Введение к работе
Актхальщэсхь_про_блемы . Переходные волновые процессы в тонком слое, которые изучаются с помощью совместного применения методов асимптотического и группового анализа динамических уравнений теории упругости на основе двумерных моделей, являются предметом исследования диссертационной работы. Объектом, в котором моделируются двумерные нестационарные волны, является тонкая пластина под действием внезапно приложенной нагрузки.
Интерес к проблемам распространения волн, вызванных быстроиз-ме^няющейся нагрузкой, объясняется важными приложениями теории распространения волн во многих разделах технических наук. Задача о распространении упругих волн в плоском слое рассматривается уже довольно продолжительное время, но в рамках этой задачи остается еще достаточное количество нерешенных вопросов. Задачи такого класса в постановке математической теории упругости настолько сложны, что их, как правило, удается решить лишь приближенно.
Существует два основных подхода к исследованию переходных волновых процессов в слое. Во-первых, можно решать эти задачи на основе трехмерных уравнений теории упругости. Такой подход применен, например, в работах Векуа И.Н., Кабулова В.К., Петрашеня Г.И., Нигула УК.. Розенфельда Р., Микловица Ю. Он связан с преодолением очень сложных технических проблем, вызванных, в частности, внутренним многократным отражением фронтов распространяющихся волн от границы слоя. Поэтому этот подход, раскрывающий физическое содержание задачи, следует в первую очередь рассматривать как средство построения новых моделей и анализа точности имеющихся.
Во-вторых, широко применяются различные упрощенные двумерные модели. Но их применение не всегда обоснованно и не дает возможности получения ответов на многие важные вопросы. Например, классические уравнения изгиба пластины, которые решали ранее Л. И. Лурье,
-4 -Л.С. Гильман, Р.И. Мазинг, Ф.А. Соколов, П.В. Чернаков, дают бесі нечную скорость распространения возмущения, что противоречит тр< мерным уравнениям. Динамические уравнения обобщенного плоского і пряженного состояния, рассмотренные в работах Селезова И.Т., Кильч( ского Н.А., Уфлянда Я.С., дают конечные скорости распространен волн, но не совпадающие со скоростями, соответствующими трехмерн теории. Уточненные уравнения изгиба (Рэлей, Тимошенко СП., У лянд Я.С., Дубинкин М.В., Андерсон Р.А.) -так называемые уравнен типа Тимошенко - в отличие от классических уравнений являются ур; нениями гиперболического типа, но также дают неверные скорости р< пространения волн.
Наиболее распространенная идея упрощения заключается в раз; жении трехмерного волнового процесса на двумерные волны, 'ОТНОСЯЩР ся к срединной поверхности и определяющие некоторое поле перемеи ний по толщине объекта. Не существует универсальных расчетных мо; лей, которые одинаково хорошо применимы для определения всех нап[ женных состояний трехмерных тел при всевозможных внешних нагр> ках. В зависимости от применяемого метода и порядка приближения г лученная модель является наилучшей в определенном смысле.
Проблемы распространения волн в многослойных конструкци рассматривались в работах В.И. Пожуева, С.Н. Бешенкова. При решен динамических задач о распространении свободных волн в трехслойні цилиндрических оболочках В.И. Пожуев предложил уточненный подхс основанный на динамических уравнениях теории упругости и гипотез Кирхгофа-Лпва или Тимошенко. Распространение свободных волн в ш стипах па оснозс уравнений Ляме и гипотезы Кирхгофа изучал С.Н.Е шенков.
Большинство результатов о переходных волноых процессах получено методом интегральных преобразований.
Один из наиболее эффективных и перспективных подходов к иесг до-вапию дифференциальных уравнений - это асимптотический aнaл^
- 5-позволяющий на основе каких-то более строгих уравнений получать обоснованные упрощенные уравнения. Большие заслуги в разработке и применении асимптотических г.істодоп и ї еории оболочек принадлежат А.Л. Гольденвейзеру. Позже применительно к теории пластин и оболочек эти методы развивали в своих исследованиях Маневич Л.И., Павленко А.В., А.Д. Шамровский, Лобода В.В.
В случае достаточно сложных исходных уравнений асимптотический анализ часто базируется на некоторых интуитивных догадках, которые са-ми требуют обоснований. В связи с этим Л.И. Маневич и Л.В. Овсянников предложили сочетать методы асимптотического анализа с методами теории групповых свойств дифференциальных уравнений.
Актуальным для приложений является поиск таких классов частных решений, на которых исходные дифференциальные уравнения существенно упрощаются. Этот процесс сначала выполнялся либо на основании соображений симметрии, либо с помощью теории размерностей. Вместе с тем исследователи уже давно обращают внимание на групповую природу рассматриваемой проблемы. Широко применяется метод поиска упрощенных систем уравнений, связанный с асимптотическим анализом исходной системы. При этом важно определить, что принять в качестве упрощения. Упрощенная система уравнений всегда оказывается допускающей более широкую группу преобразований, чем исходная.
В качестве цели асимптотического анализа Л.И. Маневичем было предложено расширение допускаемой дифференциальными уравнениями группы преобразований, которое приводит к появлению новых инвариантно-групповых решений.
Описанный выше подход был развит в ряде работ А.Д. Шамровско-го. При этом выяснилось, что совместное применение методов асимптотического анализа и теории групп позволяет не только обоснованно строить упрощенные уравнения на базе заданных точных уравнений, но и /казывать методы эффективного решения строящихся уравнений.
Цель диссертационнй работы состоит в следующем :
построить новые варианты двумерных динамических уравнені п.пя плоского слоя, которые позволяют изучать как симметричные , так антисиммметричные деформации слоя и, в отличие от известных уравн ний, задают трехмерные скорости распространения фронтов волн;
построить решения найденных уравнений плоской деформации изгибной деформации тонкого слоя и выполнить сравнение с решениян ранее известных уравнений.
Основными задачами научного исследования являются:
совместное применение методики асимптотического и групповог анализа к трехмерным динамическим уравнениям теории упругости;
получение двумерных моделей трехмерных волновых процессов топком слое и их применение для исследования возмущенной зоны;
изучение картины напряжено-деформированного состояния вблизи волновых фронтов, а также анализ скоростей их распространения.
Общая методология исследования основывается на метод; асимптотического интегрирования динамических уравнений теории упр гости. Методика вывода уточненных двумерных динамических уравнені для плоского слоя, а также решение на основе полученных уравнений з дач о нестационарном излучении волн состоит в последовательном пр менении теории групп для обоснованного выбора наименьшего возможн го количества параметров асимптотического интегрирования с целью пр ведения анализа возможных случаев минимального упрощения решаемь уравнений и построении процедур последовательных приближений, соо ветствующих различным значениям параметров интегрирования. Научная новизна работы состоит в следующем:
- на основе сочетания асимптотических и групповых методов пол
чены варианты уточненных двумерных динамических уравнений, первь
-7 -из которых описывает распространение плоских волн в слое, а второй -изгибных волн;
в отличие от известных урррнрни", полученные уравнения обоих видов описывают распространение всех типов волн со скоростями, соответствующими трехмерным уравнениям теории упругости;
при помощи тех же асимптотико-групповых методов построены решения найденных уравнений, что позволило решить ряд задач о нестационарном излучении плоских и изгибных волн в слое при различных видах граничных условий;
проведен сравнительный анализ построенных решений; при этом известные решения не использованы в готовом виде, а получены заново путем применения единой методики асимптотико-группового анализа и являются значительно более удобными для применения и анализа.
Научная и практическая ценность. На основе единой методологии, основанной на сочетании методов теории групп и асимптотического анализа, производились как вывод новых вариантов двумерных динамических уравнений плоской и изгибной деформации тонкого слоя, так и их решение с подробным исследованием качественных и количественных характеристик напряженно-деформированного состояния. Достоинство асимптотико-группового анализа состоит в том, что он позволяет не только обоснованно строить упрощенные уравнения на базе заданных точных уравнений, но и указывать методы эффективного решения строящихся уравнений. Кроме того, эта методика гарантирует обоснованность полученных результатов. Уточненные уравнения дают возможность изучить задачу о распространении волновых фронтов и получить усредненную по толщине картину напряженно-деформированого состояния за фронтами, причем значительно более точную по сравнению с той, что дают известные уравнения.
Разработана вычислительная схема и пакет прикладных программ для моделирования волновых процессов в пластинах.
-8 -Достоверность основных научных результатов и выводе
обеспечивается точностью математических методов, которые использую ся для анализа, корректностью постановок задач, согласованностью ме; ду полученными результатами и известными, а также результатами др гих авторов.
Апробация работы. Основные результаты диссертационж работы докладывались и обсуждались на 1-м Украинско-польском нау ном семинаре по механике материалов и конструкций (1993 г., г. Дне ропетровск) и на международной научно-практической конференции "С временные проблемы геометрического моделирования" (1995 г., г. М литополь). В целом диссертация докладывалась на научных семинар; кафедр: программного обеспечения и математического моделирования 3 порожской государственной инженерной академии (1996 г.) и прикла ной математики Запорожского государственого университета (1996 г.).