исследования прямых и обратных задач динамической теории упругости для ортотропного упругого слоя с полостью произвольной конфигурации,
Методика исследования прямых задач базируется на сведении исходных краевых задач к системам ГИУ на основе обобщенной теоремы взаимности и построении функции Грина для слоя, численный анализ которых осуществлен при помощи идей МГЭ. Обратная задача идентификации полости сведена к решению системы нелинейных операторных уравнений, содержащей как сингулярные, так и вполне непрерывные операторы I-го рода. Дальнейшее исследование полученной системы произведено на основе двух подходов. Один из них состоит в построении итерационного процесса на основе метода линеаризации исходных нелинейных уравнений системы в окрестности некоторого начального положения полости. Второй подход основан на методе регуляризации на (компактных) конечномерных множествах. Такой подход может быть реализован при наличии некоторой априорной информации, например, что контур полости описывается алгебраической кривой -го порядка. Таким образом, решение обратной задачи сводилось к нахождению коэффициентов алгебраического или тригонометрического многочлена -го порядка. Поиск таких параметров осуществлялся из условия минимума неквадратичного функционала невязки в конечномерном евклидовом пространстве.
В работе помимо реализаций, основанных на идеях ГИУ, предложен также асимптотический подход к исследованию прямой и обратной задач о колебаниях ортотропного слоя с цилиндрической полостью, поперечное сечение которой – окружность малого размера по сравнению с толщиной слоя. Определена область применимости асимптотического подхода и приближения Борна.
Достоверность результатов, полученных в работе, основана на строгом аппарате математической теории упругости, на корректном сведении краевых задач для слоя с цилиндрической полостью произвольного поперечного сечения к системам ГИУ, на их численном и асимптотическом анализе. Полученные результаты в настоящей диссертационной работе подвергались проверке путем сравнения с результатами, полученными иными способами. Проведено сравнение полученного асимптотического решения с решением прямой задачи на основании метода граничного элемента для различных вариантов дискретизации систем ГИУ, позволившее установить границы применимости ГЭ аппроксимации, асимптотических теорий при решении как прямых, так и обратных задач.
Научная новизна результатов работы
Развиты численные методы решения прямых и обратных задач о колебаниях ортотропного слоя с полостью произвольной формы на основе МГЭ, впервые получены формулы расчета полей смещений при установившихся колебаниях ортотропного упругого слоя с цилиндрической полостью кругового поперечного сечения на основе асимптотического подхода, осуществлена оценка их применимости и приближения Борна.
Практическая ценность результатов настоящего исследования состоит в развитии метода ГИУ, методов идентификации полостей малых характерных размеров, исследовании области применимости различных прикладных теорий, выявлении зависимости восстановления геометрии контура от частоты зондирования и расположения точек зондирования на поверхности слоя.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на Х, XI международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов–на–Дону, 2006 г., 2007 г.), на IV, V международной научной конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела» (г. Донецк 2006 г., 2008 г.), на III и IV школах-семинарах «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (г. Ростов-на-Дону, г. Краснодар 2004, 2007 гг.), на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ (РГУ)
Публикации
По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе две статьи [2], [4] в журналах: «Экологический вестник научных центров черноморского сотрудничества (ЧЭС)», «Дефектоскопия» (2006 г.), которые входят в , рекомендованный ВАК РФ.
Структура содержание и объем работы
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 155 наименований, приложения, включающего 21 рисунок и 9 таблиц общим объемом 140 страниц машинописного текста.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта: 05–01–00734), гранта Президента РФ для поддержки молодых ученых и ведущих научных школ НШ–2113.2003.1.