Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Введение в проблематику динамического деформирования и разрушения 9
1.1. Методы решения задач динамики деформируемого твердого тела 9
1.2. Динамическое разрушение 15
1.3. Критерии откольного разрушения 19
1.4. Простейшие модели откольного разрушения 25
1.5. Откол как процесс образования и роста несплошностей 28
Глава 2. Прогнозирование откола в упругой полосе при движении нагрузки вдоль ее границы 36
2.1. Исходные положения. Метод решения 36
2.2. Взаимодействие упругих волн с границей раздела двух сред . 41
2.3. Построение решения задачи динамической упругости 45
2.4. Результаты решения упругой задачи 49
2.5. Прогнозирование откольного разрушения в полосе 54
Глава 3. Феноменологическая модель хрупкого откольного разрушения 59
3.1. Требования, предъявляемые к модели 59
3.2. Эффективные модули анизотропной среды с системой параллельных трещин 60
3.3. Основные положения модели 65
3.4. Некоторые дополнительные замечания 67
3.5. Предельный случай: модель идеально хрупкой среды 69
Глава 4. Дифракция упругой волны на цилиндрической полости с учетом неоднородности среды и откольного разрушения 74
4.1. О задачах дифракции упругих волн на полостях 74
4.2. Постановка задачи дифракции упругой волны на цилиндрической полости в неоднородной анизотропной среде . 77
4.3. Метод численного решения 82
4.4. Дифракция волны на полости в изотропной однородной среде 87
4.5. Дифракция волны на полости в неоднородной среде 92
4.6. Учет откольного разрушения в задаче о дифракции 98
Заключение 106
Литература 108
- Динамическое разрушение
- Взаимодействие упругих волн с границей раздела двух сред
- Эффективные модули анизотропной среды с системой параллельных трещин
- Постановка задачи дифракции упругой волны на цилиндрической полости в неоднородной анизотропной среде
Введение к работе
Возрастание интереса к проблемам динамического деформирования твердых тел связано с постоянным расширением использования таких технологических операций металлообработки как штамповка, сварка взрывом, взрывная обработка, с запросами горного дела, сейсмостойкого строительства, новой техники.
Строительные объекты, образцы новой техники и т.п. как правило представляют собой дорогостоящие конструкции, и поэтому экспериментальные исследования в реальных масштабах требуют больших материальных затрат. В связи с этим возрастает роль аналитических и численных методов расчета динамических процессов. Особенно перспективным здесь является численное моделирование этих процессов на ЭВМ, позволяющее существенно сократить количество натурных экспериментов и в то же время максимально учесть реальные свойства явлений.
При решении задач динамического деформирования часто приходится принимать во внимание вопросы разрушения твердых тел. Большой интерес, в частности представляет тип разрушения, названный отколом. Откол возникает после взаимодействия волны сжатия со свободной поверхностью, когда внутрь тела от границы отражается волна растяжения достаточной амплитуды. Типичный пример откола -отслоение материала, прилегающего к тыльной поверхности плиты, при ударе по плите бойком с большой скоростью.
Ввиду того, что откольные разрушения могут возникать в самых разнообразны!! задачах динамики, исследование откола представляет значительный практический интерес. Отметим при этом, что в одних случаях требуется обеспечить надежную работу конструкции без разрушений при динамических воздействиях, а в других, напротив, обес-
печить управляемый процесс разрушения /например, отделение частей горного массива, дробление и т.п./.
Исследование откольного разрушения представляет и чисто научный интерес, связанный с изучением прочности материала при малых временах действия нагрузки.
Между тем, в исследовании откола имеется немало белых пятен. В частности, недостаточно разработанными являются методы решения динамических задач с учетом откольного разрушения.
Довольно важным является вопрос о моделях динамического откольного разрушения. Имеется ряд моделей, описывающих откол как процесс накопления микропор и/или микротрещин. И если описание вязкого откола /накопление микропор/ можно считать удовлетворительным, то модели, описывающие хрупкий откол /накопление микротрещин/ являются довольно сложными для реализации.
В связи с вышеизложенным формулируется следующая цель работы: разработка феноменологической модели хрупкого откольного разрушения; аналитическое и численное решение ряда конкретных задач динамического деформирования и откольного разрушения.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем диссертации - 122 страницы, в том числе 34 рисунка на 22 страницах, список литературы из 154 названий на 15 страницах.
Динамическое разрушение
Одной из важных проблем динамики деформируемого твердого тела в последнее время стала проблема динамического разрушения. При этом важно не только ответить на ВОПРОС, будет ли в тех или иных условиях происходить разрушение, но и уметь оценивать объем разрушенного материала, влияние разрушения на процесс деформирования и т.д. В связи с этим становится ясной необходимость построения моделей сред, учитывающих частичное разрушение в процессе деформирования.
Одной из первых работ по динамическому разрушению являлись классические опыты Дж.Гопкинсона и В.Гопкинсона / 60 /. В частности, Б.Гопкинсон исследовал разрушение, происходящее на тыльной поверхности толстой металлической плиты ПРИ подрыве на лицевой ее поверхности контактного заряда. С противоположной от заряда стороны плиты отлетал круглый диск, который Гопкинсон назвал "отколом". Схематически это явление объясняется тем, что от точки взрыва внутрь плиты распространяется сферическая волна сжатия, которая отражается от свободной поверхности плиты превращаясь частично в продольную волну растяжения, частично в поперечную ВОЛНА/. Интерференция отих волн ПРИВОДИТ к тому, что в некоторой области возникают большие суммарные растягивающие на - 16 прятания, приводящие к нарушению сплошности.
Видимо, пе"овьм теоретическим решением этой задачи была работа В.С.Ленского / 70 /, в которой получены условия возникновения лицевого откола (откола в волне, идущей от точки взрыва) и условия тыльного откола (типа рассмотренного выше ) .
Для понимания механизма откола важное значение имеет описание отражения импульса сжатия от свободной границы в одномерном случае / 60,95-97 /. Пусть плоский импульс сжатия произвольной fiop-мы движется по тонкому стержню и отражается от свободной поверхности этого стержня. Амплитуда импульса в различные моменты времени показана на РИС. 1.2 (рисунок из книги Г.Кольского / 50 /J. Результирующее напряжение (оно показано на рис. 1.2 жирной линией) в любой точке стержня в процессе отражения получается путем сложения напряжений, вызванных падающим и отраженным импульсами, которые показаны тонкими линиями. Та часть импульса, которая уже отразилась показана пунктирными линиями. На рис.1..2.а показана волна сжатия, приближающаяся к границе; б - часть импульса отразилась, но напряжения всюду еще сжимающие; в - вблизи свободной границы появилось небольшое растягивающее напряжение; г - это растяжение увеличилось; д - отразилась половина импульса; е - отразился весь импульс, йорма возникшего импульса растяжения совпадает с формой исходного импульса.
Откол в этом стержне, по / 50,95 /, возникает тогда, когда в некоторой точке материала возникает растягивающее напряжение , превышающее прочность на растяжение. В этом случае материал разрушается и происходит откол - отколовшаяся часть отлетает.
Соответственно картине напряжений, приводящих к разрушению, возможны различные механизмы разрушения / 25,52,61,95 /. А.Г/!.Ру-занов в / 10,2 / на основании анализа теоретических и эксперимен - 17 тальных результатов выделяет следующие механизмы разрушения: а/. Однородное пластическое течение. Характеризуется пластической деформацией во всем рабочем сечении образца или элемента конструкции. б/. Сдвиговое разрушение. Образуется в результате неустойчивости сдвига. Классические примеры зтого типа разрушения в опытах по деформированию толстостенных цилиндров, нагруженных изнутри импульсами давления, приводятся Райнхартом и Пирсоном / 96 /, а также В.А.Одинцовым и Л. А. Чудо выл / S3 /. Пожет возникать в задачах механики грунтов и горных пород / 7,26,81 /, в опытах по высокоскоростному соударению снаряда с плитой (выбивание пробки). в/, базовые изменения, фазовый откол. Наблюдается при очень высоких давлениях для железа и сплавов порядка 13 Гпа . Поверхность откола оказывается очень гладкой поэтому этот тип откола часто называется зеркальным . г/. Отрывное разрушение. Имеет два уровня: происходящее при довольно высоких (но все же меньших, чем фазовый откол) и при более низких напряжениях / II /. На первом уровне величина напряжений достаточна для преодоления межатомных связей. Второй уровень наиболее часто встречается в инженерной практике. Именно сюда относятся и обычные откольные разрушения. В данной работе акцентируется внимание только на отколыюм разрушении - разрушении, возникающем при умеренных нагрузках после взаимодействия волны сжатия со свободной поверхностью (или с материалом с меньшей акустической жесткостью) , когда внутрь тела отражается волна сжатия достаточной амплитуды. Откольному разрушению посвящена значительная литература. В основном эти работы посвящешл выяснению критерия откольного разрушения (обзор этих работ приводится в 1.3 ) , разработкам раз - 18 личных моделей, учитывающих откол (обзор приводится в 1.4 -1.5; и решению различных конкретных задач.
Большинство работ посвящены отколу в стержнях и отколу при ударе по плите бойками различной формы / 4,5,18,23,31,50,54,55, 65,69,77,79,102-104,127-129,136,133,150,151 /. По этим задачам имеется значительный экспериментальный материал / 1,22,49,75,79, 82,91,100,121,127,135,137,143,153 /. Это позволяет использовать эти задачи как своего рода тестовые при нахождении констант в критериях откола, при проверке новых моделей и т.п. Недостатком этих тестов является их одномерный или "почти одномерный" характер, что затрудняет их использование при анализе откола в условиях сложного напряженного состояния.
В работе Н.И.Шишкина / 134 / исследовался откол в упругой плите при движении вдоль ее верхней границы нагрузки постоянного t профиля. Для нахождения параметров откола используется критерий разрушения Губера / 24 /. Важным здесь является то, что откол вблизи свободной поверхности реализуется здесь в условиях сложного напряженного состояния.
В главе 2 данной диссертации ставится задача о прогнозировании откола в плите, лежащей на упругом основании при той же нагрузке. Легко видеть, что задача / 134 / является частным случаем данной. Критерий разрушения здесь, в отличие от / 134 / , взят в форме временного критерия (см. р} 1.3J . Обоснование постановки этой задачи дано в 2.1.
Взаимодействие упругих волн с границей раздела двух сред
Среди всех упоминавшихся работ теоретическое исследование откола содержалось только в / 134 /. Для прогноза откола применяется критерий разрушения Губера (т.е. статический критерий). Как говорилось в главе I, более соответствуют истине временные критерии. Кроме того, при решении упругой задачи в / 134 / сделан ряд упрощений, как показано далее,не всегда справедливых.
Таким образом, анализ поля напряжений и теоретическое прогнозирование откола в этой задаче представляет значительный интерес и в то же время не является достаточно исследованным. Решению этой задачи посвящена глава 2. Для прогноза откола здесь применяется модель задержки разрушения / 79 / - о ней говорилось в 1.4. В соответствии с ней вначале решается упругая задача о нахождении поля напряжений в полосе. Затем возникающие напряжения сравниваются с определенным критерием откола, и после этого делается вывод о наличии откола и о его параметрах. Решение задачи динамической теории упругости осуществляется методом функционально-инвариантных решений (см. I.l) . Введем безразмерные переменные: 6tj-6y/tfo »бо-6о/бо=, о =й/2 , и т.д. Здесь величины со штрихом означают безразмерные переменные - в дальнейшем штрихи опускаем.
При этом под подошвой нагрузки возникают продольная р-вол-на) и поперечная (э-волна) волны. Каждая из них, отражаясь от границы tj =0 , порождает новые р- и S-волны. Получаются рр-, ps-,sp-, SS-волны (рис.2.і) , которые, в свою очередь, отражаясь от верхней границы полосы снова порождают по две волны каждая и т.д. Существенно, что на границе с/»о волны не только отражаются вверх, но и преломляются в нижнюю полуплоскость. Поэтому, важньш звеном расчета многократных отражений в слоистой среде является задача об отражении и преломлении волн на плоской границе раздела двух сред, рассматриваемая в следующем параграфе.
Исследуем процесс, изображенный на рис. 2.4. Здесь р -падающая продольная волна (вообще говоря, нестационарная), рр , DS - отраженные от границы волны, (рр) , (ps) - преломленные волны. Из данной системы 4- линейных уравнений можно найти V p и VpS \_\ р и Vps тоже можно найти, но в нашей задаче в них нет необходимости) . Отметим, что подобная задача рассматривалась в / 20,52,107 /. Там же приведена подобная система (в других обозначениях). Для гармонических волн эта задача рассматривалась, наггоимер, в /60/. В случае, если волна падает на свободную границу, коэффициенты отражения можно получить из первых двух уравнений (2.5) при ра/р-0 . Эти выражения приведены, например, в / 89,115,134/ (в других обозначениях). Здесь:
Для решения систем (2.b) и (2.8) ПРИ рг/рїО используем ЭВМ. Это мотивируется громоздкостью выкладок. Вычисление корней системы алгебраических уравнений производится по обычному правилу Крамера.
Отметим, что в (2.10J , в отличие от (.2.3) и (2.7J , в аргументе потенциала появился свободный член С - i (или cf-nj. Это объясняется тем, что Формулы (2.з) и (2»т) записаны в предположении, что Фронты волн проходят через точку х=о , tjffo .. Волны iti и ЧЧ этому условию, вообще ГОВОРЯ, не удовлетворяют. Отражение от верхней границы отличается от отражения на нижней тем, что здесь коэффициенты с (іти. cf J падающей и отраженной волн будут отличаться, т.к. эти волны пересекают ось х в разных точках. Следует только учесть, что пли отражении от верхней границы следует поменять на противоположные знаки перед Vps и Д ь . Видно, что при повторных отражениях от верхней границы мы полагали ее свободной. Ниже будет показано, что обобщение метода на случай, когда по верхней границе имеет место, например, полный контакт со средой с другими упругими свойствами, не представляет принципиальных затруднений.
Эффективные модули анизотропной среды с системой параллельных трещин
Распределенные микротрещины в материале приводят к возникновению макротрещин и окончательному разрушению, а, кроме того, также вызывают ухудшение свойств материала (повреждение материала) . Т.к. трещины имеют направленный характер, то их накопление ПРИВОДИТ к анизотропной реакции материала на нагружение.
Основой предлагаемой модели является идея описывать разрушающийся материал изменяющимися упругими модулями. Т.е. мгновенно-упругие свойства материала принимаются здесь за макрохарактеристику повременно сти.
В первоначально изотропном материале в какой-то момент времени возникают сильные растягивающие напряжения, приводящие к образованию системы параллельных микротрещин, перпендекулярных этому растягивающему напряжению. Это моделируется ослаблением материала в направлении, перпендекулярном микротрещинам - материал становится в данной точке ортотропным. В течении дальнейшего де ор - 66 мирования теперь уже ортотропного л/гатериала возможно появление сильных растяжений в другом (или в этом же) направлении. Это приводит к внесению в этот ортотропный материал новой системы параллельных трещин и моделируется ослаблением материала в другом Гили соответственно в этом же) направлении, а значит к появлению анизотропии общего вида. В дальнейшем внесение новых систем трещин все более ослабляет материал и приводит к росту податливости в определенных направлениях.
Количественное описание изменения матриин податливости производится при помощи решения задачи 2 из 3.2. Если в данный момент времени мы имеем матрицу податливости Atj ив материал вносится система М трещин длиной 2.а , то Atj определяется по (З.б) , (3.8) . Ясно, что мы еще не определили сколько вносится трещин, каковы их размеры и направление.
Принимаем, что возникающие микротрещины будут перпендекуляр-ны максимальным "истинным" растягивающим напряжениям, т.е. напряжениям в неповрежденной части материала. Истинные напряжения (обозначим их Т:Л определяются по закону Гука для неповрежденной среды. Напомним, что употребляемые нами обозначения для компонент напряжений относятся к "средним" напряжениям (их еще можно назвать "эффективными") - именно из этого исходит применяемая нами теория эффективных модулей. Концепция о том, что повреждения определяются не средними, а истинными напряжениями, является довольно естественной и принимается достаточно часто (см. , например, / 74/№8»93,120 / или здесь формулу (i. 12)) .
Пусть нам известны деформации среды в какой-то момент времени. По ним определяем направление действия и величину максимального истинного напряжения Т, (закон Гука для неповрежденной среды ) . По (3.9) находим hu Подставляя новое Аи и старое Ан в формулу (З.б) , находим Пц , а затем по (З.з) находим o N -"интенсивность", трещин, образовавшихся в течение временного шага Д-Ь (заметим, что в (3.8) нашему ПЦ соответствует ПАЇ ввиду другого направления трещин) . Зная йгМ по (З.з) и (з.б) находим все компоненты Aij . По известным /\ц теперь находятся напряжения. Переход к следующему временному шагу осуществляется через уравнение движения.
Затем действуем по схеме, предложенной в 3.3, а в конце осуществляем обратный переход. При переходе от Ау к л у используем уЗ.Ю) с учетом того, что поворот теперь осуществляется не на угол , а на угол (-Ч) . Покажем теперь способ определения констант материала в (3.9J . Зти константы находим из эксперимента на одноосное растяжение при постоянном напряжении бі . В этих условиях изотропное тело становится при образовании микротрещин ортотропньм. Изменяются только Ац и Аре (это легко получить из (ІЗ.8) J . Найдем связь между макронапряжением и истинным напряжением (микронапряжением} Т . .Для в1 имеем 6,=( -Аі2 )/(А«Аіг-А«У это обращение закона Гуна (3.1) . Здесь An и Агг не меняются и равны А12.= Aft = _ЧІІ ) , /Чг- Агг - —- » а А-м может изменяться в процес В се разрушения. Аналогично: %=(АггЄі-А?гвіУС Аг?-А?і ) , но все Atj здесь постоянны Теперь можем выписать искомую связь: = «?, [А« Е(1- --оЧ )1/(т)( -2- ). Подставим это в (3.9J и, проинтегрировав, найдем "t , при котором А г (условие макроразрушения). В результате получим: Имея значения "fep при различных постоянных макронапряжениях 6 , можно подобрать соответствующие константы материала, входящие в (3.9). На этом изложение модели в общем случае заканчивается. Отметим, что модели подобного типа могут включаться во многие конечно-разностные программы, предназначенные для решения динамических задач твердого деформируемого тела.
Постановка задачи дифракции упругой волны на цилиндрической полости в неоднородной анизотропной среде
Введем полярную систему координат і , с полюсом в центре полости так, чтобы ось = 0 была осью симметрии (РИС. 4.1 J . Полагаем, что вне окружности радиуса х± среда является однородной и изотропной. Эта внешняя среда характеризуется плотностью р , параметрами Ламе е и J4o . В зоне Чо Т 4-і среда тоже имеет плотность р » но является неоднородной и анизотропной. Полагаем, что пои этом выполняется необходимая непрерывность свойств среды при переходе через линию Х-%1 , а также симметрия свойств среды относительно прямой 0=0 . Считается также , что свойства среды меняются достаточно гладко. Таким образом , рассматривается случай неоднородности и анизотропии свойств среды в зоне около полости.
Постановка такой задачи связана с тем, что при прохождении тоннелей и горных выработок околоконтурная зона в значительной мере нарушается. В / 3 / рассматривалась задача об определении статического поля напряжений около выработки при действии горного давления, если модуль Юнга зависит от t и изменяется по закону ЕС )=о[ - (—Y4 . Представляет интерес и задача о дифракции волн на такой выработке.
В случае "цилицдрической" неоднородности /"она рассмотрена в уже упомянутой нами работе / 3 /J все коэффициенты (-4.2) умножатся на [Н- тг\ O/t.y J . В этом случае граница t=ti берется на таком расстоянии, чтобы разность между ЇІ-УЬ /І) "] и - можно было бы считать пренебрежительно малой. К примеру, для vn=o? , h = i (в основном мы будем рассматривать такой случай") эта разность равна 5?о при tA-"\/To , 2% при "ХІ-S , 1% при
Выпишем теперь начальные и граничные условия. ,До начала взаимодействия волны с полостью напряжения и скорости обусловливаются подходящей плоской продольной волной где + (?) -заданная Функция, характеризующая Форму падающей волны, эСо - удаление Фронта волны от центра полости при "6=0 . Необходимое условие: 0Со 1. Только тогда Фронт подходящей волны будет плоским, именно для записи начальных условий нам и нужно разделение расчетной области на внешнюю (изотропная однородная среда) и внутреннюю (зона, где могут проявляться анизотропия и неоднородность ) .
Осталось только описать особенности вычисления напряжений на границах расчетной области. Отметим, что скорости определяются внутри области и поэтому по данной методике вычисляются без особенностей.
Для вычисления напряжений при б-0;тг вводим "дополнительные" скорости на линиях Э=-д9/2 и Э=ЗГ-ЬАЭ/Л, . В соответствии с условиями (4.4-) принимаем эти скорости равными: Последние два уравнения системы (71 Л; аппроксимируются системой (4.IIJ со вторым порядком точности (доказать это достаточно просто) , а при аппроксимации пелвых тлех уравнений в ошибку аппроксимации входит член, пропорциональный Tr b9 , т.е. второй порядок точности сохраняется при tt » і - вблизи полости. Вдали от нее ошибка растет. Применение переменного шага по координате хотя и увеличивает ошибку аппроксимации, но позволяет уменьшить влияние дополнительной границы t=-R и условий на ней на решение / 58,59 /.
Для устранения осциллятти численного решения в окрестности отронта волны применяется послойное сглаживание с коэ;6ощтиентэ.ми, зависящими от градиента сглаживаемого решения - это делается аналогично / 53,59 /. В соответствии с ілетодом, изложенным в предыдущем параграфе, была разработана программа з Я решения задачи дийракции плоской продольной волны на круговой цилиндрической полости с учетом неоднородности и анизотропии приконтурной зоны.
Расчет одной ячейки Расчетной области на один временной шаг занимает время порядка І,охІ0 а секунд. Результаты расчетов на сетке 52x61 и на сетке 30x37 отлм ают-ся не более, чем на 5 %.
В данном параграфе приводится сравнение решений, полученных по программе 2:2. , с известными решениями задачи о диггаакиии плоской продольной ВОЛІІЬІ на цилиндрической полости в изотропной однородной! среде . Это сравнение необходимо для проверки правильности работы программы ЬХ .
Проводилось также сравнение численного решения с решением В.Д.Ульянова / 124 /. Среда характеризуется =0,25 (этому соответствует =1/3 ) . Вычисления выполнены для двух вариантов нагрузки: в виде треугольного импульса ( - ,5 , длительность импульса =2,0) и в виде функции, линейно нарастающей до постоянного значения Hw=0,5J , и затем остающейся постоянной («t = оо) . Кривые, относящиеся к первой нагрузке, на рис. 4.4 -4.9 обозначены цифрой I, ко второй - цифрой 2.
Как указывается в / 124 /, результаты расчета по первому варианту позволяют получить представление о величине напряжений и скоростей на контуре круглой выработки при воздействии ВЗРЫВОВ небольшой мощности, имеющих длительность импульса в несколько миллисекунд. Результаты, полученные по второму варианту расчета, позволяют дать аналогичную оценку при действии крупных промышленных взрывов.