Введение к работе
^-^ *
Напряжённое состояние линейнодеформируемых тел описывается сложной системой дифференциальных уравнений. Одним из способов интегрирования этих уравнений заключается в представлении разыскиваемых функций через решения более простых уравнении. По понятным причинам выбирались гармонические и бигармонические функции. К таким общим решениям однородных уравнений теории упругости относятся хорошо известные представления П.Ф. Папковича-Нейбера ( гармонические вектор и скаляр ), Б.Г. Галеркина ( бигармонический вектор ), Лява для осесимметричного распределения напряжений ( бигармоническая функция ).
Менее изеєстннм является разделение уравнений Ламе в обобщённо' цилиндрической системе координат проведенное С.Г. Гутманом с представлением общего решения в виде суммы решешгй первого и второго рода ( названия введены С.Г. Гутманом ). Решение первого рода определяется бигармонической функцией и не содержит так называемого нормального вращения вектора деформаций, у решения второго рода, описываемого гармонической функцией, дивергенция деформаций равна нулю.
О развитием вычислительной техники при решении задач теории упругости на первое место выдвинулись прямые численные методы ( методы конечных и граничных элементов ), вместе с тем роль общих решений остаётся довольно значительной при выяснении качественных особенностей напряжённого состояния тела, получении модельных решений, в постановке общих нестандартных задач теории упругости.
В частности такие нетрадиционные задачи возникают в -І-
относительно новой области экспериментальной механики интегральной фотоупругости . Она занимается определением внутренних напряжений в прозрачных трёхмерных объектах на основе измерения параметров поляризованного света, прошедшего через исследуемый образец ( метод сквозного просвечивания ).
По способу проведения измерений ( просвечивание проводится в
системе параллельных плоскостей ) интегральная фотоупругость
может быть отнесена к томографии. Вместе с тем характерные
особенности интегральной фотоупругости делают ее намного
сложней : I) просвечивание проводится поляризованным светом и на
каждом луче возможно измерение трех параметров; 2) из измерений
подлежит реконструкции поле напряжений - тензорная величина,
определяемая в каждой точке шестью компонентами; 3) компоненты
тензора напряжений входят в измеряемые величины сложным
нелинейным образом, измерение линейных интегральных величин
напряжений возможно только в особых случаях. Вследствие этих
особенностей реконструкция напряжений томографическим способом не
возможна без привлечения априорной информации : уравнений
равновесия, совместности, граничных условий, особеностей
распределения напряжений. Поэтому в интегральной фотоупругости
определение напряжений проводится из совместного решения задач
обращения лучевых интегралов и те.ории упругости. (-.
Основу метода составляет теория характеристических направлений Х.К. Абена, ему же принадлежит постановка основных задач интегральной фотоупругости и решения их на примере реконструкции осесимметричных напряжений в телах вращения.
Излагаемый в диссертации материал в основном посвящен развитию методов определения осесимметричных напряжений на случай произвольного их распределения. Это обобщение связано с постановкой, анализом и решением задач теории упругости,
возникающих в результате использования уравнении равновесия и
СОСТОЯНИЯ ИССЛеДуеМОГО Объекта. Приведем формулировки ЗТИХ Задач.
Послойное определение напряжений основывается на томографическом измерении параметра изоклины и относительной разности хода. Распределение напряжений удовлетворяет условиям применения линейных лучевых интегралов : либо отсутсчву-т вращение квазиглавных направлений на луче, либо оптическая анизотропия является очень слабой. При реконструкции напряжений используются уравнения статики и соответствующие граничний условия на боковой поверхности исследуемомго образца.
Задачу в такой постановке в дальнейшем будем именовать задачей оптической томографии тензорного поля напряжений. Ее исследованием занимались В.А. Шарафутдинов ( в случае очень слабой оптической анизотропии ), Т. ЛЬе ( для определения остаточных напряжений в заготовках световодов ). Возможности определения напряжений в этой задачи ограничиваются нахождением компоненты тензора напряжений, ортогональной к плоскости просвечивания.
При исследовании линейнодеформируемых образцов возможности метода расширяются привлечением уравнений совместности деформаций. Дополнительная информация о напряжениях получается в результате решения возникающей при этом задачи теории упругости. Эту задачу в дальнейшем Оудем называть задачей упругости оптической томографии.
Другая задача теории упругости возникает в предположении, что остаточные напряжения в объекте носят температурный характер ( гипотеза эффективной температуры остаточных деформаций ). Ее в дальнейшем будем называть обратной задачей термоупругости оптической томографии. Частное ее решение для случая плоской деформации с осесимметричным распределением напряжений приводит к закону суммы, который широко используется для полного определения
напряжений в заготовках световодов.
Постановка, анализ и решение этих задач в диссертации основывается на системном использовании функций напряжений. Актуальность темы. Интегральная фотоупругость применяется для исследования напряжённых состояний на прозрачішх моделях, в конкретных прозрачных изделиях. В последнее время методы интегральной фотоупругости всё больше находят применение в связи с развитием оптических устройств передачи и обработки информации. Потребности бурно развивающейся промышленности волоконной оптики стимулировали создание оптических томографов, позволяющих проводить просвечивания в относительно широком луче, обеспечивая измерения параметров поляризованного света в достаточно высоком слое.
Неоднородность упругих свойств ( непрерывная и дискретная ) всё чаще присутствует в современных оптических деталях как в качестве конструкционных особенностей- для улучшения их эффективности, так и вследствие нестабильности технологических процессов.
Необходимо отметить, что при реконструкции напряжений в объёмных моделях до последнего времени в основном ограничивались телами вращения с осесимметричным распределением напряжения, что не в последнюю очередь связано с .неразработанностью задач теории упругости, возникающих в интегральной фотоупругости. Использование функций напряжений в этих задачах, как показано в диссертации, позволяет существенно расширить область применения интегральной фотоупругости. Кроме того значение и возможности применения функций напряжений в теории упругости неоднородных сред до настоящего времени полностью не исследованы.
Целью настоящей работы является развитие томографических методов интегральной фотоупругости на основе системного применения
-Ч-., -
теории функций напряжений, включающей в себя:
1. Развитие теории интегральной фотоупругости в рамках
модели очень слабой оптической анизотропии.
2. Разработка математического аппарата для полного
определения напряжений на основе экспериментальных данных,
померенных методом интегральной фотоупругости.
3. Исследование влияния неоднородностей упругих свойств в
задачах интегральной фотоупругости.
-
Изучение возможности применения интегральной фотоупругости к определению напряжений в монокристаллах.
-
Исследование применимости методов интегральной фотоупругости в акустоупругости.
Научная новизна. Наиболее существенные новые результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту, состоят в следующем:
I- Получено решение уравнений фотоупругости с точностью до членов четвёртого порядка малости. На основе этих решений изучены пределы применимости приближения очень слабой оптической анизотропии, лежащей в основе линейных лучевых интегралов интегральной фотоупругости.
2. С помощью редукции лучевых интегралов модели очень слабой оптической анизотропии проведено разделение, связанной задачи интегральной фотоупругости на задачу оптической томографии тензорного поля напряжений и задачу упругости оптической томографии.
Задача оптической томографии тензорного поля напряжений фактически определяет только компоненту тензора напряжений, нормальную к плоскости просвечивания, а её решение сводится к стандартной процедуре обращения преобразования Радона. Дополнительное ' измерение абсолютной разности фаз
неполяризовавного света позволяет, ограничиваясь только уравнениями равновесия, восстановить напряжённое состояние, определяемое; решением первого рода.
-
Е приближении очень славой оптической анизотропии для модели линейно деформируемого тела сформулирвана и исследована задача упругости оптической томографии. Рассмотрено её* решение на нркмаре круглого) милавдра.
-
В рамках модели эффективной температуры остаточных деформаций сформулирэеаии обратные- задачи термоупругости оптической томографии а) при плоской деформации образца, о") при произвольном распределений напряжений для случая очень слабой оптической анизотропии. Предложен эффективный алгоритм решения этой задачи дда случив плоской деформации образца с круглым сечением
5ч Проведено разделение уравнений теории упругости трансверсально-изотропной среда, когда оба коэффициента упругости Зйвк&сяя только от ' координати, ортогональной к плоскости изотропии, а остальные коэффициенты могут зависеть от' трёх координат.
Б случае сферически траесверсально-изотропной среды разделение уравнений осуществлено при условии, что оба коэффициента сдвига только функции радиуса. При переходе к изотропному телу вышеупомянутые ограничения разделения уравнений накладываются на коэффициент жёсткости, в то время как коэффициент Пуассона может зависеть от трёх координат. Рассмотрены различные формы представления разрешающих уравнений, их элементарные решения. Выделены законы неоднородностей, позволяющие построить решения в явном виде методом разделения переменных. Рассмотрены простейшие численные метода их решения.
Результаты исследования позволяют выделить виды неоднородностей в объектах и способы их просвечивания, при
- б -
которых применимы мотодц реконструкции напряжений, разработанные
для однородных тел в интегральной фотоупругости.
G. Создан ряд методов, позволяющих для разных частных случаен
полностью определить трехмерное поле напряжений.
7..Для модели линеаризованной пятиконстантной теории упругости
методом квазиизотропного приближения геометрической акустики
получены уравнения двулучепреломления квазипоперечных волн.
Полученные уравнения по форме совпадают с аналогичными
уравнениями фотоупругости, что позволяет в теоретическом плане
разработать метод интегральной акустоупругости.
Отметим, что практическое применение в акустоупругости этой теории в настоящее время встречает трудности измерительного характера.
Таким образом на основе применения функций напряжений разработаны теоретические основы томографического направления интегральной фотоупругости.
Практическая ценность результатов диссертации состоит в существенном расширении возможностей реконструкции напряжений методом интегральной фотоупругости.
Среди приложений результатов диссертации отметим использование интегральной фотоупругости для определения остаточных напряжений:
а) В заготовках световодов произвольного сечения с произвольным распределением напряжений и упругих оеойств по сечению. С одной стороны это позволяет контролировать и оптимизировать технологический процесс и конструкцию ззготовок, с другой -прогнозировать внутрешпю напряжения в самих световодах. Как показывают исследования имеется относительно простая связь между напряжениями в световодах и их заготовках. Предположения эффективной температуры остаточных деформаций, в рамках которых
проводится реконструкция напряжения в заготовках, для стекла
прошли многочисленную экспериментальную проверку и оправдываются
с высокой степенью точности. Сам метод и разработанный алгоритм
прошёл проверку при реконструкции напряжений в заготовке
световода типа bow-tie, предоставленной для исследований
Институтом химии стекла и керамических материалов Чехословацкой
Академией Наук.
в) В длинных призматических монокристаллах кубической структуры,
ось которых совпадает с главным кристаллографическим
.направлением.
с) В стеклянных моделях с плавноизменяющимися параметрами.
Апробация работы. Основные результаты докладывались на симпозиумах, семинарах и конференциях:
Научный семинар. Проблемы численной реализации метода потенциала в автоматизированных расчётах инженерных конструкций Ленинград. ( 1987 г. ).
4. Всесоюзный симпозиум- по вычислительной томографии.. Ташкент. ( 1989 г. ).
EUROMECH-256, Non destructive three demenslcnal stress analysis. Tallinn, Estonia, USSR. ( 1989 r. ).
17 Межвузовская научно-техническая конференция профессорско - преподавательского состава научных и инженерно-технических работников, аспирантов Калининградских ВУЗОВ Минрыбхоза СССР. Калининград. ( 1989 г ).
Научный семинар. Методы потенциала и конечных элементов в автоматизированных исследованиях инженерных конструкций. Ленинград. ( 1989 г. ).
Всесоюзный семинар. Оптика анизотропных сред. Звенигород, Мооква. ( 1990 г. ).
9th Itnematlonal conference on experimental mechanics.
Copenhagen. Denmark. ( 1990 г. ).
ХІЧ Sympozijom mechanlkl doswladczalne;J clala stalego. Warszawe ( 1990 r. ).
First Baltlc-ScandinaYlan symposium on mechanics. Riga. ( 1990 r. ).
Дни механики Эстонии. Отепяе. Тарту. ( 1991 г. ). 4th Finish mechanics days. Lappenranta, Finland. ( 1991 Г. ).
Second Inernatlonal conference of photomechanics and specie metrology. San Diego. California USA. ( 1991 r. )
5 Всесоюзный' симпозиум по вычислительной томографии. Звенигород, Москва. ( 1991 г. ).
Публикации. Основные результаты диссертащш изложены в работах [1-28].
Объем и структура диссертащш. Диссертащія состоит из следующих разделов: введения, трех глав, заключения, двенадцати приложений, а также списка цитированной литературы. Общий объем диссертации составляет 279 страниц, из них основного текста 202 стр., ооъем приложений состовляет 65 стр., 7 рисунков, библиография - из 128 названий.