Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. О факторизационных методах исследования многослойных сред с дефектами 26
1.1 Основные сведения о факторизации функций 26
1.2 Факторизация матриц-функций 30
1.3 Применение метода Винера-Хопфа к решению некоторых функциональных уравнений 33
1.4 Общая схема дифференциального метода факторизации 36
1.5 Топологический подход в теории блочных структур с разноразмерными блочными элементами 40
1.6 Метод фиктивного поглощения 45
ГЛАВА 2. Постановка краевых и начально - краевых задач динамической теории термоэлектроупругости для сред с неоднородностями различной природы 51
2.1 Основные уравнения связанных задач термоэлектроупругости 51
2.2 Краевые и начальные условия 54
2.3 Постановка задач для слоистых сред, содержащих неоднородности 57
2.4 Общая схема построения решения
2.4.1 Вспомогательные начально-краевые задачи 62
2.4.2 Функционально-матричные соотношения для однородных краевых задач 64
2.4.3 Системы интегральных уравнений для термоэлектроупругои среды с совокупностью неоднородностей 68
2.4.4 Интегральные представления решений начально-краевых задач 70
ГЛАВА 3. Методы построения символов блочных матриц грина для многослойных полуограниченных сред 74
3.1 Многослойная среда без неоднородностей 74
3.1.1 Однородный термоэлектроупругий слой 75
3.1.2. Однородное электроупругое полупространство 81
3.1.3 Однородное термоэлектроупругое полупространство 89
3.1.4 Многослойный пакет слоев 90
3.1.4.1 Прямой алгоритм построения символа матрицы Грина з
3.1.4.2 Рекурсивный алгоритм построения символа матрицы Грина 92
3.1.5 Многослойное полупространство 94
3.1.6 Расширение диапазона вычислений символа матрицы Грина для многослойного пакета..95
3.2 Многослойная среда с внутренними неоднородностями 97
3.2.1 Многослойный пакет слоев 98
3.2.2 Прямой алгоритм построения символа матрицы Грина 99
3.2.3 Рекурсивный алгоритм построения символа матрицы Грина
3.2.4 Многослойное полупространство 102
3.2.5 Многослойное пространство 104
3.2.6 Расширение диапазона вычислений символа матрицы Грина для сред с внутренними
неоднородностями 107
3.3 Некоторые асимптотические свойства символов блочных матриц Грина 112
ГЛАВА 4. Методы расчета интегральных представлений решений краевых задач для многослойных термолектроупругих сред 115
4.1 Метод прямого контурного интегрирования 120
4.2 Метод интегрирования вычетов для осесимметричного источника 129
4.3 Метод интегрирования вычетов для несимметричного источника 141
4.4 Асимптотические представления метода интегрирования вычетов в дальней зоне 147
4.5 Некоторые аналитические оценки для метода прямого контурного интегрирования 152
4.6 Некоторые численные оценки для метода интегрирования вычетов 158
4.7 Некоторые аналитические оценки для метода интегрирования вычетов 165
ГЛАВА 5. Численное решение модельных краевых задач для многослойных термоэлектроупругих сред с поверхностными и внутренними источниками 174
5.10 некоторых принципах излучения, используемых при построении символа матрицы Грина
анизотропного полупространства 177
5.2 Решения некоторых несмешанных краевых задач для многослойных анизотропных сред, возбуждаемых поверхностными источниками 189
5.3 Дисперсионные кривые блочных матриц Грина для пакета изотропных слоев с внутренними неоднородностями в виде жестких включений или трещин 195
5.4 Смещения в изотропном упругом слое, вызванные горизонтальными трещинами и жесткими включениями 196
5.5 Определение зон дилатансии в упругом слое, вызываемых внутренними механическими источниками 198
5.6 Расчет смещений, электрического потенциала и температуры на поверхности термоэлектроупругого многослойного композита, вызываемых внутренними механическими, электрическими и тепловыми нагрузками 205
5.7 Решение задачи идентификации параметров трещины в упругой полосе 209
ГЛАВА 6. Возмущения поверхности упругого слоя, вызываемые подвижным осциллирующим источником 225
6.1. Постановка задачи 232
6.2. Символ матрицы Грина поверхностного подвижного осциллирующего источника, интегральное представление решения задачи для подвижного источника
6.3 0 принципе предельного поглощения и принципе соответствия в задачах о воздействии движущегося источника на упругое тело 238
6.4 Дисперсионные кривые плоской и пространственной задачи В для слоя на жестком основании 241
6.5. Зависимость поверхностных возмущений от скорости для плоской задачи Во 244
6.5.1 Зависимость поверхностных возмущений от скорости и длины источника для плоской задачи Во 246
6.6 Зависимость поверхностных возмущений от скорости и частоты для плоской задачи В 249
6.6.1 Зависимость амплитуды поверхностных возмущений от скорости и частоты для плоской задачи В 251
6.7 Зависимость поверхностных возмущений от скорости для пространственной задачи Во 255
6.8. Зависимость поверхностных возмущений от скорости и частоты для пространственной задачи В 258
6.8.1 Зависимость амплитуды поверхностных возмущений от скорости и частоты для пространственной задачи В 261
Выводы по шестой главе 262
Заключение 265
Литература
- Применение метода Винера-Хопфа к решению некоторых функциональных уравнений
- Постановка задач для слоистых сред, содержащих неоднородности
- Однородное термоэлектроупругое полупространство
- Смещения в изотропном упругом слое, вызванные горизонтальными трещинами и жесткими включениями
Введение к работе
Актуальность темы исследований. Большое число научно-технических проблем связано с изучением закономерностей динамических процессов в гетерогенных средах со сложными физическими и механическими свойствами структурных элементов.
К числу таких актуальных и фундаментальных проблем относится проблема оценки сейсмичности и прогноза землетрясений на основе механической концепции. Концепция и ее реализация выполняется в Южном научном центре РАН и Кубанском государственном университете. Она доложена на конференциях в разных странах мира и представлена, например, на сайте программы Еврокомиссии EPOS На ее основе формировался мониторинг сейсмической обстановки территории олимпийского строительства в Сочи В данной проблеме анализ напряженно-деформированного состояния литосферных плит треб ует учета упругой анизотропии, связности механических, электромагнитных и тепловых полей, влияния внутренних неод-нородностей. Теоретическая часть данной проблемы затрагивает практически все разделы современной механики и многих смежных дисциплин. В проблеме оценки сейсмичности тесно связаны разнородные факторы, такие как сложная геометрия тел, различная размерность и гладкость неоднородностей, сложные физические и механические свойства тел, совместное влияние действующих на твердое тело различных полей.
На эффектах связанности физически различных полей основано функционирование большого числа технических устройств. Для проектирования и расчета таких устройств, улучшения их функциональных характеристик необходимы новые аналитические и численно-аналитические методы исследования свойств динамических систем, подвергающихся воздействию гармонических и нестационарных механических, электрических и тепловых нагрузок.
Важные приложения динамические задачи электроупругости находят в области акустоэлектроники. Расчет устройств акустоэлектроники приводит к необходимости анализа взаимодействия системы электродов с анизотропными материалами, обладающими пьезо- и пироэлектрическими свойствами.
Многослойные полуограниченные упругие, электроупругие и термоэлек-троупругие среды с внутренними неоднородностями различной физической природы являются часто встречающимися объектами исследований. Тем не менее динамические задачи для полуограниченных тел, содержащих внутренние неоднородности, на сегодняшний день изучены недостаточно полно. Зависимость состояния системы от многих параметров значительно усложняет исследование задач, в силу чего традиционные методы их анализа, как аналитические, так и численные, становятся малоэффективными даже при небольшом ко-
1 Бабешко В.А., Ритцер Д., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Федоренко А.Г. К теории прогноза сейсмичности на основе механической концепции, топологический подход // ДАН 2013. Т. 450. № 2. С. 166-170.
личестве неоднородностей. Динамические задачи для сред с совокупностью не-однородностей оказываются еще более сложными в силу обнаруженной неединственности решений краевых задач при некоторых значениях параметров
В строгой постановке рассматриваемые в настоящей работе задачи, как и преобладающее число задач, с которыми сталкиваются исследователи в теории упругости, электроупругости, термоэлектроупругости и в других областях математической физики, представляют собой смешанные и, в частности, контактные задачи.
Как правило, при решении контактных задач теории упругости основное внимание уделяется расчету контактных напряжений, вопрос поведения многослойных сред под воздействием поверхностных или внутренних источников за пределами области контакта оставался, за малым исключением, без внимания.
В проблеме механической концепции прогноза сейсмичности, в которой применяются факторизационные методы и метод блочного элемента, этот вопрос является ключевым.
В настоящей работе он занимает центральное место. Особое внимание уделено малоизученным аспектам динамического поведения многослойных анизотропных сред, в том числе обладающих свойствами электроупругости и термоэлектроупругости. Анализ распространения упругих волн в многослойных анизотропных средах, описываемых одномерными и двумерными интегралами Фурье, представляет значительный интерес для сейсморазведки, геофизики, разработки новых композиционных материалов, конструкций и деталей из композитов. Разработка методов расчета интегралов Фурье составляет основное содержание диссертационной работы.
Весьма актуальны данные исследования в области неразрушающего контроля, в частности, в области ультразвуковой и тепловой дефектоскопии. Решение задач, связанных с возбуждением поверхностными или внутренними источниками в упругой среде волновых и тепловых полей, является ключевым этапом при решении обратных задач определения параметров скрытых неодно-родностей.
Несмотря на достаточное разнообразие имеющихся на сегодняшний день методов и подходов, задача расчета двукратного интеграла Фурье, представляющего решения краевых задач анизотропной теории упругости, пока еще далека от исчерпывающего решения. В равной степени это касается и соответствующих краевых задач электроупругости и термоэлектроупругости. Следует отметить, что, в отличие от однократных интегралов Фурье, на сегодняшний день не существует стандартного алгоритма для вычисления двукратных интегралов Фурье.
Одна из глав диссертационной работы посвящена численно-аналитическому исследованию возмущений на поверхности упругого слоя, вызываемых подвижным осциллирующим источником поверхностных напряже-
1 Бабешко В. А. Среды с неоднородностями (случай совокупности включений и неоднородностей) // Известия РАН. МТТ. 2000. № 3. С. 5–9.
ний. Высокоскоростное движение является традиционным объектом исследования в аэродинамике, гидродинамике, трибологии, мехатронике. Следует отметить актуальность задач с подвижным источником в первую очередь в области моделирования движения высокоскоростного наземного и подземного транспорта.
Интегральные представления, описывающие возмущения в слое от подвижного источника, формально незначительно отличаются от аналогичных представлений для неподвижного источника, при этом существенно отличаясь от них качественно. Движение источника вызывает появление так называемой наведенной анизотропии, дисперсионные кривые соответствующих символов матриц-функций Грина имеют сложный, зависящий от скорости характер, что делает данную задачу весьма трудоемкой при традиционных подходах к расчету интегралов Фурье, особенно в пространственном случае.
Применяемый в данной работе подход к решению динамической краевой задачи с подвижным источником основан на метода х расчета интегральных представлений, разработанных для неподвижных осциллирующих источников, воздействующих на анизотропную среду.
Работа не претендует на охват всех возможных типов механических и физически различных неоднородностей и их пространственной ориентации, основные акценты сделаны на том, что среда многослойна, каждый слой может обладать произвольной термоэлектроупругой анизотропией, физические поля являются связанными, а внешние или внутренние источники могут быть физически разнородными. Основное внимание в настоящей работе уделено случаю гармонических колебаний, решение гармонической задачи рассматривается как промежуточный этап решения нестационарной.
Целью работы является математическое исследование механических процессов в динамических режимах в многослойных гетерогенных полуограниченных средах со сложными физико-механическими свойствами при наличии ориентированных параллельно поверхности тела неоднородностей в виде плоских жестких включений и трещин, тепловых и электрических неоднород-ностей; разработка эффективных численно-аналитических методов построения символов блочных матриц Грина, матриц-символов ядер систем интегральных уравнений смешанных и контактных задач; создание новых методов и алгоритмов численно-аналитического расчета интегральных представлений механических характеристик, представляемых решениями краевых задач термоэлектро-упругости в виде однократных и двукратных интегралов Фурье. Научную новизну составляют следующие результаты:
1) разработан новый устойчивый численно-аналитический метод по
строения символа Фурье блочной матрицы Грина многослойной полуограни
ченной термоэлектроупругой среды с произвольной термоэлектроупругой ани
зотропией каждого слоя, содержащей внешние и внутренние механические, те
пловые и электрические неоднородности;
2) разработаны новые численно-аналитические методы и алгоритмы рас
чета интегральных представлений механических, электрических и тепловых
характеристик в виде двукратных интегралов Фурье решений краевых задач термоэлектроупругости для многослойных сред для ближней и дальней зоны при возбуждении колебаний поверхностными и/или внутренними гармоническими источниками в виде трещин или включений: метод прямого контурного интегрирования, метод интегрирования вычетов для осесимметричной нагрузки, метод интегрирования вычетов для несимметричной нагрузки, метод интегрирования вычетов в дальней зоне и асимптотические представления метода интегрирования вычетов;
-
получены аналитические и численно-аналитические оценки различных параметров метода прямого контурного интегрирования и метода интегрирования вычетов, позволяющие оптимизировать процессы вычислений;
-
на основе метода прямого контурного интегрирования разработан новый подход для расчета возм ущений на поверхности изотропного упругого слоя, вызываемых осциллирующим и движущимся с постоянной скоростью поверхностным механическим источником, в широком диапазоне скоростей и частот, как для плоской, так и для пространственной задачи;
-
получены новые численные результаты решения ряда модельных динамических краевых задач теории упругости, электроупругости, термоэлектро-упругости для многослойных сред, возбуждаемых поверхностными или внутренними физически разнородными источниками колебаний; решения задач идентификации параметров трещины в упругом слое; решения краевых задач для осциллирующего источника, движущегося по поверхности упругого изотропного слоя; алгоритм и результаты расчета пространственных зон дилатан-сии в упругом слое.
Научное и практическое значение результатов диссертации заключается в возможности качественного и количественного исследования с помощью разработанных методов динамических процессов в многослойных термоэлек-троупругих средах при наличии неоднородностей различной физической природы.
Методы построения символов блочных матриц Грина использованы как при реализации механической концепции прогноза сейсмичности, так и при выполнении ряда научных проектов ЮНЦ РАН и Кубанского госуниверситета при решении краевых задач теории упругости, электроупругости, термоэлек-троупругости, для построения ядер систем интегральных уравнений термоэлек-троупругости.
Методы расчета двукратных интегралов Фурье представлений решений краевых задач термоэлектроупругости могут применяться при проектировании различных электромеханических и термоэлектрических преобразователей, при создании гибридных композиционных материалов и конструкций из них.
Методы расчета возмущений, вызываемых движущимся источником, имеют теоретическое и прикладное значение для разработки и проектирования высокоскоростных транспортных средств и соответствующей инженерной инфраструктуры, для минимизации вибрационного воздействия на близлежащие наземные и подземные сооружения, окружающую среду.
Алгоритмы решения задачи идентификации параметров интерфейсной трещины в упругом слое могут быть использованы в задачах неразрушающего контроля.
Метод расчета пространственных зон дилатансии может найти применение в области геофизики и сейсмологии.
Фрагменты выполненной диссертационной работы нашли внедрение при выполнении проектов Российского фо нда фундаментальных исследований и администрации Краснодарского края, как под руководством диссертанта: 12-08-00880-а, 09-08-96522-р_юг_а, 09-08-00294-а, 13-01-96511-р_юг_а, 16-48-230336-р-а; так и с его участием в качестве исполнителя: 99-01-00787-а, 00-01-96019-р2000юг, 03-01-00694-а, 03-01-96537-р2003юг_а, 03-01-96662-р2003юг_а, 04-01-08101-офи_а,05-01-00902-а, 06-01-00295-а, 06-01-96804-р_юг_офи, 06-05-96806-р_юг_офи, 06-08-00671-а, 06-08-96635-р_юг_а, 07-01-12028-офи,08-01-99013-р_офи, 08-08-00447-а, 09-01-96507-р_юг_а, 09-08-00170-а,09-08-96527-р_юг_а, 11-01-96506-р_юг_ц, 11-01-96507-р_юг_ц, 11-08-00381-а, 11-08-96505-р_юг_ц, 11-08-96506-р_юг_ц, 12-01-00330-а, 13-01-96525-р_юг_а.
Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием строгих математических методов и адекватных механических и физических моделей, сопоставлением результатов с аналогичными результатами, полученными разными методами другими авторами, сравнением теоретических результатов с имеющимися экспериментальными данными.
На защиту выносятся:
1) разработка методов исследования сложных механических процессов в гетерогенных средах путем решения динамических краевых задач для многослойной полуограниченной термоэлектроупругой среды с произвольной термо-электроупругой анизотропией каждого слоя, содержащей внешние и внутренние механические, тепловые и электрические неоднородности, позволяющих моделировать произвольное сочетание неоднородностей различной физической природы и включающих в себя:
– устойчивый численно-аналитический метод построения символа Фурье блочной матрицы Грина для многослойной полуограниченной термоэлектроуп-ругой среды, содержащей внешние и внутренние механические неоднородности типа трещин и жестких включений, а также тепловые и электрические неоднородности; алгоритм расширения вычислительного диапазона волновых чисел и частоты при построении символа матрицы Грина; численные примеры и аналитическое обоснование различий в применении принципов излучения в алгоритме построения символа матрицы Грина для анизотропного, электроупругого и термоэлектроупругого полупространства;
– метод построения символов ядер систем интегральных уравнений смешанных и контактных задач термоэлектроупругости;
– методы и алгоритмы расчета двукратных интегралов Фурье решений краевых задач термоэлектроупругости для многослойных сред с неоднородно-стями, являющиеся, в отличие от традиционных подходов, восходящих к изотропным средам и основанных на функциях Бесселя, более простыми, точными
и экономичными, эффективными в своих областях применения; три метода для ближней зоны – метод прямого контурного интегрирования, метод интегрирования вычетов для осесимметричной нагрузки, метод интегрирования вычетов для несимметричной нагрузки; два метода для дальней зоны – метод интегрирования вычетов в дальней зоне и асимптотические представления метода интегрирования вычетов; аналитические и численно-аналитические оценки различных параметров метода прямого контурного интегрирования и метода интегрирования вычетов.
2. Численные результаты расчета важных механических характеристик процессов, тепловых и электрических полей в ближней и дальней зоне многослойной термоэлектроупругой среды, вызванных механическими, тепловыми и электрическими источниками, действующими на поверхности и/или внутри полуограниченной многослойной среды; алгоритм и результаты расчета пространственных зон дилатансии в упругом слое; подход к решению краевой задачи и численные результаты моделирования возмущений упругого слоя под действием поверхностного подвижного осциллирующего источника напряжений; численные результаты решения задач идентификации параметров интерфейсной трещины в упругом слое.
Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные ее части докладывались на Международной конференции «Проблемы геологии и освоения недр России» (Ростов-на-Дону, 2006 г.), VII, XI, XVI, XVIII Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2007, 2012, 2013, 2016 гг.), XV Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении» (Иркутск, 2010 г.), Международных конгрессах Американского общества инженеров-механиков «Mechanical Engineering Congress & Exposition of The American Society Of Mechanical Engineers» (Vancouver, Canada, 2010 г.), «ASME 2010 10th Biennial Conference on Engineering Systems & Design and Analysis» (Istanbul, Turkey, 2010 г.), на Международном симпозиуме «The 2nd International Symposium on NDT in Aerospace» (Hamburg, Germany, 2010 г.), XXXIX Международной летней школе XXXIX International Summer School «Advanced Problems in Mechanics» (St. Petersburg, Russia, 2011 г.), международных конференциях «81st Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics» (GAMM) (Karlsruhe, Germany, 2010 г.), «82nd Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics» (Graz, Austria, 2011 г.) , XXII Международной научной школе им. академика С.А. Христиановича (Алушта, Украина, 2012 г.), Международном симпозиуме «Physics and Mechanics of New Material and Underwater Applications» (PHENMA 2013) (Kaohsiung, Taiwan, 2013 г.), VI Международной конференции «6th International Conference from Scientific Computing to Computational Engineering», (Athens, Greece, 2014 г.), Международной конференции «Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications » (PHENMA 2015, Azov, Russia). В полном объеме результаты диссертац ионной работы представлялись и обсуждались на семинарах кафедры математического моделирования КубГУ и Научно-
исследовательского центра прогнозирования и предупреждения геоэкологических и техногенных катастроф КубГУ, на заседаниях комплексного отдела механики, химии, физики и нанотехнологий Южного научного центра Российской академии наук.
Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, представлены в 66 публикациях, в том числе в 15 статьях, опубликованных в изданиях, рекомендуемых ВАК, и в 4 зарубежных изданиях, включенных в базы данных Scopus и Web of Science. По результатам диссертационных исследований получены 24 свидетельства об официальной регистрации программ в Реестре программ для ЭВМ Российской Федерации и один патент Российской Федерации на полезную модель. Список основных публ икаций помещен в конце автореферата.
Структура работы. Диссертация состоит из двух томов, первый том включает в себя введение, шесть глав, заключение, список литературы, список иллюстративного материала. Во второй том вошли приложения, содержащие иллюстрации к пятой и шестой главам, номера приложений совпадают с номерами рубрик, к которым они относятся.
Применение метода Винера-Хопфа к решению некоторых функциональных уравнений
Для различных типов уравнений и систем уравнений в частных производных схема применения дифференциального метода факторизации одинакова.
Далее рассматривается краевая задача общего вида для блочной структуры, описываемой неоднородными системами линейных дифференциальных уравнений в частных производных произвольного порядка дифференцирования с постоянными коэффициентами. Область, которую занимает вся блочная структура, обозначим Q Подобласти Q6, b = \,B, занимаемые отдельными блоками, считаются выпуклыми. Границы блоков обозначим ddb, Ъ = 1, В. В каждой области С1Ь, соответствующей отдельному блоку, задается система дифференциальных уравнений в частных производных со своими коэффициентами \м N К Р(Ь) 1 кд&1,&2,&з)Фь = \ТТТТ РЬЛ2 =&. W}, I т-\ п-\ к-\ р-\ I 9ь{ ) = 9ь{хі х2 хз), 8б(х) = 8б( і 2 з), = {х1 х2 хз), ЇЄЦ. = 1,5. Соседние блоки по общим частям своих границ дС1ъглдС1а, b,d = \,B контактируют друг с другом. Это означает, что к описывающим поведение отдельных блоков системам (1.4.1), необходимо добавить условия сопряжения блоков между собой вида Rfe (&j, дх2, дхъ) фь + Rd (&j, дх2, дхъ) ф = [мх Щ Кг Р(Ъ) ) (і 4 Г) = \УУУУІВЬ Ф H(»x )+jB & имм][ = (f \ к I / J / J / J / J spmnkrbp,xl x2 x3 spmnkrdp,xl x2 x3 \J hds) I m-\ n-\ k=l p=\ I s = l,sb0, sb0 P(b), M1 M, NX N, Kx K, xe5Q6 r\dCld ,\ b d B, dClb r 8Cld Ф0. На не контактирующих с другими блоками участках границ д0.ь \ I U dQ.d ), b = \,B, задаются граничные условия следующего вида (Мг Л?! Кг Р(Ь) _) ьд&1,&2,&3)ф zzzz[ % :x;xS] =ил о з) I т-\ п-\ к-\ р-\ I S=i,sb0, sb0 p(b), хєапь\(иапА ь=і,в.
Последующий анализ краевой задачи осуществляется в пространствах медленно растущих обобщенных функций Hs (Q) . Как правило, неоднородность систем (1.4.1) связана с объемными внешними воздействиями. Неоднородность может быть также связана с тем, что исходная краевая задача рассматривалась для содержащих производные по времени систем с ненулевыми начальными условиями. В этом случае системы (1.4.1), получаемые после применения к ним преобразования Лапласа по времени, будут неоднородными, а правые части будут включать в себя информацию о начальных условиях. Следовательно, решение исходной нестационарной задачи может быть получено применением обратного преобразования Лапласа к построенному решению стационарной краевой задачи,
Следуя описанному в работах алгоритму [46, 128], приведем общую схему применения дифференциального метода факторизации для решения рассматриваемой краевой задачи.
Рассматривая в отдельности каждую область Q.b, применим трехмерное преобразование Фурье для сведения краевой задачи к системе функциональных уравнений вида К, (а)Фь = {{шь -Gfe (а), G, (а) = {{{gb (х)e dx,dx2dx3, К,(от) = -К6(-/«!,-ia2,-ia3) = \кЪпт{а)\, {ах) = а1х1 +а2х2 +а3х3, (1.4.4) Ь = \,В, т,п = \,Р(Ъ). здесь С06 - вектор внешних форм краевой задачи для области С1Ь. Согласно дифференциальному методу факторизации далее требуется осуществить касательное расслоение границ блоков дО,ь, на них ввести соответствующие локальные системы координат и произвести факторизацию матриц-функций К.ь(а3) [46, 128], определяемых соотношением (1.4.4). Обозначим Я+ область, содержащую все нули zvbs+, Imz + 0, zvbs_, \mzvbs_ 0, 5± = 1,G определителя Къ \а3 \ = detK6 (а3 j, Я_ - дополнение области до всей комплексной плоскости, Гь - граница, разделяющую эти области, и осуществим факторизацию матриц-функций К6 (сс3 ) в виде [36] кД ) = кД -)кД +), Здесь коэффициенты матрицы-функции К6 (a3,-j регулярны, а ее определитель не равен нулю в области Л_. Матрица-функция K6(«3V,+) имеет элементы, являющиеся полиномами переменной а\, но определитель матрицы не зависит от а\. То есть, определитель матрицы Kb(a3,+) имеет по параметру а3 нули только в области Хь+. При этом нули определителей матриц КД(Х ,+) ,КД(Х ,-) совпадают. Для элементов матрицы-функции К. 11а , — ) возможно представление в интегральной форме. Обозначим для этого сопряженную к К6 (а3 ) матрицу К6 (av3 ) = Шрт (осі ) и подбираем число т таким образом, чтобы получаемая вычеркиванием строки и столбца с номером т. из K.b (alj матрица К6 (av3 ,т\ имела определитель Qb (al j = detK.b (al,mj, нули gbn которого бы не совпадали с zvbs± . Для обратной к К6 (а ,т\ матрицы обозначим элементы в виде К {aim)]1 =\\Qb-lQpsb\\.
Тогда элементы матрицы К 1 (а ,-) S, S, к И--) bml иЬт2 Ътт ЪтР(Ъ) (1.4.5) О могут быть представлены в виде / ч 1 rPSt} О ЛиЛМ (иЛски , ч , ч = Jsnr\w"; у w »- = К , i л. 0.4.6) 2ЯЇ rJ,,=1 Qb(u3)Kb (и3)[и3 -а3) bs± Здесь замкнутый контур Ть имеет такое положение, что область Я+ содержит только нули z Это означает, что элементы матрицы К6 1(а3,-) представляют собой рациональные функции, особенностями которых являются только полюсы в точках zvs± . Для удовлетворения заданным граничным условиям (1.4.3) на не контактирующих участках границ блоков дС1ь \ I (J ddd ) необходимо внести взятые из них значения решения ф6 вместе с его нормальными производными в представления соответствующих внешних форм (Яь . Условия сопряжения блоков (1.4.2) являются некоторыми соотношениями между значениями решений ф6 и ф и их нормальных производных на общей границе dQ.br dQ.d, вид которых определяется свойствами описываемых полей. В самом простом случае на общей границе дО,ь г dQ.d условия сопряжения представляют собой равенства с некоторыми постоянными коэффициентами решений ф6 и ф , и их нормальных производных. Выполнение условий сопряжения (1.4.2) может быть осуществлено путем разрешения их относительно неизвестных значений решения рь и его нормальных производных на границе, последующего внесения полученных представлений в соответствующие векторы внешних форм (Яь
Постановка задач для слоистых сред, содержащих неоднородности
Пусть полуограниченная анизотропная среда, обладающая пьезо- и пироэлектрическими свойствами, жестко сцеплена с абсолютно твердым штампом. На штамп с плоским основанием Q(1) действуют механические нагрузки, определяемые главным вектором P(t) = {P1,P2,P3} и главным моментом M(t) = {M1,M2,M3}. В тех случаях, когда относительная масса штампа мала, штамп считается невесомым.
Область Q(1), кроме того, подвергается тепловым и электрическим воздействиям, определяемым изменяющимися во времени t температурой 6{t) и электрическим потенциалом cp{t). В случае гармонических колебаний все характеристики изменяются в зависимости от времени в соответствии с множителем .
Все физические и механические характеристики среды предполагаются однородными функциями координат х, у и кусочно-однородными - по координате z . Многослойная среда с плоскопараллельными границами слоев zn, (п = 1,2,..., N +1) занимает область —оо х, у +оо, —Н z 0, в пределах каждого слоя физико-механические параметры среды являются постоянными. Верхней границе пакета слоев соответствует z = zx, значение z = zN+1 соответствует нижней границе. В интерфейсных плоскостях z/t,( = 2,...,iV) имеются плоские неоднородности разных типов: включения, занимающие области Q(2 k\ (р = \,2,...,Р2)) р (3) к трещины, занимающие области Cl 3\lm = l,2,...,P ) .Р 2) - количество включений, Рк количество трещин, расположенных в одной плоскости. В областях Q1-2 -1 задаются равные на верхней и нижней границах включения векторы перемещений, электрический потенциал и температура. На берегах трещины в областях С1 к) предполагается равенство механических напряжений, нормальных компонент векторов электрической индукции и теплового потока. Это соответствует модели трещины с невзаимодействующими берегами, которые распираются статическими механическими, электрическими и тепловыми воздействиями.
Все искомые параметры находятся в результате совместного решения начально-краевой задачи для термоэлектроупругои среды и решения задачи Коши для уравнений движения абсолютно жесткого тела: в области контакта - смещения штампа, механические напряжения, потоков тепла и плотности зарядов, на границах включений - скачки векторов механических напряжений, потоков тепла и электрической индукции, на берегах трещин - скачки перемещений, электрического потенциала и температуры.
В случае отсутствия внутренних тепловых источников и объемных сил (Ff=W = 0) движение термоэлектроупругои среды в общем случае может быть описано в форме начально-краевой задачи для системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных (2.1.11)
На внешней поверхности тела (z = z1 = 0) предполагается выполнение одного из условий: а) в области Q(1) под штампом при условии жесткого сцепления с упругой средой имеет место равенство векторов перемещений u(x,y,0,t) = um(x,y,t), (х,у)єП(1\ (2.3.2) вне области контакта поверхностные напряжения полагаются равными нулю у(1\х,у,0,і) = {стіЛ}\ =0, (х,у)П(1\ (2.3.3) V J J J 12=0 б) при отсутствии трения (касательных компонент напряжений) в области контакта штампа со средой выполняется щ(х,у,0,і) =4\x,y,f), y?=4f=0, (х,у) є Q(1). (2.3.4) Вне области контакта поверхностные напряжения v(1) также полагаются равными нулю, (см. уравнения (2.3.3)). в) При отсутствии нормального давления (пленочный штамп) в области контакта u1(x,y,0,t) = u?\x,y,t), u2(x,y,0,t) = u(»(x,y,t), у і)=0,(х,у)єП(1), (2.3.5) вне области контакта поверхностные напряжения сохраняются нулевыми, (см. уравнения (2.3.3)). Значение электрического потенциала считается известным при подаче напряжения от генератора напряжения на подсоединенные электроды tp(x,y,t) = tpll\x,y,t), (х,у)єП(1). (2.3.6) На непроводящей части поверхности отсутствуют свободные заряды d3(x,y,t) = 0, (х,у)П(1\ (2.3.7) При локальном нагреве температурные граничные условия представляют собой условия поддержания заданной температуры в области Q(1) (2.2.5) 0(x,y,t)= \x,y,t), (х,у)єПт. (2.3.8) Вне области контакта поверхность является теплоизолированной g3(x,y,t) = 0, (х,у)П(1). (2.3.9) В дальнейшем для записи граничных условий в компактном виде введем расширенный вектор напряжений v, состоящий из горизонтальных (vl3v2) и вертикальных (v3) компонент векторов механических напряжений, нормальных компонент векторов электрической индукции (v4) и теплового потока (v5) . Введем следующие обозначения
Аналогичным образом введем расширенный вектор перемещений. В качестве компонент расширенного вектора перемещений будем рассматривать горизонтальные (и1зи2) и вертикальную (и3) составляющие вектора механических перемещений, потенциал электрического поля (и4) и температуру (и5)
Однородное термоэлектроупругое полупространство
В третьей главе подробно описываются методы построения символов блочных матриц Грина для многослойных термоэлектроупругих сред без внутренних неоднородностей (задача 1) и при наличии внутренних неоднородностей (задачи 2, 3) различной физической природы. В пункте 3.1 рассматриваются однородный слой, электроупругое полупространство, термоэлектроупругое п пункте олупространство, многослойный пакет слоев и многослойное полупространство, колебания в которых возбуждаются поверхностным источником. Приводится «прямой» алгоритм построения символа матрицы Грина, рекурсивный алгоритм и алгоритм, расширяющий допустимый диапазон волновых чисел и частоты для вычислений символа блочной матрицы Грина за счет выноса за рамки вычислительного процесса растущих экспонент. Пункт, посвященный однородному электроупругому полупространству содержит большое число важных лемм, справедливых, в основном, только для упругого и электроупругого случая. Часть из них выполняется и для более общего термоэлектроупругого случая.
В пункте 3.2 приводится обобщение алгоритмов пункта 3.1 на случай наличия внутренних неоднородностей в виде плоских трещин, жестких включений, электрических и тепловых неоднородностей. Последовательность изложения частично повторяет пункт 3.1.
Приводится описание алгоритма расширения диапазона расчетных параметров символа матрицы Грина, который был первоначально предложен для многослойных изотропных сред без внутренних неоднородностей [54], затем обобщен диссертантом на случай многослойных анизотропных и электроупругих сред [66, 210], и термоэлектроупругих сред, могущих содержать внутренние неоднородности в виде трещин, жестких включений, тепловых и электрических неоднородностей [63].
В пункте 3.3 описываются некоторые асимптотические свойства символов матриц Грина для задач 1-3.
В пунктах 3.1.1-3.1.6 приводятся алгоритмы построения символов Фурье блочных матриц Грина для многослойных термоэлектроупругих сред, не содержащих внутренних неоднородностей, что соответствует задаче 1. Для многослойных сред вводится понятие блочной матрицы Грина к п . Символ блочной матрицы Грина К(й), (п = l,2,...,N - номер слоя), определяется как двукратное преобразование Фурье матрицы к п) СО СО Kf(a, =FV2[kp]= \ \kp(x,,x a dx,dx2, (3.1.1) —СО —СО К(") _ II jfK") у у _ і с 11 У II / 1 Ь Матрица к\р имеет следующее интегральное представление Я)( ) = 7ТІ J V K + W . (3.1.2) 1 1 L 2 Здесь Г1,Г2 - контуры интегрирования, частично отклоняющиеся от вещественных осей при обходе особенностей К\р в соответствии с принципом предельного поглощения [54]. Матрицы К(и), k(n) описывают воздействие поверхностной нагрузки на слой с номером п
Пусть термоэлектроупругий слой толщиной h с материальными константами Cijnm,eijn,stj, Xjk , v jk ,Pj,P занимает объем - оо х}, х2 QO, -h x3 0. Гармонические колебания среды возбуждаются поверхностными механическими, тепловыми и / или электрическими нагрузками, действующими в ограниченной области Q плоскости х3 = 0.
В квазистатическом приближении [101] термоэлектроупругие гармонические колебания среды описываются уравнениями (2.4.4.5). Граничные условия в плоскости х3 = 0 имеют вид D3=e3k! -e3k + p30 = O,(x1,x2) n, (3.1.1.1) дхк дхк Г;з=С + е,3 —Л31в = 0, (ад О, 0M,7=U), (3.1.1.2) схк схк g3=-v3j — = 0,(x1,x2)Q. (3.1.1.3) дв J дх В области Q в плоскости х3 = 0 задаются механические напряжения {Чц Яз} плотность поверхностных зарядов q4, мощность теплового потока q5 v]3=qp (k,l,j =1,2,3) , (х,,х2) П, (k,l,j=\3), (3.1.1.4) -D3=q4, (3.1.1.5) g3=q5. (3.1.1.6) В дальнейшем пятикомпонентный вектор q = {qx,q2,q3, Ч - Ъ} будем называть расширенным вектором поверхностных нагрузок. Граничные условия в основании слоя могут быть различными. Рассмотрим три варианта. I. Слой жестко сцеплен с недеформируемым основанием. Механические смещения, электрический потенциал и относительная температура в основании слоя равны нулю ul=u2=u3=(p = 0 = O, x3=-h. (3.1.1.7) П. Слой имеет механически свободную нижнюю грань, нормальная компонента электрической индукции и теплового потока равны нулю а13 = т23 = J33 = D3= g3 =0,х3 = -h. (3.1.1.8) III. Слой лежит на жестком основании без трения, электрический потенциал и относительная температура равны нулю сг13 =сг23 =и3 =(р = 0 = 0, x3=—h. (3.1.1.9) Применяя двукратное преобразования Фурье Fx х к уравнениям (2.4.4.5), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка A(0)U + iA(1)U + A(2)U" = 0 (3.1.1.10) относительно пятикомпонентного вектора V = FXiX2[u] = {U1,U2,U3,U4,U5f. (3.1.1.11) Первые три компоненты вектора U - символы вектора перемещений {U1,U2,U3} , четвертый соответствует электрическому потенциалу U4 = Ф, пятый - относительной температуре U5=&
Смещения в изотропном упругом слое, вызванные горизонтальными трещинами и жесткими включениями
Метод контурного интегрирования представляет собой общеизвестный подход к вычислению несобственных интегралов, фигурирующих в интегральных представлениях решений краевых задач теории упругости [54], электроупругости и термоэлектроупругости, при котором контуры интегрирования отклоняются в комплексную плоскость в окрестности вещественных полюсов согласно принципам излучения, бесконечные контуры заменяются конечными, интегрирование производится численно с помощью подходящих квадратур. В данный работе метод используется в основном в качестве контроля. Остальные методы являются новыми.
Как уже отмечалось во введении к диссертации, в отличие от однократных интегралов Фурье, на сегодняшний день не существует стандартного алгоритма для вычисления двукратных интегралов Фурье [269].
В зарубежной литературе имеется большое число работ, посвященных исследованию распространения волн в многослойных средах, однако большинство результатов получено для двумерных задач [308, 313, 253] или для изотропных материалов [244, 325]. Численные результаты в трехмерной постановке для анизотропных сред встречаются все еще достаточно редко [253], часто для расчетов применяются различные модификации метода конечных элементов.
Так, в работе [245] двукратный интеграл по волновым числам преобразуется при помощи контурного интегрирования и использования теоремы о вычетах в одномерный интеграл, который затем вычисляется численно с использованием обычных квадратур. В статье [342] одномерный интеграл по волновым числам вычисляется с использованием модифицированных квадратурных схем Clenshaw-Curtis [346, 347]. Сходимость интеграла достигается с помощью деформации контура интегрирования для обхода вещественных полюсов подынтегрального выражения.
В работе [343] асимптотическое представление двукратных интегралов в дальней зоне получено с помощью метода стационарной фазы в терминах модального расширения для плоской задачи в случае точечных источников. В работах [271, 272] результаты [343], были обобщены для поверхностной нагрузки более общего вида.
В статье [257] использован метод жесткостей (stiffness method) и модальное суммирование (modal summation) [348, 349, 350], отклик во временной области получен с помощью быстрого преобразования Фурье (FFT) [348, 349, 350], двойного быстрого преобразования Фурье (DFFT) [312], методом экспоненциального окна (exponential window) [308, 342, 296].
Представление трехмерных функций Грина при гармоническом нагружении точечным произвольно ориентированном источником для многослойного изотропного пакета слоев получены в [244] методом декомпозиции на плоскую и антиплоскую задачи. Расчеты волн Лэмба, возбуждаемых точечными нагрузками в изотропном [244] и анизотропном слое [253], получены с использованием гибридного численного метода и техники модального расширения.
Распространение волн от поверхностных источников в изотропном слое в [325, 330] также исследовалось с помощью теоремы о вычетах. Аналогичный подход был ранее предложен для изотропных сред в случае осесимметричной нагрузки [349]. При вычислении возмущений в анизотропном многослойном пакете слоев от поверхностных источников [324] интегрирование вдоль положительной действительной полуоси заменено интегрированием по всей действительной оси. Интеграл по вещественной оси рассчитывался, как и в предыдущем случае, с использованием теоремы о вычетах. Интегрирование по углу в плоскости волновых чисел затем осуществлялось с помощью метода стационарной фазы.
В работе [312] двукратный интеграл по волновым числам рассматривается в декартовой системе координат и приводится с использованием теоремы о вычетах к однократным интегралам с помощью аналитического представления кривых полюсов. Остающийся несобственный интеграл затем рассчитывается численно с использованием стандартной квадратуры.
Из перечисленных выше методов многие использованы и развиты в работе [253] для расчета установившихся колебаний и нестационарных воздействий в многослойных анизотропных пакетах при различных способах возбуждения колебаний.
Представленные далее методы и алгоритмы интегрирования отчасти неизбежно пересекаются в технических деталях и в некоторых принципиальных подходах со многими из перечисленных выше методов, в то же время, например, для метода прямого контурного интегрирования аналогов найти не удалось. Тем не менее, в совокупности с глубоко разработанными алгоритмами расчета символов матриц-функций Грина для термоэлектроупругих многослойных сред, развитые численно-аналитические методы, а также полученные теоретические и численные оценки параметров методов, делают данные алгоритмы эффективными и оригинальными методами для исследования волновых процессов в многослойных анизотропных, электроупругих и термоэлектроупругих материалах [61, 62, 63, 135, 217, 146, 285, 286, 287, 288].
Предложенные методы значительно отличаются своими областями эффективного применения и требуемыми объемами вычислений. Метод контурного интегрирования является наиболее простым, но и самым затратным в вычислительном плане методом, тем не менее, эффективным и удобным для ближней зоны. Метод дает только общую волновую картину, что является, с одной стороны, его достоинством, но, с другой стороны, - одним из его недостатков, поскольку метод не позволяет выделять отдельные волновые моды из структуры общего решения. Полученные в пункте 4.5 оценки позволяют подбирать наиболее оптимальные параметры для процедур интегрирования, что значительно повышает эффективность метода. В тех случаях, когда требуемые диапазоны интегрирования превышают доступные диапазоны вычислимости символа матрицы Грина, целесообразно использовать соответствующие методы расширения диапазона вычислимости, описанные в главе 3. Метод прямого контурного интегрирования можно рассматривать как вариант метода контурного интегрирования, однако он представляет собой самостоятельный метод, принципиально отличающийся от метода контурного интегрирования тем, что интегрирование при введении комплексной частоты производится по контурам, совпадающим с вещественной осью, что существенно упрощает процедуры интегрирования. Благодаря своей простоте, метод прямого контурного интегрирования с введением комплексной частоты можно отнести к инженерным методам, который, тем не менее, вполне пригоден для исследовательских целей. Метод контурного интегрирования и метод прямого контурного интегрирования имеют сходные порядки погрешностей и объема вычислений.