Динамика гибких связей переменной длины Панфилов Дмитрий Игоревич

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1 Задача о динамической размотке нити . - 30

1. Математическая модель процесса размотки нити с катушки. - 30

2. Получение решения - 32

3. Предельный случай размотки нити при нулевой начальной длине - 37

4. Анализ устойчивости полученного решения. - 39

5. Основные результаты . - 41

ГЛАВА 2 Скользящий удар по гибкой растяжимой нити. Теория и эксперимент - 42

1. Математическое моделирование скользящего удара по гибкой растяжимой нити. Задача о внезапном движении вынужденного разрыва вдоль нити - 42

2.Результаты эксперимента. - 48

3. Сравнение теории и эксперимента - 5

4. Заключение - 56

ГЛАВА 3 Задача о динамическом прогибе балки - 57

1. Задача о влиянии скорости подвижной нагрузки на изгиб натянутой балки. - 57 2. Верификация эксперимента. - 60 - 2

3. Заключение - 62

Основные результаты диссертации . - 63

Замена переменных, обеспечивающая стационарность граничных условий в задаче о динамической размотке нити. - 67

Нахождение точного аналитического решения задачи о динамическом прогибе балки методом разделения переменных.

Литература. - 108

• Предельный случай размотки нити при нулевой начальной длине
• Основные результаты
• Сравнение теории и эксперимента
• Основные результаты диссертации

Предельный случай размотки нити при нулевой начальной длине

Для реализации размотки троса большой длины в космосе учеными разработаны новые высокопрочные механизмы, подробное описание одного из которых можно найти, например, в [13]. Такие механизмы использовались для размотки и последующей смотки нити с целью создания искусственной гравитации в ходе проекта MARS-g. Проект миссии DELFI-1, в результате которой предполагалась размотка алюминиевой нити длинной 1 километр, описан в [14]. Данные технологии планируется использовать и в будущих миссиях на Марс, над которыми совместно работают NASA и Европейское космическое агентство.

На данный момент существуют проекты, в которых задействованы тросовые системы. Например, в качестве “космических лифтов”, при доставке материалов с орбиты без транспортного корабля (“космическая почта”), или при удалении космического мусора. Для решения последней проблемы (минимизации количества объектов космического мусора на геостационарных орбитах), в работе [15] проведен подробный анализ и рассмотрены различные сценарии. Для демонстрации и отработки возможной доставки груза с орбиты с помощью тросовой системы 14 сентября 2007 г. была запущена миссия YES2. В ходе эксперимента осуществлялась размотка 32 километров троса и спуск с орбиты 6 килограммовой возвращаемой капсулы. В результате были получены данные о процессах, происходящих в нити во время размотки (графики координат спускаемой капсулы, угла отклонения нити от вертикального положения, скорости размотки и длины нити в зависимости от времени). Получены данные о скачках натяжения в нити, как следствия взаимодействия продольных и поперечных возмущений с границами [16]. Параллельно этому проведено математическое моделирование рассматриваемого процесса и верификация модели с помощью полученных в ходе миссии данных. Проведенный анализ показал чувствительность процесса к начальным параметрам задачи (вес капсулы, начальная скорость ее движения), а также необходимость учитывать на последней стадии размотки эффекты, связанные с распространением звуковых волн в нити, их отражения от спутника и возвращаемой капсулы [17-19].

Описанные выше факты указывают на актуальность теоретического анализа процесса размотки нити. Однако особенности задачи, в которой движется граница самой нити, делают этот анализ достаточно трудоёмким в первую очередь из-за того, что область независимых переменных, на которой ищется решение системы дифференциальных уравнений в частных производных, меняется со временем. И это, несмотря на то, что разработкой методов решения подобного рода задач ученые занимаются уже более полувека.

Впервые задача о движении струны, левый конец которой жестко закреплен, а прижимные валки справа движутся с постоянной скоростью вдоль струны из некоторого начального положения, была поставлена и даже решена Е.Л. Николаи ещё в 1921 году [20, 21]. Правда долгое время после этого разработка вопросов о волнах в системах с изменяющимися во времени геометрическими размерами, а также с движущимися нагрузками и неоднородностями велась отдельными, никак не взаимодействующими между собой группами ученых и инженеров, занятыми решением возникающих инженерно-технических проблем в своих областях. Так, в вопросах, связанных с эксплуатацией железных дорог и мостов разрабатывалась проблема динамической устойчивости упругих конструкций, несущих подвижные нагрузки [22,23]. В горной механике изучали проблему динамики шахтного подъема, где используются канаты переменной длины [24-27]. В вопросах, связанных с силовыми передачами, исследовалась динамическая устойчивость гибких ветвей передачи [28-34] и т.п. Единый же взгляд на все многообразие подобных процессов был предложен только в конце прошлого века в работах профессора Весницкого А.И. и его учеников [35-37]. Решения, полученные этим научным коллективом, позволили наиболее полно и строго на тот момент изучить основные эффекты и закономерности волновых процессов, обусловленные движением границ. Авторы придерживались концепции, в соответствии с которой за первичный объект изучения выбирались не элементы нити, а волны деформации, возникающие в ней под воздействием движения границ. Именно эти волны, по мнению авторов, являются источником переноса энергии и импульса вдоль нити. Далее на основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского определялось динамическое состояние упругой системы. На основе точных решений А.И. Весницким был выявлен ряд общих свойств динамического поведения систем с движущимися границами, а также изучены особенности проявления их резонансных свойств. В частности, в его работах показано, что системы с движущимися границами обладают «динамическими» собственными колебаниями, которые с течением времени приводят к потере устойчивости системы или возникновению резонанса. Вместе с тем следует отметить, что причиной возникновения в системе продольно-поперечных колебаний, могут быть не только продольные движения границ нити вместе с приложенной к ним нагрузкой, тщательно изученные А.И. Весницким, но и их колебательные движения в поперечном направлении. Ведь реальный процесс наматывания нити на катушку или её размотки безусловно содержит колебания конца нити перпендикулярно основному движению. А это уже задача имеет следующий порядок сложности и в настоящее время до конца не исследована. Научная работа в этом направлении актуальна и по сей день.

Например, при решении проблемы дистанционного управления подвижными объектами с помощью кабельной связи, по мере движения объекта кабель сматывается с внутренней поверхности, образованной в результате регулярной укладки нити в бобину, проходя далее через осевое отверстие нитепровода. В работах [4,5] такая задача смоделирована движением участка идеальной нити, один конец которой находится на поверхности вращения, а другой в точке начала нитепровода. Движение нити рассматривается с учетом трения Кулона и вязких сил сопротивления в приложении к задаче стационарной размотки нити. Для случая цилиндрической поверхности получено аналитическое решение и проведено параметрическое исследование зависимости натяжения в нити от скорости размотки, размеров текущего витка и характеристик обтекающей нить жидкости. Авторами особо отмечена необходимость учета движения нити по поверхности для полного решения задачи размотки.

Научный интерес к обсуждаемым задачам не угасает до сих пор. В одних работах исследователи уточняют постановочную часть задачи, отрабатывают более тщательно краевые условия, чтобы как можно точнее учесть особенности решаемой задачи. В других стараются адаптировать имеющиеся методы аналитического и численного интегрирования применительно к данным задачам, а также разработать какие-то новые методики получения точных и приближенных решений.

Так, в работе [7] выводятся уравнения динамики троса при его наматывании или разматывании лебедкой, вращающейся вокруг Земли, обсуждаются особенности динамики тросовых орбитальных систем фалов, широко используемых в различных миссиях НАСА для транспортировки и развертывания спутников. Вывод уравнений производится двумя способами - с использованием законов Ньютона и, применяя принцип Гамильтона, после чего показывается эквивалентность этих двух методов.

Основные результаты

В случае относительно небольших скоростей “дозвукового” режима движения (скорость ролика 8.7 и 9.7 метр/сек соответственно) перед роликом образуется даже участок сжатия (горизонтальная линия – начальные относительные удлинения материальных точек резины). В то же время непосредственно за роликом образуется область повышенных относительных удлинений.

В результате обработки была найдена лагранжевая скорость движения ролика по точкам нити. Интересно, что в результате, эта скорость оказалась практически постоянной и не зависящей от Эйлеровой скорости движения связи. С учетом погрешностей эту скорость можно с достаточной степенью точности считать постоянной величиной (Рис. 2.10). Отметим, что на графике прямыми линиями нанесен коридор погрешностей.

Сравнение теории и эксперимента. Напомним, что решая теоретическую задачу, считалось, что связь идеальная, а также начальные углы в нити равные. В эксперименте отчетливо проявляется влияние силы трения. Таким образом, для адекватного сравнения эксперимента и теории необходимо решить рассмотренную выше теоретическую задачу, учитывая трение. Взяв за основу полученный результат, в работе положено, что неизвестная скорость S является в системе (7) постоянной величиной, определённой из эксперимента (Рис. 2.10). Зато в системе появляется новая неизвестная переменная - коэффициент трения. В результате система разлагается на три независимые системы. Первая и вторая определяют относительные удлинения материальных точек резины и углы соответственно впереди и за вынужденным разрывом. Третья определяет реакцию связи и коэффициент трения, уже исходя из полученных решений первой и второй системы. Так как эти две системы решаются параллельно, то общее решение существенно зависит от Лагранжевой скорости вынужденного разрыва, которая определялась экспериментально. - 53 Рис. 2.11. (а) - положение нити в момент времени t = 0.09 с при скорости связи V0 = 11.8 м/с (эксперимент), (б) - соответствующая зависимость относительных удлинений материальных точек резины от дуговой координаты: сплошная линия - теоретическое решение; точки - результаты эксперимента; пунктиры - доверительный интервал. На Рис. 2.11(а) представлен кадр из эксперимента, соответствующий времени t = 0.09 с и скорости движения ролика К0=11.8м/с. На Рис. 2.11(б) приведены теоретические (сплошная линия) и соответствующие этому кадру экспериментальные значения относительных удлинений материальных точек резины (точки) вместе с коридором погрешностей (пунктиры). Следует отметить, что для всех обработанных кадров теоретически рассчитанные относительные удлинения находятся в коридоре погрешностей, связанных с экспериментально полученными относительными удлинениями. Теоретический результат наиболее отклоняется от экспериментального непосредственно в области ролика, где определение относительных удлинений резины наименее точно. Одной из причин является и то, что в этой области существенную роль играет изгибная жесткость резины, не учитываемая в модели идеальной нити. В таблицах 2.1 и 2.2 приведены относительные отклонения теоретических результатов от экспериментальных (данные представлены для относительных удлинений материальных точек резины).

Как и следовало ожидать, наибольшие отклонения возникают в области связи (ролик), а также в области бегущего впереди него поперечного фронта. В этих областях вместо излома (модель идеальной нити) возникают конечные радиусы кривизны резины, связанные с ее изгибной жесткостью. Теоретическое решение задачи скольжения связи с трением при использовании экспериментальных результатов для величины лагранжевой скорости (Рис. 2.10) позволили определить зависимость динамического коэффициента вязкого трения от скорости (Рис. 2.12). Полученная зависимость оказалась нелинейной: для малых дозвуковых скоростей коэффициент вязкого трения равен 0.005. в диапазоне сверхзвуковых скоростей движения связи он возрастает на порядок, выходя на некоторое практически постоянное значение 0.06 при изменении скорости движения связи на величину Ам I c .

Эйлерова скорость связи м/с Рис. 2.12. Зависимость коэффициента трения от скорости связи. Отметим, что сила вязкого трения пропорциональна скорости проскальзывания нити, т.е. лагранжевой скорости вынужденного разрыва S, и направлена перпендикулярно биссектрисе угла излома нити, возникающего в точке приложения идеальной связи: + . т +т ения = к ег , где к - динамический коэффициент вязкого трения, а е

Заключение. Экспериментально и теоретически исследована нелинейная задача о скольжении сосредоточенной связи вдоль гибкой растяжимой нити с конечными относительными удлинениями и перемещениями. Показано, что существует некоторое критическое значение скорости движения точечной нагрузки, при превышении которого форма нити и поведение решения резко меняются. Определена зависимость динамического коэффициента вязкого трения от скорости. Оказалось, что при переходе движения связи в сверхзвуковой режим коэффициент вязкого трения сначала быстро возрастает на порядок, а затем практически становится постоянной величиной. Результаты сравнения показали приемлемую точность выбранной модели нити.

Сравнение теории и эксперимента

Таким образом, получен целый набор критических скоростей q2-(7rn)2 + l=v — + ТІП 2 Я +1 = V, при которых, как видно из решения, наступает резонанс. То есть амплитуда колебаний неограниченно возрастает и предположение о малости прогибов нарушается.

Кроме того, чтобы в линейной постановке проанализировать именно переход скорости нагрузки через характерную скорость балки, был дополнительно рассмотрен случай равноускоренного движения нагрузки (3.4). \et я д4у д2у г г _, . 1 ,. дх4 дх2 Зу (3.4) = 0, у = уЛх\ = 0 а? д2у л х = ±1, .у = 0, —т = 0 Эх

Аргумент дельта-функции Дирака первого уравнения системы (3.4) задается условием перехода скорости нагрузки через характерную скорость балки именно в начале координат. Данная задача решалась аналогично предыдущей. Также было найдено решение статической задачи. Динамическая задача решалась методом разделения переменных. Для нее, конечно же, сохраняется та же система собственных функций. В результате получено следующее точное аналитическое решение (3.5).

Следует отметить, что ниже будут построены графики, основанные на решениях (3.3) и (3.5), для резины, которая использовалась в ходе эксперимента. Анализ прогибов позволит сделать ряд физических выводов о существенной роли изгибной жесткости в эксперименте, речь о котором пойдет в следующем параграфе.

Верификация эксперимента. Изначально верификация эксперимента проводилась, используя теоретическое решение автомодельной задачи о скользящем ударе по гибкой растяжимой нити бесконечной длины [115 – 117]. Для ее решения, в том числе, использовался пакет Maple [118].

Стоит отметить, что для всех обработанных кадров, кроме последнего, теоретически рассчитанные относительные удлинения материальных точек резины находятся в коридоре погрешностей, связанном с экспериментально полученными относительными удлинениями. Этот последний кадр соответствует наибольшей скорости движения ролика. И теоретический результат отклоняется от экспериментального непосредственно в области ролика, где возникают большие относительные удлинения материальных точек резины из-за - 60 трения. Более того в этой области существенную роль играет изгибная жесткость резины, не учитываемая в модели идеальной нити [68, 77, 79].

На Рис. 3.2 и 3.3 место приложения нагрузки определяется по концам черных горизонтальных линий вдоль оси абсцисс. Графики построены на основании полученных решений динамического прогиба балки. На левых графиках на Рис. 3.2 и 3.3 нагрузка движется с постоянной скоростью. В то время как на правых графиках на Рис. 3.2 и 3.3 нагрузка движется равноускорено. При этом в обоих случаях движения нагрузки в месте ее приложения и в области фронта волны, бегущей с характерной для балки скоростью, образуются не изломы (как в модели идеальной нити), а конечные радиусы кривизны. Данные радиусы кривизны определяются изгибной жесткостью резины. Отметим, что после перехода скорости нагрузки через характерную для балки скорость (место перехода – начало координат), возмущения распространяются уже позади нагрузки (правый график на Рис. 3.2). В случае движения с постоянной скоростью скорость движения нагрузки задавалась равной Лагранжевой скорости ролика. Отметим также, что при прочих равных условиях для одной и той же резины величина прогиба при равноускоренном движении нагрузки в несколько раз больше аналогичных прогибов при движении нагрузки с постоянной скоростью.

На Рис. 3.4 и 3.5 представлены те же самые прогибе балки, но масштаб по оси ординат приближен к масштабу по оси абсцисс. Пунктиром показан прогиб балки под действием силы тяжести в начальный момент времени. Положение нагрузки определяется вертикальной стрелкой.

Форма балки в три последовательных различных момента времени при движении нагрузки с постоянным ускорением. Если вернуться к главе 2 и вновь проанализировать данные в таблицах 2.1 и 2.2, то можно увидеть, что наибольшие отклонения возникают в области ролика и области бегущего впереди него поперечного фронта. Это подтверждает вывод о том, что в этих областях вместо излома (как это было в модели идеальной нити) возникают конечные радиусы кривизны резины, связанные с ее изгибной жесткостью.

Заключение. В данной главе была исследована задача о динамическом прогибе предварительно натянутой балки. Получено точное аналитическое решение задачи. Построены формы прогиба для резины, используемой в эксперименте, моделирующей данную задачу. Получен результат существенного возрастания амплитуды прогиба резины при переходе скорости нагрузки через характерную для резины скорость (собственно говоря, данный эффект – один из ключевых целей исследования). Также проанализированная форма прогиба позволяет сделать вывод о важности учета изгибной жесткости резины, объясняющей расхождение результатов эксперимента и теории идеальной нити в области ролика, а также в области, связанной с фронтом поперечной волны. Количество исследованных задач такого типа мало, поэтому теория и получение данных экспериментов для такого класса задач является важным, новым и актуальным делом.

Основные результаты диссертации

Заметим также, что условие шарнирного закрепления балки на концах х = ±1 налагает следующие ограничения на функцию у = у0 (х) х = ±1: у0 = О, d2 y0 dx2 О (3.2) Поскольку параметр f не зависит от времени, систему (3.1) можно представить в виде двух систем, статической и динамической. Сложность представляет решение как раз динамической системы. Для ее решения использовался метод разделения переменных – была вычислена полная система собственных функций и в результате получено точное аналитическое решение (3.3) вышеизложенной задачи (см. приложение 8). +1 = V, при которых, как видно из решения, наступает резонанс. То есть амплитуда колебаний неограниченно возрастает и предположение о малости прогибов нарушается.

Кроме того, чтобы в линейной постановке проанализировать именно переход скорости нагрузки через характерную скорость балки, был дополнительно рассмотрен случай равноускоренного движения нагрузки (3.4). \et я д4у д2у г г _, . 1 ,. дх4 дх2 Зу (3.4) = 0, у = уЛх\ = 0 а? д2у л х = ±1, .у = 0, —т = 0

Аргумент дельта-функции Дирака первого уравнения системы (3.4) задается условием перехода скорости нагрузки через характерную скорость балки именно в начале координат. Данная задача решалась аналогично предыдущей. Также было найдено решение статической задачи. Динамическая задача решалась методом разделения переменных. Для нее, конечно же, сохраняется та же система собственных функций. В результате получено следующее точное аналитическое решение (3.5).

Следует отметить, что ниже будут построены графики, основанные на решениях (3.3) и (3.5), для резины, которая использовалась в ходе эксперимента. Анализ прогибов позволит сделать ряд физических выводов о существенной роли изгибной жесткости в эксперименте, речь о котором пойдет в следующем параграфе.

2. Верификация эксперимента. Изначально верификация эксперимента проводилась, используя теоретическое решение автомодельной задачи о скользящем ударе по гибкой растяжимой нити бесконечной длины [115 – 117]. Для ее решения, в том числе, использовался пакет Maple [118].

Стоит отметить, что для всех обработанных кадров, кроме последнего, теоретически рассчитанные относительные удлинения материальных точек резины находятся в коридоре погрешностей, связанном с экспериментально полученными относительными удлинениями.

Этот последний кадр соответствует наибольшей скорости движения ролика. И теоретический результат отклоняется от экспериментального непосредственно в области ролика, где возникают большие относительные удлинения материальных точек резины из-за трения. Более того в этой области существенную роль играет изгибная жесткость резины, не учитываемая в модели идеальной нити [68, 77, 79].

На Рис. 3.2 и 3.3 место приложения нагрузки определяется по концам черных горизонтальных линий вдоль оси абсцисс. Графики построены на основании полученных решений динамического прогиба балки. На левых графиках на Рис. 3.2 и 3.3 нагрузка движется с постоянной скоростью. В то время как на правых графиках на Рис. 3.2 и 3.3 нагрузка движется равноускорено. При этом в обоих случаях движения нагрузки в месте ее приложения и в области фронта волны, бегущей с характерной для балки скоростью, образуются не изломы (как в модели идеальной нити), а конечные радиусы кривизны. Данные радиусы кривизны определяются изгибной жесткостью резины. Отметим, что после перехода скорости нагрузки через характерную для балки скорость (место перехода – начало координат), возмущения распространяются уже позади нагрузки (правый график на Рис. 3.2). В случае движения с постоянной скоростью скорость движения нагрузки задавалась равной Лагранжевой скорости ролика. Отметим также, что при прочих равных условиях для одной и той же резины величина прогиба при равноускоренном движении нагрузки в несколько раз больше аналогичных прогибов при движении нагрузки с постоянной скоростью.

Форма балки в три последовательных различных момента времени при движении нагрузки с постоянной скоростью. На Рис. 3.4 и 3.5 представлены те же самые прогибе балки, но масштаб по оси ординат приближен к масштабу по оси абсцисс. Пунктиром показан прогиб балки под действием силы тяжести в начальный момент времени. Положение нагрузки определяется вертикальной стрелкой.

Форма балки в три последовательных различных момента времени при движении нагрузки с постоянным ускорением. Если вернуться к главе 2 и вновь проанализировать данные в таблицах 2.1 и 2.2, то можно увидеть, что наибольшие отклонения возникают в области ролика и области бегущего впереди него поперечного фронта. Это подтверждает вывод о том, что в этих областях вместо излома (как это было в модели идеальной нити) возникают конечные радиусы кривизны резины, связанные с ее изгибной жесткостью.

Заключение. В данной главе была исследована задача о динамическом прогибе предварительно натянутой балки. Получено точное аналитическое решение задачи. Построены формы прогиба для резины, используемой в эксперименте, моделирующей данную задачу. Получен результат существенного возрастания амплитуды прогиба резины при переходе скорости нагрузки через характерную для резины скорость (собственно говоря, данный эффект – один из ключевых целей исследования). Также проанализированная форма прогиба позволяет сделать вывод о важности учета изгибной жесткости резины, объясняющей расхождение результатов эксперимента и теории идеальной нити в области ролика, а также в области, связанной с фронтом поперечной волны. Количество исследованных задач такого типа мало, поэтому теория и получение данных экспериментов для такого класса задач является важным, новым и актуальным делом.