Введение к работе
Актуальность темы. Развитие современной техники значительно расширило сферу применения тонких упругих тел (пластин и оболочек). Появляется все больше приложений, для которых основное значение имеют их динамические свойства. Тонкие упругие тела широко используются в качестве волноводов, резонаторов, рассеивателей звука, ответственных узлов систем измерительной техники. В этих случаях помимо традиционных требований к прочности и жесткости, важное значение приобретают их спектральные характеристики и чувствительность к динамическому возбуждению, в том числе нестационарному. Становятся более разнообразными и условия эксплуатации упругих пластин и оболочек в системах и устройствах. При этом все чаще встречаются ситуации (толщинные колебания резонаторов, возбуждение волн Лэмба высших порядков в рассеивателях, распространение фронтов и квазифронтов волн в оболочечных конструкциях и др.), при которых длина волны деформации становится соизмерима с толщиной тела, а характерный временной масштаб протекающих процессов - со временами пробега упругими волнами расстояния между лицевыми поверхностями. Моделируя такие ситуации, даже в самом грубом приближении нельзя пользоваться соотношениями классической теории оболочек (теории Кирхгофа - Лява). Применение к их исследованию трехмерной теории упругости связано в общем случае с принципиальными трудностями. Это стимулирует разработку различных приближенных методов.
Органичным для механики тонких тел является асимптотический подход, основанный на использовании малого геометрического параметра, равного отношению толщины к характерному линейному размеру. Идея его применения к построению приближенных теорий тонких тел исходя из уравнений трехмерной теории упругости восходит к Коши, Пуассону и Сен-Венану. Первые работы, посвященные обоснованию классической теории обо-
лочек, принадлежат Н.А.Кильчевскому, Х.М.Мухштари, В.В.Новожилову и Р.М.Финкельштейну. Общая асимптотическая теория статики оболочек приобрела завершенный вид к началу 70-х годов, главным образом, благодаря усилиям научных школ, возглавляемых И.И.Воровичем и А.Л.Гольденвейзером. За рубежом близкие по духу исследования проводились К.О.Фридрихсом,А.Е.Грином, Е.Л.Рейссом, Э.Рейсснером и др. В дальнейшем асимптотический подход нашел разнообразные применения при построении теорий неоднородных, анизотропных, электро и магнитоупругих тонких тел, а также пластин с неклассическими граничными условиями на лицевых поверхностях (работы Л.А.Агаловяна, М.И.Гусейн-Заде, А.Л.Радовинского, Н.Н.Рогачевой,С.О.Саркисяна,И.В.Симонова, Б.А.Устинова и др.).
Формулировке приближенных моделей для изучения динами
ческих процессов в тонких телах посвящены многочисленные пуб
ликации (см. обзоры Л.Я.Айнолы и У.К.Нигула, Э.И.Григолю-
ка и И.Т.Селезова). Среди них работы, в которых используется
асимптотический подход, относятся в основном к пластинам и
цилиндрическим оболочкам. При этом, как правило, рассматри
вается низкочастотный диапазон (характерный временной масш
таб значительно больше времен пробега упругими волнами рас
стояние между лицевыми поверхностями). Попытки построения
асимптотических теорий в низкочастотном диапазоне для оболо
чек более сложной формы предпринимались Д.Драгицеску и
О.Б.Видерой. Приближенные уравнения движения оболочек в вы
сокочастотном диапазоне (характерный временной масштаб соиз
мерим с временами пробега упругими волнами расстояния^между
-лицевыми-поверхностями)~обсуждались в работах В.Л.Бердичево-кого,Л.Ю.Коссовича и Ле Хань Чау. К ним примыкают статьи П.Е.Товстика и Дж.Ахенбаха, в которых для случая пластины предлагались итерационные процессы интегрирования уравнений теории упругости в окрестности частот толщинных резонансов, а также работы У.К.Нигула и М.Ф.Мехтиева, в которых получены асимптотические представления корней дисперсионных уравнений
для тел канонической формы в высокочастотном диапазоне.
Перечисленными здесь работами были созданы необходимые предпосылки для разработки общего асимптотического подхода, который был бы применим к телам достаточно общей геометрии и позволял бы изучать динамические процессы, для описания которых классическая теория оболочек заведомо не может быть использована. Кроме того, представляет большой интерес изучение возможностей многочисленных уточненных теорий, в основе которых лежат физические гипотезы, отличающиеся от предположений Кирхгофа - Лява.
Целью работы является асимптотический анализ трехмерных уравнений теории упругости в тонких областях на основе единого подхода для низкочастотного и высокочастотного диапазонов и применение его результатов к исследованию динамических процессов в пластинах и оболочках.
Научная новизна. Основные результаты сводятся к следующему:
I. Для оболочки общего очертания построены асимптотичес -кие приближения уравнений динамической теории упругости. В низкочастотном диапазоне имеется только одно такое приближение. Оно является длинноволновым (длина волны деформации значительно превышает толщину) и в главном совпадает с незначительно модифицированными уравнениями теории оболочек Кирхгофа - Лява. В высокочастотном диапазоне уравнения теории упругости имеют два различных асимптотических приближения. Первому из них соответствуют двумерные уравнения, описывающие длинноволновые колебания в окрестности частот толщин-ных резонансов. Второе же приближение является коротковолновым (длина волны деформации соизмерима с толщиной). Отвечающие ему асимптотические уравнения в общем случае остаются трехмерными. Установлено, что область применимости уравнений коротковолновых колебаний имеет пересечения с областями применимости уравнений длинноволновых колебаний и показано, что возможности длинноволновых приближений оказываются исчерпан-
ными, когда длина волны деформации еще значительно больше толщины тела.
-
Особенности применения предлагаемого подхода продемонстрированы на примере оболочки вращения о меридианом произвольной формы. Дано описание частотного спектра и рассмотрены вынужденные колебания при краевом высокочастотном возбуждении. Разобрана задача синтеза дисперсионных кривых цилиндрической оболочки как трехмерного упругого тела на основе асимптотических приближенных теорий.
-
Исследованы возможности уточненных теорий пластин и оболочек, опирающихся на физические гипотезы (теорий, учитывающих деформацию сдвига, инерцию вращения и др.). Установлено, что несмотря на асимптотическую непоследовательность, их область применимости в низкочастотном диапазоне, как правило, оказывается более широкой, чем у классической теории. Вместе с тем обнаружено, что область применимости классических теорий пластин и оболочек может быть значительно расширена путем коррекции инерционных членов, основанной на асимптотическом анализе трехмерной задачи. Эффективность классических теорий с приведенной инерцией показана на примере задач о дисперсии упругих волн в слое и об определении собственных частот пластин средней толщины.
-
Разработанные методы применены к задачам об излучении и рассеянии звука упругими тонкими телами. На их основе получены приближенные формулы, аппроксимирующие точные решения в широком диагазон^іараметр^в__іиіозволяпцие-внявить-неко-— торые~качественные эффекты. К последним относятся подскоки мощности излучения упругого слоя в окрестности частот тол-щинных резонансов, соответствующих поперечным колебаниям; исчезновение резонансов нулевой симметричной волны Лэмба в задачах рассеяния для цилиндрической и сферической оболочек; зависимость добротности резонансов волн высших порядков от их типа при рассеянии наклонно падающей плоской акустической волны цилиндрической оболочкой и др.
5. Расширена сфера применения асимптотических методов в нестационарной динамике тонких тел. Они распространены на оболочки общего очертания для случая плавно менящейся вдоль края изгибающей нагрузки, а также на пластины и на оболочки нулевой кривизны, к краю которых прикладывается продольная дельта-образная сила (обобщение задачи Лэмба). JfeHH эффективные оценки областей применимости различных длинноволновых приближений и изучены погранслои около фронтов и квазифронтов.
Практическое значение результатов диссертации обусловлено возможностью их использования при расчетах и проектировании приборов и конструкций, содержащих упругие тонкие элементы. Они находят применение при интерпретации результатов экспериментов по рассеянию волн оболочками, при определении дисперсионных характеристик упругих волноводов, при исследовании нестационарных процессов в оболочечных конструкциях, при оценке собственных частот за пределами применимости классических теорий пластин и оболочек. Они могут также оказаться полезными при тестировании результатов расчетов, полученных для тел сложной формы численными методами.
Апробация работы.Материалы диссертации докладывались на Научно-технической конференции ЦНИИ им. А.Н.Крылова (Санкт-Петербург, 1988 г.), на Всесоюзном симпозиуме "Взаимодействие акустических волн с упругими телами" (Таллинн, 1989 г.), на Международной конференции по технической аэрогидроупруго-сти (Прага, 1989 г.), на 15-й Всесоюзной конференции но теории оболочек и пластин (Казань, 1990 г.), на 271 Коллоквиуме Евромеха "Дифракция волн на препятствиях и неоднородно-стях в жидкости" (Киев, 1990 г.), на 6-ом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва,1991 г.), на 18-ом Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Хайфа, 1992 г.), на семинарах по механике оболочек и пластин Института проблем механики РАН (1988 г., 1989 г., 1990 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах / I - 27 /.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 175 наименований. Она содержит 315 листов текста, включая 50 рисунков и 14 таблиц.